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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题26以旋转为载体的几何综合问题
【例1】（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，
连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为
_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】(1)BD=CE，理由见解析
(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACE(SAS)，再由
全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据
AG AF
等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到∠BAF=∠DAG， = ，进而得到
AD AB
△BAD∽△FAG，进而求出∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再用
等腰直角三角形的性质求解．
（1）
解：BD=CE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
¿，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）
解：①BE=AE+CE
理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
由（1）得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．
∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
1
∴∠DAG= ∠DAE=30°，
2
AG √3
∴ =cos∠DAG= ．
AD 2
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，
1
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF= ∠BAC=30°，
2
AF √3
∴ =cos∠BAF= ，
AB 2
AG AF
∴∠BAF=∠DAG， = ，
AD AB
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解
直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是
解答关键．
【例2】（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于
点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′，E′分别与点B，E对应），连接
CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置
关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，
若CG=FG,DC=√3，求AB′的长．
【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析
(2)一致，理由见解析
(3)5√3
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，
∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明△ADB′ ≅△CDE′，可得∠DAB′=∠DCE′，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB′=√3AD，即可求解．
【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一
致的，理由如下：
如图2，延长CE′交AB′于H，
由旋转可得：CD=DE′，B′D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE′=∠ADB′，
CD AD
∵
= =1，
DE′ DB′
∴△ADB′ ∼△CDE′,
∴∠DAB′=∠DCE′，
∵∠DCE′+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DAB′+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE′⊥AB′；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB′于点H，∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB′=30°,BD′=BD=AD，
∴∠ADB′=120°,∠DAB′=∠AB′D=30°，
∵DH⊥AB′,AD=B′D，
∴AD=2DH，AH=√3DH=B′H，
∴AB′=√3AD，
由（2）可知：△ADB′ ∼△CDE′，
∴∠DAB′=∠DCE′=30°，
∵AD⊥BC，CD=√3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB′=30°,DH⊥AB′，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB'=√3AD=5√3．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性
质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
【例3】（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形
AFEG与正方形ABCD有公共点A．
2CE
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
√2DG
CE
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求： 的值为多少；
DG
√2
(3)AB=8√2，AG= AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当
2
C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【答案】(1)2
(2)√2
(3)4√6−4√2或4√6+4√2【分析】（1）根据题意可得GE∥DC，根据平行线分线段成比例即可求解；
AG AD 1
（2）根据（1）的结论，可得 = = ，根据旋转的性质可得∠DAG=∠CAE，
AE AC √2
进而证明△GAD∽△EAC，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股
定理即可得出答案．
（1）
解：∵正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A，点G在AD上，F在AB上，
∴≥∥DC
AG AE
∴ =
DG EC
EC AE
∴ =
DG AG
∵四边形AFEG是正方形
∴ AE=√2AG
2CE √2CE √2AE
∴ = = =√2×√2=2
√2DG DG AG
（2）
解：如图，连接AE，
∵正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，
∴∠DAG=∠CAE
AG AD 1
∵ = =
AE AC √2
∴△GAD∽△EAC
CE AC
∴ = =√2，
DG AD
（3）
解：①如图，√2
∵ AB=8√2，AG= AD，
2
√2
∴AD=AB=8√2,AG= ×8√2=8,AC=√2AB=16，
2
∵G,E,C三点共线，
Rt△AGC中，GC=√AC2−AG2=√162−82=8√3，
∴CE=GC−≥=8√3−8，
由（2）可知△GAD∽△EAC，
CE AC
∴ = =√2，
DG DA
DA⋅CE 8√2×(8√3−8)
∴DG= = =4(√6−√2)=4√6−4√2．
AC 16
②如图：
由（2）知 ADG∽△ACE，
DG AD √2
∴ = △ = ，
CE AC 2
√2
∴DG= CE，
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8√2，AC=√AB2+BC2=16，
√2
∵AG= AD，
2
√2
∴AG= AD=8，
2∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG=√AC2−AG2=√162−82=8√3，
∴CE=CG+EG=8√3+8，
√2
∴DG= CE=4√6+4√2．
2
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4√6−4√2或4√6+4√2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾
股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【例4】（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O
处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示
意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明
△OBE≌△OAF，可得OE=OF．
请你证明：AG=BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接
HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
【答案】证明见解析；垂直；BH=√3AG
【分析】证明△BOH≅△AOG，即可得出结论；通过∠BHO=∠AGO，可以求出∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，得出结论AG⊥BH；证明△BOH∽△AOG，得出
AG OA √3
= = ，得出结论；
BH OB 3
【详解】证明：∵ AB=AC,AO⊥BC，
∴ OA=OB,∠AOB=90°，
∵ ∠BOH+∠AOH=90°,∠AOG+∠AOH=90°，
∴ ∠BOH=∠AOG，
∵ OH=OG，
∴ △BOH≅△AOG，
∴ AG=BH；
迁移应用：DG⊥BH，
证明：∵ △BOH≅△AOG，
∴ ∠BHO=∠AGO，
∵ ∠DGH+∠AGO=45°，
∴ ∠DGH+∠BHO=45°，
∵ ∠OHG=45°，
∴ ∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，
∴ ∠HDG=90°，
∴ DG⊥BH；
拓展延伸：BH=√3AG，
OA √3
证明：在Rt△AOB中，tan30°= = ，
OB 3
OG √3
在Rt△HOG中，tan30°= = ，
OH 3
OA OG
∴ = ，
OB OH
由上一问题可知，∠BOH=∠AOG，
∴ △BOH∽△AOG，
AG OA √3
∴ = = ，
BH OB 3
∴ BH=√3AG．
【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定
与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．
【例5】（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=2√5,BC=4，D，
E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF．√5
(1)如图1，求证：DF= DE；
2
(2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点
G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
【答案】(1)见解析
√5
(2)FN= EM，理由见解析
2
10
(3)
3
【分析】（1）连接AF，可得AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1 1
可得DF= AC=√5，根据中位线定理可得DE= BC=2，即可得证；
2 2
√5
（2）证明△DNF∽△DME，根据（1）的结论即可得FN= EM；
2
（3）连接AF，过点C作CH⊥AB于H，证明△AGD∽△AHC，可得
1 4√5 AG 3
GD= HC= ，勾股定理求得¿,AG，根据tan∠ADG= = ，
2 5 GD 4
EG 3
∠EMG=∠ADG，可得tan∠EMG= = ，进而求得MG，根据MD=MG+GD求
MG 4
√5
得MD，根据（2）的结论DN= DM，即可求解．
2
（1）
证明：如图，连接AF，∵ AB=AC=2√5,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，
1
∴DE= BC=2，AF⊥BC，
2
1
∴ DF= AC=√5，
2
√5
∴ DF= DE，
2
（2）
√5
FN= EM，理由如下，
2
连接AF，如图，
∵ AB=AC=2√5,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，
1
∴EF= AC=CD,EF∥DC，
2
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠≝=∠C，
1
∵ DF= AC=DC，
2
∴∠DFC=∠C，
∴∠≝=∠DFC，
∴180°−∠≝=180°−∠DFC，
∴ ∠DEM=∠DFN，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，
∴ ∠EDF = ∠PDQ，
∵∠FDN+∠NDE=∠EDM+∠NDE，
∴∠FDN=∠EDM，
∴△DNF∽△DME，
NF DF √5
∴ = = ，
EM DE 2
√5
∴ FN= EM，
2
（3）
如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，
1
Rt△AFC中，FC= BC=2,
2
∴ AF=√AC2−FC2=4，
1 1
∵S = BC⋅AF= AB⋅CH，
△ABC 2 2
BC⋅AF 4×4 8√5
∴HC= = = ，
AB 2√5 5
∵ DP⊥AB，
∴△AGD∽△AHC，GD AD 1
∴ = = ，
HC AC 2
1 4√5
∴GD= HC= ，
2 5
Rt△GED中，
¿=√ED2−GD2=
√
22−
(4√5) 2
=
2√5
，
5 5
Rt△AGD中，
AG=√AD2−GD2=
√
(√5) 2 −
(4√5) 2
=
3√5
，
5 5
3√5
AG 5 3
∴tan∠ADG= = = ，
GD 4 4
√5
5
∵EF∥AD，
∴∠EMG=∠ADG，
EG 3
∴tan∠EMG= = ，
MG 4
4 4 2√5 8√5
∴MG= ≥= × = ，
3 3 5 15
8√5 4√5 4√5
∴MD=MG+GD= + = ，
15 5 3
∵ △DNF∽△DME，
DN DF √5
∴ = = ，
DM DE 2
√5 √5 4√5 10
∴DN= DM= × = ．
2 2 3 3
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质
定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的
关键．
一、解答题【共20题】
1．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（
DE
