文档文本内容
挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题26以旋转为载体的几何综合问题
【例1】（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，
连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为
_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【例2】（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于
点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′，E′分别与点B，E对应），连接
CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置
关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，
若CG=FG,DC=√3，求AB′的长．
【例3】（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形
AFEG与正方形ABCD有公共点A．2CE
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
√2DG
CE
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求： 的值为多少；
DG
√2
(3)AB=8√2，AG= AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当
2
C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【例4】（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O
处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示
意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明
△OBE≌△OAF，可得OE=OF．
请你证明：AG=BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接
HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
【例5】（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=2√5,BC=4，D，
E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF．√5
(1)如图1，求证：DF= DE；
2
(2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点
G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
一、解答题【共20题】
1．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（
DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．
(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△≝¿旋转的过程中，线段BG长度的
最小值．
2．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD
上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=3√2时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
3．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，
∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接
PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；
(2)如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌△FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，
沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为
t(s)(0<t<5)．解答下列问题：
(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2 )，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
5．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线
AE与射线BD相交于点E，连接EC．
(1)如图①，当α=20°时，∠AEB的度数是_____________；
(2)如图②，当0°<α<90°时，求证：BD+2CE=√2AE；
BD
(3)当0°<α<180°,AE=2CE时，请直接写出 的值．
ED
4
6．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x−4分别与x，
3
5
y轴交于点A，B，抛物线y= x2+bx+c恰好经过这两点．
18
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是
点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
3
②若点P是y轴上的任一点，求 BP+EP取最小值时，点P的坐标．
5
7．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，
∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．AD
(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： =______，直
CE
线AD与直线CE的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，
连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、
EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°−α)的值．
8．（2022·湖北十堰·中考真题）已知∠ABN=90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，
AB=AC，∠BAC=α(0°<α≤90°)．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接
AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
(1)如图1，当α=90°时，线段BF与CF的数量关系是_________；
(2)如图2，当0°<α<90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)若α=60°，AB=4√3，BD=m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长
（用含有m的式子表示）．
9．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，
将三角板的直角顶点D放在Rt ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板
△
的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
△（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的
形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
10．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶
点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画
图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得
到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
(2)在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC=α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线
段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．
11．（2022·四川广元·中考真题）在Rt ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜
α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
△
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段
AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
12．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学
将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，
∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次
在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
13．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大
小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，
∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（
0°<α<90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如
下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED∥BC时，则α=_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：
_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，若BC=mAC，
CD=mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（
0°<α<90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，
BF，CF之间的数量关系，并说明理由．
14．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在△ABC中，AB=AC，△CDE中，CE=CD（
CE≥CA），BC=CD，∠D=α，∠ACB+∠ECD=180°，点B，C，E不共线，点P
为直线DE上一点，且PB=PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD=________，∠ABP=________，（用
含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；（3）若∠ABC=60°，BC=√3+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当
BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
15．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作
EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图
AE
2所示，得到结论：① =_____；②直线AE与DF所夹锐角的度数为______．
DF
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究
（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为______．
16．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在
△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点
AC
M．填空： 的值为 ，∠AMB的度数为 ；
BD
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接
AC
AC交BD的延长线于点M．请判断 的值，并说明理由；
BD
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若
OD＝1，OB＝√6；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．17．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN
＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：
△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，
1
∠MAN＝45°，若tan∠BAN= ，求证：M是CD的中点．
3
(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，
连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．
18．（2021·四川乐山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，
C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
(1)观察猜想
BD
如图1，当α＝60°时， 的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是
CP
．
(2)类比探究BD
如图2，当α＝90°时，请写出 ，并就图2的情形说明理由．
CP
(3)解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，
AD
P，D在同一直线上时 的值．
CP
19．（2021·山东济南·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点
D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），
记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，
请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直
线BC距离的最大值．
20．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校三模）综合与实践
如图①，Rt ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD=
BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明
△ △
∠ACD≌△BED，进而证明 ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到
直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
△
实践操作：
将两个全等的Rt ABD，Rt ACE拼在一起 ，如图②， ABD不动．
问题解决：
△ △ △
（1）将 ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，
求证：MB=MC；
△
拓展延伸：
（2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB
，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为 ；
问题再探：
（3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB，MC的数量关系还成立吗?请说明理由．
