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第 5 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质
综合
在同一直角坐标系中，函数y＝
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且
＋c的图象； m≠0)的图象可能是( )
2．会用配方法或公式法求二次函数y＝
ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其
性质；(重点)
3．二次函数性质的综合应用．(难点)
解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象
可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向
一、情境导入 朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m) 轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由
与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋ 函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y
10表示．经过多长时间火箭达到它的最高 ＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝
点？ －＝－＝－＜0，则对称轴应在y轴左侧，故
C选项错误；D中由函数y＝mx＋m的图象
可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向
朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称
轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正
二、合作探究 确．故选D.
探究点一：化二次函数y＝ax2＋bx＋c 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在
为y＝a(x－h)2＋k的形式 不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次
把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向 函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、
右平移3个单位长度，再向下平移2个单位 对称轴、顶点坐标等．
长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5， 【类型二】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ b x ＋ c 的
则( ) 性质
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 若点A(2，y)，B(－3，y)，C(－1，
1 2
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 y)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，
3
解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝ 则y、y、y 的大小关系是( )
1 2 3
(x－)2＋.将y＝(x－)2＋向左平移3个单位长 A．y＞y＞y B．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3
度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋ C．y＞y＞y D．y＞y＞y
2 3 1 3 1 2
bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋，化简后得 解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝
y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A. 1＞0，∴开口向上，对称轴为 x＝－＝
方法总结：二次函数由一般式化为顶点 2.∵A(2，y)中x＝2，∴y 最小．又∵B(－3，
1 1
式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆 y)，C(－1，y)都在对称轴的左侧，而在对称
2 3
向推理则相反． 轴的左侧，y随x的增大而减小，故y ＞
2
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 y.∴y＞y＞y.故选C.
3 2 3 1
后巩固提升” 第4题 方法总结：当二次项系数a＞0时，在对
探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的 称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴
图象与性质 的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对
【类型一】 二次函数与一次函数图象的 称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴
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的右侧，y随x的增大而减小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升” 第3题
【类型三】 二次函数图象的位置与各项
系数符号的关系
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列
四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞ 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2
0；④abc＞0.其中正确的结论是________． ＋bx＋c得解得
解析：由抛物线的开口方向向下可推出 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋
a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c 4x－6；
＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0， (2)∵该抛物线对称轴为直线 x＝－＝
∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为 4，
－＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋ ∴点C的坐标为(4，0)，
b＋c＞0.∴①②③④都正确． ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
方法总结：二次函数 y＝ax2＋bx＋ ∴S ＝×AC×OB＝×2×6＝6.
△ABC
c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c 堂达标训练”第9题
的符号由抛物线与y轴交点的位置决定． 三、板书设计
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第5题
【类型四】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ b x ＋ c 的
最值
已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1
的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有
最小值2，∴a＞0，y ＝＝＝2，整理，得 本节课所学的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
最小值
a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0， 象和性质可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h)2，y
∴a＝4.故选C. ＝a(x－h)2＋k的图象和性质的归纳与综合，
方法总结：求二次函数的最大(小)值有 让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一
三种方法，第一种可由图象直接得出，第二 般的认识规律.
种是配方法，第三种是公式法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第1题
探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象与几何图形的综合应用
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx
＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与 x轴
交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
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