文档内容
专题 10 几何压轴中的证明与猜想题型
几何压轴中证明与猜想题指有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的
特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．
该题型对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年各地中考命题的一个热点．通常这类
题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组
合型、问题开放型等．考生在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加
强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题
型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角
度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得
出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不
重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以
严密的论证．
（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与
点B，C重合），且 ．(1)当 时，求证： ；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且 ．若
， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．
（1）先利用正方表的性质求得 ， ，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全
等，然后由全等三角形的性质求解；
（2）延长CB至M，使 ，连接AM，先易得 ，推出 ，
，进而得到 ，最后利用全等三角形的性质求解；
（3）过点H作 于点N，易得 ，进而求出 ，再根据（2）的结
论求解．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为 ．
理由如下：
延长CB至M，使 ，连接AM，
则 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴∠MAE=∠FAE，
在 和 中
，
∴ ，
∴EM=EF，
∵EM=BE+BM，
∴ ；（3）解：过点H作 于点N，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知， ．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角
形全等是解答关键．
（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段
AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 ，再由全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 得到 是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作 于点G，连接AF，根据等边三角形的性
质和锐角三角函数求值得到 ， ，进而得到 ，进而求出，结合 ，ED＝EC得到 ，再用等腰直角三角形的性质求解．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；② ，理由见解析
【详解】（1）解： ．
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①
理由：∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
②过点A作 于点G，连接AF，如下图．∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，
∴ ．
本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形
的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，
将 沿 翻折到 处，延长 交 边于 点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 将 沿 翻折到
处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且 求 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， ， 为 边上的三等分点， 将 沿
翻折得到 ，直线 交 于点 求 的长．
（1）根据将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，得 ， ，即得 ，可证 ；
（2）延长 ， 交于 ，设 ，在 中，有 ，得 ，
，由 ，得 ， ， ，而 ， ，可
得 ，即 ， ，设 ，则 ，因 ，有 ，
即解得 的长为 ；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，设 ，
，则 ， ，由 是 的角平分线，有 ①，在 中，
②，可解得 ， ；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，同理解得
， ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 的长为 或
【详解】证明：（1） 将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
；（2）解：延长 ， 交于 ，如图：
设 ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
，
设 ，则 ，
，，
，即 ，
解得 ，
的长为 ；
（3）（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，如图：
设 ， ，则 ，
，
，
，
，
沿 翻折得到 ，
， ， ，
是 的角平分线，
，即 ①，
，
， ， ，
在 中， ，②，
联立①②可解得 ，
；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，如图：
同理 ，
，即 ，
由 得： ，
可解得 ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，
勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）已知 分别是四边形 和四边形 的对角线，点E在的内部， ．
(1)探索发现：如图1，当四边形 和四边形 均为正方形时，则 的度数为 ；
(2)引申运用：如图2，当四边形 和四边形 均为矩形时，
①若 ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若 ， ，求线段 的长；
(3)联系拓展：如图3，当四边形 和四边形 均为菱形且 时，设
，试探究a，b，c三者之间的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①（1）中的结论还成立；证明见解析；②
(3) ．理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ，由相似三角形的性质得到
，由余角的性质得到 ；
（2）①如图2，连接 ，设 ， ，于是得到 ， ，根据勾股定
理得到 ， ，推出 ，根据相似三角
形的性质得到 ，于是得到 ；
②根据相似三角形的性质得到 ， ，推出 ，设 ，得到
， ，根据勾股定理即可得到结论；
（3）首先根据 ，可得 ，在 中，根据勾股定理可求得之间的关系， 之间的关系；然后根据相似三角形判定的方法，判断出
，即可用b表示出 的值；最后判断出 ，在 中，根据勾股定理，判
断出a，b，c三者之间满足的等量关系即可．
【详解】（1）解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①若 ，（1）中的结论还成立；
证明：如图2，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：同理可得 ，如图3，过C点作 延长线于H，∵四边形 为菱形，
∴ ，设 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∵四边形 和四边形 均为菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即a，b，c三者之间满足的等量关系是： ．
2．（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】
(1)如图①，在四边形 中， ， ，求证∶ ；
(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形 中，点 在 上， 与 互补， ，
求 的长；
(3)【拓展提高】如图③，在菱形 中， 为其内部一点， 与 互补，点 在 上，
，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由 ，可得 ，再利用 ，即可得出 ；
（2）根据两组角相等可求得 ，可得 ，进而可求得 的值；
（3）延长 交 于G，则四边形 是平行四边形， ，由 得
，由（2）可得． ， ，可得 ，
即 ， ，根据菱形 得 ，则 ，
即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 于G，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得． ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（2022·山东济南·统考模拟预测）（1）【问题情境】如图 ，四边形 是正方形，点 是 边上
的一个动点，以 为边在 的右侧作正方形 ，连接 、 ，则 与 的数量关系是______；
（2）【类比探究】如图 ，四边形 是矩形， ， ，点 是 边上的一个动点，以
为边在 的右侧作矩形 ，且 ，连接 、 ．判断线段 与 有怎样的数量关系
和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接 ，则 的最小值为______．
【答案】（1） ；（2） ．理由见解析；（3）
【分析】（1）通过证明 全等，得到 ；
（2）通过证明 得到 ， ，延长 相交于点H．可以证
明 ；
（3）作 于N， 交 的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段 ，将的最小值转化为求 的最小值．
【详解】解： ，
理由：
∵正方形 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．
理由如下：延长 相交于点H．
∵矩形 、矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作 于N， 交 的延长线于M．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点G的运动轨迹是直线 ，
作点D关于直线 的对称点 ，连接 交 于G，此时 的值最小，最小值为 ，
由（2）知， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值就是 的最小值．
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
4．（2022·江苏苏州·校考一模）【理解概念】
定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且 ．
①若 ，则 ______ ；
②若 ，则 ______ ；
【巩固新知】
(2)如图①，在 中， ，点D在 边上，若 是“准直角三角
形”，求 的长；
【解决问题】
(3)如图②，在四边形 中， ，且 是“准直角三角
形”，求 的面积．【答案】(1)①15；②10或25
(2) 或
(3) 的面积为48或24
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据题意可分为①当 时，过点D作 于H，结合勾股定理求解；②
，结合相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）过点C作 于F， ，交 的延长线于E，设 ，
根据 和 可得 ，即可证明 ，可得 ，进而分情况
讨论求解：当 时和当 ．
【详解】（1）①当 时，则 ，
∴ （不合题意舍去），
当 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： ，
故答案为：15；
②当 时，则 ，
∴ ，
当 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ，
故答案为：10或25；
（2）当 时，如图①，过点D作 于H，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ；
（3）如图②，过点C作 于F， ，交 的延长线于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
当 时，
又∵ ，
∴ ，
由（2）可知： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 ，
又∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的面积为48或24．
5．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）问题发现．
(1)如图 ， 中， ， ， ，点 是 边上任意一点，则 的最小值为
______．
(2)如图 ，矩形 中， ， ，点 、点 分别在 、 上，求 的最小值．
(3)如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，且 ，点 是 边上的任意一
点，把 沿 翻折，点 的对应点为 ，连接 、 ，四边形 的面积是否存在最小值，若
存在，求这个最小值及此时 的长度．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值为 ，
【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求
出 的最小值；
（3）先确定出 时，四边形 的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用
面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．【详解】（1）如图①，过点C作 于P，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CP最小，
在Rt 中， ，根据勾股定理得， ，
∵
∴ ，
故答案为 ；
（2）如图 ，作出点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
过点 作 于 ，交 于 ，连接 ，此时 最小；
四边形 是矩形，
， ，根据勾股定理得， ，
，
，
，
由对称得， ，
在 中， ，，
在 中， ；
即： 的最小值为 ；
（3）存在．
如图 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
根据勾股定理得， ，
， ，
点 在 上的任何位置时，点 始终在 的下方，
设点 到 的距离为 ，
，
要四边形 的面积最小，即： 最小，
点 是以点 为圆心， 为半径的圆上在矩形 内部的一部分点，
时， 最小，
由折叠知 ，
延长 交 于 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
，，
过点 作 于 ，
， ，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
．
6．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模） 中， ， ，点 为直线 上一
动点 点 不与 ， 重合 ，以 为边在 右侧作菱形 ，使 ，连接 ．
(1)观察猜想：如图 ，当点 在线段 上时，
与 的位置关系为：______．
， ， 之间的数量关系为：______；
(2)数学思考：如图 ，当点 在线段 的延长线上时，结论 ， 是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 ，当点 在线段 的延长线上时，设 与 相交于点 ，若已知 ，，求 的长．
【答案】(1)① ；②
(2)①成立，证明见解析；②不成立，证明见解析
(3)
【分析】 根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质即可
得到结论； 根据全等三角形的性质得到 ，再根据 ，即可得出 ；
依据 ≌ ，即可得到 ，进而得到 ；依据 ≌ 可
得 ，依据 ，即可得出 ；
判定 ≌ ，即可得到 ， ，再根据
∽ ，即可得到 ，进而得出 的长．
【详解】（1）解： ， ，
是等边三角形，
，
，
又 菱形 中， ，
≌ ，
，
又 ，
，
；
≌
，
又 ，
，
故答案为： ； ；（2）结论 成立，而结论 不成立．
证明：如图 ， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
又 菱形 中， ，
≌ ，
，
又 ，
，
；
≌
，
又 ，
；
（3）解：如图 ，连接 ，过 作 于 ，则 ， ，
中， ，， ，
是等边三角形，
又 ， ，
，
≌ ，
， ，
又 ，
∽ ，
，
可设 ，则 ， ， ，
，
解得 ，
．
