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热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1 二次函数的图象与性质】
满分技巧
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
b b 4ac−b2
x=− (− ， )
2a 2a 4a
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最
值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），
其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】
满分技巧
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
2．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
3．（2023•十堰）已知点A（x ，y ）在直线y＝3x+19上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y＝x2+4x
1 1 2 2 3 3
﹣1上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣12＜x +x +x ＜﹣9 B．﹣8＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣9＜x +x +x ＜0 D．﹣6＜x +x +x ＜1
1 2 3 1 2 3
【题型3 二次函数图象与几何变换】
满分技巧
1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
2．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和
距离是（ ）
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A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
3．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移
1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，
若将反比例函数y＝ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是
．
考向二：二次函数图象与系数的关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
满分技巧
1、二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
a＞0⇔抛物线开口向上 a⋅b＞0⇔对称轴在y轴的左侧 c＞0⇔抛物线与y轴的正半轴相交
a＜0⇔抛物线开口向下 a⋅b＜0⇔对称轴在y轴的右侧 c=0⇔抛物线与原点相交
|a|越大，抛物线开口越窄 b=0⇔对称轴为y轴 c＜0⇔抛物线与y轴的负半轴相交
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝
1，下列结论正确的是（ ）
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A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．点（﹣2，0）在函数图象上
2．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴
为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023•娄底）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y ）和点（3，y ）在该图象上，则y ＞y ；
1 2 1 2
其中正确的结论是（ ）
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A．①② B．①④ C．②③ D．②④
4．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x ，y ），B（x ，y ），C（﹣
1 1 2 2
3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x ＜﹣1，0＜
1
x ＜1时，有y ＜y ；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数
2 1 2
根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知
点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜
0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x ＝﹣3，x ＝2；④k＝ a．其中正确的是
1 2
.（只填写序号）
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型5 抛物线与x轴交点问题】
满分技巧
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的
解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与 x轴交点横坐标、②交点个
数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，
上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
1．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣ x2+bx﹣b2+2c（x为自变
量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
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A．10 B．12 C．13 D．15
2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点
C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ ．
3．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
4．（2023•泰州）二次函数 y＝x2+3x+n 的图象与 x 轴有一个交点在 y 轴右侧，则 n 的值可以是
.（填一个值即可）
5．（2023•黑龙江）如图，抛物线 y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC ＝ S△ABC ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【题型6 二次函数与不等式】
满分技巧
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不
等式，根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx+n与抛物线y ＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结
1 2
合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y ＞y ；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若
1 2
（﹣1，t ），（4，t ）是抛物线上的两点，则t ＜t ；④对于抛物线y ＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，
1 2 1 2 2
y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确结论的个数是（ ）
2 2
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中0＜x ＜1
1 1
下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣ x+c的解集为0＜x
＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向四：二次函数的应用
【题型7 利用二次函数的性质求最值】
满分技巧
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步
骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函
数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
1．（2023•临沂）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近
A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
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数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
2．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，
每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，
当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价
为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元
时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，
请直接写出正确的结论．
【题型8 将实际问题转化为二次函数模型】
满分技巧
题型一：利用二次函数解决抛物线形问题
解决此类问题一般步骤：
①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；
②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。
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题型二：二次函数在实际生活中的应用
利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取
值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
1．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的
三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有
两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面
米．
3．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分
析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球
点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝
﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x
﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 C点的距离更近，请通过计
算判断应选择哪种击球方式．
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（建议用时：40分钟）
1．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
2．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，若x +x ＜
1 1 2 2 1 2
0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
4．（2023•邵阳）已知P （x ，y ），P （x ，y ）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现
1 1 1 2 2 2
有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x ＞x ＞﹣
1 2
2，则y ＞y ；④若y ＝y ，则x +x ＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴
为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y ），（2，y ），（4，y ）均在该二次函
1 2 3
数图象上，则y
1
＜y
2
＜y
3
；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数
根为x ，x ，且x ＜x ，则x ＜﹣1，x ＞3．正确结论的序号为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
7．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝ x2交于A、B两点，设A（x ，y ），
1 1
B（x ，y ），则下列结论正确的个数为（ ）
2 2
①x •x ＝﹣4．
1 2
②y +y ＝4k2+2．
1 2
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
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④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y ），B（n﹣1，y ）两点，若A，B
1 2
分别位于抛物线对称轴的两侧，且y ＜y ，则n的取值范围是 ．
1 2
9．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有
以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x ，
1
y ）、B（x ，y ）是图象上任意两点，且|x +2|＜|x +2|，则y ＜y ，其中正确的结论是（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h
（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
11．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的 3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B
（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图
象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣ ≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣ ≤c＜6 D．﹣4≤c＜5
12．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的
取值范围是（ ）
A． ≤k≤1 B．k≤﹣ 或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
13．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
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D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝ 的左侧
14．（2023•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝
2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
④抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜2＜x 且x +x ＞4，则y ＜y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的
关系是y＝﹣ （x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
16．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：
函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝ x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，
则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
17．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三
点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
18．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
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②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
19．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x ，y ），N（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）
1 1 2 2
上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x ＝1，x ＝2，有y ＝y ，求t的值；
1 2 1 2
（2）若对于0＜x ＜1，1＜x ＜2，都有y ＜y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
20．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．
（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x ，0），（x ，0），且﹣1＜x ＜x ＜4，则a的取值范围
1 2 1 2
是 ．
21．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值
如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
22．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m
的取值范围．
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23．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精
确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也
可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）
x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请
说明理由．
25．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
26．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当
球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原
点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移
动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
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26．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣
1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE
上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
（建议用时：45分钟）
1．（2024•泸县一模）对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
2．（2023•西安一模）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
3．（2023•横山区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y ）（1，y ）（3，y ）都在该抛物线上，
1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＜y ＜y C．y ＞y ＞y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 1 2
4．（2024•深圳模拟）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线
的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+3）2+1
C．y＝﹣（x﹣3）2+1 D．y＝﹣（x+1）2+7
5．（2024•应县一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，
则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（ ）
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A． B． C． D．
6．（2023•定远县二模）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b与二次函数y＝bx2+ax的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2024•碑林区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＜0）经过A（m﹣3，y ），B（m+1，y ）两点，
1 2
若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y ＞y ，则m的值可能是（ ）
1 2
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A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y ），B（n，y ），C（n+3，y ）三
1 2 3
点，y ＝y ．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
1 3
A．﹣5 B．3 C． D．4
9．（2024•雁塔区校级二模）点P（t，n）在以直线x＝1为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则t
﹣n的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2024•旺苍县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横
坐标分别为x ，x 其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＜0；
1 2 1 2
④4ac﹣b2＞8a；⑤a≤﹣1，其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2024•鞍山模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将
是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具
有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
12．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2﹣mx+c＞n的解为（ ）
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A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3
13．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴
交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞
0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023•西湖区校级二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过不同的两点A（2﹣m，n），B（m，
n），下列说法正确的是（ ）
A．若m＞2时都有n＞c，则a＜0
B．若m＞1 时都有n＜c，则a＜0
C．若m＜0时都有n＞c，则a＞0
D．若m＜0时都有n＜c，则a＞0
15．（2023•紫金县一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y
轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，
4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
16．（2024•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（﹣1，0），且其对称轴是直
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线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
17．（2022•洛阳三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
18．（2024•鞍山模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与
y 轴交于点 C．点 P 是此函数图象上在第一象限内的一动点，当 S△PCB ＝3 时，点 P 的坐标为
．
19．（2023•成都模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如（﹣1，1），（2023，﹣2023）都是“黎点”．若抛物线y＝ax2﹣9x+c（a，c为常数）
上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，c的取值范围是 ．
20．（2024•历下区校级模拟）如图，抛物线C 的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得
1
到图形 G，图形 G 分别与 y 轴、x 轴正半轴交于点 A、B，连接 AB，则△OAB 的面积为
．
21．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过
A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点．
（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；
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（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x
的增大而减小，求k的取值范围；
（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求
a的取值范围．
22．（2023•永兴县二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′＝ ，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中， 的“关联点”在函
数y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣
4＜y′≤4，求实数a的取值范围．
23．（2024•涧西区校级一模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度 AB为20米时，拱顶点O距
离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为 3米（横截面可看作是长
为5m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
24．（2024•镇海区校级模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低
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于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售
单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w元最大？最大利润是多少
元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售
单价x的范围．
25．（2023•柘城县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴正半轴
的交点坐标是（1，0），对称轴为直线x＝﹣2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为a+4，将A，B两点之间的部分
（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h．
①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值；
②当0＜h＜9时，直接写出a的取值范围．
26．（2024•石家庄一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点 A处
起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里
OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平
距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与
水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣ +bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水
平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 ，点P的坐标是 ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣ +bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水
平距离．
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27．（2024•碑林区校级一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息．如图所示，某窑洞口的
下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝3米，AB＝2米，窑洞的最高点M（抛物线
的顶点）离地面OA的距离为 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D、E在矩形OABC的边BC上，点F、
G在抛物线上，那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？
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