文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1 二次函数的图象与性质】
满分技巧
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最
值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2），
∴顶点在第二象限．
故选：B．
2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，
﹣3），
x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），
其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m＝3，
再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，
解得：m ＝3，m ＝﹣2，
1 2
∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为： ＝ ＝ ．
故选：D．
【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】
满分技巧
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的
值为（ ）
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法
求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴ ，
解得am＝﹣1，m＝ ，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
2．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，
然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故点（m，n+1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A不
合题意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不
合题意；
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故C
不合题意；
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，
D符合题意；
故选：D．
3．（2023•十堰）已知点A（x ，y ）在直线y＝3x+19上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y＝x2+4x
1 1 2 2 3 3
﹣1上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣12＜x +x +x ＜﹣9 B．﹣8＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣9＜x +x +x ＜0 D．﹣6＜x +x +x ＜1
1 2 3 1 2 3
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 x的
值，即可求得x 取值范围，根据抛物线的对称性求得x +x ＝﹣4，从而求得x +x +x 的取值范围．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，
解得x ＝﹣5，x ＝4，
1 2
∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），
把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，
若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则﹣8＜x ＜﹣5，x +x ＝﹣4，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
∴﹣12＜x +x +x ＜﹣9，
1 2 3
故选：A．
【题型3 二次函数图象与几何变换】
满分技巧
1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
2．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和
距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点
坐标为（﹣1，2），
而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），
所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．
故选：D．
3．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移
1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，
若将反比例函数y＝ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 y ＝
﹣ 3 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由题意，将反比例函数y＝ 的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为
y＝ ﹣3．
故答案为：y＝ ﹣3．
考向二：二次函数图象与系数的关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
满分技巧
1、二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝
1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．点（﹣2，0）在函数图象上
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称
轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；
由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．
【解答】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．
B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则 ＝1，即2a+b＝0．故B正确．
C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．
D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点
的坐标为（﹣1，0）．故D错误．
故选：B．
2．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴
为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与 y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，
进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣
2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对
结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数图象的顶点在第三象限，
∴ ，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴ ，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023•娄底）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y ）和点（3，y ）在该图象上，则y ＞y ；
1 2 1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，
∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），
∴③错误；
点（﹣3，y ）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，
1
（3，y ）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
2
∵抛物线开口向下，
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴y ＞y ，
1 2
∴④正确．
故选：D．
4．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x ，y ），B（x ，y ），C（﹣
1 1 2 2
3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x ＜﹣1，0＜
1
x ＜1时，有y ＜y ；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数
2 1 2
根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解
决问题．
【解答】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．
将（1，0）代入二次函数解析式得，
a+b+c＝0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
所以 ，即b﹣2a＝0．
又a+b+c＝0，
则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，
2c+3b＝0．
故②正确．
因为﹣2＜x ＜﹣1，0＜x ＜1，
1 2
所以点A离对称轴更近．
则当a＞0时，y ＜y ；
1 2
当a＜0时，y ＞y ．
1 2
故③错误．
由ax2+bx+c＝k（x+1）得，
ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．
又a+b+c＝0，2c+3b＝0，
得 ．
则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）
＝（ ）2﹣4×（ ）（c﹣k）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
＝ ．
又k＞0，
所以 ＞0．
即该方程有两个不相等的实数根．
故④正确．
故选：C．
5．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知
点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜
0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x ＝﹣3，x ＝2；④k＝ a．其中正确的是
1 2
①③ .（只填写序号）
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a＞0，c＜0，再结合对称轴x＝﹣1，同时令ax2+bx+c＝
kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又﹣ ＝﹣1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣
3，点B的横坐标为2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．
∴﹣ ＝﹣1， ＝﹣6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②错误，③正确．
∵﹣ ＝﹣1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④错误．
故答案为：①③．
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型5 抛物线与x轴交点问题】
满分技巧
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的
解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与 x轴交点横坐标、②交点个
数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，
上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
1．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣ x2+bx﹣b2+2c（x为自变
量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【分析】根据二次函数的性质可知 ＝﹣ ，再根据经过A（2﹣3b，m），B
（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣ x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（﹣
）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可
计算出线段AB长．
【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣ x2+bx﹣b2+2c（x为自变
量）与x轴有交点，
∴ ＝﹣ ，Δ＝b2﹣4×（﹣ ）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点
C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 4 ．
【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点 D
的横坐标，从而可以求得CD的长．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝ ＝2，
∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，
∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案为：4
3．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
4．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 ﹣ 3 （答
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
案不唯一） .（填一个值即可）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x 、x ，
1 2
即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x 、x ，
1 2
由根与系数的关系得：x +x ＝﹣3，x •x ＝n，
1 2 1 2
∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x ，x 为异号，
1 2
∴n＜0，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
4．（2023•黑龙江）如图，抛物线 y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC ＝ S△ABC ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线
的解析式；
（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标
为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（ ，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC ＝
S△ABC 列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得： ；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝ AB•OC＝ ×4×3＝6，
∴S△PBC ＝ S△ABC ＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得： ，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝ ，
∴E（ ，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝ ﹣t＝ ，
∴S△PBC ＝ × ×3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【题型6 二次函数与不等式】
满分技巧
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不
等式，根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx+n与抛物线y ＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结
1 2
合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y ＞y ；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若
1 2
（﹣1，t ），（4，t ）是抛物线上的两点，则t ＜t ；④对于抛物线y ＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，
1 2 1 2 2
y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确结论的个数是（ ）
2 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值
范围．
【解答】解：①∵直线y ＝mx+n与抛物线y ＝ax+bx﹣3相交于点A，B，
1 2
∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y ＝mx+n在抛物线y ＝ax+bx﹣3的上方，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
∴①正确．
②由图象可知：抛物线y ＝ax+bx﹣3有两个交点，
2
∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
∴②正确．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，t ＝0，
1
当x＝4时，t ＝5，
2
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴t ＜t ，
1 2
∴③正确．
④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，
∴对称轴x＝ ＝1．
将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣4，
∴当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5．
当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．
∴④错误．
故选：B．
2．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中0＜x ＜1
1 1
下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣ x+c的解集为0＜x
＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣ ，a＝﹣ ，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣ +c＜0，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴2a﹣c＞0，
∴﹣b﹣ c﹣c＞0，
∴﹣2b﹣3c＞0，
∴2b+3c＜0，
∴③正确．
如图：
设y ＝ax2+bx+c，y ＝﹣ x+c，
1 2
由图知，y1＜y2时，0＜x＜2，
故④正确．
故选：C．
考向四：二次函数的应用
【题型7 利用二次函数的性质求最值】
满分技巧
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步
骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函
数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
1．（2023•临沂）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近
A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；
（2）设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+90；
（3）①根据每天获得400元的利润，列方程可得答案；
②设每天获得的利润为w元，得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）
2+450，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，
把（18，54），（20，50）代入得：
，
解得 ，
∴y＝﹣2x+90；
（3）①∵每天获得400元的利润，
∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
3．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，
每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，
当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价
为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ 40 0 ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元
时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，
请直接写出正确的结论．
【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把
x＝60代入解析式计算即可；
（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；
（3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等
式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，
当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴ ，
即 ，解得50≤x≤65．
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强：∵50≤x≤65，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设日销售额为y元，
y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，
当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
【题型8 将实际问题转化为二次函数模型】
满分技巧
题型一：利用二次函数解决抛物线形问题
解决此类问题一般步骤：
①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；
②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。
题型二：二次函数在实际生活中的应用
利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取
值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
1．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的
三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有
两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】设AD边长为x m，则AB边长为长为 m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根
据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为y
m2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为 m，
当AB＝6时， ＝6，
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x• ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为y m2，
根据题意得：y＝x• ＝﹣ （x2﹣40x）＝﹣ （x﹣20）2+200，
∵﹣ ＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
2．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面 1 9 米．
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 x＝0求平移后的
抛物线与y轴的交点即可．
【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20），
设抛物线解析式为：y＝ax2+20，
将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20，
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ +20，
消防车同时后退10米，即抛物线 y＝﹣ +20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣ +20，
令x＝0，
解得：y＝19，
故答案为：19．
3．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分
析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球
点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝
﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x
﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 C点的距离更近，请通过计
算判断应选择哪种击球方式．
【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a
（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；
（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣2 +1
（舍去）或x＝2 +1≈3.83，由|7﹣5|＞|3.83﹣5|，即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为（0，2.8）；
把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，
解得：a＝﹣0.4，
∴a的值是﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∴C（5，0），
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，
在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2 +1（舍去）或x＝2 +1≈3.83，
∵|7﹣5|＞|3.83﹣5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
（建议用时：40分钟）
1．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据二次函数的图象，结合当0≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【解答】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ＝1．
又1﹣0＜3﹣1，
所以当x＝3时，函数取得最大值，
y＝32﹣2×3﹣1＝2．
故选：D．
2．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，若x +x ＜
1 1 2 2 1 2
0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴ ，
∴ ，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
3．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
4．（2023•邵阳）已知P （x ，y ），P （x ，y ）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现
1 1 1 2 2 2
有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x ＞x ＞﹣
1 2
2，则y ＞y ；④若y ＝y ，则x +x ＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴①正确；
当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上，
∴②正确；
当a＞0时，x ＞x ＞﹣2，则y ＞y ；
1 2 1 2
当a＜0时，x ＞x ＞﹣2，则y ＜y ；
1 2 1 2
∴③错误；
当y ＝y ，则x +x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴④错误；
故正确的有2个，
故选：B．
5．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．
【解答】解：由函数图象可得，a＜0，﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴y＝ax+b的图象过一，二，四象限，不过第三象限，
故选：C．
6．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴
为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y ），（2，y ），（4，y ）均在该二次函
1 2 3
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
数图象上，则y
1
＜y
2
＜y
3
；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数
根为x ，x ，且x ＜x ，则x ＜﹣1，x ＞3．正确结论的序号为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【分析】由抛物线经过（﹣1，0）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，
由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，①正确，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
点（﹣3，y ），（2，y ），（4，y ）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y ）到对称轴的距离最大，
1 2 3 1
点（2，y ）到对称轴的距离最小，
2
∴y ＜y ＜y ，②错误；
1 3 2
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣3a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c，
∴am2+bm+c⩽﹣4a，③正确；
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x ，x ，
1 2
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x ，x ，
1 2
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线开口向下，x ＜x ，
1 2
∴x ＜﹣1，x ＞3，④正确．
1 2
故选：B．
7．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝ x2交于A、B两点，设A（x ，y ），
1 1
B（x ，y ），则下列结论正确的个数为（ ）
2 2
①x •x ＝﹣4．
1 2
②y +y ＝4k2+2．
1 2
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【解答】解：由题意，联列方程组
∴可得得x ，x 满足方程 x2﹣kx﹣1＝0；y ，y 满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．
1 2 1 2
依据根与系数的关系得，x +x ＝4k，x •x ＝﹣4，y +y ＝4k2+2，y •y ＝1，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴①、②正确．
由 两 点 间 距 离 公 式 得 ， AB ＝ ＝
＝4（k2+1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB ＝ ×1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，k ＝ ，k ＝ ，
AN BN
∴k •k ＝ • ＝ ＝ ＝﹣k2﹣1．
AN BN
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
8．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y ），B（n﹣1，y ）两点，若A，B
1 2
分别位于抛物线对称轴的两侧，且y ＜y ，则n的取值范围是 ﹣ 1 ＜ n ＜ 0 ．
1 2
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为 x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对
称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵y ＜y ，
1 2
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得： ，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得： ，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
9．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有
以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x ，
1
y ）、B（x ，y ）是图象上任意两点，且|x +2|＜|x +2|，则y ＜y ，其中正确的结论是（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．
∴﹣ ＝﹣2，a+b+c＝0，
∴b＝4a，
∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，
∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
若点A（x ，y ）、B（x ，y ）是图象上任意两点，且|x +2|＜|x +2|，
1 1 2 2 1 2
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴y ＜y ，故④正确；
1 2
故选：C．
10．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h
（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去），
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
11．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的 3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B
（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图
象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣ ≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣ ≤c＜6 D．﹣4≤c＜5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个
“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数
值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
12．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的
取值范围是（ ）
A． ≤k≤1 B．k≤﹣ 或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴有交点，可得k2+4（k﹣ ）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分两种
情况：①当k≤﹣5时，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣ ≥0，②当k≥1时，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣ ≤0，分
别解不等式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4（k﹣ ）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得：k≤﹣5或k≥1；
抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 对称轴为直线x＝ ，
①当k≤﹣5时，抛物线对称轴在直线x＝﹣2左侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴的一个交点为
A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣ ≥0，
解得：k≤﹣ ，
∴k≤﹣ ；
②当k≥1时，抛物线对称轴在直线 x＝ 右侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴的一个交点为A
（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣ ≤0，
解得：k≥﹣ ，
∴k≥1；
综上所述，k≤﹣ 或k≥1；
故选：B．
13．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝ 的左侧
【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出
顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方
程判别式的符号即可对选项 C 进行判断；求出抛物线的解析式为： ，然后根据 a＞0得
，据此可对选项C进行判断．
【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为直线： ，
又∵a＞0，
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴该抛物线的对称轴一定在直线 的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
14．（2023•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝
2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
④抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜2＜x 且x +x ＞4，则y ＜y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判
断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0，
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故②正确；
由cx2+bx+a＝0可得方程的解x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2，6，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴﹣ ＝4， ＝﹣12，
∴﹣ ＝ ＝﹣ ， ＝﹣
而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x ＝ ，x ＝﹣ ，则﹣ ＝ ＝ ， ＝ ）＝﹣ ，
1 2
故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
若x ＜2＜x 且x +x ＞4，则点P（x ，y ）到对称轴的距离小于Q（x ，y ）到直线的距离，
1 2 1 2 1 1 2 2
∴y ＞y ，故不正确．
1 2
故选：B．
15．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的
关系是y＝﹣ （x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ 1 0 m．
【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则﹣ （x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案为：10．
16．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：
函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝ x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，
则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 （ 3 ， 0 ）或（ 4 ， 0 ） ．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的
交点坐标．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，
它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
若二次函数 的图象与x轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在x轴上，
即 ，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为 ＝ ，
∴它的“Y函数”解析式为 ，
令y＝0，
则 ，
解得x＝4，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
故答案为：（3，0）或（4，0）．
17．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三
点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右
侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错
误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出
，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的
距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得
a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 n≥3，得
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
出 求出m的取值范围，即可判断④正确．
【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，
则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0， ，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴ ，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时， ，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵n≥3，
∴ ，
∴ ．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
18．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵ ，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
19．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x ，y ），N（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）
1 1 2 2
上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x ＝1，x ＝2，有y ＝y ，求t的值；
1 2 1 2
（2）若对于0＜x ＜1，1＜x ＜2，都有y ＜y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x ，y ）与（x ，y ）的中点在对称轴的右侧，再
1 1 2 2
根据对称性即可解答．
【解答】解：（1）∵对于x ＝1，x ＝2，有y ＝y ，
1 2 1 2
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴ ＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣ ＝ ，
∴t＝ ．
（2）∵0＜x ＜1，1＜x ＜2，
1 2
∴ ，x ＜x ，
1 2
∵y ＜y ，a＞0，
1 2
∴（x ，y ）离对称轴更近，x ＜x ，则（x ，y ）与（x ，y ）的中点在对称轴的右侧，
1 1 1 2 1 1 2 2
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＞t，
即t≤ ．
20．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．
（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x ，0），（x ，0），且﹣1＜x ＜x ＜4，则a的取值范围
1 2 1 2
是 a ＞ 3 或 a ＜﹣ 1 ．
【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．
（2）将a＝﹣1代入函数解析式，进行证明即可．
（3）对a＞0和a＜0进行分类讨论即可．
【解答】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，
又因为a＜0，
所以4a＜0，a﹣3＜0，
所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，
所以该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．
则当﹣1＜x＜0时，
y随x的增大而增大，
又因为当x＝﹣1时，y＝0，
所以y＞0．
（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，且过定点（0，3），
又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x ，0），（x ，0），且﹣1＜x ＜x ＜4，
1 2 1 2
所以当a＞0时，
a﹣2a+3＜0，
解得a＞3，
故a＞3．
当a＜0时，
a+2a+3＜0，
解得a＜﹣1，
故a＜﹣1．
综上所述，a＞3或a＜﹣1．
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：a＞3或a＜﹣1．
21．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值
如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意 m≤0，由﹣ ＝1，得出 b＝﹣2a，则二次函数为 y＝ax2﹣2ax+1，得出 m＝
a+2a+1≤0，解得a≤﹣ ．
【解答】解：（1）①由题意得 ，
解得 ，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣ ．
22．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣ 2 ，点B的坐标是 （﹣ 1 ， 0 ） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m
的取值范围．
【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析
式，从而可以求出B；
②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解；
（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴
无交点，可得Δ＜0，进而可以得解；
（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函
数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围．
【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；（﹣1，0）．
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣ ．
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x＝﹣ ＝ ．
∴b＝﹣3．
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣ ）2﹣ ．
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m＜﹣ ．
23．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精
确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也
可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）
x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；
（2）当a＝﹣ 时，不符合题意；当a≠ 时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣ 或x＝
，即x＝ ＝2﹣ ，因a是整数，故当2a+1是6的因数时， 是整数，可得2a+1＝
﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分别解方
程并检验可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【解答】（1）证明：当a＝﹣ 时，函数表达式为y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣ ，
∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠ 时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当a＝﹣ 时，不符合题意；
当a≠﹣ 时，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣ 或x＝ ，
∵x＝ ＝2﹣ ，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时， 是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣ 或a＝﹣2或a＝﹣ 或a＝﹣1或a＝0或a＝ 或a＝1或a＝ ，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
24．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；
（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数
最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：
，
解得： ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：x ＝18，x ＝22
1 2
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，w最大 ＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
25．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当
球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原
点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移
动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y
＝﹣ （x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣ ×4+3＝ ＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣ （x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）
代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O
正上方2.25m处．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣ （x﹣2）2+3；
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当x＝0时，y＝﹣ ×4+3＝ ＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣ （x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣ （0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
26．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣
1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE
上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0
即可求得F点的坐标；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，直线过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，则
点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点 ，代入即可；
（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴抛物线表达式为 ，
当 y＝0 时， ，
解得 x ＝﹣2 （舍去），x ＝4，
1 2
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴F（4，0）；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，
∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴直线CE的表达式为 ，
设 点 ， 则 点 Q 向 左 平 移 2 个 单 位 ， 向 上 平 移 3 个 单 位 得 到 点
，
将 代入 ，
解得 t ＝﹣4，t ＝4 （舍去），
1 2
∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；
（3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
∴顶点坐标为 （1，﹣9a），
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0＜﹣9a＜3，
解得 ，
②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，
，
解得
综上所述，a的取值范围为 或 ．
（建议用时：45分钟）
1．（2024•泸县一模）对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣ （x﹣5）2+3中k＝﹣ ＜0，
∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（5，3），
故选：D．
2．（2023•西安一模）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
令x＝0，则y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A、B、C选项错误；D选项正确．
故选：D．
3．（2023•横山区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y ）（1，y ）（3，y ）都在该抛物线上，
1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＜y ＜y C．y ＞y ＞y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 1 2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据 A，B，C三点与对称轴的距离大小关系
求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵0﹣1＜1﹣1＜3﹣1，
∴y ＞y ＞y ，
2 1 3
故选：D．
4．（2024•深圳模拟）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线
的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+3）2+1
C．y＝﹣（x﹣3）2+1 D．y＝﹣（x+1）2+7
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据“上加下减，左加右减“的平移方法可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析
式为y＝﹣（x+2﹣1）2+4﹣3＝﹣（x+1）2+1；
故选：A．
5．（2024•应县一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，
则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得a＞0，b＜0，c＞0，由此即可得出：
二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，对称轴x＝﹣ ＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四
个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＜0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，对称轴x＝﹣ ＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：C．
6．（2023•定远县二模）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b与二次函数y＝bx2+ax的图象可能是（
）
A． B． C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+ax的图象相比
是否一致即可得到答案．
【解答】解：A、由抛物线可知， ，得a＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项
不符合题意；
B、由抛物线可知， ，得a＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知， ，得a＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意；
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D、由抛物线可知， ，得a＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（2024•碑林区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＜0）经过A（m﹣3，y ），B（m+1，y ）两点，
1 2
若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y ＞y ，则m的值可能是（ ）
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，再根据题意得出点A在对称轴直线x＝
2的左侧，点B在对称轴直线x＝2的右侧列不等式组求出m的取值范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴直线为：x＝﹣ ＝2，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y ＜y ，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，
1 2
∴点A在对称轴x＝2的左侧，点B在对称轴x＝2的右侧，
由题意可得： ，
解得3＜m＜5，
故选：D．
8．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y ），B（n，y ），C（n+3，y ）三
1 2 3
点，y ＝y ．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
1 3
A．﹣5 B．3 C． D．4
【分析】根据y ＝y ，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为 y＝（x﹣2）2+c，再
1 3
由1﹣n≤x≤n，可得点B在点A的右侧， ，然后分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵y ＝y ，
1 3
∴A，C两点关于对称轴对称．
∴ ，
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c．
∵1﹣n≤x≤n，
∴点B在点A的右侧，且有1﹣n≤n，
∴ ．
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当x＝n时，二次函数取到最小值为y＝（n﹣2）2+c，
∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得 （舍去）．
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2﹣（1﹣n）
＝1+n．B到对称轴的距离为 n﹣2，当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为 y＝（1﹣n﹣2）2+c＝
（n+1）2+c；
当x＝2时，二次函数取到最小值为y＝c，
∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．
综上，n＝3．
故选：B．
9．（2024•雁塔区校级二模）点P（t，n）在以直线x＝1为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则t
﹣n的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的对称轴为x＝1，可得出a＝﹣2，将P（t，n）代入二次函数解析式中，可得出
，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+ax+4的对称轴为x＝1，
∴ ，
∴a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4，
∵点P（t，n）在二次函数y＝x2﹣2x+4的图象上，
∴n＝t2﹣2t+4，
∴ ，
∴当 时，t﹣n取得最大值，最大值为 ，
故选：A．
10．（2024•旺苍县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横
坐标分别为x ，x 其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＜0；
1 2 1 2
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④4ac﹣b2＞8a；⑤a≤﹣1，其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵0＜﹣ ＜1，
又∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵﹣ ＜1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝2，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵ ＞2，
而a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，所以④错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1，所以⑤错误；
故选：A．
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2024•鞍山模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将
是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具
有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t ＝1，t ＝3，
1 2
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t ＝0，t ＝4，
1 2
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
12．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2﹣mx+c＞n的解为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴ax2﹣mx+c＞n
∴ax2+c＞mx+n的解集为x＜﹣1或x＞3，
故选：C．
13．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴
交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞
0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的对称性即可求得对称轴，即可判断②；根据抛物线开口方向、对称轴，与y轴
的交点即可判断出①；根据图象即可判断③④；根据函数的最值即可判断出⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴对称轴为直线x＝ ＝﹣1，故②正确；
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，
∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
14．（2023•西湖区校级二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过不同的两点A（2﹣m，n），B（m，
n），下列说法正确的是（ ）
A．若m＞2时都有n＞c，则a＜0
B．若m＞1 时都有n＜c，则a＜0
C．若m＜0时都有n＞c，则a＞0
D．若m＜0时都有n＜c，则a＞0
【分析】根据A、B两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线 x＝1，再由对称轴公式即可求得
答案；
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2﹣m，n），B（m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝1．
对于A选项，若m＞2时，
∴2﹣m＜0＜1．
又n＞c，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a＞0，故A不符合题意．
对于B选项，若m＞1 时，
∴0＜1＜m．
此时（0，c）关于对称轴对称的点为（2，c），
若n＜c，
∴a＞0或a＜0．
∴选项B不符合题意．
若m＜0时，
∴m＜0＜1．
又n＞c，
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a＞0，故C符合题意．
若m＜0时，
∴m＜0＜1．
又n＜c，
∴此时，y随x的增大而增大．
∴抛物线开口向下．
∴a＜0，故D不符合题意．
故选：C．
15．（2023•紫金县一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y
轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，
4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD＝CE＝4，从而得出A的纵坐标为8，设点
A坐标为（m，8），将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形，
∴CD＝CE＝4，
设点A横坐标为m，则A（m，8），
代入y＝x2得m2＝8，
解得m＝2 或m＝﹣2 （舍去）．
∴AB＝2m＝4 ．
故选：B．
16．（2024•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（﹣1，0），且其对称轴是直
线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x ＝﹣ 1 ， x ＝ 5 ．
1 2
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣
1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（5，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
故答案为：x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
17．（2022•洛阳三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： y ＝﹣ 2 x 2 ﹣ 1 6 x +3 4 （答案不唯一） ．
【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x＝﹣ ＝4，顶点到x轴的距离为2，即可
得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的
抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣ ＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣ ＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则 ，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则 ，
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
18．（2024•鞍山模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与
y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB ＝3时，点P的坐标为 （ 1 ，
4 ）或（ 2 ， 3 ） ．
【分析】先求出A，B，C坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PE⊥x轴于点E，交
BC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），可得PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，再根
据S△PCB ＝3得出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0）和C（0，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵S△PCB ＝3，
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ PG•OB＝3，即 （﹣t2+3t）×3＝3，
解得：t ＝1，t ＝2，
1 2
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3），
故答案为：（1，4）或（2，3）．
19．（2023•成都模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如（﹣1，1），（2023，﹣2023）都是“黎点”．若抛物线y＝ax2﹣9x+c（a，c为常数）
上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，c的取值范围是 0 ＜ c ＜ 1 6 ．
【分析】抛物线y＝ax2﹣9x+c（a，c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣9x+c＝﹣x
（a≠0）有且只有一个解，即Δ＝64﹣4ac＝0，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣9x+c上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣9x+c＝﹣x（a≠0）有且只有一个解，
方程整理可得ax2﹣8x+c＝0，
即有Δ＝64﹣4ac＝0，
解得ac＝16，
∴ ，
∵a＞1，
∴0＜c＜16．
故答案为：0＜c＜16．
20．（2024•历下区校级模拟）如图，抛物线C 的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得
1
到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为 ．
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，设直线y＝x
与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，然后解方程组求出
点M坐标，求出OM即可．
【解答】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，
设直线y＝x与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，
∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
联立方程组得： ，
解得 或 ，
∴点M坐标为（ ， ），
∴OM＝ × ＝ ，
即OB＝ ，
∵对称性，
∴OA＝OB，
∴△OAB的面积为 OB2＝ ×（ ）2＝ ．
故答案为： ．
21．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过
A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点．
（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x
的增大而减小，求k的取值范围；
（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求
a的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）先求出对称轴为：直线x＝2，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；
（3）分a＞0时，a＜0时，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，
得： ，
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得： ；
（2）∵抛物线经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
∵抛物线开口向下，
当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3≥2，即k≥5；
（3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5，
解得： ，抛物线不经过点 N，
如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知： ；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则 ＝ ＝5，
解得：a ＝﹣1，a ＝ ，
1 2
当a ＝﹣1时， ＝ ＝1，
1
此时，定点横坐标满足﹣6≤ ﹣ ≤2，符合题意；
当a ＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点，
1
如图③，
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当a ＝ 时， ＝ ＝13，
2
此时顶点横坐标不满足﹣6≤ ≤2，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x
﹣6a﹣2，得：
5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2，
解得：a＝ ，
当a＝ 时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N，
结合图象可知：a＜ 时，抛物线与线段MN有一个交点，
综上所述：a的取值范围为：a≥ 或a＝﹣1或a＜ ．
22．（2023•永兴县二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′＝ ，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中， F 、 H 的“关联点”在函数
y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣
4＜y′≤4，求实数a的取值范围．
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G
（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标
代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；
（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3；当m＜0时，点M（m，﹣2），则﹣2＝m+3，解方程即
可求解；
（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，
而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于
0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．
【解答】解：（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），
点F（2，5）的“关联点”是（2，5），
点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），
点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），
将点的坐标代入函数y＝2x+1，
得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，
故答案为：F、H；
（2）当m≥0时，点M（m，2），
则2＝m+3，解得：m＝﹣1（舍去）；
当m＜0时，点M（m，﹣2），
﹣2＝m+3，解得：m＝﹣5，
∴点M（﹣5，﹣2）；
（3）如图为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，
而﹣2＜x≤a，
函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，
直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，
即﹣4＝﹣a2+4，解得：a＝±2 （舍去负值），
观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a＜2 ．
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
23．（2024•涧西区校级一模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度 AB为20米时，拱顶点O距
离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为 3米（横截面可看作是长
为5m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【分析】（1）求出A的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
（2）根据题意得出x＝2.5 时y的值，即可得出水面所在直线为y＝﹣ ，从而可得答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A（﹣10，﹣4），
∴﹣4＝100a，
解得：a＝﹣ ，
∴该抛物线的解析式y＝﹣ x2；
（2）在y＝﹣ x2中，设x＝ 得y＝﹣ ，
∵﹣ ﹣3＝﹣ ，
∴水面所在直线为y＝﹣ ，
在y＝﹣ x2中，令y＝﹣ 得：﹣ ＝﹣ x2，
解得x＝ 或x＝﹣ ，
∵ ﹣（﹣ ）＝5 （m），
∴此时水面的宽度为5 m．
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
24．（2024•镇海区校级模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低
于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售
单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w元最大？最大利润是多少
元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售
单价x的范围．
【分析】（1）销售量＝原来的销售量﹣10×提升的价格，把相关数值代入化简即可；
（2）利润＝每件纪念品的利润×销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的
符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和
最大利润；
（3）让（2）中的利润﹣200得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、
函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价x的取值范围．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．
∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝57．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；
答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200．
∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．
当﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200时，
﹣10x2+1140x﹣32000＝0．
x2﹣114x+3200＝0，
（x﹣50）（x﹣64）＝0．
∴x ＝50，x ＝64．
1 2
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52．
答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50≤x≤52．
25．（2023•柘城县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴正半轴
的交点坐标是（1，0），对称轴为直线x＝﹣2．
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求抛物线的解析式．
（2）点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为a+4，将A，B两点之间的部分
（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h．
①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值；
②当0＜h＜9时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ，解得b＝﹣4．把（1，0）代入y＝
﹣x2﹣4x+c中，得0＝﹣1﹣4+c．解得c＝5．最后得出抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①再根据A，B两点的纵坐标相等， ，解得a＝﹣4，得出A（﹣4，5），B（0，
5），最终得出G的最高点的纵坐标为﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5＝9，最低点的纵坐标为5，进而求得h
＝9﹣5＝4；
②分四种情况讨论：先求出h关于a的表达式，根据0＜h＜9可得关于a的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴ ，解得b＝﹣4．
把（1，0）代入y＝﹣x2﹣4x+c中，得0＝﹣1﹣4+c．
解得c＝5．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①∵A，B两点的纵坐标相等，
∴ ，
解得a＝﹣4．
∴A（﹣4，5），B（0，5），
∴图象G的最高点的纵坐标为﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5＝9，最低点的纵坐标为5，
∴h＝9﹣5＝4；
②当x＝a时，y＝﹣a2﹣4a+5，
当x＝a+4时，y＝﹣a2﹣12a﹣27，
当a+4＝﹣2时，a＝﹣6，
Ⅰ．当a＜﹣6时，h＝﹣a2﹣12a﹣27﹣（﹣a2﹣4a+5）＝﹣8a﹣32；
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵0＜h＜9，
∴0＜﹣8a﹣32＜9，
解得：﹣ ＜a＜﹣4，
∵a＜﹣6，
∴此种情况不存在；
Ⅱ．当a＞﹣2时，h＝﹣a2﹣4a+5﹣（﹣a2﹣12a﹣27）＝8a+32，
∵0＜h＜9，
∴0＜8a+32＜9，
解得：﹣4＜a＜﹣ ，
∵a＞﹣2，
∴此种情况不存在；
Ⅲ．当﹣6≤a≤﹣4时，h＝9﹣（﹣a2﹣4a+5）＝a2+4a+4，
∵0＜h＜9，
∴0＜a2+4a+4＜9，
解得：﹣5＜a≤﹣4；
Ⅳ．当﹣4＜a≤﹣2时，h＝a2﹣2a+1，
∵0＜h＜9，
∴0＜a2﹣2a+1＜9，
解得：﹣4＜a＜﹣3；
综上，a的取值范围为：﹣5＜a＜﹣3．
26．（2024•石家庄一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点 A处
起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里
OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平
距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与
水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣ +bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水
平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 （ 0 ， 7 0 ） ，点P的坐标是 （ 4 0 ， 3 0 ） ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣ +bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水
平距离．
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据题意可知直接求出A，P坐标；
（2）把A，P坐标代入y＝﹣ +bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐
标，计算纵坐标的差可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣ +bx+c得：
，
解得 ，
所以二次函数的表达式为y＝﹣ x2+ x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则 ，
解得： ，
所以线段BC的关系式为y＝﹣ x+60，
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设M（a，﹣ a2+ a+70），则N（a，﹣ a+60），
则MN＝﹣ a2+ a+70+ a﹣60＝﹣ a2+ a+10＝﹣ （a﹣18）2+30.25，
∵﹣ ＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
27．（2024•碑林区校级一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息．如图所示，某窑洞口的
下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝3米，AB＝2米，窑洞的最高点M（抛物线
的顶点）离地面OA的距离为 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D、E在矩形OABC的边BC上，点F、
G在抛物线上，那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点G（ ﹣m，2+2m），将点G的坐标代入二次函数表达式得：2+2m＝﹣ （ ﹣m
﹣ ）2+ ，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，点M、B的坐标分别为：（ ， ）、（3，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣ ）2+ ，
将点B的坐标代入上式得：2＝a（3﹣ ）2+ ，
解得：a＝﹣ ，
则抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣ ）2+ ；
（2）设正方形的边长为2m，
由题意得，点G（ ﹣m，2+2m），
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
将点G的坐标代入二次函数表达式得：2+2m＝﹣ （ ﹣m﹣ ）2+ ，
解得：m＝ （米），
故正方形窗户DEFG的边长为1米．
67
