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专题 3-5 二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函
数
01 题型·解读
【题型1】焦点与准线
例题12－1
例题12—2
湘潭市·中考真题
广东深圳·中考真题
四川自贡·中考真题
宜宾·中考真题
山东滨州·中考真题
2023·湖北鄂州中考真题
2022·湖北鄂州中考真题
【题型2】焦半径倒数和为定值
广西南宁·中考真题
【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
2023·湖南怀化中考真题
湖南张家界·中考真题
【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
2023·辽宁鞍山中考真题
2023·黑龙江绥化中考真题
2023·江苏南通中考真题
2023·辽宁锦州中考真题
2023·辽宁盘锦中考真题
【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
2023·广东广州中考真题
2022·吉林中考真题
广东深圳·中考真题
2023·辽宁大连中考真题
2022·四川绵阳中考真题
【题型6】 解答题压轴题纯含参二次函数问题
2023年浙江省绍兴市中考真题
2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2023年浙江省丽水市中考真题
2023年江苏省南通市中考真题
2023年江苏省淮安市中考真题
2022•北京中考真题
2022•安顺中考真题
2022•长沙中考真题
2022•广州中考真题
2022•贵阳中考真题
2022•天津中考真题
2022•嘉兴中考真题
2022•杭州中考真题
2022•连云港中考真题
02 满分·技巧
二次函数的焦点与准线
我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线
上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直
线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内
容，高中内容下放也是中考中所常见的．
我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点 M(x，y)到定点
的距离与它到定直线 的距离相等，则动点 M 形成的图形就叫抛物线
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结论1：对于抛物线 焦点坐标为 ，准线为直线
焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是 只是为了焦点坐标便于计算．
至于形如 的抛物线可化为顶点式 然后通过由 平移来确定
焦点和准线．
结论2：如下图，FM⊥FN．
证明：设 ， ，则 ，
∴ ，
∴FM⊥FN．
结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
证明：倍长中线证两次全等．
结论4：记MN与y轴交于点 ， ．
03 核心·题型
【题型1】焦点与准线
例题12－1
1．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点 的距离与到 轴的距离
相等．如图，点 的坐标为 ， 是抛物线 上的一个动点，求 周长的
最小值．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ，由点 在抛物线上可得出 ，结合
点到直线之间垂线段最短以及 为定值，即可求得 周长的最小值．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ，此时 的周长最小．
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∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ；
由题意，得 ，
所以 周长的最小值 ．
例题12—2
2．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点
的距离与它到定直线 的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线
(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛
物线的解析式．
(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】
(1)由题意得： ，
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过点M作MB⊥直线y＝4，垂足记为B点，则MB＝|y－(－4)|＝|y＋4|，
两边平方，化简得：
故M点形成的抛物线的解析式为
（2）过P点做 ⊥直线 故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．
过点D作直线 的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，
为最小值，此时P点坐标为 ．
湘潭市·中考真题
3．如图，点P为抛物线 上一动点
(1)若抛物线 是由抛物线 通过图像平移得到的，请写出平移的过
程；
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(2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为(0，－1)，过点 P 作
于M．
①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，
求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．
【答案】（1）向上平移1个单位，再向右2个单位；（2）①（0，1），②6
【详解】分析：（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．
（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；
②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．
详解：（1）∵抛物线 的顶点为（﹣2，﹣1）
∴抛物线 的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线 的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．
法一：先考虑特殊位置找出F点，再证明一般情况成立
考虑特殊位置，当P点在顶点B时，可得F点坐标为(0，1)或(0，-1)(舍掉)，以下证明P在抛物线
任意位置，均满足PF=PM：
没P点坐标为 ，则 ，
， ，
∴当F点坐标为(0，1)时， 恒成立.
法二：如图一，过点P作PB⊥y轴于点B
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设点P坐标为 ,∴ ,∵
∴ 中
∴OF=1∴点F坐标为（0，1）
②由①，PM=PF， 的最小值为 的最小值
当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标与M纵坐标绝对值的和6．
∴QP+PF的最小值为6．
广东深圳·中考真题
4．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶
点为D．
（1）求解抛物线解析式；
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（2）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： 作垂线，垂足为E，试问在该抛物
线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在， ．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有 、进而求得ME，然后分别通过
线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴ =-
∴ ，即
∴ ．
四川自贡·中考真题
5．如图，已知直线AB与抛物线 相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点
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(1)求抛物线C函数表达式；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
到直线 的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】⑴ ；⑵存在. 当 时，无论 取任何实数，均有 . 理由见解
析.
【分析】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得， ，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为： ；
（2）问题已经很明显了， 是抛物线准线，我们要求的F是焦点．
易求抛物线对称轴为直线x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明．
当点P在抛物线顶点时，P点坐标为(1，4)，此时点P到直线 的距离为 故此时点P到点F
的距离也为 满足条件的F点坐标有 考虑到 在直线 上，故需舍去，
F点可能的坐标只有
【常规法】：∴对称轴为直线x=1， 当y=0时，x=-1，x=3，
1 2
∴抛物线与x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y= 的垂线，垂足为N，H，
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抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y= 的距离，设F
（1，a），连接BF，CF，则BF=BN= -3= ，CF=CH= ，
由题意可列： ，解得，a= ，∴F（1， ）．
宜宾·中考真题
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线
与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)知 为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与
点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【分析】(1)抛物线：
(2)不难猜测直线1是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点．
当M点在顶点位置时，M点到直线l的距离为1，故此时F点应为(2，1)．
下证明M在抛物线任意位置，均有点M到直线l的距离与点M到点F的距离相等．
山东滨州·中考真题
7．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定
点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使 DFQ的周长最小，并求此时
DFQ周长的最小值及点Q的坐标． △
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【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，－1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2－
1，把点B坐标代入求出a即可．
（2）如图，过点 Q 作 QH⊥直线 l 于 H，过点 D 作 DN⊥直线 l 于 N．因为 DFQ 的周长＝
DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ，推出DQ+QF的值最小时， DFQ的周长最小，再根据
△
垂线段最短解决问题即可．
△
【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为
由题意，抛物线的顶点为
又 抛物线与 轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ，
∴DQ+QF的值最小时， DFQ的周长最小，
∵QF＝QH，
△
∴DQ+DF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段
DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为 ，此时Q（4，－ ）．
2023·湖北鄂州中考真题
8．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 型抛物线图象．发现：如图1所示，
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该类型图象上任意一点P到定点 的距离 ，始终等于它到定直线l： 的距离
（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，
叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 的中点，
．例如，抛物线 ，其焦点坐标为 ，准线方程为l： ，其
中 ， ．
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线 上一点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线 的焦点为F，准线方程为l．直线m： 交y轴于点C，抛
物线上动点P到x轴的距离为 ，到直线m的距离为 ，请直接写出 的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 平移至 ．抛物线
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内有一定点 ，直线l过点 且与x轴平行．当动点P在
该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例
如：抛物线 上的动点P到点 的距离等于点P到直线l： 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点 是第二象限内一定点，点P是抛物线 上一动点，当 取最
小值时，请求出 的面积．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得 ，然后根据 ，求出
，进而可得 ，问题得解；
（3）过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可
知 ， ，根据两点之间线段最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值
最小；待定系数法求直线 的解析式，求得点 的坐标为 ，根据点 是直线
和直线m的交点，求得点 的坐标为 ，即可求得 和 的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，过点 作
准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，根据两点
之间线段最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值最小；求得 ，即可求得
的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
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∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）知抛物线 的焦点F的坐标为 ，
∵点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴ ，整理得： ，
又∵ ，
∴
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结
论可知 ， ，如图：
若 使 得 取 最 小 值 ， 即 的 值 最 小 ， 故 当 ， ， 三 点 共 线 时 ，
，即此刻 的值最小；
∵直线 与直线 垂直，故设直线 的解析式为 ，
将 代入解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是直线 和抛物线 的交点，
令 ，解得： ， （舍去），
故点 的坐标为 ，
∴ ，
∵点 是直线 和直线m的交点，
令 ，解得： ，
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故点 的坐标为 ，
∴ ，
．
即 的最小值为 ．
（4）解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，
如图：
若 使 得 取 最 小 值 ， 即 的 值 最 小 ， 故 当 ， ， 三 点 共 线 时 ，
，即此刻 的值最小；如图：
∵点 的坐标为 ， 准线 ，
∴点 的横坐标为 ，代入 解得 ，
即 ， ，
则 的面积为 ．
2022·湖北鄂州中考真题
9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，
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该类型图象上任意一点M到定点 F（0， ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ 上
的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y
＝﹣ 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ，例如，抛物线y
＝ x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y＝﹣ ．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝ x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．
若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线
段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：
＝ ＝ ．后人把 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝ x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的
黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 ＝ 时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】(1)（0， ）， ，
(2) ，4）或（ ，4 ）
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(3)
(4) 或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出
， 则 ， 点 B 的 纵 坐 标 为 ， 从 而 求 出 ， 证 明
△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（ ， ），再把点A的坐标代入抛物线解析式中
求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，
先证明△MNH 是等腰直角三角形，得到 NH＝MN，设点 M 的坐标为（m， ），则
，求出 ，然后根据黄金分割点的定义求出 ，则
；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0， ）， ，
故答案为：（0， ）， ，
（2）解：由题意得抛物线y＝ x2的准线方程为 ，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当 时， ，
解得 ，
∴点P的坐标为（ ，4）或（ ，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0， ）直线l的解析式为：y＝﹣ ，
∴ ， ，
∴△FDB∽△FHC，
∴ ，
∵BC＝2BF，
∴CF＝3BF，
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴△AEF∽△BDF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴EF＝2，
∴ ，
∴点A的坐标为（ ， ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去）；
（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，
∵在Rt MNH中， ，
△
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∴∠MHN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH＝MN，
设点M的坐标为（m， ），
∴ ，
∴ ，
∴HN＝2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴ ，
∴ ；
同理当E时靠近H的黄金分割点点， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或
【题型2】焦半径倒数和为定值
广西南宁·中考真题
10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、
B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别
为点M、N．
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：
①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时 的值；
②试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y＝ x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解．
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证．
（3）①k＝0时，求出AM、BN的长，然后代入 计算即可得解；
②设点A（x ， x2﹣1），B（x ， x2﹣1），然后表示出 ，再联立抛物线与直线解析
1 1 2 2
式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出 x+x ，x• ，并求出
1 2 1 2
x2+x2，x2•x2，然后代入进行计算即可得解．
1 2 1 2
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣1．
（2）证明：设点A的坐标为（m， m2﹣1），
则 ．
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2．
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AM＝ m2﹣1﹣（﹣2）＝ m2+1．
∴AO＝AM．
（3）①k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM＝BN＝0﹣（﹣2）＝2，
∴ ．
②k取任何值时，设点A（x， x2﹣1），B（x， x2﹣1），
1 1 2 2
则 ．
联立 ，消掉y得，x2﹣4kx﹣4＝0，
由根与系数的关系得，x+x＝4k，x•x＝﹣4，
1 2 1 2
∴x2+x2＝（x+x）2﹣2x•x＝16k2+8，x2•x2＝16．
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ ．
∴无论k取何值， 的值都等于同一个常数1．
【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
2023·湖南怀化中考真题
11．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)设直线 交抛物线于点 、 ，求证：无论 为何值，平行于 轴的直线
上总存在一点 ，使得 为直角．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 、 ， 的中点坐标为 ，联立 ，消去
，整理得： ，得出 ，则 ，
设 点到 的距离为 ，则 ，依题意， ，
， 得 出
，则 ， ， 点总在 上， 为直径，且 与 相切，
即可得证．
【详解】（1）解：将 代入 ，得
，解得： ，∴抛物线解析式为： ；
（2）解：设 、 ， 的中点坐标为 ，
联立 ，消去 ，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 点到 的距离为 ，则 ，
∵ 、 ，
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∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 点总在 上， 为直径，且 与 相切，
∴ 为直角．
∴无论 为何值，平行于 轴的直线 上总存在一点 ，使得 为直角．
湖南张家界·中考真题
12．如图，已知二次函数 a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋
b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．
(1)求a值并写出二次函数表达式；
(2)求b值；
(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：
【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
MB＝MC；
(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
13．如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线
的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．设点M运动的路程为
， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出
结论．
【详解】解： ，
，
，
，
故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
2023·辽宁鞍山中考真题
14．如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ， ，垂直于 的直线
从 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线 与 重合时停止运
动，运动过程中 分别交矩形的对角线 于点E，F，以 为边在 左侧作正方形
，设正方形 与 重叠部分的面积为S，直线 的运动时间为ts，则下列图
象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出 在 点左侧时的两段图象，即可得出结论．
【详解】解：当 在 点左侧，即： 时：
①当正方形 的边 在 的外部时，重叠部分为矩形，如图：
设 分别交 于点 ，
∵垂直于 的直线 从 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，
∴ ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形 的边 在 的内部时，与 重叠部分即为正方形 ，如图：
由①可知： ，
∴ ，图象是一段开口向上的抛物线；
当 过点 时，即 时， 重合，此时， ；
综上：满足题意的只有B选项
2023·黑龙江绥化中考真题
15．如图，在菱形 中， ， ，动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒 个
单位长度沿折线 向终点 运动；点 以每秒 个单位长度沿线段 向终点 运动，
当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 秒， 的面积为 个平
方单位，则下列正确表示 与 函数关系的图象是（ ）
A． B． C．
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D．
【答案】A
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，根据已知条件得出 是等边三角形，进而证明
得出 ，当 时， 在 上，当 时， 在 上，
根据三角形的面积公式得到函数关系式，
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
当 时， 在 上，
菱形 中， ， ，
∴ ，则 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又
∴
∴
∴ ，
∴
当 时， 在 上，
∴ ，
综上所述， 时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当 时，函数图象是直线的
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
一部分，
故选：A．
2023·江苏南通中考真题
16．如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线 运动到点
停止，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路径长为 ， 的面积为 ，若
与 的对应关系如图所示，则 的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【分析】根据点 运动的路径长为 ，在图中表示出来，设 ，在直角三角形中，
找到等量关系，求出未知数的值，得到 的值．
【详解】解：当 时，由题意可知，
，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
，
，
当 时，由题意可知， ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中由勾股定理得 ，
中，由勾股定理得 ，
即 ，
【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 ，
，
，
．
故选：B．
2023·辽宁锦州中考真题
17．如图，在 中， ， ， ，在 中， ， ，
与 在同一条直线上，点C与点E重合． 以每秒1个单位长度的速度沿线段 所
在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时， 停止运动．设运动时间为t秒， 与
重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 ， ， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作 于H，
，
∵ ， ，
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴
当 时，
如图，重叠部分为 ，此时 ， ，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ；
当 时，
如图，重叠部分为四边形 ，此时 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ；
当 时
如图，重叠部分为四边形 ，此时 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
综上， ，
∴符合题意的函数图象是选项A．
2023·辽宁盘锦中考真题
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正
半轴上， ， ．点M在菱形的边 和 上运动（不与点A，C重合），过
点M作 轴，与菱形的另一边交于点N，连接 ， ，设点M的横坐标为x，
的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在 ， ， 之间三个阶段，
用含x的代数式表示出 的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解： 菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
， ，
，
，
， ， ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
轴，
【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 ， 上的高为 ，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
由 ， 可得直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件
【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
2023·广东广州中考真题
19．如图，在 中， ， ， ，点M是边 上一动点，点D，E
分别是 ， 的中点，当 时， 的长是 ．若点N在边 上，且
，点F，G分别是 ， 的中点，当 时，四边形 面积S的取值范
围是 ．
【答案】
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【分析】根据三角形中位线定理可得 ，设 ，从而 ，由此
得到四边形 是平行四边形，结合 边上的高为 ，即可得到函数解析式，进而得到
答案．
【详解】解：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
如图，设 ，
由题意得， ，且 ，
∴ ，
又F、G分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
由题意得， 与 的距离是 ，
∴ ，
∴ 边上的高为 ，
∴四边形 面积 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
2022·吉林中考真题
20．如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，以 的速
度沿边 向终点 匀速运动．以 为一边作 ，另一边 与折线 相交
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于点 ，以 为边作菱形 ，点 在线段 上．设点 的运动时间为 ，菱形
与 重叠部分图形的面积为 ．
(1)当点 在边 上时， 的长为 ；（用含 的代数式表示）
(2)当点 落在边 上时，求 的值；
(3)求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
【答案】(1)2x
(2)1
(3)
【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，
即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分类讨论：当 时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠
的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q
点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点
作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN
的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出
当Q点在C点时的临界条件；当 时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，
过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．
【详解】（1）当Q点在AC上时，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，
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∴AP=2x，
∴PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图，
在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四边形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x， ，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵ ，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
△
∴△MNB是等边三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；
（3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），
即x的取值范围为： ，
当M点刚好在BC上时，
在（2）中已求得此时x=1，
分情况讨论，
即当 时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，
∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，
过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°= ，
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∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为： ；
当x＞1，且Q点在线段AC上时，
过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，
如图，
∵ ，
∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，
∴△ENB是等边三角形，
同理可证明△MEF是等边三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，
∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵MH⊥EF，
∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°= ，
∴△MEF的面积为： ，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°= ，
∵菱形PQMN的面积为 ，
∴重叠部分的面积为 ，
当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，
∵∠CPB=∠CBA=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，
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∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，
则x= ，
即此时重合部分的面积为： ， ；
当 时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如
图，
∵AP=2x，
∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°= ，
∴ ，
∴此时重叠部分的面积 ，
综上所述： ．
广东深圳·中考真题
21．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点
为D．
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（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将 OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 ，
点O、B、C的对应点分别为点△ ， ， ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．
记 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分0<t<1、 、 三种情况解答即可；
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）
∵A(-3,0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ，解得：
∴直线AD的解析式为y=2x+6,
当 在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0<t<1时，
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t
∵O＇C//OC
∴△ ∽△O M
∴ ,即 ，解得：OM=3(1-t)
S= S - S
O＇B＇C＇ OMB＇
△
= △
②当 时， 完全在四边形AOCD内，
③当 时，如图所示，过G点作GH⊥ ，设HG=x，
∵GH//AB
∴ ,∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴ ，
∵直线AD的解析式为y=2x+6,
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
∴ ,
∴ ,KO＇=2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇= C＇K+AO＇
∴
∴
S=S - S
O＇B＇C＇ C＇GK
△ △
=
∴
综上： ；
2023·辽宁大连中考真题
22．如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交于点 ， 为线段 上一
动点（不与点 重合），过点 作 轴交直线 于点 ． 与 的重叠面积为
． 关于 的函数图象如图2所示．
(1) 的长为_______________； 的面积为_______________．
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据函数图象即可求解．
（2）根据（1）的结论，分 ， ，根据 与 的重叠面积为 ，分别求解即
可．
【详解】（1）解：当 时， 点与 重合，此时 ，
当 时， ，即 点与 点重合，
∴ ，则 ，
故答案为： ， ．
（2）∵ 在 上，则 设 ，
∴
∴ ,则
当 时，如图所示，设 交 于点 ，
∵ ， ，
则
∴
当 时，如图所示，
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
∴
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
综上所述： ．
2022·四川绵阳中考真题
23．如图，平行四边形ABCD中，DB＝ ，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E
沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止
运动．
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设
CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF
的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
【答案】(1)
(2)y关于x的函数解析式为 ；当 时，y的最大值为
；
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得 ，可得 ，根据题意
可得AF= ，AE= ，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当 时，E点在BD上，
F点在AB上；当 时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
【详解】（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，
【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，∴ ，∴ ，
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为 秒，
∴AF= ，AE= ，∵AB=4，AD=2，∴BF= ， ED= ，∴ ，
∴BG=1，∴CG=3，∵ ，∴△PDE∽△PGC，∴ ，∴ ；
（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x， ，
∵ ， AB=4，AD=2，
∴ ，
∴△ABD是直角三角形，
∵ ，
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作 交于H，
∴ ，
∴ ；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
当 时，E点在BD上，F点在AB上，
如图， 过点E作 交于N，过点D作 交于M，则EN∥DM，
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据题意得：DE=x-2，
∴ ，
在Rt ABD中， ，AM=1，
∵EN∥DM，
△
∴△BEN∽△BDM，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
此时该函数图象的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
此时当 时，y有最大值 ；
当 时，点E、F均在BD上，
过点E作 交于Q，过点F作 交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴ ，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴ ， ，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
∴ ，即 ，
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∵ ，
∴△BEQ∽△BDM，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
此时y随x的增大而减小，
此时当 时，y有最大值 ；
综上所述：y关于x的函数解析式为
当 时，y最大值为
【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题
2023年浙江省绍兴市中考真题
24．已知二次函数 ．
(1)当 时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当 时，求 的取值范围．
(2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)① ；②当 时，
(2)
【分析】（1）①将 代入解析式，化为顶点式，即可求解；
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②已知顶点 ，根据二次函数的增减性，得出当 时， 有最大值7，当 时取得最小值，
即可求解；
（2）根据题意 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，得出抛物线的对称轴 在
轴的右侧，即 ，由抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，可知 ，根据顶点坐标
的纵坐标为3，求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：①当 时， ，
∴顶点坐标为 ．
②∵顶点坐标为 ．抛物线开口向下，
当 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值7．
又
∴当 时取得最小值，最小值 ；
∴当 时， ．
（2）∵ 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在 轴的右侧，
∴ ，∵抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，
∴ ，又∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴二次函数的表达式为 ．
2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题
25．在二次函数 中，
(1)若它的图象过点 ，则t的值为多少？
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
(3)如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
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（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分 ，当 时，函数值最小，以及
，当 时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由 关于对称轴对称得 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定
抛物线与y轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点为 ，结合已知确定出 ；再分类
讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将 代入 中，
得 ，
解得， ；
（2）抛物线对称轴为 ．
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 ．
，
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 （不合题意，舍去）
综上所述 ．
（3） 关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得 ．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得 ，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述 或 ．
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2023年浙江省丽水市中考真题
26．已知点 和 在二次函数 是常数， 的图像上．
(1)当 时，求 和 的值；
(2)若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
(3)求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由 可得图像过点 和 ，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线 ，则抛物线过点 ，即 ，然后再结合
即可解答；
（3）根据图像的对称性得 ，即 ，顶点坐标为 ；将点 和
分别代入表达式并进行运算可得 ；则 ，
进而得到 ，然后化简变形即可证明结论．
【详解】（1）解：当 时，图像过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵函数图像过点 和 ，
∴函数图像的对称轴为直线 ．
∵图像过点 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵图像过点 和 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∴ ，顶点坐标为 ．
将点 和 分别代人表达式可得
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① ②得 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
2023年江苏省南通市中考真题
27．定义：平面直角坐标系 中，点 ，点 ，若 ， ，其中 为常数，
且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
(1)函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”?若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由；
(2)点 与其“ 级变换点” 分别在直线 ， 上，在 ， 上分别取点 ，
．若 ，求证： ；
(3)关于x的二次函数 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在
直线 上，求n的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)见解析
(3)n的取值范围为 且
【分析】（1）根据“ 级变换点”定义求解即可；
（2）求出点 的坐标为 ，得到直线 ， 的解析式分别为 和 ，
根据 进行证明．
（3）由题意得，二次函数 的图象上的点的“1 级变换点”都在函数
的图象上，得到函数 的图象与直线 必有公共
点．分当 时和当 ， 时分类讨论即可．
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【详解】（1）解：函数 的图象上存在点 的“ 级变换点”
根据“ 级变换点”定义，点 的“ 级变换点”为 ，
把点 代入 中，
得 ，解得 ．
（2）证明： 点 为点 的“ 级变换点”，
点 的坐标为 ．
直线 ， 的解析式分别为 和 ．
当 时， ．
，
．
，
．
．
（3）解：由题意得，二次函数 的图象上的点的
“1级变换点”都在函数 的图象上．
由 ，整理得 ．
，
函数 的图象与直线 必有公共点．
由 得该公共点为 ．
①当 时，由 得 ．
又 得 ，
且 ．
②当 ， 时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为 且 ．
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2023年江苏省淮安市中考真题
28．已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图像与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
①则 的值是_________，点 的坐标是_________；
②当 时，借助图像，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 和 的值以
及 的取值范围．
【答案】(1)① ② 或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令 ，求出点 的坐标即可；②画出函数图像，
图像法求出 的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，得到
和 关于对称轴对称，进而求出 的值，得到 为 的函数值，求出 ，推出直线
过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与 轴交于 两点，点 坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
故答案为： ；
② ，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图像如下：
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由图可知：当 时， 或 ；
（2）∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
∵对于一切实数 ，若函数值 总成立，
∴ ；
（3）∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
又当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，
∴直线 与抛物线的两个交点为 ，直线 在抛物线的下方，
∴ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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当 时， 有最小值 ，
∴ ．
2022·北京中考真题
29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物
线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
思路引领：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对
称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x 的取值范围．
0
解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
{ m=a+b+c
∴ ，
n=9a+3b+c
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
b −4a
∴抛物线的对称轴为直线x=− =− =2；
2a 2a
∴t＝2，
∵c＝2，
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∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，
1+3
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x= ，
2
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
3a b 4a 3
∴ ＜− ＜ ，即 ＜t＜2．
2a 2a 2a 2
由题意可知，点（x ，m）与点（1，m）关于x＝t对称；
0
x +1
∴t= 0 ；
2
3
当t= 时，x ＝2；
2 0
当t＝2时，x ＝3．
0
∴x 的取值范围2＜x ＜3．
0 0
3
综上，t的取值范围为： ＜t＜2；x 的取值范围2＜x ＜3．
2 0 0
2022·安顺中考真题
30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，
1 1
1），（ ， ），（−√2，−√2），……都是和谐点．
2 2
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
5 5
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
2 2
①求a，c的值；
1
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范
4
围．
思路引领：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
5 5
（2）将点（ ， ）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个
2 2
方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，
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y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
5 5
（2）①∵点（ ， ）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
2 2
5 25
∴ = a+15+c，
2 4
25 25
∴c=− a− ，
4 2
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
25
∴a＝﹣1，c=− ；
4
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
2022·长沙中考真题
1 1 M−N
31．若关于x的函数y，当t− ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=
2 2 2
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
2
（2）若函数y= （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
x
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h
的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
1 1 1 1
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+ k+b，N＝kt− k+b，h= k；当k＜0时，M＝kt−
2 2 2 2
1 1
k+b，有N＝kt+ k+b，h=− k；
2 2
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2 2
1 = = 4 1
（2）由题意t− ≥1，M 1，N 1，则h = ，所以h有最大值 ；
2 t− t+ 4t2−1 2
2 2
1 1 1
（3）分四种情况讨论：①当2≤t− 时，M＝﹣（t− −2）2+4+k，N＝﹣（t+ −2）2+4+k，h＝t
2 2 2
1 1 1
﹣2；②当t+ ≤2时，N＝﹣（t− −2）2+4+k，M＝﹣（t+ −2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t
2 2 2
1 5 1 1 3 1
− ≤2≤t，即2≤t≤ ，N＝﹣（t+ −2）2+4+k，M＝4+k，h= （t− ）2；④当t＜2≤t+ ，N
2 2 2 2 2 2
1 1 5 1
＝﹣（t− −2）2+4+k，M＝4+k，h= （t− ）2，画出h的函数图象，结合图象可得 =4+k，解
2 2 2 8
31
得k=− ．
8
解：（1）①∵t＝1，
1 3
∴ ≤x≤ ，
2 2
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
1 1 1 1
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t− ≤x≤t+ 有最大值M＝kt+ k+b，有最小值N＝kt− k+b，
2 2 2 2
1
∴h= k；
2
1 1 1 1
当k＜0时，函数y＝kx+b在t− ≤x≤t+ 有最大值M＝kt− k+b，有最小值N＝kt+ k+b，
2 2 2 2
1
∴h=− k；
2
1
综上所述：h＝| k|；
2
1 3
（2）t− ≥1，即t≥ ，
2 2
2 2
2 = =
函数y= （x≥1）最大值M 1，最小值N 1，
x t− t+
2 2
4
=
∴h ，
4t2−1
3 1
当t= 时，h有最大值 ；
2 2
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
1 5
①当2≤t− 时，即t≥ ，
2 2
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
此时M＝﹣（t− −2）2+4+k，N＝﹣（t+ −2）2+4+k，
2 2
∴h＝t﹣2，
1
此时h的最小值为 ；
2
1 3
②当t+ ≤2时，即t≤ ，
2 2
1 1
此时N＝﹣（t− −2）2+4+k，M＝﹣（t+ −2）2+4+k，
2 2
∴h＝2﹣t，
1
此时h的最小值为 ；
2
1 5
③当t− ≤2≤t，即2≤t≤ ，
2 2
1
此时N＝﹣（t+ −2）2+4+k，M＝4+k，
2
1 3
∴h= （t− ）2，
2 2
1
∴h的最小值为 ；
8
1 3
④当t＜2≤t+ ，即 ≤t＜2，
2 2
1
此时N＝﹣（t− −2）2+4+k，M＝4+k，
2
1 5
∴h= （t− ）2，
2 2
1
∴h的最小值为 ；
8
1
h的函数图象如图所示：h的最小值为 ，
8
1
由题意可得 =4+k，
8
31
解得k=− ；
8
31
综上所述：k的值为− ．
8
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2022·广州中考真题
32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上
4m 4m
时，求G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标．
5 5
思路引领：（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，
m−10
再由a = ＜0，求m的取值即可；
m2
1 { y=−x+7
②由题意求出Q点的横坐标为m+ ，联立方程组 ，整理得ax2+（1﹣2ma）
2 y=a(x−m) 2+7−m
1 1
x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得 m+m+ =2m− ，可求a＝﹣2，从而可求 m＝2或m
2 a
5
=− ，确定抛物线的解析式后即可求解．
2
解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
{ b=7
∴ ，
k+b=6
{k=−1
解得 ，
b=7
∴y＝﹣x+7；
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（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
m−10
=
∴a ，
m2
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
m−10
∴a = ＜0，
m2
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
1
∴Q点的横坐标为m+ ，
2
{ y=−x+7
联立方程组 ，
y=a(x−m) 2+7−m
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
1 1
∴m+m+ =2m− ，
2 a
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
5
解得m＝2或m=− ，
2
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
8 13
图象在 ≤x≤ 上的最高点坐标为（2，5）；
5 5
5 5 19
当m=− 时，y＝﹣2（x+ ）2+ ，
2 2 2
5
此时抛物线的对称轴为直线x=− ，
2
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
4m 4m
综上所述：G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
5 5
2022·贵阳中考真题
33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
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（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，
c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，
求二次函数的表达式．
思路引领：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物
线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＞c＞e＝f．
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＜c＜e＝f．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，
{−1=4a−8a+b
∴ ，
1=a+4a+b
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2
{ a=
9
解得 ，
1
b=−
9
2 8 1
∴y= x2+ x− ．
9 9 9
当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，
2
{a=−
{ b−4a=1 9 2 8 1
∴ ，解得 ．∴y=− x2− x+ ．
a+4a+b=−1 1 9 9 9
b=
9
2 8 1 2 8 1
综上所述，y= x2+ x− 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
2022·天津中考真题
34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）
和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值
时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴
上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
思路引领：（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可
得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为
（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点
N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线
P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，
则P'H⊥N'H．在 Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得 P'N′2＝
4 4 16
P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a = ，a =− （舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，− ），点N′
1 7 2 7 7
12 4 20
的坐标为（2， ）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y= x− ．即可得点E，F的坐标．
7 3 21
解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
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∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
{3k+n=0 { k=2
∴ ，解得 ，
k+n=−4 n=−6
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．
4 4
解得a = ，a =− （舍）．
1 7 2 7
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16 12
∴点P'的坐标为（﹣1，− ），点N′的坐标为（2， ）．
7 7
4 20
∴直线P'N′的解析式为y= x− ．
3 21
5 20
∴点E（ ，0），点F（0，− ）．
7 21
2022·嘉兴中考真题
35．已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原点O
1 2 2
的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，若点B（1，y ），C（3，y ）在抛物
1 3 1 2
线L 上，且y ＞y ，求n的取值范围．
3 1 2
思路引领：（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y
1 3 1
＞y ，构建不等式求解即可．
2
解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L 的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
1
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点（﹣1，﹣4+m），
1 2 2
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
1 3
∵点B（1，y ），C（3，y ）在抛物线L 上，
1 2 3
∴y ＝（2﹣n）2﹣4，y ＝（4﹣n）2﹣4，
1 2
∵y ＞y ，
1 2
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，∴n的取值范围为n＞3．
2022·杭州中考真题
36．设二次函数y ＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
1
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（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y 的表达式及其图象的对称轴．
1
（2）若函数y 的表达式可以写成y ＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
1 1
（3）设一次函数y ＝x﹣m（m是常数），若函数y 的表达式还可以写成y ＝2（x﹣m）（x﹣m﹣
2 1 1
2）的形式，当函数y＝y ﹣y 的图象经过点（x ，0）时，求x ﹣m的值．
1 2 0 0
思路引领：（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y 的表达式为y ＝2（x﹣x ）（x﹣x ），其
1 1 1 2
中x ，x 是抛物线与x轴交点的横坐标；
1 2
（2）把函数y ＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出
1
其最小值；
（3）把y ，y 代入y＝y ﹣y 求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x ，0），把（x ，
1 2 1 2 0 0
0）代入其表达式，形成关于x 的一元二次方程，解方程即可．
0
解：（1）∵二次函数y ＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
1
∴y ＝2（x﹣1）（x﹣2），即y ＝2x2﹣6x+4．
1 1
b 3
∴抛物线的对称轴为直线x=− = ．
2a 2
（2）把y ＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
1
y ＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
1
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y ﹣y
1 2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x ，0），
0
∴（x ﹣m）[2（x ﹣m）﹣5]＝0．
0 0
∴x ﹣m＝0，或2（x ﹣m）﹣5＝0．
0 0
5
即x ﹣m＝0或x ﹣m= ．
0 0 2
2022·连云港中考真题
37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平
移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
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思路引领：（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函
数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
2−m −m2+8m−20
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（ ， ），根
2 4
−m2+8m−20 1
据m＞2， =− （m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的
4 4
顶点在第三象限；
b 4c−b2 b
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 y＝x2+bx+c，其顶点为（− ， ），将（− ，
2 4 2
4c−b2 b2+2b−8 b2+2b−8
）代入y＝﹣x﹣2得c= ，可得OB＝﹣c=− ，过点A作AH⊥OB于
4 4 4
1 1 b2+2b−8 1 9
H，有S = OB•AH= ×（− ）×1=− （b+1）2+ ，由二次函数性质得△AOB面
△AOB 2 2 4 8 8
9
积的最大值是 ．
8
（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
2−m −m2+8m−20
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（ ，
2 4
），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
2−m
∴ ＜0，
2
−m2+8m−20 1
∵ =− （m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
4 4
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
b 4c−b2
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（− ， ），
2 4
当x＝0时，B（0，c），
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b 4c−b2
将（− ， ）代入y＝﹣x﹣2得：
2 4
4c−b2 b
= −2，
4 2
b2+2b−8
∴c= ，
4
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
b2+2b−8
∴OB＝﹣c=− ，
4
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
1 1 b2+2b−8 1 1 1 9
S = OB•AH= ×（− ）×1=− b2− b+1=− （b+1）2+ ，
△AOB 2 2 4 8 4 8 8
1
∵− ＜0，
8
9
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S 取最大值，最大值为 ，
△AOB 8
9
答：△AOB面积的最大值是 ．
8
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