文档文本内容
专题 10 二次函数综合问题
一、【知识回顾】
【思维导图】
【类型清单】
二、【考点类型】
考点1：线段周长问题
典例1：（2022·漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的
最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是
等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2018·大庆）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y
轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求
PE+EF的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．
【变式2】（2022九上·东阳月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，
3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ⊥x轴于点M，DQ与BC相交于点M．
DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D的横坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式3】（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐
标为(-3，0)，与y轴交于点C，点D(-2，-3)在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标.
考点2：面积问题
典例2：（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx 经过点1
(−2，5) ，且与直线 y=− x 在第二象限交于点A，过点A作 AB⊥x 轴，垂足为点
2
B(−4，0) .若P是直线 OA 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 PC⊥x 轴于点C，交 OA 于
点D，连接 OP ， PA .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 △AOP 的面积S的最大值；
（3）连接 PB 交 OA 于点E，如图2，线段 PB 与 AD 能否互相平分？若能，请求出点E的坐
标；若不能，请说明理由.
【变式1】（2022九上·岳麓开学考）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2，0)、B(4，0)两点，与
y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC、BC、DB、DC．（1）求抛物线的函数表达式．
3
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值．
4
（3）当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，
使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存
在，请说明理由．
【变式2】（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，
0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合
条件的点F的坐标．
【变式3】（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，
0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求S 的最大值；
ΔPAC
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
考点3：角度问题典例3：（2022九下·磐安期中）如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(1，0) ，
B(9，0) ，与 y 轴交于点 C ，已知 ∠OAC=∠OCB .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 在 y 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 Q ，满足 ∠AQP=90° ？
如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
2
（3）若点 P 在 y 轴上，满足 sin∠APB= 的点 P 是否存在？如果存在，请求出点 P 的坐
3
标；如果不存在，请说明理由.
【变式1】（2021九上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3过点A(−3，0)，
B(1，0)，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，∠NAB=∠BCO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，∠ANM=45°，则这时点M的坐标为
（直接写出结果）．
【变式2】（2022·通辽）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC
方程为y=x−3．（1）求抛物线的解析式；
1
（2）点P为抛物线上一点，若S = S ，请直接写出点P的坐标；
△PBC 2 △ABC
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
【变式3】（2021九上·海珠期末）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，
4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
考点4：特殊三角形问题
典例4：（2022·湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封
闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C：y＝x2+2x﹣3与抛物线C：y＝ax2+2ax+c组成一个开口
1 2向上的“月牙线”，抛物线C 和抛物线C 与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右
1 2
侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C 的解析式和点G的坐标．
2
（2）点M是x轴下方抛物线C 上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C 于点D，求线段
1 2
MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得
△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2021九上·南充期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线 x=1 ，且与x
轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，−3) ， OB=OC .（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得 △BCQ 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）设抛物线上的一点 P 的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使 △BCP 的面积为最大整数
时点P的坐标.
【变式2】（2021九上·遂宁期末）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于
A(−2，0)，B(6，0) 两点，与 y 轴交于点 C ，直线 l 与抛物线交于 A，D 两点，与 y 轴
交于点 E ，且点 D 为 (4，3) ；（1）求抛物线及直线 l 的函数关系式；
（2）点 F 为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点 G ，使 ΔAFG 为等腰三角形，若存在，
求出点 G 的坐标；
（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且 ∠ADQ=45∘ ，请直接写出点 Q 的坐标.
【变式3】（2022九上·温州月考）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，
0），与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点5：特殊四边形问题
典例5：（2022九下·重庆开学考）如图，已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点1
C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y= x-4.
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，
过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR.求△PQR面积的最大值及此时
点P的坐标；
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2 √5 个单位长度
得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐
标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的
坐标；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交
于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四
边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】21．（2022九上·海曙期中）如图， 拋物线y=−x2+bx+c交y轴于点A(0，2)，交x轴于
点B(4，0)、C两点，点D为线段OB上的一个动点（不与O、B重合)，过点D作DM⊥x轴，交
AB于点M，交抛物线于点N.（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN和BN，当△ABN的面积最大时，求出点D的坐标及△ABN的最大面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若
存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式3】（2022九上·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相
交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且抛物线的对称轴与x轴的交点为Q．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，QA，QB，求四边形PAQB面积的
最大值及此时P的坐标；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+b x+c（a≠0），平移后的抛物线与原
1 1 1 1
抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点
B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点6：相似三角形问题
典例6：（2022九上·镇海区开学考）如图，抛物线经过点A(4，0)、B(1，0)、C(0，−2)三点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M
为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
【变式1】（2022九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(ac≠0) 与x
轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 OA、OB、OC 的长满足OC2=OA⋅OB ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0) 为“黄
金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 OA=4OB
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为 AC 上方抛物线上的动点，过点P作 PD⊥AC ，垂足为D.
①求 PD 的最大值；
②连接 PC ，当 △PCD 与 △ACO 相似时，求点P的坐标.
1
【变式2】（2022九上·金东期末）已知抛物线y= (x+2)(x−m)与x轴负半轴交于点A，与x轴正半
m
轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）.（1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积.
（2）如图，当AP∥BC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
（3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值.
【变式3】（2022九下·宁波月考）如图，已知抛物线y=-x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y
轴交于点C，图象的对称轴为直线x=-1．连结AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的
垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．（1）求AB的长度；
（2）连结AE、CE，当△ACE的面积最大时，求点D的坐标：
（3）直接写出m为何值时，△ADF与△CDE相似．
考点7：解析几何问题（韦达定理）
典例7：（2022九上·杭州开学考）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0.
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点
M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x，y），（x，y），当a≤x ＜x≤a+2时，总有y＞y，求a
1 1 2 2 1 2 1 2
的取值范围.
【变式1】（2022九上·福建竞赛）已知开口向上的抛物线 y=ax2+bx+c 与直线：y=ax+c，y=cx+a中
的每一条都至多有一个公共点.
c
（1）求 的最大值；
a
c 31
（2）当 取最大值时，设直线 y= a 交抛物线 y=ax2+bx+c 于A，B两点，C为抛物线的
a 4顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值.
【变式2】（2022九上·桐庐月考）已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x，y），B（x，y）两点，当x＜0＜x 时，都
1 1 2 2 1 2
有y＜y，求证：b＜2a．
1 2【变式3】（2022九上·溪湖开学考）已知：抛物线C ：y=ax2+bx+c(a>0)．
1
（1）若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；
（2）当c<0时，求函数y=−2022|ax2+bx+c|−1的最大值；
m2
（3）若不论m为任何实数，直线y=m(x−1)− 与抛物线C 有且只有一个公共点，求a，b，c的
4 1
值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
