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专题 05 线段的数量和位置关系的探究题
线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行
关系、垂直关系和夹角问题。
线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：
（1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关
系，通过转化可以求解。
（2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。
（3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置
关系。
（4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得
到线段的数量与位置关系。
（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝
120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝
180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 ADE≌ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的
证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC
之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ ，AC与BD相交于点O．若四
边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出
∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；
（2）结论：CB+CD= AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证
明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，
可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2
中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．
【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；
(2)CB+CD= AC；理由见详解；
(3) 或
【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADE，在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，
∴∠CAE=∠BAD=60°，
∴△ACE的等边三角形，
∴CE=AC，
∵CE=DE+CD，
∴AC=BC+CD；
（2）解：结论：CB+CD= AC．
理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠CDA+∠CBA=180°，
∵∠ABN+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABN，
∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，
∴△AMD≌△ANB（AAS），
∴DM=BN，AM=AN，
∵AM⊥CD，AN⊥CN，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴AC= CM，
∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM=CN，
∴CB+CD=CN BN+CM+DM=2CM= AC；
（3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．
∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，
∴∠CDB=30°，
∵∠DCB=90°，
∴CD= CB，
∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，
∴OP=OQ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AD= ，∠DAB=90°，
∴BD= AD=2 ，
∴OD= ．
如图3-2中，当∠CBD=75°时，同法可证 ， ，
综上所述，满足条件的OD的长为 或 ．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角
平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴
题．
（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF
的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．
（ 1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形
的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2 ）①同（ 1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出
结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出
DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【答案】(1)AE＝CF， AE⊥CF
(2)①成立，理由见解析；②45°；③6+6
【详解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，
AE⊥CF；
（2）①（ 1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，
DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝ ∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，
∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM ∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝
∴EM＝GM+EG＝6+6 ．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股
定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（2022·辽宁锦州·中考真题）在 中， ，点D在线段 上，连接 并延长至点E，使
，过点E作 ，交直线 于点F．
(1)如图1，若 ，请用等式表示 与 的数量关系：____________．
(2)如图2．若 ，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示 之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若 ，请直接写出 的长．
（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到 ，然后等腰三角形的性质和含30度直
角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明 是等腰直角三角形，
即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到 是等腰直角三角形，利用勾
股定理解直角三角形，即可求出答案．【答案】(1)
(2)① ；② 或 ；
【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于G，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△EDF≌△CDG，
∴ ；
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
②如图，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴ ，
∵ ，
当点F在点A、D之间时，有
∴ ，
与①同理，可证 是等腰直角三角形，
∴ ；
当点D在点A、F之间时，如图：∴ ，
与①同理，可证 是等腰直角三角形，
∴ ；
综合上述，线段 的长为 或 ．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的
内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．
1．（2022·辽宁大连·校考模拟）在 中， 在 上，且 ．
(1)如图 ，若 ， ，求 的长度．
(2)如图 ，作 于 ，过点 作 交 于点 ，作 于 ，探究 与 的关
系，并证明你的结论．
(3)如图 ，作 于 ， ， ，探究 与 的数量关系，并证明．
2．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟）如图，已知点E是射线 上的一点，以 、 为边作
正方形 和正方形 ，连接 ，取 的中点M，连接 、 ．(1)如图1，判断线段 和 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，在图中的正方形 绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？
说明理由；
(3)已知 ，正方形 绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出 的面
积．
3．（2022·河南洛阳·统考一模）在 中，点G是射线CB上一个动点，延长CA到D，使得
，过点D作 ，交BA的延长线于点E，连接交CD于点F．
(1)①如图1，当 时，EF与FG之间的数量关系是___________；
②如图2，当 ， ，点G在射线CB上移动时，EF与FG之间的数量关系是否与①中的数
量关系相同，若相同，请说明理由；若不相同，请求出新的数量关系；
(2)设 三边的长分别为 ， ， ，其中 ，当点G在射线CB上移动时，请直
接写出EF与FG之间的数量关系．
4．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形 和正方形 ，点B、C、E在同一直线上，
， ．连接 ．(1)求图1中 、 的长（用含m的代数式表示）．
(2)如图2，正方形 固定不动，将图1中的正方形 绕点C逆时针旋转 度（ ），试
探究 、 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接 并延长交 于点H，若 ，
求m的值．
5．（2022·北京海淀·校考三模）如图，在 中， ， ， 是 的中点， 是
延长线上一点，平移 到 ，线段 的中垂线与线段 的延长线交于点 ，连接 、 ．
(1)连接 ，求证： ；
(2)依题意补全图形，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
6．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟）如图，在 与 中， ，
，点D在 上．(1)如图1，若点F在 的延长线上，连接 ，探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结
论；
(2)如图2，若点D与点A重合，且 ， ，将 绕点D旋转，连接 ，点G为 的中
点，连接 ，在旋转的过程中，求 的最小值；
(3)如图3，若点D为 的中点，连接 、 交于点M， 交 于点N，且 ，
请直接写出 的值．
