文档内容
专题 10 二次函数综合问题
一、【知识回顾】
【思维导图】
【类型清单】
二、【考点类型】
考点1：线段周长问题
典例1：（2022·漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的
最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是
等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2018·大庆）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y
轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求
PE+EF的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．
【变式2】（2022九上·东阳月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，
3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ⊥x轴于点M，DQ与BC相交于点M．
DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D的横坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式3】（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐
标为(-3，0)，与y轴交于点C，点D(-2，-3)在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标.
考点2：面积问题
典例2：（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx 经过点1
(−2，5) ，且与直线 y=− x 在第二象限交于点A，过点A作 AB⊥x 轴，垂足为点
2
B(−4，0) .若P是直线 OA 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 PC⊥x 轴于点C，交 OA 于
点D，连接 OP ， PA .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 △AOP 的面积S的最大值；
（3）连接 PB 交 OA 于点E，如图2，线段 PB 与 AD 能否互相平分？若能，请求出点E的坐
标；若不能，请说明理由.
【变式1】（2022九上·岳麓开学考）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2，0)、B(4，0)两点，与
y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(10)．
1
（1）若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；
（2）当c<0时，求函数y=−2022|ax2+bx+c|−1的最大值；
m2
（3）若不论m为任何实数，直线y=m(x−1)− 与抛物线C 有且只有一个公共点，求a，b，c的
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值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
