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专题 02 整式及因式分解（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 整式的相关概念】...................................................................................................................................1
【考点2 整式的加减运算】...................................................................................................................................5
【考点3 幂的运算】...............................................................................................................................................8
【考点4 整式乘法公式的运用】.........................................................................................................................10
【考点5 整式的混合运算】.................................................................................................................................13
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】..........................................................................................17
【考点7 因式分解】.............................................................................................................................................21
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】.........................................................................................................23
【考点9 因式分解的应用】.................................................................................................................................25
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】.........................................................................................................29
【要点1 整式的相关概念】
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代
数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次
数。
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
【考点1 整式的相关概念】
【例1】（重庆市育才中学教育集团2022-2023学年九年级二模数学试题）关于x的三次三项式
1
A=− x3+3x2−5=a(x−1) 3+b(x−1) 2+c(x−1)+d（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三
2项式B=7x2−ex−f（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
10
①当2A−3B是关于x的三次三项式时，则f = ；
3
②当A·B中不含x3时，则f =6e；
1 1 13 3
③当x=1时，B=2；当x= 时，B= ，则e= ，f =− ；
3 9 2 2
5
④d=− ；
2
11
⑤a+b+c= ．
2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】计算2A−3B，令常数项为0可判断①；计算A·B，令x3项系数为0可判断②；由当x=1时，
1 1
B=2；当x= 时，B= 列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和a+b+c的值，
3 9
可判断④和⑤．
1 1
【详解】解：2A−3B＝2(− x3+3x2−5)−3(7x2−ex−f ) 2(− x3+3x2−5)
2 2
＝−x3−15x2+3ex+3f −10，
∵2A−3B是关于x的三次三项式，e≠0，
∴3f −10=0，
10
解得f = ，故①正确；
3
1
A·B=(− x3+3x2−5)·(7x2−ex−f )
2
7 e f
＝− x5+( +21)x4+( −3e)x3−(3f +35)x+5f，
2 2 2
∵A·B中不含x3，
f
∴ −3e=0，
2
∴f =6e，故②正确；
1 1
∵x=1时，B=2；当x= 时，B= ，
3 9
∴¿，13 3
解得e= ，f =− ，故③正确；
2 2
1
在− x3+3x2−5=a(x−1) 3+b(x−1) 2+c(x−1)+d中，令x=1得：
2
1
− +3−5=d，
2
5
∴d=− ，故④正确；
2
1
在− x3+3x2−5=a(x−1) 3+b(x−1) 2+c(x−1)+d中，令x=2得：
2
−4+12−5=a+b+c+d，
5
∵d=− ，
2
11
∴a+b+c= ，故⑤正确，
2
∴正确的有①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
【变式1-1】（2022·重庆八中三模）下列说法中，不正确的是（ ）
3xy
A．−abc2的系数是−1，次数是4 B． −2x是整式
4π
C．2πR2+3R❑是二次二项式 D．3x2−6x+1的项是3x2，6x，1
【答案】D
【分析】根据单项式和多项式的相关定义进行判断即可．
【详解】A. −abc2的系数是−1，次数是4，故选项正确，不符合题意；
3xy
B. −2x是整式，故选项正确，不符合题意；
4π
C. 2πR2+3R是二次二项式，故选项正确，不符合题意；
D. 3x2−6x+1的项是3x2，−6x，1，故选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的相关定义，掌握单项式和多项式的相关定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·浙江台州·一模）若多项式(n−2)xm+2−(n−1)x5−m+6是关于x的三次多项式，则多项
式m+n的值为______．
【答案】2或4##4或2【分析】分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得m,n的值，进而即可
求解．
【详解】解：∵多项式(n−2)xm+2−(n−1)x5−m+6是关于x的三次多项式，
当¿时，m=1，5−m=4，则n−1=0，
∴n=1
∴m+n=2；
当¿，m=2，m+2=4，则n−2=0，
∴n=2，
∴m+n=4；
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的次数是最高次数的项的次数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐
A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t 分钟，乙的通话时间为t 分钟．
1 2
月租费（元/月） 不加收通话费时限（分） 超时加收通话费标准（元/分）
套餐A 58 150 0.3
套餐B 88 350 0.3
(1)请用含t (t >150)、t (t >350)的代数式表示甲和乙的通话费用；
1 1 2 2
(2)若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；
(3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为______．
【答案】(1)(0.3t +13)元，(0.3t −17)元；
1 2
(2)490分钟；
(3)250分钟．
【分析】（1）利用通话费用=月租费+超时加收通话费标准×超时的时间，即可用含t 、t 的代数式表示出
1 2
甲和乙的通话费用；
（2）根据甲、乙的通话费用相同，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可；
2
（3）当t =t 时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，分为0＜t≤150， 150＜t≤350，t＞350三种情况
1 2
讨论，即可得出关t的一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：依题意得：甲的通话费用为58+0.3(t −150)=(0.3t +13)元，
1 1
乙的通话费用为88+0.3(t −350)=(0.3t −17)元，
2 2（2）解：依题意得：0.3t −17=0.3×390+13，
2
解得t =490，
2
答：乙的通话时间为490分钟．
（3）解：当t =t 时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，
1 2
当0＜t≤150时，甲的费用为58元，乙的费用为88元，不符合题意；
当150＜t≤350时，0.3t+13=88，解得t=250；
当 t＞350时，0.3t+13=0.3t−17，无解；
∴甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为250分钟，
故答案为：250分钟．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是要读懂题意找出等量关系才能正确
列出方程．
【要点2 整式的加减】
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
【考点2 整式的加减运算】
【例2】（2022·河北·一模）若关于x的多项式x4+3x2+ax−1与3x4+7x3−bx2+x的差不含二次项和一
次项，则a+b等于（ ）
A．−2 B．2 C．4 D．−4
【答案】A
【分析】先把两个多项式相减整理得−2x4−7x3+(3+b)x2+(a−1)x−1，再根据式子不含二次项和一次
项，得3+b=0,a−1=0，即可得答案．
【详解】解：x4+3x2+ax−1−(3x4+7x3−bx2+x)
=x4+3x2+ax−1−3x4−7x3+bx2−x
=−2x4−7x3+(3+b)x2+(a−1)x−1
∵式子不含二次项和一次项，
∴3+b=0,a−1=0，
∴b=−3,a=1，
∴a+b=1−3=−2，故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握不含二次项和一次项，就说明二次项和一次项的系数
为0.
【变式2-1】（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）已知A=3x2−x+2y−4xy，
B=x2−2x−y+xy−5．
(1)求A−3B；
(2)若A−3B的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)5x+5 y−7xy+15；
5
(2)
7
【分析】（1）将A=3x2−x+2y−4xy ，B=x2−2x−y+xy−5代入计算即可；
（2）令y的系数为0可得关于x的方程，即可解得x的值．
【详解】（1）解：当A=3x2−x+2y−4xy ，B=x2−2x−y+xy−5时，
A−3B=3x2−x+2y−4xy−3(x2−2x−y+xy−5)，
=3x2−x+2y−4xy−3x2+6x+3 y−3xy+15，
=5x+5 y−7xy+15；
（2）解：∵A−3B=5x+5 y−7xy+15=5x+(5−7x)y+15，
∴A−3B的值与y的取值无关，即5−7x=0，
5
解得：x=
7
【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握取值无关题型的解题思路是解题关键．
【变式2-2】（2022·广东顺德德胜学校三模）已知2x2ya+1−0.5x y2−6x3+8是六次四项式，单项式
5x2b y2的次数与这个多项式的次数相同，求(a+b) 2．
【答案】25．
【分析】根据多项式2x2ya+1−0.5x y2−6x3+8是六次四项式，可得2+a+1=6，根据单项式5x2b y2的
次数与多项式的次数相同，可得2b+2=6，可得到a,b的值，从而可得答案．
【详解】解：∵多项式2x2ya+1−0.5x y2−6x3+8是六次四项式，
∴2+a+1=6，解得a=3，
∵单项式5x2b y2的次数与多项式的次数相同，
∴2b+2=6，解得b=2．∴(a+b) 2=(3+2) 2=52=25.
【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，单项式的次数，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，
最高次项的次数，就是这个多项式的次数，利用多项式与单项式的次数的含义建立方程求解是解本题的关
键．
【变式2-3】（2022·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）某同学做一道题：“已知两个多项式A和B，计
算2A+B”，他误将2A+B看成A+B，求得的结果为9x2+2x−1，已知B=x2+3x−2．
(1)求多项式A；
(2)请你求出2A+B的正确答案．
【答案】(1)8x2−x+1
(2)17x2+x
【分析】（1）根据题意可知A+B=9x2+2x−1，B=x2+3x−2，然后即可计算出多项式A；
（2）根据（1）中求得的A和题目中的B，即可计算出2A+B的正确答案．
【详解】（1）解：由题意可得，A+B=9x2+2x−1，B=x2+3x−2，
∴A=(A+B)−B
=(9x2+2x−1)−(x2+3x−2)
=9x2+2x−1−x2−3x+2
=8x2−x+1，
∴多项式A为8x2−x+1；
（2）解:由（1）知：A=8x2−x+1，B=x2+3x−2，
∴2A+B
=2(8x2−x+1)+(x2+3x−2)
=16x2−2x+2+x2+3x−2
=17x2+x，
∴ 2A+B的正确答案是17x2+x．
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
【要点3 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【考点3 幂的运算】
【例3】（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2√2 D．√2
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=(3m÷9n) 2 即可解答．
【详解】∵32m−4n=32(m−2n)=(3m−2n) 2 =(3m÷9n) 2 ，
(4) 2
依题意得： =2，x>0．
x
4
∴ =√2，
x
∴x=2√2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变
形．
【变式3-1】（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
【答案】D
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差
公式计算并判定D．
【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释
放出的能量E与震级n的关系为E=k×101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的
能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量E与震级n的关系为E=k×101.5n（其中k为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：k×101.5×8=k×1012，
当震级为6级的地震所释放的能量为：k×101.5×6=k×109，
k×1012
∵ =103=1000，
k×109
∴震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识
是解题的关键．
【变式3-3】（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性
高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已
经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的
黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作
为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理
解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2200化为
(2100
)
2，再与2002比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2200=(210
)
20,1060=(103
)
20，即可
判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
2200=(2100
)
2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32⋯，
∴2的乘方的个位数字4个一循环，
∵200÷4=50，
∴ 2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
∵2200=(210 ) 20,1060=(103 ) 20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的
关键．
【要点4 整式的乘除运算】
①单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项
式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加。
③多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
④单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含
有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑤多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。【考点4 整式乘法公式的运用】
1
【例4】（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
x
1
(1)（x﹣ ）2；
x
1
(2)x4+ ．
x4
【答案】(1)5
(2)47
【分析】（1）由(x+ 1 ) 2 ＝x2+2⋅x⋅ 1 + 1 、(x− 1 ) 2 ＝x2−2⋅x⋅ 1 + 1 ，进而得到(x+ 1 ) 2 ﹣4x• 1
x x x2 x x x2 x x
即可解答；
（2）由(x−
1
)
2 ＝x2−2+ 1 可得x2+ 1 =7，又(x2+ 1
)
2 ＝x4+2+ 1 ，进而得到x4+ 1 ＝(x2+ 1
)
2
﹣2
x x2 x2 x2 x4 x4 x2
即可解答．
（1）解：∵(x+ 1 ) 2 ＝x2+2⋅x⋅ 1 + 1 ∴(x− 1 ) 2 ＝x2−2⋅x⋅ 1 + 1 ＝x2+2x⋅ 1 + 1 −4x⋅ 1 ＝
x x x2 x x x2 x x2 x
1 2 1
(x+ ) ﹣4x• ＝32﹣4＝5．
x x
（2）解：∵(x−
1
)
2 ＝x2−2+ 1 ，∴x2+ 1
＝(x−
1
)
2 +2＝5+2＝7，∵(x2+ 1
)
2 ＝x4+2+ 1
，∴
x x2 x2 x x2 x4
1 1 2
x4+ ＝(x2+
) ﹣2＝49﹣2＝47．
x4 x2
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题
的关键．
【变式4-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式a2+(2t−1)ab+4b2是一个完全平方式，则实数t
的值为____________．
5 3
【答案】 或−
2 2【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式a2+(2t−1)ab+4b2是一个完全平方式，
∴a2+(2t−1)ab+4b2=a2+2⋅a⋅(±2b)+(±2b) 2=(a±2b) 2，
∴2t−1=±4，
5 3
解得t= 或t=− ，
2 2
5 3
故答案为： 或−
2 2
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
【变式4-2】（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2 (m≠n) 用“＜”表
示a、b、c的大小关系为________.
【答案】b0，
∴b0
2 4
∴c0．
(1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式A2−B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)4×106
(2)(n2−1) 2
(3)正确，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得，A+B=(n2+1+2n)=(n+1) 2，把n=1999代入计算应用科学记数法表示
方法进行计算即可得出答案；
（2）把A=n2+1，B=2n，代入A2−B2中，可得(n2+1) 2 −(2n) 2，应用完全平方公式及因式分解的方
法进行计算即可得出答案；
（3）先计算B2+C2=(2n) 2+(n2−1) 2 ，计算可得(n2+1) 2 ，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
（1）
解：A+B=(n2+1+2n)=(n+1) 2，
当n=1999时，
原式=(1999+1) 2
=20002
=4×106；
故答案为：4×106；
（2）
A2−B2=(n2+1) 2 −(2n) 2
=(n2) 2 +2n2+1−4n2
=(n2) 2 −2n2+1=(n2−1) 2；
（3）
嘉淇的发现正确，理由如下：
∵B2+C2=(2n) 2+(n2−1) 2
=4n2+(n2) 2 −2n2+1
=(n2+1) 2 ，
∴B2+C2=A2，
∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计
算方法进行求解是解决本题的关键．
【考点5 整式的混合运算】
【例5】（2022·重庆市綦江区东溪中学九年级阶段练习）已知多项式A=x2+2y+m和B= y2−2x+n
（m，n为常数），以下结论中正确的是（ ）
①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；
②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；
③当x= y时，一定有A≥B；
④若m+n=2且A+B=0，则x= y；
⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则|x+ y|=1．
A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．
【详解】①当x=2且m+n=1时，A+B=4+2y+m+ y2−4+n= y2+2y+1=(y+1) 2，
∵无论y取何值，总有(y+1) 2≥0，
∴无论y取何值，都有A+B≥0，
故①正确；
②当m=n=0时，A×B=(x2+2y)(y2−2x)=x2y2−2x3+2y3−4xy，∴A×B所得的结果中不含一次项；
故②正确；
③当x= y时，A−B=x2+2y+m−(y2−2x+n)=x2+2x+m−x2+2x−n=4x+m−n，
其结果与0无法比较大小，
故③错误；
④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x2+2y+m+ y2−2x+n=x2+ y2+2y−2x+2=0，
变形得：(x−1) 2+(y+1) 2=0，
∴x=1，y=-1，
∴x=-y，
故④错误；
⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，
则A−B=x2+2y+m−(y2−2x+n)=x2+2y−y2+2x=−1
x2−y2+2x+2y+1=0
变形得：(x+1) 2−(y−1) 2=−1，
因式分解得：(x+ y)(x−y+2)=−1，
∵x，y为整数，则必有|x+ y|=1．
故⑤正确；
故选：B
【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计
算及因式分解．
【变式5-1】（2022·广东广州·中考真题）已知T=(a+3b) 2+(2a+3b)(2a−3b)+a2
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2+2ax−ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)6a2+6ab；
(2)T=6
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到a2+ab=1，整体代入即可求解．（1）
解：T=(a2+6ab+9b2 )+(4a2−9b2 )+a2
=6a2+6ab；
（2）
解：∵方程x2+2ax−ab+1=0有两个相等的实数根，
∴∆=(2a) 2−4(−ab+1)=0，
∴a2+ab=1，
则T=6(a2+ab)=6×1=6．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练
掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
【变式5-2】（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1) 2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1)，当x=√2时，请
比较M与N的大小．
【答案】M1，
∴2√2>2，
∴2−2√2<0，
∴M−N<0，
即M0，
a
b 1+√5
∴ = ．
a 2
b
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握正方形、矩形面积公式，解 的二次方程是解决此题
a
的关键．
【变式6-2】（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b
的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算20222−2021×2023=______．
【答案】 a2−b2=(a+b)(a−b) 1
【分析】（1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；
（2）原式可化为20222−（2022−1）（2022+1），再根据（1）中的结论进行计算即可得出答
案．
【详解】解：（1）根据题意可得，
图1中阴影部分的面积为：a2−b2，
图2中长方形的长为a+b，宽为a−b，
面积为：（a+b）（a−b），
则两个图形阴影部分面积相等，a2−b2=（a+b）（a−b）；
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
（2）20222−2021×2023=20222−（2022−1）（2022+1）
=20222−（20222−12）
=20222−20222+1
=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求
解是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022·安徽·六安市轻工中学一模）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代
数恒等式。
例如图1可以得到(a+b)2=α²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题∶
（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶____________________。
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸
片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，
则x+y+z=_____________。
【答案】 (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 156
【分析】（1）结合图形根据正方形的面积的两种算法即可得出数学等式；
（2）由题意可知所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，从而将(5a+7b)(9a+4b) 展开得到 45a2 + 83ab + 28b2，
两者对照即可得出x、y、z的值，进而求和即可．
【详解】解：（1）∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ （a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由题意可知，所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，
∵(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+ 63ab+ 28b2，
= 45a2 + 83ab + 28b2
∴x=45，y= 28， z= 83，
∴x+y+z= 45+ 28+ 83 = 156．
【点睛】本题考多项式乘多项式和完全平方公式得背景，解题的关键是主要是从图形的面积得出相关等式，
从而利用等式的变形进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
【要点5 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式。
因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法
分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【考点7 因式分解】
【例7】（2022·安徽芜湖·二模）下列因式分解正确的是（ ）
A．a2b−ab2=a(a+b)(a−b) B．a2−(2b−1) 2=(a+2b−1)(a−2b+1)
C．a3−2ab+ab2=a(a−b) 2 D．a2b2−4a2b+4a2=a(b−2) 2
【答案】B
【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．
【详解】解：A中a2b−ab2=ab(a−b)≠a(a+b)(a−b)，错误，故不符合题意；
B中a2−(2b−1) 2=(a+2b−1)(a−2b+1)，正确，故符合题意；C中a3−2ab+ab2=a(a2−2b+b2)≠a(a−b) 2，错误，故不符合题意；
D中a2b2−4a2b+4a2=a2(b−2) 2≠a(b−2) 2，错误，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用．
【变式7-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）若x2+mx+n分解因式的结果是(x−2)(x+1)，则m+n的值为（
）
A．-3 B．3 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】将(x−2)(x+1)展开变为x2−x−2，可知m=-1，n=-2，即可求出结果．
【详解】解：由题意得(x−2)(x+1)=x2−x−2，
∵x2+mx+n分解因式的结果是(x−2)(x+1)，
∴m=-1，n=-2，
∴m+n=−3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是多项式乘以多项式法则以及因式分解，能够理解两者为互逆运算是解题的关键．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解为(a2+1)(a2−4) ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：(m+n) 2−6(m+n)+9=________．
【答案】(m+n−3) 2
【分析】将(m+n)看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：(m+n) 2−6(m+n)+9
=(m+n) 2−2×3×(m+n)+32
=(m+n−3) 2，
故答案为：(m+n−3) 2．
【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的
关键．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
【例8】（2022·湖南·怀化市第四中学二模）【阅读理解】
对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=(x+a) 2，但对于二次三
项式x2+2ax−3a2，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2
这项，使整个式子的值不变，于是：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
=(x2+2ax+a2)−4a2
=(x+a) 2−(2a) 2
=(x+a+2a)(x+a−2a)
=(x+3a)(x−a)
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2+2ax−8a2分解因式．
(2)【拓展应用】二次三项式x2−4x+7有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：a4+a2b2+b4．
【答案】(1)(x+4a)(x−2a)
(2)二次三项式x2−4x+7有最小值3，理由见解析
(3)(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)【分析】（1）仿照题干所给示例进行分解因式即可；
（2）仿照题意将原多项式变为=(x−2) 2+3，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）仿照题干所给示例求解即可．
【详解】（1）解：x2+2ax−8a2
=x2+2ax+a2−8a2−a2
=(x2+2ax+a2)−9a2
=(x+a) 2−9a2
=(x+a+3a)(x+a−3a)
=(x+4a)(x−2a)；
（2）解：x2−4x+7
=x2−4x+4+7−4
=(x−2) 2+3，
∵(x−2) 2≥0，
∴(x−2) 2+3≥3，
∴二次三项式x2−4x+7有最小值3；
（3）解：a4+a2b2+b4
=a4+a2b2+b4+a2b2−a2b2
=(a4+2a2b2+b4)−a2b2
=(a2+b2) 2 −a2b2
=(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)．
【点睛】本题主要考查了分解因式，偶次方的非负性，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【变式8-1】（2022·吉林大学附属中学八年级二模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因
式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+ y(a+b)=(a+b)(x+ y)2xy+ y2−1+x2=x2+2xy+ y2−1=(x+ y) 2−1=(x+ y+1)(x+ y−1)
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1) 2−22=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)请你仿照以上方法，探索
并解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−b2+4；
(2)分解因式：x2−6x−7.
【答案】(1)(a+b−2)(a−b−2)
(2)(x−7)(x+1)
【分析】（1）根据分组分解法，将其分成(a2−4a+4)−b2，根据完全平方公式与平方差公式进行因式分
解即可求解；
（2）根据拆项法，得到x2−6x+9−16，再根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
解：原式＝(a2−4a+4)−b2
=(a−2) 2−b2
=(a+b−2)(a−b−2)；
（2）
解：原式＝x2−6x+9−16
=(x−3) 2−16
=(x−3+4)(x−3−4)
=(x−7)(x+1)．
【点睛】本题考查了因式分解，理解材料分组分解法以及拆项法进行因式分解是解题的关键．
【变式8-2】（2022·重庆八中二模）因式分解：(1−x2 )(1−y2 )−4xy
【答案】(xy−1−x−y)(xy−1+x+ y)
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即
可得到结论．【详解】解：(1−x2 )(1−y2 )−4xy
=1−y2−x2+x2y2−4xy
=(x2y2−2xy+1)−(x2+2xy+ y2
)
=(xy−1) 2−(x+ y) 2
=(xy−1−x−y)(xy−1+x+ y)．
【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特
征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键．
【变式8-3】（2022·重庆巴蜀中学三模）因式分解：x4+4
【答案】(x2+2x+2)(x2−2x+2)
【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.
【详解】解：原式=x4+4x2+4−4x2
=(x2+2) 2 −4x2
=(x2+2x+2)(x2−2x+2).
【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.
【考点9 因式分解的应用】
【例9】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解决次数较高的代数式问题时，通常可以用
降次的思想方法．已知：x2−x−1=0，且x>0，则x4−2x3+3x的值是（ ）
A．1+√5 B．1−√5 C．3+√5 D．3−√5
【答案】A
【分析】首先解方程x2−x−1=0，然后利用整体代入的思想把x2换成x+1，多次代入即可求解．
【详解】解：∵x2−x−1=0，
1±√5
∴x2=x+1，x=
，
2
∵x>0，
1+√5
∴x= ，
2
∴x4−2x3+3x
=x2 ⋅x2−2x⋅x2+3x=（x+1）2−2x（x+1）+3x
=−x2+3x+1
=−x−1+3x+1
1+√5
=2×
2
=1+√5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．
【变式9-1】（2022·河北·模拟预测）216−1可以被10−20之间的两个整数整除，那这两个整数是（ ）
A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17
【答案】D
【分析】根据因式分解化简216−1即可．
【详解】解：216−1=（28+1）（28−1）
=（28+1）（24+1）（24−1）
=（28+1）×17×15
即，216−1的计算结果可以被17和15整除，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．
【变式9-2】（2022·四川乐山·中考真题）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n=______．
【答案】4
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得m,n的值，进而代入代数式即
可求解．
【详解】解：∵ m2+n2+10=6m−2n，
∴m2+n2+10−6m+2n=0，
即(m−3) 2+(n+1) 2=0，
∴m=3,n=−1，
∴m−n=3−(−1)=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式9-3】（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)
解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和
b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，
再求值．
【答案】(1)(x+a)(x−a+1)
(2)(a−b)(a−b+x)
(3)(a2+b2)(a−b) 2，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到a2+b2=9，
(a−b) 2=1，整体代入得出答案即可．
（1）
解：x2−a2+x+a=(x2−a2)+(x+a)
=(x+a)(x−a)+(x+a)
=(x+a)(x−a+1)；
（2）
解：ax+a2−2ab−bx+b2
=(a2−2ab+b2)+(ax−bx)
=(a−b) 2+x(a−b)
=(a−b)(a−b+x)；
（3）
解：a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−(2a3b+2ab3)
=(a2+b2) 2 −2ab(a2+b2)
=(a2+b2)(a2−2ab+b2)
=(a2+b2)(a−b) 2，
∴根据题意得a2+b2=9，(a−b) 2=1，
∴原式=9．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分
组再运用公式法分解因式是解题关键．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
【例10】（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，
第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数
是（ ）A．297 B．301 C．303 D．400
【答案】B
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
1 3 1 7 9 11
【变式10-1】（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据： ，− ， ，− ， ，− ，…．
2 5 2 17 26 37
则按此规律排列的第10个数是（ ）
19 21 19 21
A．− B． C．− D．
101 101 82 82
【答案】A
5
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数
10
项是负，据此即可求解．
1 3 5 7 9 11
【详解】原数据可转化为： ,− , ,− , ,− ,⋅⋅⋅，
2 5 10 17 26 37
1 2×1−1
∴
=(−1) 1+1×
，
2 12+1
3 2×2−1
− =(−1) 2+1× ，
5 22+15 2×3−1
=(−1) 3+1×
，
10 32+1
..．
2n−1
∴第n个数为：(−1)
n+1×
，
n2+1
2×10−1 19
∴第10个数为：(−1) 10+1× =− ．
102+1 101
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
【变式10-2】（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个
数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个
数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2(n−1)，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；
第②个图案中菱形的个数：1+2=3；
第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；
…
第n个图案中菱形的个数：1+2(n−1)，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1+2×(6−1)=11，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
【变式10-3】（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n,m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3,2)表示6，则表示99的有序数对是_______．
【答案】(10,18)
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n行的第一个数字为1+（n−1）2，从而求得最终的答
案．
【详解】第1行的第一个数字：1=1+(1−1) 2
第2行的第一个数字：2=1+(2−1) 2
第3行的第一个数字：5=1+(3−1) 2
第4行的第一个数字：10=1+(4−1) 2
第5行的第一个数字：17=1+(5−1) 2
…..，
设第n行的第一个数字为x，得x=1+(n−1) 2
设第n+1行的第一个数字为z，得z=1+n2
设第n行，从左到右第m个数为y
当y=99时
1+(n−1) 2≤99<1+n2
∴(n−1) 2≤98
