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专题 14 一题多解型
题型解读｜模型构建｜通关试 练
翻折问题
旋转问题
一题多解型
平移问题
存在性问题
动点问题
几何中一题多解型问题是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结
果有多种可能性，从而使答案不唯一。而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所
以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答
案不全，从而失分。
应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．
分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究
的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决。该问题是中
招考试中必考的题型，一般以压轴题的形式出现，具有一定的难度，需要学生多练习、多总结。
模型01 翻折问题
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
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涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以
及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角
形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
常见翻折模型：
模型02 旋转问题
旋转问题在近几年各地中考主要以填空题、选择题、解答题的形式进行考查，各地试题有容易题、中
档题也有压轴题；考查的内容主要涉及的有：中心对称和中心对称图形的概念与性质；图形的旋转的概念
与性质；考查的热点主要有旋转对称图形与中心对称图形；旋转的性质；旋转变换；几何变换综合问题。
三角形共顶点旋转模型：
正方形共顶点旋转模型：
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旋转相似
模型03 平移问题
对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合
的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
1．定义
在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改
变图形的形状和大小．
2．三大要素
一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质
（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；
（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
（3）平移前后的图形全等．
模型04 存在性问题
多可能性问题中，等腰三角形与直角三角形的存在性考试较多。
等腰三角形中的分类讨论：
凡是涉及等腰三角形的存在性问题优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题。
注意一下几种谈论形式：（1）已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；（2）已知角度数无法确
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定是顶角还是底角时要分类讨论；（3）遇高线需分高在△内和△外两类讨论；（4）中线把等腰△周长分
成两部分需分类讨论．
直角三角形的存在性问题谈论：
一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、锐角三角函数的问题联系在一起．一般情况下，按照直角顶点
或者斜边分类，然后按照相似或勾股定理列方程．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
模型05 动点问题
模型一 动点运动轨迹——直线型
【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．
(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直
线．
基本图形：
模型二 动点运动轨迹——圆或圆弧型
【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条
边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现
“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最
大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位
线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
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模型四 双动点型
【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个
点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的
问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
模型01 翻折模型
考｜向｜预｜测
翻折模型该题型近年主要以多可能性问题和应用题形式出现，多可能性问题一般为填空题的最后 一
题，具有一定的难度，在各类考试中均为压轴题型。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的
性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、
圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
答｜题｜技｜巧
第一步： 利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
第二步： 结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；
第三步： 运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
例1. （2024·江苏·一模）如图，点 在正方形 边 上，且 ，点 是线段 上一动点
（点 不与点 重合），连接 ，将 沿 所在直线折叠，点 的对应点为 ，过 作
于点 ，当点 落在正方形 的对角线上时，线段 的长为 ．
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【答案】 或1
【详解】解： ，
， ，
，
四边形 为正方形，
， ，
由折叠的性质可得， ， ， ， ，
①当点 在对角线 上时，
如图，以点 为原点建立直角坐标系，连接 ，
则点 ， ， ，
设 所在直线解析式为 ，
，
解得： ，
所在直线解析式为 ，
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设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得： 或 （舍去），
，
，
；
②当点 在对角线 上时，此时点 与点 重合，
如图，连接 ，
，
，
，
四边形 为正方形，
，
．
综上，线段 的长为 或1．
故答案为： 或1．
例2．（2024·河南周口·一模）如图，在 中， 是 上两点，将
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沿直线 折叠， 沿直线 折叠，使得 的对应点重合于点 ．当 为直角三角形时，
线段 的长为 。
【答案】1或2
【详解】由题意得 ，
故 为直角三角形分为两种情况：
(1)当 时，如图1，作 于 ，
设 ，则 ，
， ，
，
， ，
，
所以 ，
解得 ，即 ；
(2)当 时，如图2，作 于 ，
设 ，则 ，
， ，
，
， ，
，
所以 ，
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解得 ，则 ．
综上所述，线段 的长为1或2．
故答案为：1或2．
模型02 旋转问题
考｜向｜预｜测
旋转问题该题型主要以选择、填空形式出现，旋转模型相对固定，在各类考试中出题频率较高。掌握
旋转图形的性质是解题的重点，在旋转图形中对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中
心连线所成的角度相等；图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转。
答｜题｜技｜巧
第一步： 连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
第二步： 把连线按要求(顺/逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
第三步： 在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
第四步： 连接所得到的对应点.
例1．（2023·河南）如图所示，在 中， ， ， 为斜边中线，点P为线
段 上一动点，将线段 绕点P逆时针旋转 得线段 ，连接 ， ，当 垂直于 的一
边时，线段 的值为 ．
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【答案】 或
【详解】解：①当 时，如图1所示，
， ，
，
．
为斜边中线，
，
．
在 中， ， ，
， ，
， ，
；
②当 时；如图2所示，过点Q作 于点D．
， ，
．
．
， ．
．
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在 中， ．
综上，线段 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
例2．（2024·山东·一模）如图，在 中， ， ， ，点O是边 的中点，
点P是边 上一动点，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边 上，连接
，若 为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或3
【详解】∵ ，
∴ ，
∵点O是边 的中点，
∴ ，
当 时，如图1，过P点作 于E点， 于F点，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵线段 绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图2，过P点作 于E点，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵线段 绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或3．
故答案为： 或3．
模型03 平移问题
考｜向｜预｜测
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平移问题在近几年各地中考主要以填空题或选择题的形式进行考查，属于中、低档题，较为简单；少数题
目以解答题的形式进行考查，属于中档题，难度一般；考查的内容主要涉及的有：平移的概念及要素；平
移的性质；平移变换作图；利用平移设计图案；考查的热点主要有平移的性质；平移变换作图；利用平移
设计图案。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
第二步： 找出原图形的关键点；
第三步： 按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
第四步： 按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
例1．（2023·湖南）如图， 和 都是等边三角形， ， ，边 ， 位于同一
条直线 上，点 与点 重合．现将 固定不动，把 自左向右沿直线 平移，移出 外
（点 与 重合）时停止移动．在移动过程中，当两个三角形重合部分的面积为 时， 平移的距
离是 ．
【答案】 或
【详解】解：分两种情况：
完全进入前，两个三角形重合部分的面积为 时，如图，
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∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
设 ，过点 作 于 ，
则 ， ，
∴ ，
∴重合部分的面积 ，
∴ ，
∴此时 平移的距离为 ；
完全进入后，两个三角形重合部分的面积为 时，如图，
此时，仍有 ，
∴此时 平移的距离为 ；
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综上， 平移的距离是 或 ，
故答案为： 或 ．
例2．（2023·贵州）如图，两个直角三角板 与 按如图所示的方式摆放，其中 ，
， ，且 共线，将 沿 方向平移得到 ，若点
落在 上，则平移的距离为 ．
【答案】
【分析】根据平移的性质可知 ，设平移的距离为 ，则可表示出 ，再根据含
角的 的性质可得 ，从而列出含 的方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵将 沿 方向平移得到
∴
∵若设平移的距离为 ，则
∴
∵
∴
∴
∴在 中，由勾股定理可推导出
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∴
∴
∴平移的距离为 ．
故答案是：
模型04 存在性问题
考｜向｜预｜测
存在性问题该题型主要是在填空题的多可能性试题、综合性大题中考试较多，具有一定的综合性和难
度。这部分考题的考查形式多样，主要考查等腰三角形性质与判定，与等腰三角形有关的证明及计算，
与直角三角形有关的证明与计算，在命题点下拓展其他新的考查形式。形式上年年有创新，年年有新
意。从各省近几年真题分析，该题型均与其他知识结合考查，命题在继承中有创新，创新体现在加大
开放探究，注重学生思维认知能力的考查。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意确定分类讨论的思路，等腰三角形或直角三角形分别以各顶点为直角顶点或等腰三
角形顶点分类讨论；
第二步： 依据图形变化，画出对应图形；
第三步： 利用等腰三角形、直角三角形的性质并结合勾股定理或者相似进行求解；
例1．（2024·福建·一模）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD
于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE
的长为 ．
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【答案】 或
【详解】解：①当∠CFP＝90°时，
∵△PCF为直角三角形，
∴∠CFP＝90°，
∴∠CFD+∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB+∠PAF＝90°，
∵PE⊥AD，点A与点F关于PE对称，
∴PE＝PA，EF＝EA，
∴∠PFA＝∠PAF，
∴∠CAB＝∠CFD，
在△CBA和△CDF中
∴△CBA∽△CDF，
∴ ，
∵AB＝CD＝6，BC＝8，
∴ ，
即DF＝ ，
∴AE＝ （AD﹣DF）
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＝ （8﹣ ）
＝ ．
②当∠PCF＝90°时，
∵∠ACB＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝90°，
∴△ACB∽△FAC，
∴ ＝ ，
∴AF＝ ，
∴AE＝ AF＝
故答案为： 或 ．
例2．（2024·陕西·一模）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，点 是
边 上的一个动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，线段 交边 于点 ．当 为
直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【详解】解：∵ ，点 为边 的中点，
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∴ ，
依题意得： ，
如图，当 时，点 重合，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又由折叠可得， ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
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即 ，
解得 ，
∴ ；
综上， 的长为为 或 ，
故答案为： 或 ．
模型05动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题该题型主要是在填空题的多可能性试题、综合性大题中考试较多，具有一定的综合性和难度。
本题型在各省的中招考试中考试频率较高，均位于填空题的第15题，分值3分，且都有两个答案，属
于几何题型的多可能性问题讨论。难度系数较难，得分率较低。本题属于几何范畴，主要借助折叠或
旋转的思想应用在三角形或四边形中，涉及的知识点主要有勾股定理，三角形的全等或相似，四边形
中的特殊平行四边形的性质，本题一般有两个答案。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据图形特点,结合运动特征,确定在运动变化过程中符合运动规律的固定点的位置；
第二步： 分析图中某些基本元素之间的位置关系,为计算最值提供解题的入口；
第三步： 分析图中的数量关系,寻求在运动变化过程中长度固定的线段,为两点间的距离最值计算做
好准备。
例1．（2023·河北）如图，在 中， ， ， ，动点P从点B出发，
沿 方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿 方
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向运动，当点P到达点A时，点Q也停止运动．以 ， 为邻边作平行四边形 ， ， 分别
交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接 ， ，点D关于直线 的对称点为 点，当点
恰好落在 的边上时，t的值为 ．
【答案】1或
【详解】解：在 中， ，
， ，
由题意， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
，
，
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，
，
，
， ，
点 在 上时，
由对称得： ， ，
∵ ，点Q在 上，点 在 上，
∴点 与点Q重合，
∵ ，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
在边 上时，如图所示：
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此时 ，
由对称得： ，
，
是等边三角形，
，
，
，
综上分析可知，当点 恰好落在 的边上时，t的值为1或 ．
故答案为：1或 .
例2．（2023·山东）如图， 中， ，点 在 上，且 ， 为 上任意一点，
若将 绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在 点运动过程中，线段 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，
∵将 绕A点逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 即 ，
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在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵D点在线段 上运动，
∴当 时， 的值最小，即线段 有最小值，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴线段 有最小值为 ，
故答案为： ．
1．（2023·山西）如图，矩形 中， ， ，点 为矩形对角线 ， 的交点，将
绕点 顺时针旋转 ，点 的对应点为 ，连接 ，当点 落在矩形 的对称轴上
时， 的长为 ．
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【答案】2或 / 或2
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
， ， ，
，
，
如图，当 落在 的垂直平分线上时，
，
将 绕点 顺时针旋转 ，
，
当点 落在 的垂直平分线上时，连接 ，设 的垂直平分线与 交于点 ，
同理可得 ，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
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，
综上所述： 的长为2或 ，
故答案为：2或 ．
2．（2023·内蒙古）如图，已知矩形 ， ， ，点 是线段 上一点，且不与 、 重
合，沿 折叠使点 落在矩形某边所在直线上，则 的长是 ．
【答案】 或
【详解】解：设点 、点 的对应点分别为点 、点 ，
四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
由折叠得 ， ， ， ，
当点 在 的延长线上，如图 ，则 ，
四边形 是矩形，
，
，
四边形 是正方形，
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，
；
当点 在 的延长线上，如图 ，
，
，
由折叠得 ，
，
，
，
，
故答案为： 或 ．
3．（2023·南京）如图，在等腰三角形 中， ， ，点 为 的中点．将线段
绕点 旋转，得到线段 ，连接 ， ．当 时， 的长为 ．
【答案】 或
【详解】解：在等腰三角形 中， ， ，点 为 的中点．
∴ , ，
如图，过点 作 于点 ,则
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∴ ，
在 中， ，则
如图，当 在 的右侧时，
∵
∴
∴
∴ ,
如图，当 在 的左侧时，连接 ，
∵
∴
∵
∴
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∴
∵旋转，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
在 中，
，
综上所述， 的长为 或
4．（2023·重庆）如图，正方形 中， ，点 为对角线 上的动点，以 为边作正方形
，点H是 上一点， ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是正方形，四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点G的轨迹是射线 ，
根据垂线段最短可知，当 时， 有最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ．
5．（2023·北京）如图，在 中， ， ， ，E为 上的点，将 绕点E在
平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在 的边上，当 恰好为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或
【详解】解：∵ ，， ， ，
∴ ．
为直角三角形时分两种情况∶
①如图，当 时，设 ，
由 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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解得 ；
②当 时，设 ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： 或 ．
6．（2023·东北）如图，在 中， ， ，点D为 边上一动点，点E在 边上，
，将 沿 翻折，点A的对应点为F，连接 ．当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】3
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵将 沿 翻折，点A的对应点为F，
∴ ， ，
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∴ ，
∴当 为直角三角形时，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
7．（2023·甘肃）如图，在△ABC中， ， ， ，D为 中点，E为直线 上任意
一点，将 沿 翻折，点A 落在点F 上，线段 、线段 交于点M，则当 为直角三角形
时， 的长为 ．
【答案】 或
【详解】解： ， ， ，
∴ ，
根据题意，当 为直角三角形时，分两种情况：
①当点 为直角顶点时，如图1，
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由翻折可知： ，
∵ ，
，
，
设 ，则 ，
，
过点 作 交 于点 ，
∴ ．
为 中点，
为 中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
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②当点 为直角顶点时，如图2，
由翻折可知： ，
∵ ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
综上所述： 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
8．（2023·四川）如图所示，在矩形 中， ， ．点P为边上一定点且 ，点Q为
边上不与端点重合的一动点，将四边形 沿 翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连
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接 ，则 的长为 ．
【答案】 或2/2或
【详解】解：①如图：当点 在 上时，
在矩形 中， ， ，
， ，
四边形 沿 翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，
四边形 是矩形，
， ， ，
．
如图：当点 在 上时，
在矩形 中， ， ，
， ，
，
四边形 沿 翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，
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， ，
，
， ， ，
．
综上， 的长为 或2．
9．（2023·厦门）如图，在 中， ，点D为 边上一动点，将 沿过点D
的直线折叠，使点C的对应点 落在射线 上，连接 ，当 的某一直角边等于斜边 长度
的一半时， 的长度为 ．
【答案】 或
【详解】解：由翻折得， ，分三种情况：
①当点 在边 上，且 （即 ）时，
，
由勾股定理得， ，
即 ，
，
，
；
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②当点 在 的延长线上，且 （即 ）时，同理得 ，
，
；
③当点 在 的延长线上，且 （即 ）时，
由勾股定理得， ，
即 ，
，
，
，
，
，此时点 不在边 上，不符合题意，舍去，
综上，当 的某一直角边等于斜边 长度的一半时， 的长度为 或 ．
故答案为： 或 ．
1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图， 中， ， ， ，点 为 上一
个动点，以 为轴折叠 得到 ，点A的对应点为点 ，当点 落在 内部（不包括边）
上时， 的取值范围为 .
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【答案】
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，以 为轴折叠 得到 ，点A的对应点为点 ，
则点 落在 边上，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
作 的角平分线 ，交 于点 ，以 为轴折叠 得到 ，点A的对应点为点 ，则
点 落在 边上，
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∵由折叠可知： ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 落在 内部（不包括边），
∴ ，
故答案为： ．
2．（2024·新疆·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点 为射线 上一动点，将
沿 折叠，得到 ．若 恰好落在射线 上，则 的长为 ．
【答案】 或30
【详解】解：如图1， 将 沿 折叠，得到 ，
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， ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2， 将 沿 折叠，得到 ，
∴ 垂直平分 ，
，
，
，
∴ ，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
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，
，
∴
，
，
即 ，
，
，
综上所述： 的长为： 或30，
故答案为： 或30．
3．如图，在钝角 中， ， ，点 从 点出发沿 以 的速度向 点移动，
点 从 点出发沿 以 的速度向 点移动，如果两点同时移动，经过 秒时， 与
相似．
【答案】3或
【详解】解：设经过 秒时， 与 相似，
由题意得： ，
， ，
，点 从点 运动到点 所需时间为 ，点 从点 运动到点 所需
时间为 ，
，
①当 时，
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则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
②当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
故答案为：3或 ．
4．如图在矩形 中， ， ， 平分 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
将 沿 翻折得到 ，将 绕点 逆时针旋转角 （其中 ），记旋转中的
为 ，在旋转过程中，设直线 分别与直线 、直线 交于点 、 ，当 时，线段
长为 ．
【答案】
【详解】解：如图， ，作 垂足为 ， 于 ，则 ．
∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，设 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
5．（2024·兰州·一模）若一个三角形的三边长之比为 ，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，
在矩形 中， ，点 在边 上，将 沿 所在直线折叠，得到 ，再将
沿过点 的直线折叠，使 与 重合，点 的对应点为点 ，折痕与 交于点 ．若
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是“勾股三角形”，则 的长为 ．
【答案】 或
【详解】解：由折叠的性质，可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ 是“勾股三角形”，
∴ 或 ；
当 时，设 ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，同法可得： ；
故答案为： 或 ．
6．（2024·苏州·一模）如图，在边长为 的菱形 中， ，点 是 边的中点，连接 ，
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将菱形 翻折，使点 落在线段 上的点 处，折痕交 于点 ，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【详解】解：如图所示，过点M作 ，交 于点F，
∵在边长为2的菱形 中， ，
，
，
，
，点M为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
将菱形 翻折，使点A的对应点 落在 上，
，
∴ ．
故答案为： ．
7．（2024·河南平顶山·一模）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 为 的中点，点 在
边 上，连接 ，将矩形纸片沿着 折叠，点 、 分别落在点 、 处，连接 ，当
时， 的长为 ．
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【答案】 或
【详解】解：在矩形纸片 中， ， ，点 为 的中点，
， ， ， ，
如图1，当 时，且点 、 在 下方时，设 与 的交点为 ，
由折叠的性质可知， ， ， ， ，
，
四边形 、四边形 都是矩形，
， ，
，
在等腰 中， ；
如图2，当 时，且点 、 在 上方时，设 与 的交点为 ，
由折叠的性质可知， ， ， ， ， ，
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，
，
四边形 、四边形 都是矩形，
，
，
，
，
，
，
综上可知，当 时， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
8．如图，矩形 的边 长为4，将 沿对角线 翻折得到 ， 与 交于点E，再
以 为折痕，将 进行翻折，得到 ．若两次折叠后，点 恰好落在 的边上，则 的
长为 ．
【答案】 或
【详解】∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ 沿对角线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∵以 为折痕，将 进行翻折，得到 ，
∴ ， ，
①当点 恰好落在 上时，如图，
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在 和 中，
∴
∴ ，即 为等腰三角形，
∵
∴点 为 中点，
∴ ，
在 中，有 ，
即 ，解得
②当点 恰好落在 上时，如图，
∵
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 沿 进行翻折，得到 ，
∴
在 中，
，
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在 和 中，
∴ ≌ （ ）
∴
∴ ．
故答案为： 或 ．
9．（2024·江苏盐城·一模）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是边 、 上一点，
，将 沿 翻折得 ，连接 ，当 时， 是以 为腰的等腰
三角形．
【答案】 或
【详解】解：当 时，设 ，则 ，
∵ 沿 翻折得 ，
∴ ，
在Rt△ABE中由勾股定理可得： 即 ，
解得： ；
当 时，如图所示，过A作AH垂直于 于点H，
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∵AH⊥ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 沿 翻折得 ，
∴ ，
∴ ，
在△ABE和△AHE中 ，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ，
故答案为：
10．（2024·河南商丘·一模）如图， 中， ， ， ， 平分 ，
将 绕点A逆时针旋转得线段 ，连接 、 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
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【答案】 或
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 时， ，
作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当 时，取 、 的中点F、I，连接 、 、 ， 与 交于K，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ 、 的中点为F、I，
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∴ ， ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
综上， 的长为 或 ．
11．（2024·河南洛阳·一模）如图，在 中， ，点 ， 分别为 ， 上一个动点，以
为对称轴将 折叠得到 ，点 的对应点为 ，若点 落在 上，且 与 相似，
已知 ， ，则 的长为 ．
【答案】 或
【详解】
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，
∴ ，
当 时，如图所示，
∴
∴
∵折叠，
∴
∴
∴ ，
如图所示，
当 ，则
∵
∴
∴
同理可得
∴
故答案为： 或 ．
12．（2023·河南新乡·三模）如图，在 中， ，点 在 上， ，
将线段 绕点 旋转得线段 ，连接 ．当点 在直线 上方，且到直线 的距离为1时， 的
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长为 ．
【答案】
【详解】解：过点 作 于点 ，则 ，如图所示，
根据旋转的性质可知， ．
在 中， ．
，
．
在 中， ．
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，将点 绕点 顺时针旋转
得到点 ，连接 ， ．当 是等腰三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
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【详解】解：根据题意设：
，则 ，
当 时，
根据题意得： ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，即 ，
当 时，作 于点 ，如图，
由旋转的性质得： ， ，
，
，
， ，
，
在 中，
，
，即 ，
，
解得： ，
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，
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
15．如图，在 中， ，点 为斜边 的中点，点 为 边上的一动点，
沿着 所在直线折叠 ，得到 ，当 垂直于 的直角边时， 的长度为
．
【答案】 或5
【详解】解：∵ ，
∵点 为 的中点，
如图1， ，垂足为点 ，则 ，
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由折叠得 ，
解得 ；
如图2， ，
由折叠得 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
综上所述， 的长为 或5，
故答案为： 或5．
16．（2024·河南开封·一模）如图， 中 ， ， ，点D为边AC上的中点，点
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E为边 上一个动点，将 沿 折叠，点C的对应点为点F， 交 的直角边于点G，当点G
为直角边的中点时，则 长为 ．
【答案】 或
【详解】解：∵ 中 ， ， ，
∴ ；
当G为边 的中点时，如图所示：
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是由 折叠得到的，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点G为直角边 的中点时，如图所示：
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则 ，
∵点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
综上分析可知， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
59
