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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题17二次函数与公共点及交点综合
【例1】（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函
数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当
△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，
直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣ ，0），N（2+ ，0），再求出MN＝2 ，MN的中
点坐标为（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣
4），再求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣
x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝
﹣4的交点为（﹣1，﹣4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣ 或0≤x≤1或3≤x＜2+
时，﹣4≤y＜0；
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解析】（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，解得x＝2﹣ 或x＝2+ ，
∵M在N的左侧，
∴M（2﹣ ，0），N（2+ ，0），
∴MN＝2 ，MN的中点坐标为（2，0），
∵△MNP为直角三角形，
∴ ＝ ，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣ 或0≤x≤1或3≤x＜2+ 时，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2﹣2x﹣3的顶点为
A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，
最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与
射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范
围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝
2，解得m＝ （舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2
（m+2）+3＝2，解得 m＝﹣ （舍）；③当 m≤1≤m+1，即 0≤m≤1，p﹣q＝
（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1（舍）；④当m+1＜
1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝ +1（舍）或m＝﹣
+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后
的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程
组 ，由Δ＝0时，解得h＝ ，此时抛物线的顶点为（ ，﹣ ），
此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向
下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B
时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公
共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由
此可求解．
【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得 ，∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝ （舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣ （舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+ （舍）或m＝1﹣ ，
综上所述：m的值 ﹣1或1﹣ ；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣5，
联立方程组 ，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝ ，
此时抛物线的顶点为（ ，﹣ ），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝ ．【例3】（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），
B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E
运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一
点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下
方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k| ）与抛物线只有一个公共点
且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．
【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y
＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；
（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得 ，解得t＝ ；当△EMN∽△OCB时，
得 ，解得t＝ ；
（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解
析式，再根据直线l：y＝kx+m 与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析
式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．
【解析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，
将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为： ，
又∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴顶点为D ；
（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝
2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴ ，
解得t＝ ；
②当△EMN∽△OCB时，
∴ ，
解得t＝ ；
综上所述，当 或 时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；（3）∵点 关于点D 的对称点为点G，
∴ ，
∵直线l：y＝kx+m 与抛物线只有一个公共点，
∴ 只有一个实数解，
∴Δ＝0，
即： ，
解得： ，
利用待定系数法可得直线 GA 的解析式为： ，直线 GB 的解析式为：
，
联立 ，结合已知 ，
解得：x ＝ ，
H
同理可得：x ＝ ，
K
则：GH＝ ＝ ，GK＝ ＝ ×
，
∴GH+GK＝ + × ＝ ，
∴GH+GK的值为 ．
【例4】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，
0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接 BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S ，△DEF的面积记为S ，当S ＝2S 时，求点E的坐标；
1 2 1 2
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物
线剩下的部分组成新的曲线记为C ，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲
1
线C 沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C 与直线BC的公共点中，选两
1 1
个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；
（2）设点E（t， t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作
FN⊥x 轴于点 N，如图 1，根据三角形面积关系可得 ＝ ，由 EM∥FN，可得
△BFN∽△BEM，得出 ＝ ＝ ＝ ，可求得F（2+ t， t2﹣ t﹣2），代入直
线AD的解析式即可求得点E的坐标；
（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y
＝﹣ （x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+4﹣n，平
移后抛物线剩下部分的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线
BC的解析式为y＝ x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝ x+3，由四边形C′G′QP是
平行四边形，分类讨论即可．
【解析】（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴ ，
解得： ，∴抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣3；
②由①得y＝ x2﹣x﹣3，
当y＝0时， x2﹣x﹣3＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线AD的函数表达式为y＝ x﹣1；
（2）设点E（t， t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作
FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S ＝2S ，即 ＝2，
1 2
∴ ＝2，
∴ ＝ ，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（ t2﹣t﹣3）＝﹣ t2+t+3，
∴BN＝ （6﹣t），FN＝ （﹣ t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣ （6﹣t）＝2+ t，y＝﹣ （﹣ t2+t+3）＝ t2﹣ t﹣2，
∴F（2+ t， t2﹣ t﹣2），
∵点F在直线AD上，∴ t2﹣ t﹣2＝﹣ （2+ t）﹣1，
解得：t ＝0，t ＝2，
1 2
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝ x2﹣x﹣3＝ （x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为G（2，﹣4），
当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），
∴点C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 y＝﹣ （x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部
分的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），
把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝ x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为（s， s﹣3），
∵点C′（0，3），G′（2，4），
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，
∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q（s+2， s﹣2），
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则 ，解得： （不符合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为（1+ ， ）或（1﹣ ， ）．
一．解答题（共20小题）
1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ x2+mx+m+ 的图象与x轴交于点
A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣ ），P是抛物线在直线AC上方
图象上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，
得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，
请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC
的解析式为y＝﹣ x﹣ ，如图1，设P（t，﹣ t2﹣3t﹣ ），过点P作PH∥y轴交直
线AC于点H，则PH＝﹣ t2﹣ t，利用S△PAC ＝S△PAH +S△PCH ＝﹣ （t+ ）2+ ，
即可运用二次函数求最值的方法求得答案；
（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝ （x+3）2﹣2，顶点坐标
为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝ （x﹣n）2﹣
n﹣ ，顶点坐标为（n，﹣ n﹣ ），当图象M经过点C（0，﹣ ）时，可求得：
n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣ 或n＝ （舍去），
就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣ ≤n≤﹣1或n＝2．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣ x2+mx+m+ 与y轴交于点C（0，﹣ ），
∴m+ ＝﹣ ，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣ x2﹣3x﹣ ；
（2）在y＝﹣ x2﹣3x﹣ 中，令y＝0，得：﹣ x2﹣3x﹣ ＝0，
解得：x ＝﹣5，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣ ），
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
如图1，设P（t，﹣ t2﹣3t﹣ ），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，﹣ t﹣ ），
∴PH＝﹣ t2﹣3t﹣ ﹣（﹣ t﹣ ）＝﹣ t2﹣ t，
∴S△PAC ＝S△PAH +S△PCH
＝ •PH•（x ﹣x ）+ •PH•（x ﹣x ）
P A C P
＝ •PH•（x ﹣x ）
C A
＝ ×（﹣ t2﹣ t）×[0﹣（﹣5）]
＝ t2﹣ t
＝﹣ （t+ ）2+ ，
∴当t＝﹣ 时，S△PAC 取得最大值 ，
此时，点P的坐标为（﹣ ， ）；（3）如图2，抛物线y＝﹣ x2﹣3x﹣ 在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向
下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣ x2﹣3x﹣ ＝ （x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y＝ （x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣ x﹣ ，
∴图象M的顶点坐标为（n，﹣ n﹣ ），
∴图象M的函数解析式为：y＝ （x﹣n）2﹣ n﹣ ，
当图象M经过点C（0，﹣ ）时，
则：﹣ ＝ （0﹣n）2﹣ n﹣ ，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣ x﹣ （﹣ ≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直
线y＝﹣ x﹣ ，
∴联立可得： ，
解得： ，
将 代入y＝ （x﹣n）2﹣ n﹣ ，可得： （﹣ ﹣n）2﹣ n﹣ ＝ ，
解得：n＝﹣ 或n＝ （舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣ ≤n≤﹣1或n＝2．2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是
L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分
别为（1，0），（1，1），连接AB．
（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；
（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；
（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣ ，直接写出t的值．【分析】（1）当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的对称轴为直线x＝1，由
点P与点Q关于直线x＝1对称得m+n＝2，即可求得n关于m的关系式；
（2）将y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成顶点式y＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，则抛物线的对称轴为直
线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），再说明线段AB在直线x＝1上，由L与线段AB
有公共点可列不等式组得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式组求出它的解集即可；
（3）分三种情况，一是直线x＝2t﹣1在抛物线的对称轴的左侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范
围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x＝1在直线x＝2t﹣3与直
线x＝2t﹣1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t﹣6＝﹣ ，解方程求出
符合题意的t值；三是直线x＝2t﹣3在抛物线的对称轴的右侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围
内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值．
【解析】（1）如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，
∴m+n＝2，
∴n＝﹣m+2（m＞1）．
（2）如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，
∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），
∵A（1，0），B（1，1），
∴线段AB在直线x＝1上，∵L与线段AB有公共点，
∴0≤t2+2t﹣6≤1，
解得﹣1﹣2 ≤t≤﹣1﹣ 或﹣1+ ≤t≤﹣1+2 ，
∴t的取值范围是﹣1﹣2 ≤t≤﹣1﹣ 或﹣1+ ≤t≤﹣1+2 ．
（3）当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值；
当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，
∵L的顶点为最低点，
∴t2+2t﹣6＝﹣ ，
解得t ＝ ，t ＝ ，
1 2
∵ ＜1，
∴t ＝ 不符合题意，舍去；
2
当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值，
综上所述，t的值为 ．3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数 y ＝2x和函数y ＝﹣x+6，
1 2
不论x取何值，y 都取y 与y 二者之中的较小值．
0 1 2
（1）求函数y 和y 图象的交点坐标，并直接写出y 关于x的函数关系式；
1 2 0
（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y 和y都随着x的增大而减小，求自变量x的
0
取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y 和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
0
【分析】（1）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；
（2）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根
据二次函数的增减性可得x＜4，从而得解；
（3）①若函数y＝x2﹣8x+c与y ＝﹣x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关
0
于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取
值范围内，则符合；②若函数y＝x2﹣8x+c与y ＝﹣x+6有两个交点，先利用根的判别
0
式求出c的取值范围，先求出x＝2与x＝4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，
另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴函数y 和y 图象交点坐标（2，4）；
1 2
y
0
关于x的函数关系式为y
0
＝ ；
（2）∵对于函数y ，y 随x的增大而减小，
0 0
∴y
0
＝﹣x+6（x ≥2），
又∵函数y＝x 2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，
∴当x＜4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x ＜4；
（3）①若函数y＝x 2﹣8x+c与y
0
＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x ＜4范围内，
则x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+（ c﹣6）＝0，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4（ c﹣6）＝73﹣4c＝0，
解得c＝ ，
此时x
1
＝x
2
＝ ，符合2＜x ＜4，
∴c＝ ；
②若函数y＝x 2﹣8x+c与y
0
＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x ＜4范围内，另一个
在2＜x ＜4范围外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜ ，
∵对于函数y ，当x＝2时，y ＝4；当x＝4时y ＝2，
0 0 0
又∵当2＜x ＜4时，y随x的增大而减小，
若y＝x 2﹣8x+c与y
0
＝﹣x+6在2＜x ＜4内有一个交点，
则当x＝2时y＞y ；当x＝4时y＜y ，
0 0
即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，
∴ ，
解得16＜c ＜18，又c ＜ ，
∴16＜c ＜18，
综上所述，c的取值范围是：c＝ 或16＜c ＜18．
4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常
数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．
（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；
（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以 AC为对角线构造矩形
ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．
【分析】（1）由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；
②分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足
条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可．
【解析】（1）m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴顶点为（1，5），
∵x≤2，
∴图象G的最低点坐标为（1，5）；
（2）①当x＝2m时，y＝6m，
∴A（2m，6m），
∵C（﹣2，2），
∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，
∴B（﹣2，6m），
同理得D（2m，2），
∵AD＝CD，
∴|6m﹣2|＝|2m+2|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A的坐标为（0，0）或（2，6）；
②∵点A在图象G上，
∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，
∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；
∵点A的横坐标为2m，∴A（2m，6m），
当x＝﹣2时，y＝4+10m，
当4+10m＝6m时，m＝﹣1，
如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
∴矩形与图象G只有一个交点A；
当m＝﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；
当经过点C时，4+10m＝2，
解得m＝﹣ ，
∴m＞﹣ 时，图象G与矩形有两个交点；
如图3，
当6m＝2时，即m＝ ，
当0＜m＜ 时，2m＞m，
∵x2﹣2mx+4m＝6m，
整理得，x2﹣2mx＝0，
∵Δ＝4m2≥0，
∵m≠0，
∴Δ＞0，
此时图象G与AB边有另一个交点，
∴此时图象G与矩形ABCD有三个交点，
当m＝ 时，A点坐标为（ ，2），此时AC不与x轴平行，不符合题意；
当m＞ 时，此时图象G与矩形ABCD有两个交点；
综上所述：﹣1＜m≤0或m＞ 时，图象G与矩形ABCD有两个交点．5．（2022•清镇市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝ a ；（用含字母a的代数式表示）
（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；
（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a
的取值范围．
【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣ 求解．
（2）由抛物线对称轴及点A坐标可得点B坐标，进而求解．
（3）分类讨论a＞0与a＜0，根据点A，B，P，Q的坐标，结合图象求解．
【解析】（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝a．
故答案为：a．
（2）∵A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AB＝|2a|＝2，
当a＞0时，a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1，
当a＜0时，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+1．
（3）将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，
∴点A坐标为（0，1），
当a＞0时，抛物线开口向上，点Q（0，2）在点A（0，1）上方，
∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，
∴点B坐标为（2a，1），
∴当a+4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，
解得a≤4，
当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，
当点P在抛物线内部时，满足题意，
∴2a≤a+4≤0，
解得a≤﹣4，综上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．
6．（2022•五华区三模）已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出
公共点的坐标；若没有，请说明理由；
（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若
＝ ，求m的值．
【分析】（1）把点A坐标代入抛物线解析式即可求出a；
（2）由（1）知a＝﹣ ，再由抛物线与y轴的交点为（0，﹣1）可以求出m的值，然
后由Δ＝0，可以得抛物线与x轴有一个公共点，再令y＝0解方程求出x即可；
（3）先求出抛物线对称轴，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三种情况分别求
出函数的最大值M和最小值N，由 ＝ 求出m的值．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4），
∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
解得：a＝﹣ ；
（2）由（1）知a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2﹣mx+2m﹣3，
∵抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），
∴2m﹣3＝﹣1，
解得m＝1，
∴y＝﹣ x2﹣x﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣ ）×（﹣1）＝1﹣1＝0，
∴抛物线与x轴是有一个公共点，
令y＝0，则﹣ x2﹣x﹣1＝0，
解得：x ＝x ＝﹣2，
1 2
∴公共点的坐标为（﹣2，0）；
（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣ x2﹣mx+2m﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2m，
①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，M＝y ＝﹣ ×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
max
当x＝4时，N＝y ＝﹣ ×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
min
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：m＝﹣ ，不符合题意；
②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，
若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，
则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣ ×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m
﹣3，
当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣ ×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：m ＝﹣ ，m ＝﹣ （不合题意，舍去）；
1 2
若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，
则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣ ×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m
﹣3，
当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣ ×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，解得：m ＝ ，m ＝ （不符合题意，舍去）；
1 2
③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，N＝﹣ ×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
当x＝4时，M＝﹣ ×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：m＝﹣ （不符合题意，舍去），
综上所述，m的值为﹣ 或 ．
7．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，
1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）
的图象有2个公共点，求n的取值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解；
（2）二次函数的图象与一次函数 y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程 a
（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解析】（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴ 得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞ ．
∴n的取值范围为：n ．
8．（2022•盐城二模）若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），其中a、b为
常数．
（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
（2）点B（﹣ ，1）、C（2，1）为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，0）代入抛物线解析式，可得b＝﹣2﹣2a，继而求出抛物线
对称轴即可求解；
（2）①根据题意将x＝1+ ，y＝1，代入抛物线解方程即可求解；
②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三种情况进行讨论求解即可得a的取值范围．
【解析】（1）∵y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），
即当x＝1时，y＝a+b+a+2＝0，
∴b＝﹣2﹣2a，
∴y＝ax2﹣（2a+2）x+a+2，
∴对称轴x＝﹣ ＝ ＝1+ ，
∴抛物线顶点的横坐标为1+ ；（2）①抛物线的顶点在线段BC上，且点B（﹣ ，1）、C（2，1），
∴顶点纵坐标为1，且﹣ ≤1+ ≤2，
当x＝1+ 时，y＝1，即a（1+ ）2﹣（2a+2）（1+ ）+a+2＝1，
整理得：﹣ ＝1，
解得：a＝﹣1，
检验，当a＝﹣1时，a≠0，
∴a＝﹣1；
②∵对称轴x＝1+ ，
当a＞0时，对称轴x＝1+ 在点A（1，0）的右侧，即xx＝1+ ＞1，
∵抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B（﹣ ，1）、C（2，1），
∴当x＝2时，y＜1，即4a﹣2（2a+2）+a+2＜1，
解得：a＜3，
当x＝﹣ 时，y＞1，即 a+ （2a+2）+a+2≥1，
解得：a≥﹣ ，
∴0＜a＜3，
当a＜0，且a≠﹣1时，对称轴x＝1+ 在点A （1，0）的左侧，即x＝1+ ＜1，抛物
线开口向下，且过点A （1，0），
当x＝﹣ 时，y＞1，即 a+ （2a+2）+a+2＞1，
解得：a＞﹣ ，
∵a＜0，
∴﹣ ＜a＜0；
由①知，当a＝﹣1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，
∴当a＝﹣1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，
综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围是0＜a＜3或﹣ ＜a＜0或a＝﹣1．
9．（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B（另一个交
点为A），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，求点 A 的坐标，并结合图象写出不等式
x2+2x+c≥kx+b的解集；
（3）已知点P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一
个公共点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）设B（m，0），可得C（0，﹣3m），代入y＝x2+2x+c即可解得抛物线的
解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0可得A（﹣3，0），由图象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或
x≥0；
（3）设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛
物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，在 y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根据
2t+1≤5，可得t的取值范围是t≤2．
【解析】（1）设B（m，0），则OB＝m，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3m，C（0，﹣3m），
将B（m，0），C（0，﹣3m）代入y＝x2+2x+c得：
，解得 （此时B不在x轴正半轴，舍去）或 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2+2x+c≥kx+b，
∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或x≥0；
（3）设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，如图：
由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，
∴2t+1≤5，
解得t≤2，
答：线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，t的取值范围是t≤2．
10．（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣
2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点
P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒 和2 个单位长度运动，经过t秒
后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点 R，作关于原点（0，0）的对称点为
R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【分析】（1）将A（a，﹣2a）代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2可求a的值，设P（m，﹣
2m），由OP＝ ，可求m的值，从而求出P点坐标；
（2）分别求出P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），根据在
矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，即可
求t的范围；
（3）设 R（m，﹣m2﹣2m+2），则 R'（﹣m，m2+2m﹣2），由 R′M＝
，可得当（m+1）2＝ 时，R'M有最小值，解得m＝ ﹣1或
m＝﹣ ﹣1，即可求R（ ﹣1， ）或（﹣ ﹣1， ）．
【解析】（1）当x＝a时，y＝﹣2a，
∴A（a，﹣2a），
∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，
解得a＝ ，
由题意可知a＝﹣ ，
∴y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1时，OP＝ ，
设P（m，﹣2m），
∴ m＝ ，
∴m＝1，∴P（1，﹣2）；
（2）由题意可知，OP＝ t，OQ＝2 t，
∴P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），
∵四边形PMQN是矩形，
∴M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），
在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，
当M点在抛物线上时，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，
解得t＝ 或t＝﹣1（舍），
当N点在抛物线上时，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，
解得t＝1+ 或t＝﹣1﹣ （舍），
∴ ≤t≤1+ 时，矩形PMQN与抛物线有公共点；
（3）设R（m，﹣m2﹣2m+2），
∴R'（﹣m，m2+2m﹣2），
由（2）知，M（1，﹣1），
∴R′M＝ ＝ ，
当（m+1）2＝ 时，R'M有最小值，
∴m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1，
当y＝0时，﹣x2﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1+ ，0），（﹣1﹣ ，0），
∵R点在x轴上方，
∴﹣1﹣ ＜m＜﹣1+ ，
∴m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1，
∴R（ ﹣1， ）或（﹣ ﹣1， ）．
11．（2022 春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2
（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣ 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含 a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （ 1 ， 0 ） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直
接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，
即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即
可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+ ，分a＞0或a＜0两种情
况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求
解．
【解析】（1）a＝﹣ 时，y＝﹣ x2﹣ x+
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣ x2﹣ x+ 得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝1+ ，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+ ，
分两种情况：
①当a＜0时，1+ ＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+ ＞1，i）当1＜1+ ≤3时，即a≥ ，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+ ＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝ ，
当a＝ 时， x2﹣ x+ ＝0，
解得：x ＝x ＝4（符合题意，如图1），
1 2
②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴ ，
解得：﹣5＜a＜ ，
∴0＜a＜ ；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴ ，
解得：﹣5＜a＜ ，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝ 或0＜a＜ 或﹣5＜a＜0．
12．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长
度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；（2）根据平移的性质求得B（2，3），然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”
得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得
9a+3b﹣3a＝0，
化简，得b＝﹣2a，
∴二次函数的对称轴为： ．
（2）∵点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位
长度后得到点B，
∴B（2，3），
∵a＜0，开口向下，
∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，
解得a≥﹣1，
故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．
13．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y ），（3，y ）在函数图象上，比较y 与y 的大小；
1 2 1 2
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）先求出y ﹣y ＝3a（a﹣1），然后分三种情况讨论即可；．
1 2
（3）先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分a＞0
和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x ＝1，x ＝1+a，
1 2
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵点（0，y ），（3，y ）在函数图象上，
1 2
∴y ＝a2+a，y ＝﹣2a2+4a．
1 2
∴y ﹣y ＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
1 2
∴当a＜0或a＞1时，y ＞y ，
1 2
当a＝1时，y ＝y ，
1 2
当0＜a＜1时，y ＜y ；
1 2（3）∵二次函数v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于（﹣1，0）和（1+a，0）两点，
对称轴x＝﹣ ＝ ，
当x＝ 时，
y＝a（ ﹣1）（ ﹣1﹣a）＝a× ×（﹣ ）＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为（ ，﹣ ），
由（2）可知：当x＝0时，y ＝a2+a，
1
当t＝3时，y ＝﹣2a2+4a，
2
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴ ，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝ ，
当0＜ ＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣ ＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当 ≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
14．（2022•余姚市一模）已知：一次函数y ＝2x﹣2，二次函数y ＝﹣x2+bx+c（b，c为常
1 2数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出
当y ＜y 时x的取值范围．
1 2
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系
数法求解，根据图象可得y ＜y 时x的取值范围．
1 2
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】（1）将（3，m）代入y ＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
1
将（n，﹣6）代入y ＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
1
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y ＝﹣x2+bx+c得 ，
2
解得 ，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y ＜y 时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
1 2
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
15．（2022•花溪区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣2，1），B
（2，﹣3）两点
（1）求分别以A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点为顶点的二次函数表达式；
（2）求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
（3）设（m，0）是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图
象，写出a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，写出判别式的值，根据图象经过（﹣2，1），（2，﹣
3）两点，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．
【解析】（1）当顶点为A时，设二次函数的解析式为y＝a（x+2）2+1，
把B的坐标代入得，﹣3＝16a+1，
解得a＝﹣ ，
故当A为顶点时的二次函数表达式为y＝﹣ （x+2）2+1；
当顶点为B时，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣3，
把A的坐标代入得，1＝16a﹣3，
解得a＝ ，故当B为顶点时的二次函数表达式为y＝ （x﹣2）2﹣3；
（2）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得： ，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点，
∴此二次函数图象与x轴有两个交点．
（3）∵b＝﹣1，
∴y＝ax2﹣x+c，
∵经过A（﹣2，1），
∴4a+2+c＝1，
∴c＝﹣1﹣4a，
由题意得：am2﹣m+c＝0，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
△＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
当a＞0时，
则当x＝﹣1时，y＝a+1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；
当a＜0时，
则当x＝﹣3时，y＝9a+3﹣1﹣4a＝5a+2＜0，解得a＜﹣ ．
则a＜﹣ ．
综上：a＞0或a＜﹣ ．
16．（2022•无锡模拟）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，﹣3），（0，
4），点P（m，0）（m≠0）是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线
AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．
（1）当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存
在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2）小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E（x，y）也相应的在二次函数y
＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点 P的特殊的
位置，计算了点E（x，y）的坐标，列表如下：
x ﹣ 2 0 2
y 0 ﹣ 3 0请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；
（3）把（2）中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个
单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接
写出n的取值范围．
【分析】（1）由图形可知，∠ABD＝∠ACO，当∠OPD＝∠PDO时，△OCD与△OBD
相似，通过证∠BAP＝∠PAD，△BOP∽△BDA，利用相似三角形的性质，三角形内角
分线的性质即可求出m值；
（2）当点P与点C，点O重合时，求出点E的坐标，问题可解；
（3）先求出平移后的抛物线和平移后的直线的解析式，将平移后的直线方程代入平移
后的抛物线解析式求出m的值即可求出n的取值范围．
【解析】（1）存在点P，使△OCD与△OBD相似，理由如下：
如图，
∵BP⊥AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠ABD＝∠ACO，
当∠COD＝∠BDO时，OP＝PD，△OCD∽△DBO，
连接AP，则∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∵A（0，﹣3），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝AD＝3，
∵AP＝AP，
∴△AOP≌△ADP（SAS），
∴∠BAP＝∠DAP，OP＝DP，
∴BP：OP＝BP：PD＝AB：AD，
∵P（m，0），OP＝PD＝m，AB＝OB+OA＝7，AD＝AO＝3，
∴BP：m＝7：3，
∴BP＝ m，
由△BOP∽△BDA得，OP：AD＝OB：BD，BD＝BP+PD＝ m，
∴m：3＝4：（ m），解得m＝ （负值舍去）；
∴m的值为 ．
（2）点P与点C重合时，点P与点E重合，分两种情况：
①当m＞0时，如图，∵∠APB＝90°，PO⊥AB，
∴Rt△OPB∽Rt△OAP，
∴OP：OA＝OB：OP，
∴OP：3＝4：OP，
∴OP＝2 ，
∴P（2 ，0），即点E的坐标为（2 ，0）；
同理，当m＜0时，如图，点E的坐标为（﹣2 ，0）；
当点P与原点重合，点E与点A重合时，点E的坐标为（0，﹣3）；
填写表格如下：
x ﹣2 0 2
y 0 ﹣3 0
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称，b＝0，c＝﹣3，
∴12a﹣3＝0，解得a＝ ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣3．
（3）∵抛物线y＝ x2﹣3向左平移n个单位后为：y＝ （x+n）2﹣3，
∴抛物线的顶点为（﹣n，﹣3），
直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位为：y＝﹣2x﹣4﹣n，
将顶点（﹣n，﹣3）代入y＝﹣2x﹣4﹣n得，﹣2（﹣n）﹣4﹣n＝﹣3，解得n＝1，
∴平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点时n的取值范围为n＞1．17．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣6m
（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣
2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行
BC与y轴平行．
（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；
（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由m＝﹣2代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过定点（3，﹣9），根据3≤2m求解．
（3）将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质可得|x ﹣x |＝|y ﹣
A C A
y |，进而求解．
C
（4）分类讨论，根据AB与CD，AD与BC的位置关系，结合对应抛物线的顶点位置结
合图象求解．
【解析】（1）m＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16（x≤﹣4），
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，16），
∵﹣4＜﹣2，
∴x＝﹣4时，y＝﹣16+16+12＝12为函数最大值，
∴图象G的最高点坐标为（﹣4，12）．
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣6m，
∴抛物线对称轴为直线x＝m，
将x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，
∴抛物线过定点（3，﹣9），
∴2m≥3，
解得m≥ ．
（3）将x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，
∴点A坐标为（2m，﹣6m），
∵C（﹣2，﹣2），
∴|x ﹣x |＝|y ﹣y |，
A C A C
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A坐标为（0，0）或（2，﹣6）．
（4）点A为抛物线与矩形交点，
当m＞0时，抛物线对称轴在线段AD左侧，y轴右侧，
当﹣6m＜﹣2时，AB在CD下方，m＞ ，
∴当抛物线顶点（m，m2﹣6m）在CD下方时满足题意，
∴m2﹣6m＜﹣2，
解得3﹣ ＜m＜3+ ，当﹣1＜m≤0时，AD在BC右侧，抛物线对称轴在AD右侧，抛物线在矩形内部的部分
y随x增大而增大，满足题意，
当m＜﹣1时，图象G与矩形只有1交点为A，综上所述，3﹣ ＜m＜3+ 或﹣1＜
m≤0．
18．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函
数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函
数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y ＝ x ﹣ 1 ，函数y＝
（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y ＝﹣（ x + 2 ） 2 ﹣ 1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7
时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a
＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函
数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取
值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，求
得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②
当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y
＝1，即可求得a值；③当“伴随函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可
确定a的取值范围．
【解析】（1）∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；同理可得，函数 y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y＝﹣
（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而
增大，
∵“伴随函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，
∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，
∴m≥ ，
∴m≥4，
综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围
为4≤m＜7；
（3）a的取值范围为a＝ 或a＝ 或a＞ ．理由：
①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝ ；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝ ；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a＝ ．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝ 或a＝ 或a＞ ．
19．（2022•南京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图
形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称
这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公
共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在
△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝ 1 ；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围 k ≥ 2 或 k ≤﹣ 2 ；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤2，则b的取值范围是 ﹣ 1 ﹣ 2
≤ b ≤ 1+ 2 ．
【分析】（1）将x＝0代入直线解析式求出点D坐标，然后结合图象求解．
（2）分别求出直线经过点B，C时k的值，结合图象求解．
（3）由y＝x+b与AB平行，结合图象分别求出d（W，△ABC）＝2时b的值，进而求
解．
【解析】（1）将x＝0代入y＝kx+2得y＝2，
∴D（0，2），
∴d（点D，△ABC）＝点D（0，2）到点A（0，1）的距离，
即AD＝2﹣1＝1，
当k＝1时，y＝x+2，直线L与AB平行，如图，作AE⊥直线y＝x+2，
∵三角形ADE为等腰直角三角形，AD＝1，
∴AF＝ ＝ ，
故答案为：1， ．
（2）若d（L，△ABC）＝0，则直线L与三角形ABC有交点，
当直线L经过点B时，将（﹣1，0）代入y＝kx+2得0＝﹣k+2，
解得k＝2，
∴k≥2满足题意，
当直线L经过点C时，将（1，0）代入y＝kx+2得0＝k+2，
解得k＝﹣2，∴k≤﹣2满足题意，
故答案为：k≥2或k≤﹣2．
（3）将x＝0代入y＝x+b得y＝b，
∴直线y＝x+b与y轴交点为（0，b），
如图，当b＞0时，设直线y＝x+b与y轴交点为M，与x轴交点为N，作AG⊥MN于点
G，
∵直线MN∥AB，
∴当AG＝2时，AM＝ AG＝2 ，
∴点M坐标为（0，1+2 ），
∴b＝1+2 ，
当b＜0时，设直线y＝x+b与y轴交点为Q，与x轴交点为P，作CH⊥PQ于点H，
同理，当CH＝2时，CP＝ CH＝2 ，
∴OQ＝OP＝OC+CP＝1+2 ，
∴b＝﹣1﹣2 ，
∴﹣1﹣2 ≤b≤1+2 时符合题意．
故答案为：﹣1﹣2 ≤b≤1+2 ．20．（2022•南京模拟）若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为
“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的（﹣1，1）即为反值点．
（1）判断反比例函数 的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，
若不存在，说明理由；
（2）判断关于x的函数 （a是常数）的图象上是否存在反值点？若存在，求出
反值点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m（m为常数，且m＞0）个单位后，若
在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．
【分析】（1）当y＝﹣x时，由“反值点”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（2）若y＝﹣x，可得 ，即可判定此方程无解，据此即可解答；
（3）首先根据在其图象上存在两个反值点，可得 x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，再根据一元二次
方程根的判别式及m＞0，即可求得m的取值范围．
【解析】（1）反比例函数 的图象上存在反值点．理由如下：
∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点“，
∴当y＝﹣x时，即 ，
解得：x＝3或x＝﹣3，
当x＝3时， ，
当x＝﹣3时， ，
∴反值点的坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）关于x的函数 （a是常数）的图象上不存在反值点．理由如下：
∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点，
∴若y＝﹣x，则 ，
整理，得：x2+2x+a2+2＝0，
∴Δ＝22﹣4（a2+2）＝﹣4（a2+1），
∵a2+1＞0，
∴﹣4（a2+1）＜0，
∴此方程无实数根，
∴假设不成立，∴关于x的函数 （a是常数）的图象上不存在反值点；
（3）由题意可知：将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m（m为常数，且m＞0）
个单位后所得函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵在其图象上存在两个反值点，
∴x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，
整理，得：x2﹣x+m﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣3）＝13﹣4m＞0，
解得： ，
∵m＞0，
∴m的取值范围是 ．
