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专题 17 二次函数中几何存在性的问题
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目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】....................................................................................1
【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】....................................................................................8
【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】..................................................................................16
【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】..............................................................................................23
【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】..............................................................................................33
【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】..........................................................................................42
【直击中考】
【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】
例题：（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标
(3)在坐标轴是否存在一点 ．使得 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请
说明理由；
【变式训练】
1．（2023秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线 （ ）与 轴交于 ，两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)若 为抛物线上一点，连接 ，是否存在以 为底的等腰 ？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）已知抛物线 经过 ， 两点，直
线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；
(3)在直线l上是否存在点M，使 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】
例题：（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y轴相
交于点C，对称轴为直线 ，顶点为D，点B的坐标为 ．
(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使 是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点坐标为 ，并与 轴交于点 ，点 是对称轴与 轴的交点，直线 与抛物线的另一个
交点为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，判断 是什么特殊三角形，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在一点 ，使 为以 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点 坐标；
若不存在，说明理由．
3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）抛物线 与x轴交于点 和 ，
与y轴交于点C，连接 ．点P是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y
轴的平行线交 于M，交x轴于N．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点C作 于点H， ，
①求点P的坐标；
②连接 ，在y轴上是否存在点Q，使得 为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】
例题：（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线经过点 ， 和坐标原点 ，顶点
为 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)求证： 是直角三角形；
(3)若点 是抛物线上第一象限内的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，是否存在点 ，使得以
P，M，A为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，以D为顶点的抛物线 交x轴于A、B两点，
交y轴于点C，直线 的表达式为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线 上存在一点P，使 的值最小，求此最小值；
(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
2．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于点 、B两
点，顶点 ，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E， ．(1)求该抛物线解析式；
(2)在对称轴 上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段 上一动点，过点P作直线 轴交抛物线于点Q，当线段 的长度最大时，求P点
坐标与 的最大值．
【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】
例题：（2023秋·贵州遵义·九年级统考期末）已知抛物线与 轴交于点 、 ，与 轴交于点
.
(1)求抛物线解析式；
(2)如图①，若点 是第一象限内抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求线段 长的最大值
(3)如图②，若点 是抛物线上另一动点，点 是平面内一点，是否存在以点 、 、 、 为顶点，且
以 为边的矩形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点F，过点F作 于点G，求线段 的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形
是以 为边的矩形，求点Q的坐标．
2．（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
交x轴于 、B两点，交y轴于点C，其对称轴为 ，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点C作 交x轴于点Q，连接 ，求 面积的
最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线 与x轴负半
轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C， ， ， ．
(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；
(2)点D是 上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交 于点F，当
时，求点E的坐标；
(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内
一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接 、 ，设点M的横坐标为m，
四边形 的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点P在平面内，点Q在直线 上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱
形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点 ，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 与抛物线在第一象限交于
点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点 在抛物线上，当 时，直接写n的取值范围；
(3)连接 ，点Q是直线 上不与A、B重合的点，若 ，请求出点Q的坐标；(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，
直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】
例题：（2022秋·辽宁抚顺·九年级校考阶段练习）如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，其
中点B的坐标是
(1)求直线 及抛物线的解析式；
(2)C为抛物线上的一点， 的面积为3，求点C的坐标；
(3)P在抛物线上，Q在直线 上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直
接写出点M的坐标．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点 ，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使
得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图．已知抛物线 经过
三点，点P为直线 上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求点P的坐标；
(3)连接 ，交直线 于点E，交y轴于点F；①是否存在点P使 与 相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为 ，点H在抛物线上，过H作 轴，交直线 于点K．点Q是平面内一点，
当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
