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专题 02 利用圆的性质进行求解的问题
圆在压轴题中考查综合性比较强，常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查，本专题中
重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分，需要考生熟练掌握与圆有关的性质。
圆有关的性质：
1．圆的对称性：圆既是轴对称图形有时中心对称图形。
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
4．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
5．圆心角、弧、弦的关系定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
6．圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
7．圆周角定理的推论：
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：直径所对的圆周角是直角．
8．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在
⊙O外．
9．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d<r
10．切线的性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半
径。
11．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12．三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这
个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相
等。
13．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形；内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。
14．正多边形的有关概念
（1）正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
（2）正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径；
（3）正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角；
（4）正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
15．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l= ；扇形的面积S= = ．
16．圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。
（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S = ．圆锥的表面积：S =S +S =πrl+πr2=πr·（l+r）．
圆锥侧 圆锥表 圆锥侧 圆锥底
（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知 是 的直径，点A，点B是 上的两个点，连接
，点D，点E分别是半径 的中点，连接 ，且 ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点F，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是 上一点，连接 ，若 ， ，求
的长．
（1）根据SAS证明 即可得到结论；
（2）证明 即可得出结论；
（3）先证明 ，连接 ，证明 ，设 ， ，在 上取点M，使得
，连接 ，证明 为等边三角形，得 ，根据 可求出 ，
得 ， ，过点H作 于点N，求出 ，再证 ，根据
可得结论．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径 的中点∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ；
（2）如图2．∵ ，
∴
由（1）得 ，
∴
∴ ，
∴
∵
∴ ，∴
（3）如图3．∵ ，
∴
∴
连接 ．∵
∴ ，
∴ ，
∵
设 ，
∴
在 上取点M，使得 ，连接
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 为等边三角形
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
过点H作 于点N
，
∴ ，∴
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴
∴ ，
∴ ．
本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
（2022·浙江温州·统考中考真题）如图1， 为半圆O的直径，C为 延长线上一点， 切半圆于点
D， ，交 延长线于点E，交半圆于点F，已知 ．点P，Q分别在线段 上
（不与端点重合），且满足 ．设 ．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作 于点R，连结 ．①当 为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于 的对称点 ，当点 落在 上时，求 的值．
（1）连接OD，设半径为r，利用 ，得 ，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然 ，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝
90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接 ，由对称可知 ，利用三角函数表示出 和BF的长度，
从而解决问题．
【答案】(1) ；(2) ；(3)① 或 ；②
【详解】（1）解：如图1，连结 ．设半圆O的半径为r．
∵ 切半圆O于点D，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，即半圆O的半径是 ．
（2）由（1）得： ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）①显然 ，所以分两种情况．
ⅰ）当 时，如图2．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 时，过点P作 于点H，如图3，则四边形 是矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ．
综上所述，x的值是 或 ．
②如图4，连结 ，
由对称可知 ，∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵ ， ，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴ ，
∴ ，
即： ，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴ ，
∴ ．
∵ 是半圆O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形 中，点F，H分别在边 ， 上，连结 ，
交于点E，已知 ．
(1)线段 与 垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交 于点P，连结 交 于点K．求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段 的中点时，求 的值．
（1）证明 （ ），得到 ，进一步得到 ，由△CFH
是等腰三角形，结论得证；
（2）过点K作 于点G．先证△AKG∽△ACB，得 ，证△KHG∽CHB可得 ，结
论得证；
（3）过点K作 点G．求得 ，设 ， ，则KG＝AG＝GB＝3a，则
，勾股定理得 ， ，由
得 ，得 ， ，即可得到答案．
【答案】(1) ，见解析；(2)见解析；(3)
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
又∵ ，
∴ （ ），
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵
∴△CFH是等腰三角形，
∴ ．
（2）证明：如图1，过点K作 于点G．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图2，过点K作 点G．∵点K为 中点：
由（2）得 ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练
掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．1．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟）如图， 是 的直径，弦 于点 ， 是
上一动点（不与点 ，点 重合），以 ， 为边构造平行四边形 ，交 于点 ，交 于点
，若 ， ．
(1)求证： ．
(2)当 与 相切时，求 的长．
(3)①当 中有一个角与 相等时，求 的长．
②若点 关于 的对称点 落在 的内部（不包括 的边界），求 的取值范围（直接写出
答案）．
2．（2022·浙江宁波·校考一模）等腰三角形 中， ，且内接于圆 ， 、 为边 上两点（
在 、 之间），分别延长 、 交圆 于 、 两点（如图 ），记 ， ．
(1)求 的大小（用 ， 表示）；(2)连接 ，交 于 （如图 ），若 ，且 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，取 中点 ，连接 、 （如图 ），若 ，
①求证： ， ；
②请直接写出 的值．
3．（2022·河北邯郸·校考三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，
CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不
与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．
(1)∠APE＝ °；
(2)若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求 的长；
(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
4．（2022·上海杨浦·统考二模）已知在扇形 中，点C、D是 上的两点，且
．(1)如图1，当 时，求弦 的长；
(2)如图2，联结 ，交半径 于点E，当 // 时，求 的值；
(3)当四边形 是梯形时，试判断线段 能否成为 内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多
边形的边数；如果不能，请说明理由．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，AB是⊙O的直径，弦 ，垂足为H，P
为弧AD上一点．
(1)如图1，连接AC、PC、PA，求证： ；
(2)如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线与点F，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AE，且 ，过点A作 ，垂足为G，若 ，
，求BH的长．
6．（2022·浙江温州·温州市第十四中学校联考三模）如图1，直径 于点 ， ， ，
点 是 延长线上异于点 的一个动点，连接 交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)如图2，连接 ，当 时，求 和 的面积之比．(3)当四边形 有两边相等时，求 的长．
