文档内容
技巧 04 结构不良问题解题策略
【目录】
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................2
............................................................................................................................................13
考点一：三角函数与解三角形..............................................................................................................................13
考点二：数列.........................................................................................................................................................19
考点三：立体几何.................................................................................................................................................24
考点四：函数与导数..............................................................................................................................................35
考点五：圆锥曲线.................................................................................................................................................42
结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．
1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择
比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好
的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应
从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提
出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学
习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才
是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此
基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．
1．（2023•北京）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）若选①： ；
因为 ，
所以 在 和 时取得最大值1，这与 在 ， 上单调递增矛盾，所以 、 的值不
存在．
若选②： ；
因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，所以 的最小正周期为 ，计算 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ；
若选③： 在 ， 上单调递减，因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，
所以 的最小正周期为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ．
2．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 证明：取 中点 ，连接 ， ，为 的中点． ，且 ，
四边形 是平行四边形，故 ，
平面 ； 平面 ，
平面 ，
是 中点， 是 的点，
， 平面 ； 平面 ，
平面 ，又 ，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ；
侧面 为正方形，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，又 ， ，
若选①： ；又 ， 平面 ，
又 平面 ， ，又 ，
， ， ， 两两垂直，
若选②： 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
，又 ， ， ，
， ，
，又 ， ，
， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ，
，1， ， ，1， ，设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ， ， ，
又 ，2， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
， ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，
因此 的方程为 ，（2）解法一：设直线 的方程为 ， ，将直线 的方程代入 可得
，
△ ，
， ，
，
，
设点 的坐标为 ， ，则 ，
两式相减可得 ，
，
，
解得 ，
两式相加可得 ，
，
，
解得 ，
，其中 为直线 的斜率；
若选择①②：
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
， ，此时点 的坐标满足 ，解得 ， ，
为 的中点，即 ；
若选择①③：
当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时不在直线 上，矛盾，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标
为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
此时 ，
，
由于点 同时在直线 上，故 ，解得 ，
因此 ．
若选择②③，
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
设 的中点 ， ，则 ， ，
由于 ，故 在 的垂直平分线上，即点 在直线 上，
将该直线 联立，解得 ， ，
即点 恰为 中点，故点 在直线 上．
（2）解法二：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为0．
若选①③ ②，则 为线段 的中点，假设 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，
此时由对称性可知 、 关于 轴对称，从而 ，已知不符．
综上，直线 的斜率存在且不为0，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ．
则条件① 在直线 上，等价于 ，
两渐近线的方程合并为 ，
联立方程组，消去 并化简得： ，
设 ， ， ， ，线段中点为 ， ，
则 ． ，
设 ， ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ， ，
，
直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程为 ，即 中，
得 ，
解得 的横坐标为 ，同理， ， ，
，
条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上等价于 ，
条件② 等价于 ，
条件③ 等价于 ．
选①② ③：
由①②解得 ， ③成立；
选①③ ②：
由①③解得： ， ， ， ②成立；
选②③ ①：
由②③解得： ， ， ， ①成立．
4．（2021•甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，
证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得： ， ，
数列的前 项和： ，
故 ，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列 的公差为 ，则：
，
数列 为等差数列，则： ，即： ，整理可得： ， ．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得： ， ，
则数列 的公差为 ，
通项公式为： ，
据此可得，当 时， ，
当 时上式也成立，故数列的通项公式为： ，
由 ，可知数列 是等差数列．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
② ， ．
【解析】（Ⅰ） ， ，
①当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，可得 或 ，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
时，
且等号不恒成立， 在 上单调递增，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
综上所述：
当 时， 在 上单调递减；在 上 单调递增；当 时， 在 ， 和 上单调递增；在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 ， 上单调递增；在 ， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在 上单调递增， ， 单调递减， ，
上 单调递增．
注意到 ．
在 上有一个零点；
，
由 得 ， ，
，当 时， ，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另当 ， 时，有 ， ，
而 ，于是
，
所以 在 没有零点，当 时， ，
于是 ，所以 在 ， 上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知： 在 ， 上单调递增，
在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
，
， ， ， ，
当 时， ，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到 ，
取 ， ， ，又易证 ，
，在 上有唯一零点，即 在 上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
6．（2021•北京）在 中， ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求
边上的中线的长．
条件① ；
条件② 的周长为 ；
条件③ 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【解析】（Ⅰ） ，
由正弦定理可得 ，即 ，
，
当 时， ，即 ，不符合题意，舍去，
，
，
即 ．
（Ⅱ）选① ，
由正弦定理可得
，与已知条件 矛盾，故 不存在，
选②周长为 ，
， ，
，由正弦定理可得 ，即 ，
，
，
，即 ， ， ，
存在且唯一确定，
设 的中点为 ，
，
在 中，运用余弦定理， ，
即 ， ，
边上的中线的长度 ．
选③面积为 ，
，
，
，解得 ，
余弦定理可得
，
．
考点一：三角函数与解三角形
【典例1-1】在① ；②向量 ；③ 这
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在 中， 分别是内角 的对边，已知 为AC 边的中点，若________，求 BD 的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选① 因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，因为A，B是三角形内角，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理 ，
所以
若选② 因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，由勾股定理 ，
又D为斜边AC中点，所以
若选③ 由已知可得， ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，在 中，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
在 中，由余弦定理 ，
所以
【典例1-2】在① ，② ，③ 三个条件中
选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设 的面积为S，已知______．
求角C的值；
若 ，点D在边AB上，CD为 的平分线， 的面积为 ，求边长a的值．
【解析】 如选①：由正弦定理得： ，
， ，
，
整理得： ，
又 ， ， ，
，
如选②： ，
， ，
，
如选③： ，， ， ，
即 ， ，
， ， ，解得：
在 中， ，
…①
又 …②
由①②得： ，解得： 或 舍
边长a的值为
【变式1-1】设函数
若 ，求 的值．
已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第 问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
【解析】 因为
所以 ，
因为 ，所以因为 ，
所以 ，所以 的最大值为1，最小值为
若选条件①：因为 的最大值为1，最小值为 ，
所以 无解，故条件①不能使函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即
以下与条件②相同．
【变式1-2】已知函数
求函数 的单调递增区间；
在 中， 分别是角 的对边， ，若 D 为 BC 上一点，且满足
____________，求 的面积
请从① ；② AD 为 的中线，且 ；③ AD 为 的角平分线，且
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【解析】 ，
令 ， ，
， ，
函数 的单调递增区间为 ，
由题意可得： ，即 ，
，
， ，
若选① ，
由 知 ， ，
，
故 ，
所以 ，则 ，
故 ；
若选② 为 的中线，且 ，
在 中， ， ，则有 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，则
则 ，又知 ，故 ；
故 ；
若选③：AD为 的角平分线，且
由题意知， ，
即 ，整理得 ，
又在 中， ， ，则有 ，
故
解之得， ，故
考点二：数列
【典例2-1】已知数列 的前n项和为 ， ，
求数列 的通项公式；
令
①
②
③
从上面三个条件中任选一个，求数列 的前n项和
【解析】 ， ，
两式相减得 ，
， ， ，
，， ，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
由 可知 ，
若选① ，
两式相减得： ，
所以
若选②
若选③
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上得：
【典例2-2】已知数列 的前n项和为 ， ，且
证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；
若____________，求数列 的前n项和
从① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解
答问题．
【解析】 由 ，
得 ，且 ，所以当 时， ，
，得 ，
所以
当 时， ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以
若选① ，
则 ，
所以 ，
所以
，
所以
若选② ，
则
若选③ 因为 ，
所以 ，
所以数列 是以27为首项， 为公比的等比数列，
所以
【变式2-1】已知等差数列 的前n项和为 ， 是各项均为正数的等比数列， ，________，， ，是否存在正整数k，使得数列 的前k项和 ，若存在，求出k的最小值；
若不存在，说明理由．
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
于是 ，
即 ，解得 ， 舍去
故
若选①：则 ， ，
解得 ，
所以 ，
，
于是
令 ，解得 ，因为k为正整数，所以k的最小值为
若选②：则 ， ，解得
下同①．
若选③：则 ， ，解得
于是 ，
，
于是，
令 ，得 ，
注意到k为正整数，解得 ，所以k的最小值为
【变式2-2】设数列 的前n项和为 ，已知 ，__________．
求数列 的通项公式；
设 ，数列 的前n项和为 ，证明：
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解 若两个都选，则按所写的第1
个评分 ：
①数列 是以 为公差的等差数列；②
【解析】 若选择①数列 是以 为公差的等差数列，显然其首项为1，
故 ，故 ；
当 时， ，
当 时， ，满足
故 的通项公式为 ；
若选择② ，
即 ，整理得： ，
故 ，即数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
与选择①相同，故 的通项公式为
根据 中所求可得： ，则 ，
故又 ，故可得
考点三：立体几何
【典例 3-1】如图，在四棱锥 中，侧棱 平面 BCDE，底面四边形 BCDE 是矩形，
，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．
若 ，求证：直线 平面
若 ，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角 的余弦值为
【解析】 证明：法一：如图，取AP的中点N，连结BN，MN，因为M，N分别为AC，AP的中点，所以 ，
又 平面PCF，PC在平面PCF内，所以直线 平面PCF，
又因为 ， ，所以 ，
平面PCF，PF在平面PCF内，所以直线 平面PCF，
，BN、MN在平面BMN内，
所以平面 平面PCF，又 平面BMN，
所以 平面PCF；
法二：以B为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则 ， ，
， ， ， ， ，
设平面PCF的法向量为 ， ，即 ，
不妨令 得 ， ，
， 平面PCF，所以 平面PCF；
若选择①作为已知条件
平面ADE与平面ABC的交线为直线l，作出直线l如图，
由于 ， 平面ADE， 平面ADE，
平面ADE，又 平面ABC，平面 平面 ，
可知 ，异面直线l与CF成角即为 ，
，所以 ， ，
以B为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系：
， ， ， ， ， ，
设平面PCF的法向量为 ， ，即 ，
不妨令 ，得 ，
平面BCD的一个法向量为 ， ， ，
由题意知二面角 的平面角为锐角，即二面角 的余弦值为
选择②作为已知条件
以B为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴为正方向建立
空间直角坐标系：设 ，
， ， ， ， ，
设平面PCF的法向量为 ， ，即 ，
不妨令 ，得 ，
平面BCD的法向量为 ，二面角 的余弦值为 ，
即 ， ，解得 ，
平面ADE与平面ABC的交线为直线l，作出直线l如图，
由于 ， 平面ADE， 平面ADE，
平面ADE，又 平面ABC，平面 平面 ，
可知 ，异面直线l与CF成角即为 ，
【典例3-2】如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面 平面ABCD， ，
，M，N分别是BC，PD的中点．
求证： 平面PAB；再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值．
条件①： ；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 取 AP 中点 E ，连接 EN ， BE ，
因为 N 为 PD 中点，所以有 且 ，
因为 ， ，所以 且 ，
所以四边形 BMNE 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 PAB ， 平面 PAB ，
所以 平面 PAB ．
选择条件①：
因为平面 平面 ABCD ， ABCD 为矩形， ，
平面 平面 平面 ABCD ，
所以 平面 PAD ， 平面 PAD ，
所以 ，
又因为 ，由 可知 ， 平面 PAB ，
所以 ，又因为 ， 平面 PAB ，
所以 平面 PAB ， 平面 PAB ，所以 ，
平面 ABCD ，故 平面 ABCD ，
以A为原点，以 AB ， AD ， AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立坐标系，则 ， ， ， ，
则 ， ，设平面 AMN 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ABCD ，故 可作为平面 ABCD 的法向量，
则平面 AMN 与平面 ABCD 夹角的余弦值 ⟨ ⟩ ．
选择条件②： ．
因为平面 平面 PAD ， ABCD 为矩形，
平面 平面 平面 ABCD ，
所以 平面 PAD ，而PA在平面PAD中，所以 ，
又因为 ，
取 AD 中点为 G ，连接 MG ， NG ，
则有 ， ，
所以 ≌ ，
所以 ，则 ，所以 ，
平面 ABCD ，故 平面 ABCD ，以A为原点，以 AB ， AD ， AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，设平面 AMN 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ABCD ，故 可作为平面 ABCD 的法向量，
则平面 AMN 与平面 ABCD 夹角的余弦值 ．
【变式3-1】如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的正方形， 再从条件
①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
条件① 条件② 条件③ 平面 平面
求证： 平面
求直线BC与平面 所成角的正弦值．
【解析】选择①②：
因为 ， ， ，
所以
又因为 ， ， 平面
所以 平面
选择①③： 因为 ， ， ，
所以
又因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面ABC
所以 平面由 知 ，
因为四边形 是正方形，所以
如图，以A为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 即
令 ，则 ， ，所以
设直线BC与平面 所成角为 ，
则
所以直线BC与平面 所成角的正弦值为
【变式3-2】如图在三棱柱 中，D为AC的中点， ，
证明： ；若 ，且满足：______，______ 待选条件
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角 的正弦值．
①三棱柱 的体积为 ；②直线 与平面 所成的角的正弦值为 ；
③二面角 的大小为 ；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【 解 析 】 在 三 棱 柱 中 ， 由 题 意 可 得 ，
≌ ，又
同时在 中， ， ，
平面 ，
又 平面 ，
， 且 ， 平面 ABC
方案一：选择①③
平面 ABC ， ， ，
为二面角 的平面角，过点 A 作 于点 O
得
，
又 三棱柱 的体积为 ，取 的中点为 E ，连接 ， ED ，过 E 作 于点 F ，连接
平面 ， 平面 ，所以
又 ， ， ，所以 ，可得
为 二 面 角 的 平 面 角 ． 在 中 ， 由 等 面 积 性 可 知
， 又 ， ， 所 以 ， 从 而
由 ， ， ，则
由于二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，
故二面角 的正弦值为
方案二：选择①②；
过点 A 作 于点 O
平面 平面 由 易得 且交于BC， ，又 平面ABC，
平 面 ， 故 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ，
且设 ， ，则 ，
即 ，
取 的中点为 E ，连接 ， ED ，过 E 作 于点 F ，连接
平面 ， 平面 ，
又 ，由 ，可得
为二面角 的平面角
其中 ， ， ，则
由于二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，
故二面角 的正弦值为
方案三：选择②③；
平面 ABC ， ， ，
为二面角 的平面角，即
平面 平面 ，
平 面 ， 故 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ，
且
设 ，则 ，即
取 的中点为 E ，连接 ， ED ，过 E 作 于点 F ，连接
平面 ， 平面 ，
又 ，由 ，可得
为二面角 的平面角其中 ， ， ，则
由于二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，
故二面角 的正弦值为
考点四：函数与导数
【典例4-1】已知函数 ，
求函数 的极值；
请在下列①②中选择一个作答 注意：若选两个分别作答则按选①给分
①若 恒成立，求实数a的取值范围；
②若关于x的方程 有两个实根，求实数a的取值范围．
【解析】 函数 的定义域为 ，
，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，无极小值．
若选①：由 恒成立，
即 恒成立，
整理得： ，即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，即 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增 ；
当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得极大值，
即为 的最大值，为 ，故 ，即 ．
故当 时， 恒成立．
若选择②：由关于 x 的方程 有两个实根，
得 有两个实根，
整理得 ，
即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，即 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得极大值，
即为 的最大值，为 ，
且当 时， ， 时， ，要使 有两个根，只需要 ，
即 ，所以 a 的取值范围为 ．
【典例4-2】已知函数
Ⅰ 讨论 的单调性；
Ⅱ 从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点．
① ， ；
② ，
【解析】 Ⅰ ， ，
①当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，可得 或 ，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
时，
且等号不恒成立， 在R上单调递增，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述：
当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减；
当 时， 在 R 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减．Ⅱ 证明：若选①，由 Ⅰ 知， 在 上单调递增， 单调递减， 上 单
调递增．
注意到
在 上有一个零点；
，
由 得 ， ，
，当 时， ，此时 无零点．
综上： 在 R 上仅有一个零点．
若选②，则由 Ⅰ 知： 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
，
， ， ， ，
当 时， ，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到 ，
取 ， ， ，又易证 ，
，
在 上有唯一零点，即 在 上有唯一零点．
综上： 在 R 上有唯一零点．
【变式4-1】已知函数
讨论 的单调性；
从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点．
① ；
②
【解析】 由函数的解析式可得： ，当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在R上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
又 ，
由 可知函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点．
，
由于 ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点．
综上可得， 有一个零点．
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点．
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点．
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点．
综上可得， 有一个零点．
35．已知函数
若函数 ，讨论 的单调性．
从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．
①若函数 ， ，且 ，证明：
②若函数 ，证明：【解析】 因为 ，
所以 ， 的定义域为 ，
当 时， ， 在 上单调递增．
当 时，若 ， ， 单调递减；
若 ， ， 单调递增．
选①
因为 ，所以 ， 的定义域为 ，且
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
不妨设 ，则 ，由 ，可知 ，
当 时， 显然成立．
当 时， ，由 ，且 ，
可知 ，则 ，
设 ， ， ，
所以 ，
所以 成立．
综上所述，
选②
设 ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．所以 ， ，
因此 ，当且仅当 时，等号成立．
设 ， ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
因此 ，
从而 ，则 ，
因为 ，所以 中的等号不成立，
故
考点五：圆锥曲线
【典例5-1】已知双曲线 的实轴长为 ，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为
求双曲线C的方程；
点P在第一象限， 在直线 上，点 均在双曲线C上，且 轴，M在直线AQ
上， 三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：① Q是AM的中点；②直
线AB过定点
【解析】 由已知可得 ，即 ，双曲线右焦点为 ，
结合对称性不妨取一条渐近线为 ，即 ，则 ，即 ，故双曲线C的方程为 ．
联立 ，解得 或 ，故 在第一象限 ，
若①作为条件，证明②，设 ，由题意可知直线 AB 斜率一定存在，
设直线 ，由于双曲线渐近线斜率为 ，故 ，
Q 在直线 上，Q是 AM 的中点，则 ，
则 ， ，
因为 三点共线，故有 ，
联 立 ， 则 ， 需 满
足 ，
则 ，
故由 ，可得 ，
即 ，
，
将 代 入 可
得 ，
即 ，
若 ，则 ，
此时直线 过点 ，
与已知条件不符，故舍去，
故只能是 ，即直线 AB ： 过定点 ．
若②作为条件，证明①，
由题意可知直线 AB 斜率一定存在，设直线 ， ，
设 ，则 ，
联立 ，则 ，需满足 ，
则 ，
由 ， 得直线 PB 的方程为 ，
令 得点 ，
要证Q是 AM 的中点，即证： ，
即 ，即证 ，
即 ，即 ，
即证 ，
而 ，
故Q是 AM 的中点．
【典例5-2】已知双曲线C： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，
直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积．
若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③
【解析】 因为点 ， ，
直线BM的斜率 ，
所以，垂线l的方程为 ，
设点 ， ，联立 ，得 ，
则 ， ，
即 ，
原点O到直线l的距离为 ，
所以， 的面积为
①②作为条件，③作为结论
令点 ， ，
由题意得 ， ，
，D，M三点共线， ，
又 ， 点E的坐标为 ，
直线BM的斜率 ，
，
设点 ，
直线EQ的斜率 ，
，
①③作为条件，②作为结论
令点 ， ，
由已知点B的坐标为 ， ，
，D，M三点共线， ，
又 ， 点E的坐标为 ，
又 ，点Q在x轴正半轴上， ，，
又 ，
，
②③作为条件，①作为结论
令点 ， ， ，不妨设 ，
，D，M三点共线，
，且 ，
点Q在x轴正半轴上且 ， 点 ，
， ，
又 ，
，且 ，
，即
【变式5-1】已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直
线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；
若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③ 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】 由已知可得， ， ．
因为点 ，直线 BM 的斜率为 ，
所以直线 BM 的垂线 l 的方程为 ，
整理可得， ．
设点 ， ，联立直线 l 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， ．
原点 O 到直线 l 的距离为 ，
所以， 的面积为 ．
如图，
①②为条件，③为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 E 的坐标为 ，
直线 BM 的斜率为 ．
又 ，所以 ，
设点 ，
则直线 EQ 的斜率 ，
所以 ，
所以 ；
①③为条件，②为结论：令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 E 的坐标为 ，
又 ，点Q在x轴正半轴上，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以， ；
②③为条件，①为结论：
令点 ， ，且 ，不妨设 ．
因为 三点共线，
所以 ，且 ．
因为 ，点Q在x轴正半轴上，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，
所以， ，且 ，
所以， ，即 ．
【变式5-2】在① ；② ；③ 面积的最小值为8，这三个条件中任
选一个，补充在横线上，并解答下列问题．
已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线与该抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，
_____________．
求抛物线的方程；点 C 在抛物线上， 的重心 G 在 y 轴上，直线 AC 交 y 轴于点 点 Q 在点 F 上方 记
的面积分别为 ，求T的取值范围．
【解析】 由题得 ，且 的斜率存在，设 ，
联立方程 得 ，
可知 恒成立，设 ，
则 ，
若选条件①， ，
，
，
故抛物线的方程为 ．
若选条件②， ，
由抛物线定义得 ，
，
故抛物线的方程为 ．
若选条件③， ，当且仅
当“ ”时， 面积有最小值为 ，
，
故抛物线的方程为 ．
解法一：由 得抛物线的方程为 ，
故 ，
如图，为 重心， ，且 ，
．
又 ，
．
令 ，得 ，
则 ，即 ．
令 ，则 ，
则 ，
， ，
当且仅当 ，即 时取等．
，，故 ．
法二：由 得抛物线的方程为 ，
故 ，
在抛物线上，不妨设 ，则 ，
为 重心， ，则 ，
又 ，
所以 ，
，
，
又 ，
．
令 ，得 ，
又点Q在点F上方，可知 ，即 ．
令 ，则 ，
，
， ，当且仅当 ，即 时取等．，
，故 ．
