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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题17二次函数与公共点及交点综合问题
【例1】．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次
函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当
△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，
直接写出m的取值范围．
【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2﹣2x﹣3的顶点为
A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，
最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与
射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范
围．【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，
0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E
运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一
点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下
方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k| ）与抛物线只有一个公共点
且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．
【例4】．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3经过点B
（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接 BE交AD于点F，连接BD，DE，
△BDF的面积记为S ，△DEF的面积记为S ，当S ＝2S 时，求点E的坐标；
1 2 1 2
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物
线剩下的部分组成新的曲线记为C ，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲
1线C 沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C 与直线BC的公共点中，选两
1 1
个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．
一．解答题（共20小题）
1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ x2+mx+m+ 的图象与x轴交于点
A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣ ），P是抛物线在直线AC上方
图象上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，
得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，
请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．
2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是
L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分
别为（1，0），（1，1），连接AB．
（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；
（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣ ，直接写出t的值．
3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数 y ＝2x和函数y ＝﹣x+6，
1 2
不论x取何值，y 都取y 与y 二者之中的较小值．
0 1 2
（1）求函数y 和y 图象的交点坐标，并直接写出y 关于x的函数关系式；
1 2 0
（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y 和y都随着x的增大而减小，求自变量x的
0
取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y 和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
0
4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常
数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．
（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；
（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以 AC为对角线构造矩形
ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．
5．（2022•清镇市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交
于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝ ；（用含字母a的代数式表示）
（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；
（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a
的取值范围．
6．（2022•五华区三模）已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．
（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出
公共点的坐标；若没有，请说明理由；
（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若
＝ ，求m的值．
7．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，
1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）
的图象有2个公共点，求n的取值范围．
8．（2022•盐城二模）若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），其中a、b为
常数．
（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
（2）点B（﹣ ，1）、C（2，1）为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．
9．（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B（另一个交
点为A），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，求点 A 的坐标，并结合图象写出不等式
x2+2x+c≥kx+b的解集；
（3）已知点P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一
个公共点，直接写出t的取值范围．10．（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣
2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点
P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒 和2 个单位长度运动，经过t秒
后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点 R，作关于原点（0，0）的对称点为
R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
11．（2022 春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2
（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣ 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含 a的代数式表示）及二次函数图
象经过的定点坐标是 ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直
接写出a的取值范围．
12．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长
度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
13．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y ），（3，y ）在函数图象上，比较y 与y 的大小；
1 2 1 2
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
14．（2022•余姚市一模）已知：一次函数y ＝2x﹣2，二次函数y ＝﹣x2+bx+c（b，c为常
1 2
数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出
当y ＜y 时x的取值范围．
1 2
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
15．（2022•花溪区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣2，1），B
（2，﹣3）两点（1）求分别以A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点为顶点的二次函数表达式；
（2）求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
（3）设（m，0）是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图
象，写出a的取值范围．
16．（2022•无锡模拟）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，﹣3），（0，
4），点P（m，0）（m≠0）是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线
AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．
（1）当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存
在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2）小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E（x，y）也相应的在二次函数y
＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点 P的特殊的
位置，计算了点E（x，y）的坐标，列表如下：
x
y
请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；
（3）把（2）中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个
单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接
写出n的取值范围．
17．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣6m
（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣
2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行
BC与y轴平行．
（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；
（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
18．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函
数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函
数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝（x﹣
2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7
时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a
＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函
数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取
值范围．
19．（2022•南京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图
形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称
这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公
共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在
△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝ ；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围 ；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤2，则b的取值范围是 ．
20．（2022•南京模拟）若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为
“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的（﹣1，1）即为反值点．（1）判断反比例函数 的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，
若不存在，说明理由；
（2）判断关于x的函数 （a是常数）的图象上是否存在反值点？若存在，求出
反值点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m（m为常数，且m＞0）个单位后，若
在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．
