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专题 05 一次函数 45 道压轴题型专训（9 大题型）
题型一 函数相关压轴题
题型二 一次函数的图象与性质压轴
题型三 一次函数与方程、不等式压轴
题型四 方案分配压轴
题型五 最大利润压轴
题型六 一次函数中的旋转问题（45度）
题型七 一次函数中的翻折问题
题型八 一次函数中的新定义问题
题型九 一次函数中的最值问题
【经典例题一 函数相关压轴题】
1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形 中，点E为 上的一点（ ），
点P沿折线 以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t， ，图2是
点P运动时y随t变化的关系图象（当 时点P运动到点D），则a的值为（ ）
A．12 B．15 C．17.5 D．20
【答案】D
【分析】 当时，点 在 点处，可得 ，当点 在点 处时，可知此时 取最小值，结合
图象有： ，在 中， ，即可求出 ， ，当
时点 运动到点 ，过 点作 于点 ，结合图象有： ，在中， ，据此即可作答．
【详解】当 时，点 在 点处， ，
∴结合图象有： ，即 ，
当点 在点 处时， ，
如图，连接 ，
∴ ， ，
∴可知当点 运动到 点时， 取最小值，
∴结合图象有： ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴解得： 或者 ，
∴ 或者 ，
∵ ，
∴ ， ，
当 时点 运动到点 ，过 点作 于点 ，如图，
∵在矩形 中， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵结合图象有： ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴解得： ，
∴ ，
∵点 沿折线 以每秒 个单位长度的速度从点 匀速运动到点 ，
∴当 时，点 运动到点 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解
函数图象所涵盖的信息，是解题的关键．
2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形 中，点A为 轴正半轴上一点， 轴，直线
轴交菱形两边于 两点（点 在点 下方），直线 从 轴出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向
右平移，设运动时间为 （秒）， 的面积为 ， 与 的大致图象如图2，若 ，则 的值为
（ ）
A．6 B． C．8 D．12
【答案】A
【分析】当l落在 位置时，与菱形交于D，M， ，当|l落在 位置时， ，得
，得 ，得 ，解得 ，即得 ．
【详解】解：如图所示，当l落在 位置时，与菱形交于D，M，
此时 ，当l落在 位置时，与菱形交于N，B，
此时 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点C到y距离为 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点
函数图象，分类讨论，是解题的关键．
3．（2025·山东临沂·一模）一条笔直的公路上有 ， ， 三地，已知 ， 两地相距 ， 在
之间，早上 时甲车匀速从 地出发， 时到达 地，在休整一小时后继续前往 地；乙车早上 时从地匀速出发前往 地，中途汽车发生故障，维修后保持原速继续前往 地，下图 、图 分别代表甲、乙两
车距 地的距离与时间的图象，图 为两车之间的距离与时间的图象，下列说法中正确的是 （请
填写序号）．
， ； ； 乙车修车正好用去 小时； 甲车比乙车先到达目的地．
【答案】 /
【分析】本题考查了函数图象，根据图 可知， 地到 地共 ，甲车行驶的时间是 求出甲车的速
度为 ，根据图 可知乙车与甲车同时停止行驶，所以可得乙车的速度为 ，从而可知 错误；
根据两车相遇时两车行驶的路程和为 ，可列方程： ，解方程求出 ，
故 正确；根据图 可知乙车修车正好正好用去 小时，故 正确；从图 可知：两车相遇后，两车之间
的距离匀速增加，同时到达目的地，所以 错误．
【详解】解：由图 可知， 地到 地共 ，
甲车从 地到 地共用了 ，中途休息了 ，
甲车共行驶了 ，
甲车的速度为 ，
甲车早上 时从 地出发，乙车早上 时从 地匀速出发前往 地，
由图 可知， 是甲车行驶 时，两车之间的距离与时间的图象，
是甲、乙两车共同行驶时，两车之间的距离与时间的图象，
段两车之间的距离没有变化，说明这段时间两车都没有行驶，
即此段时间甲在休息，乙在修车，
甲从 时到 时休息了 ，乙修车用了 ，
乙从 时出发， 开始修车，
乙在修车前行驶了 ，
乙车的行驶速度是 ，故 错误；
设两车从出发到相遇用了 ，
则 甲行驶的路程为 ，乙行驶的路程为 ，
根据题意可得： ，
解得： ，
故 正确；
由 可知乙车修车正好用去 小时，
故 正确；
由图 可知：两车相遇后，两车之间的距离匀速增加，同时到达目的地，
故 错误，
正确的是 ．
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而
行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到
C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后
掉头以加快后的速度赶往B地，又经过 小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶
（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离 （千米）与甲车行驶时间 （小时）
的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米．【答案】
【分析】此题考查了从函数图象获取信息，从图象分析已知信息，再结合路程中的相遇和追及问题列式即
可．
根据图象提供的信息， 小时后，甲、乙的距离由900缩小到300，可以求出甲、乙未改变速度之前的速
度和，从而求出相遇时间，再根据5小时时，甲、乙的相距路程可求出甲未改变之前的速度和乙改变之后
的速度之和，再根据40分钟，甲、乙相距40千米，可以求出甲、乙改变速度之后的速度差，再根据 小
时后又相遇，就可以求出甲、乙改变速度之后的速度和，从而求出甲、乙改变之前的速度和改变之后的速
度．
【详解】解： ， ，
∴甲乙的速度之和为210，
， ，
∴甲的速度与乙改变后的速度之和为150，，
∴甲改变后的速度与乙改变后的速度差为60，
∴甲改变后的速度与乙改变后的速度和为180，
∴甲改变后的速度为120，乙改变后的速度为60，
∵甲的速度与乙改变后的速度之和为150，∴甲的速度为90，
∵甲乙的速度之和为210，∴乙的速度为120，
乙未改变速度之前行驶的路程为： ，
，
∴乙到达A地所需要的时间为 ，
∴甲改变速度后还需行驶的时间为： ，
， ．
∴甲返回C地所需的时间为 ．
∴乙到达时甲距离A地 ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，等边三角形 的边长为2，过顶点 作 的垂线 ，点
在直线 上，分别以点 、 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，点 、 、 按顺时针方向
排列，连接 ．
【发现】
（1）点 在直线 上运动的过程中，以下选项：① 长；② 长；③点 到 所在直线的距离；
④点 到 所在直线的距离．
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）；（2）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大，点 到 所在直线的距离也随
着变______（填“大”或“小”）；
在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大，点 到 所在直线的距离是如何变
化的？______（直接写出结果）．
【表达】
（3）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，设 ，求点 到 所在直线的距离 关于 的函数
表达式；
（4）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，设 ，直接写出点 到 所在直线的距离 关于
的函数表达式：______．
【答案】（1）①③；②④；（2）大；先变小，再变大；（3） ；（4）
【分析】（1）根据 是边长为2的等边三角形，可得 ，故① 长为常量．连接
， ，证明 ，得到 ，故② 的长是变量．根据 是边长为2的等
边三角形，可求得 边上的高 ，故③点A到 的距离是常量．根据点Q在与 垂直的直线上
运动，得到④点Q到 的距离是变量．
（2）根据点Q的运动轨迹即可解答．（3）过点Q作 于点H，则 的长为点Q到 的距离．连接 ， ，证明
，得到 ， ，过点A作 于点D，根据等边三
角形的性质求得 ， ，过点A作 于点E，得到四边形 是矩形，从而推
出 ， ，进而 ，从而 ，即可解答．
（4）分两种情况讨论：①点Q在 的上方时，②点Q在 的下方时，同（3）的思路即可解答．
【详解】解：（1）∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ， ，
∴ 的长是常量．
连接 ， ，
由作图可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中
，∴ ，
∴ ，
∴点 在直线 上运动时， 的长是变量， 的长也是变量．
过点A作 于点D，则 的长为点A到 的距离．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
根据题意可得 ，
∴ ，
∴点A到 的距离是常量．
∵ ，
∴ ，
∴点Q在与 垂直的直线上运动，
∴点Q到 的距离是变量．
综上所述，点 在直线 上运动的过程中，常量有：① 长，③点 到 所在直线的距离；变量有：
② 长，④点 到 所在直线的距离．
故答案为：①③；②④
（2）∵点Q在与 垂直的直线上运动，且 ，
∴点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大， 的长度不断变大，点Q离 越
来越远，即点 到 所在直线的距离也随着变大；在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大， 的长度不断变大，点Q离 越
来越近，然后又逐渐远离 ，即点 到 所在直线的距离先变小，后变大．
故答案为：大；先变小，再变大
（3）过点Q作 于点H，则 的长为点Q到 的距离．
连接 ， ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ， ，
由作图可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
过点A作 于点D，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，
根据题意可得 ，
∴ ，
过点A作 于点E，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴点 到 所在直线的距离 关于 的函数表达式为 ．
（4）当点Q在 的上方时，
过点Q作 于点H，则 的长为点Q到 的距离．
过点A作 于点D，过点Q作 于点E，
同（3）同理可得 ，， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
当点Q在 的下方时，
过点Q作 于点H，则 的长为点Q到 的距离．
过点A作 于点D，过点A作 于点E，
同（3）同理可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，点 到 所在直线的距离 关于 的函数表达式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查常量与变量，点到直线的距离，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定
理，含 角的直角三角形的性质，矩形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关
键．
【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴】
6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知 ， ， 为直线 上的三个点，且
，则以下判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键．
先求出此直线交y轴于 ，交x轴于 ，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答，
【详解】解：当 时， ，则此直线交y轴于 ，
当 时， ，解得： ，则此直线交x轴于 ，当 时， ；当 时， ；
画出一次函数 的图象如图所示：
，
A．若 且 ，
∴ 或 ，
当 时，若 ，则 ，即 ，即A选项不符合题意；
B．若 且 ，
∴ 或 或 ，
当 时，若 ，则 ，即 ，即B选项不符合题意；
C．若 且 ，
∴ ，
当 ，则 ，即 ，即C选项不符合题意；
D．若 且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，即D选项符合题意．
故选：D．
7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点 到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点
也是“和一点”．一次函数 的图象l经过点 ，且图象l上存
在“和一点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数
图象是解题的关键．
根据“和一点”的定义可以得出 ，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通
过过点 的图象l上存在“和一点得到一次函数 与“和一点”构成的函数存在交点，
然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围．
【详解】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即 ，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数 的图象l经过点 ，且图象l上存在“和一点”，∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过 两点，
则有 ，解得： ，即k的最小值为 ．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过 两点，
则有 ，解得： ，即k的最大值为 ．
∴k的取值范围为 ．
故选A．8．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数 ．
（1）当 时，则 ；
（2）当 时，自变量 的负整数值恰好有2个，则 的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将 代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1
（2）①当 时， 随着 的增大而增大，
∴当 时，可得 ，
解得 ，
∵自变量 的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是 ，
则
解得 ，
②当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时，可得 ，解得 ，
∵自变量 的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是 ，
则
解得 ，
综上可知， 的取值范围为 或
故答案为： 或
9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形，点
，点 ， ，连接 ， ， ，当 最小时， 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知 ，点 可以看成是点 向右平移2个单位，向下平移1个单位，将 向右
平移2个单位，向下平移1个单位，得 ，连接 ， ，得 ，作 关于直线 的
对称点 ，连接 ， ，则 ，得 ，而 ，当点 在上时，取等号，此时 有最小值，利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，将
代入求解即可．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，点 ，则 ， ，
∴ ，则
∴ ，即 ，
∵点 ， ，
∴点 可以看成是点 向右平移2个单位，向下平移1个单位，
将 向右平移2个单位，向下平移1个单位，得 ，连接 ， ，
∴ ，
∵ ，则 在直线 上，
作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，则 ，
∴ ，
而 ，当点 在 上时，取等号，此时 有最小值，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，将 代入可得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，
平移，轴对称等知识点，推到得出 ，当点 在 上时，取等号，此时
有最小值，是解决问题的关键．
10．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于 ， 两点，称
为E，F两点的“折线距离”，记为 ．
【探究应用】
平面直角坐标系中， 、 ．
（1）如图15-1， 轴， 轴， ________；
（2）如图15-2，一次函数 的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段 上任取一点P，
是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图15-3，若点Q是直线 的图象上一动点，画出满足 的所有点Q构成的线段，
并直接写出此线段的长度；
（4）直接写出满足 的所有点R围成图形的面积．【答案】（1）4；（2） 是定值，且 ；（3） ；（4）32
【分析】（1）根据定义代入数据计算即可；
（2）先求出点 的坐标，设点 ，再根据定义得到
，即可解答；
（3）设 ，根据定义得 ，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即
可解答；
（4）设 ，由题意得到 的点 构成以 为中心的正方形，顶点为 ， ，
， ，据此求解即可．
【详解】解：（1）设 ，
∵ 、 ，且 轴， 轴，
∴ ， ，即 ，
∴ ， ，
根据题意： ；
故答案为：4；（2） 是定值，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
设点 ，
则 ，
∴ 是定值，且 ；
（3）设 ，根据定义得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
①当 时，
∴ ， ，
则 ，解得： ，
∴ ， ；
②当 时，
∴ ， ，
则 ，解得： ，
∴ ， ；
③当 时，
∴ ， ，
则 ，解得： （舍去）；综上， 时， ，
此时，所有点 构成的线段为点 到点 的线段长，
长度为 ；
（4）设 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
∴ 的点 构成以 为中心的正方形，顶点为 ， ， ， ，如图，
则对角线长为8，
∴ ，即满足 的所有点R围成图形的面积为32．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
【经典例题三 一次函数与方程、不等式压轴】
11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线 与直线 都经过 ，直线
交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．直线 直线 且经过原点，
且与直线 交于点 ．点 为 轴上任意一点，连接 、 ．对于以下结论，错误的是（ ）
A．方程组 的解为 B．
C． 为直角三角形 D．当 的值最小时，点 的坐标为
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地
求得函数解析式是解题的关键． 、根据题意得到方程组 的解为 ，故不符合题意；
、把 ， 代入 解方程组得到直线 ，求得直线 的解析式为 ，把 ，代入 得得到直线 ，解方程组得到 ，得到 ，根据
三角形的面积公式得到 ，故符合题意； 、解方程得到 ，根据勾股定理和勾
股定理的逆定理得到 为直角三角形；不符合题意； 、作点 故 轴的对称点 连接 交 轴于
此时， 的值最小，设直线 的解析式为 ，解方程组得到直线 的解析式为
，当 时， 得到 ，不符合题意，据此解答即可．
【详解】解： 、 直线 与直线 都经过 ，
方程组 的解为 ，故此选项正确，不符合题意；
、 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 经过 ，
，解得， ，
直线 ，
直线 直线 且经过原点，
直线 的解析式为 ，
把 代入 得， ，
，
直线 ，
解 得 ，
，在 中，令 ，则 ，解得 ，
，
，故此选项错误，符合题意；
、在 中，令 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
、 直线 交 轴于点 ，
，
如图，过点 作 轴的对称点 连接 交 轴于 ，此时， 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
，，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，故此选项正确，不符合题意；
故选： ．
12．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数 和 的图象如图所示，有下列结论：①
；② ；③ ；④ 、 是直线 上不重合的两点，则
．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思
想解决问题．根据一次函数 中的 ， 与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与
一元一次不等式的关系，可解决此题．
【详解】解：① 的图象过第二、三、四象限，
观察图象可知， ， ．
所以 ．故①正确．
②将 分别代入 和 得，
， ．
观察图象不难发现点 在点 的上方，
所以 ．
故②不正确．
③观察图象发现， 与 交点的横坐标为 ．
当 时，两者的函数值相等．
，
故③正确．
④ ， 是直线 上不重合的两点，
由 的图象可知，当 时， ，则 ．
当 时， ，则 ．
故④不正确．
故选：B．
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线 的函数表达式为 ．已知点 ，点P是线段
上一动点（可与点B，D重合），直线 （k为常数）经过点P，交 于点C．
（1）当 时，点C的坐标为 ；
（2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ．【答案】 且 或
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，
一次函数的性质．
（1）当 时，直线 的函数表达式为 ，进而与直线l 的函数表达式联立成方程组，解方程组
1
即可求解；
（2）当直线 过点 时，将点B的坐标代入函数表达式得： ，解得： ；当直线 过
点 时，同理可得： ，进而求解．
【详解】解：（1）当 时，直线 的函数表达式为 ，
由 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）令 ，则 ，
∴ ，∵ ，
当 时， ，即直线 必过点 ；
当直线 过点 时，
将点B的坐标代入函数表达式得： ，
解得： ；
当直线 过点 时，
同理可得： ；
∵两条直线相交于点C，则 ，
综上，k的取值范围为： 且 或 ．
故答案为： 且 或 ．
14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图
象交于点 ．
（1） 的值为 ；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函
数 的值，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题
的关键．
先将点 分别代入函数解析式即可求出 ，则 ，此时两条直线的函数解析
式分别为 与 ，数形结合找出平行的临界状态即可求解．【详解】解：（1）∵函数 与 的图象交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于
函数 的值，如图：
∵直线 与 交于点 ，
由图可知当 时，函数 的值大于函数 的值，
∴要满足题意，只需函数 的值大于函数 的值即可，
∵当直线 平行于直线 时，符合题意，此时
∴满足题意， ，
故答案为： ．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴相交于点 、点 ，直线 与 相交于点 ，与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点
是 轴上一动点．
(1)求直线 的表达式；
(2)求 的面积；
(3)连接 、 ，
当 时，求点 的坐标；
当 的面积等于 面积的一半时，请直接写出点 的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 点 的坐标为 或 ； 或
【分析】（1）将点 代入直线 得 ，利用待定系数法可得直线 的表达式；
（2）由直线 可得 ，由直线 ： 得 ，即可得 的面积；
（3） 设点 的坐标为 ，分两种情况：Ⅰ点 在 轴正半轴时，Ⅱ点 在 轴负半轴时，分别求解
即可；
设点 的坐标为 ，分两种情况：Ⅰ点 在 轴正半轴时，Ⅱ点 在 轴负半轴时，利用三角形的
面积公式分别求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 中，得 ，
，
设直线 的表达式 ，把 和 代入得：，
解得： ， ，
的表达式为 ；
（2）解： 直线 与 轴相交于点 ，
，
直线 ： 与 轴相交于点 ，
，
点 ，
，
；
（3）解： 点 在 轴正半轴时，过点 作 轴于 ，如图 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
，
点 的坐标为 ；
点 在 轴负半轴时，如图 ，
由图得当点 与点 重合时， ，
点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
设点 的坐标为 ，
点 在 轴正半轴时，如图 ，，
，
，
，
点 的坐标为 ；
点 在 轴负半轴时，如图 ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，全
等三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键．【经典例题四 方案分配压轴】
16．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每
天 元，双人间为每人每天 元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠
大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个 人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双
人间客房．
(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)设三人间共住了 人，一天一共花去住宿费 元，请写出 与 的函数关系式；
(3)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿
费用最低，并求出最低的费用．
【答案】(1)三人间 间；双人间 间
(2)
(3) 人住三人间， 人住双人间
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
（1）设三人间有 间，双人间有 间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据 客房人数 ； 住宿费
元列方程组求解；
（2）根据题意，三人间住了 人，则双人间住了 人，住宿费 三人间的人数 双人间的
人数；
（3）根据 的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．
【详解】（1）解：设三人间有 间，双人间有 间，
根据题意得： ，
解得： ，
答：租住三人间 间，双人间 间；
（2）解：根据题意，三人间住了 人，住宿费每人 元，则双人间住了 人，住宿费每人 元，；
（3）解：因为 ，所以 随着 的增大而减小，
故当 满足 、 为整数，且 最大时，
即 时，住宿费用最低，此时 ，
答：一天 元的住宿费不是最低；若 人入住三人间，则费用最低，为 元．
所以住宿费用最低的设计方案为： 人住三人间， 人住双人间．
17．（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需7万元；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需
万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元?
(2)已知 台甲型和 台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是 件和 件，该公司计划最多用 万
元购买 台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人 台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小
时的分拣量最大?
【答案】(1)甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元
(2)有购买甲型机器人 台，乙型机器人 台；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，这两种购买方案．方
案二能使每小时的分拣量最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是根据题意列出式子．
（1）设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元，根据“购买甲型机器人 台，乙型机器
人 台，共需7万元；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需 万元”，即可得出关于 的二元
一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人 台，则购买乙型机器人 台，根据题意，即可得出关于 的一元一次不等
式组，解之即可得出 的取值范围 ，故有两种购买方案，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台；
购买甲型机器人 台，乙型机器人 台．设 台机器人每小时的分拣量为 ，则
．得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决
最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元，依题意，得 ，
解得 ，
答：甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元．
（2）解：设购买甲型机器人 台，则购买乙型机器人 台．
依题意，得 ，
解得 ．
故整数 可以为 和 ， 可以为 和 ，
故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台；
方案二，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台．
设 台机器人每小时的分拣量为 ，则 ．
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，此时 ，
∴方案二：购买甲型机器人 台，乙型机器人 台时，才能使每小时的分拣量最大．
18．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：
方案 促销方案
方案
所有服装全场六折
一
方案 “满 送 ”（如：购买 元服装，赠 元购物券；购买 元服装，赠
二 元购物券）
方案 “满 减 ”（如：购买 元服装，只需付 元；购买 元服装，只需
三 付 元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为 元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种
服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
求裤子的标价；请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价 （元）可以看成标价 （元）的函数，请你写出，当
时， 关于 的函数表达式为______，当 时， 关于 的函数表达式为______，当
时， 关于 的函数表达式为______；
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为 元 的服装，当 的取值范围是多少时，用方案
三购买更合算？
【答案】(1) 元； 应选择方案三，理由见解析；
(2) ， ， ；
(3)当 时，用方案三购买更合算．
【分析】（ ） 设裤子的标价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 分别算出每一种方案的花费
即可判断求解；
（ ）根据题意列出函数解析式即可；
（ ）分 和 两种情况讨论即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次
方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解： 设裤子的标价为 元，
根据题意得， ，
解得 ，
答：裤子的标价为 元；
选择方案三，理由如下：
方案一的花费为： 元，
方案二的花费为： 元，
方案三的花费为： 元，
∵ ，
∴应选择方案三；
（2）解：当 时， 关于 的函数表达式为 ，当 时， 关于 的函数表达式为，当 时， 关于 的函数表达式为 ；
故答案为： ， ， ；
（3）解：当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费 元，
∵ ，
∴ 用方案一购买更合算；
当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费 元，
当 时，解得 ，
∴当 时，用方案三购买更合算；
当 时，两种方案购买花费一样多；
当 时，用方案一购买更合算；
综上，当 时，用方案三购买更合算．
19．（2023·河南濮阳·三模）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，
后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用60000元
购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.
(1)问A，B型展台单价分别是多少元？
(2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的 .请设计一种购买方案，
使得花费最少，并计算最少花费为多少元.
【答案】(1)每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元；
(2)购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
【分析】（1）设出未知数，列出分式方程即可解决；
（2）设出未知数，列出一次函数，根据条件得到自变量取值范围，最后依据一次函数的性质求得最值．
【详解】（1）设每台B型展台的价格为x元，则每台A型展台的价格为 元.根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解且符合题意.
.
答：每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元．
（2）设购买A型展台a台，则购买B型展台 台，总花费为W，依题意，
得 .
，解得 .
又 ，
随a的增大而增大，
∴当 时，W的值最小，最小值为 （元），
（台）.
答：购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
【点睛】本题综合考查了根据实际问题，列出和求解分式方程，一元一次不等式，一次函数的性质，设出
未知数，正确列式计算是解题的关键．
20．（2023八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需
12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16
万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【答案】(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元
(2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，
乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人 台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这
两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人
的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人 台．
依题意，得 ，
解得 ．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则 ．
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，此时 ，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数
关系式．
【经典例题五 最大利润压轴】
21．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，
它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用
28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部
售出，请求出所获利润 （单位：元）与滨滨的数量 （单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的 全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其
余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2) ，有4种购买方案；
(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个 元，则每个妮妮的进价是 元，根据题意得：
，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）由题意可得 ，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可
得 ，而 为整数，即可得答案；
（3）由 ， ，由一次函数性质可得 最大值为24050，设捐赠的滨滨 个，捐赠
妮妮 个，即得 ，而 、 都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个 元，则妮妮每个进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
（元 ，
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
（2）解：根据题意得： ，
商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
，
解得： ，
，而 为整数，
可取347或348或349或350；
有4种购买方案；
（3）解：由（2）知 ， ，
，
随 的增大而增大，
时， 取最大值，最大值为 ，
设捐赠的滨滨 个，捐赠妮妮 个，
根据题意得： ，
，
、 都为非负整数，
， ，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题
的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
22．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价
和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 200
乙 300
(1)求 的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，
茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低 元（ ），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两
种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求 的最大值．
【答案】(1)100
(2)40
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系
式．（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方
程即可；
（2）设购进甲种茶叶 斤，销售完这两种茶叶的总利润为 元，由题意得出 与 的一次函数关系式，再
由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
解得，
经检验， 是原方程的根，且符合题意；
（2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶 斤，那么乙茶叶 斤，利润为 ，
由题意得： ，
，
，
随 的增大而减小，
，
当 时， 的最小值为： ，
解得： ，
的最大值为40．
23．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，
将获取相关数据整理如下：
购买的数量（单位：瓶）
总费用（元）
甲消毒液 乙消毒液
17 13 64
13 17 56
(1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消
毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用 最少？并求出最少费用．【答案】(1)
(2)当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w关于a的函数关系式．
（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组
即可求解；
（2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲
种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次
函数的增减性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是 元，每瓶乙消毒液的价格是 元，
根据题意得： ，
解这个方程组得：
（2）根据题意，得
由已知，得 ，
解得： ．
是正整数，
可取18，19，20．
，
随 的增大而增大，
当a取最小值18， 时， 取得最小值，
即 ．
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
24．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题．
材 内容某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的
进货总金额 （单位：元）与乙品种葡萄的进货量 （单位：斤）之间的关系如图
所示，经过试销，在 城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14
元/斤．
料
一
材
在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙
料
品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
二
材
葡萄运到 城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两
料
种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
三
任
务 求图中直线 函数解析式．
一
若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，
任
设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为 元（利润 销售额 成本）．求出
务
（单位：元）与乙品种葡萄的进货量 （单位：斤）之间的函数关系式，并为
二
该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任
在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 让利给购买者，那么混
务
三 合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】任务一：
任务二： ，乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤
任务三：9.55元/斤
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
任务一：利用待定系数法求解即可；
任务二：根据题意，分别将甲、乙两种葡萄的进货量及各自的销售总额用含x的代数式表示出来，再根据
“总利润 甲品种葡萄的利润 乙品种葡萄的利润 ”列式并化简，根据w随的变化情况和x的取值范
围，确定当x为何值时w取最大值，并求出最大值，从而求出此时甲品种葡萄的进货量；
任务三：求出混合销售葡萄获得的利润及甲、乙两种品种葡萄的进货总金额，从而计算出成本，根据“销售定价 （成本 利润） 销售数量”作答即可．
【详解】解：任务一：设直线 函数解析式为 ,
将 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线 函数解析式为 ．
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为 斤，
乙葡萄的利润 ，
甲葡萄的利润 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时，利润最大，
此时 ，
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤，
总成本 （元），
总利润 （元），
让利给购买者 后的利润 （元），
总销售额为： （元），
销售价 （元/斤），
即销售价应定为：9.55元/斤．
25．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
芝士杨梅配料 满杯杨梅配料
茉莉清茶
芝士 杯
杯
素
材 茉莉清茶
杨梅肉
1 杯
杨梅肉 多肉
多肉
素 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利
材 润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为
2 5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯
材 降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于 ，配制的
3 茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润
任
务 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
1
任
为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨
务
梅”共多少杯？
2
【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯
【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题．
任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是 元，可得得： ，解方程并检验，从而可求得每杯
“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务2：设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为 元；根据制的 茉莉清茶
全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得 ，而芝士消耗量不少于 ，有， ，而 ，即可求出答案．
【详解】解：任务 设每杯“满杯杨梅”的利润是 元，则每杯“芝士杨梅”的利润是 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
（元），
答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务 设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为 元；
制的 茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，
，
，
芝士消耗量不少于 ，
，
解得 ，
根据题意得： ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取最大值，最大值为 （元），
此时 ，
（元），
制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯．
【经典例题六 一次函数中的旋转问题（45度）】
26．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC
的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图
1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得
△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当
直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则
△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求
出点Q的坐标．
【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，
∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，
令y=2x+2=0，则x=-1，
∴OB=1，
∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，∴∠ACO=∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°，
∴∠BDA=∠BAP=45°，
∴AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，
∴OE=3，
∴D（3，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为y=-3x+7，
令y=0，则x= ，
∴P（ ，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则∠BAQ=45°，
∵∠ABF=∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，
∵B（-1，0），D（3，-2），
∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线AQ的解析式为：y= x+ ．
令y=0，则x=-11，
∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（ ，0）．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的
性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，现将直
线 绕点 按逆时针方向旋转 交 轴于点 ，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】过 作 轴于 ，过 作 ，证明 是等腰直角三角形，则有 ，再通
过角度的和差，证明 ，根据性质得出点 ，最后通过待定求出直线 的函数
表达式即可．
【详解】解：如图，过 作 轴于 ，过 作 ，交直线 于D，作 轴于 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
28．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴，y轴分别交于
点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为 ．
【答案】 5 -4或
【分析】（1）根据直线解析式可以求出A、B两点坐标，然后运用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）由（1）中AB的长度可求等腰直角△ABC的面积，进而可知△ABP的面积，由于没有明确点P的位置，要分类讨论利用三角形的和或差表示出面积，列出并解出方程即可得到答案．
【详解】（1）∵直线 与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴A(3,0)，B(0,4)，
∴ ；
（2）∵AB=5，
∴ ，
∴ ，
当P在第二象限时，如图所示，连接OP，
∵
即 ，
∴ ；
当P在第一象限时，如图所示，连接OP，
∵
即 ，
∴ ；
故答案为：5；-4或 ．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，做题时要认真观察图形，要会对图象进行拼接来表示出三角形
的面积，而分类讨论是正确解答本题的关键．
29．（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分
别交 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转 ，交 轴于点C，则直线BC的函数表达式
为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到 ， ， ，求得 ， ，过 作 交 于 ，过
作 轴于 ，得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ， ，
设直线 的函数表达式为： ，解方程组即可得到结论．
【详解】解： 一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
， ， ，
， ，
过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
设直线 的函数表达式为： ，
，
，
直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
30．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰
的直角顶点 在原点，将其绕着点 旋转，若顶点 恰好落在点 处．则① 的长为_____；
②点 的坐标为_____．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰 如图放置，直角顶点 ，点 ，试求直线 的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，作 轴，
垂足为点C，P是线段 上的一个动点，点 是直线 上一动点．问是否存在以点 为直角顶点
的等腰 ，若存在，请求出此时 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3） ，
【分析】（1）作 轴于F， 轴于E，根据勾股定理可得 长，由 对应边相等
可得B点坐标；
（2）过点 作 轴,通过证明 得出点B坐标，用待定系数法求直线 的函数表达式；
（3）设点Q坐标为 ，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标.
【详解】解：（1）如图1，作 轴于F， 轴于E，由A点坐标 ，
，
在 中，根据勾股定理可得 ，
为等腰直角三角形，
，
轴于F， 轴于E，
，
又 ，
，
，
，
所以B点坐标为： ；
（2）如图2，过点 作 轴．
为等腰直角三角形，
，
轴，
，
又 ，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
设直线 的表达式为 ，
将 和 代入，得：
，
解得 ，
∴直线 的函数表达式 ．
（3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方，
设点Q坐标为 ，点P坐标为 ，
当点Q在x轴下方时，连接 ，过点 作 交其延长线于M，则M点坐标为 ，
为等腰直角三角形，，
，
，
又 ，
，
，
，
由题意得 ，
， ，
解得 ，
所以 ；
当点Q在x轴上方时，连接 ，过点 作 交其延长线于N，则N点坐标为 ，
同理可得 ，
，
由题意得 ，
， ，
解得 ，
所以 ，综上 的坐标为： ．
【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活
运用全等的性质求点的坐标是解题的关键.
【经典例题七 一次函数中的翻折问题】
31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知，如图，直线 ： ，分别交平面直角坐标系于
两点，直线 ： 与坐标轴交于 两点，两直线交于点 ；点 是 轴上一动
点，连接 ，将 沿 翻折， 点对应点刚好落在 轴负半轴上，则 所在直线解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点 作 轴于 ，过
点 作 轴于 ，先求出点 的坐标，再求出直线 的解析式，然后求出点 坐标，得到 ，
设点 的坐标为 ，利用勾股定理可求出 ，由待定系数法即可求出 所在直线解析式，求出
点 的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，点 为点 在 轴负半轴上的对
应点，把 代入直线 ： 得，
，
∴ ，
∴ ，
把 代入直线 ： 得，
，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设点 的坐标为 ，
则 ， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 所在直线解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴ ，
故选： ．
32．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，将函数 （ 为
常数）的图象位于 轴下方的部分沿 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数 （ 为常数）的图
象．若函数 |（ 为常数）与直线 有交点 、 ，现给出以下结论，其中正确结论的序号是
．
① 的面积总为2；
②若函数 （ 为常数）图象在直线 下方的点的横坐标 满足 ，则 的取值范围为
；
③若 ，则 的解集为 ；④当 ，若正比例函数 与 （ 为常数）的图象只有一个公共点，则 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结
合是解题的关键．求得 、 的坐标，即可得出 ，利用三角形面积公式求得△ 的面积即可判断
①；根据 满足 ，即可求出 的取值范围，可以判断②；求得直线 与函数 的交点
为 ， ， ，根据图象即可判断③；求得直线 与直线 平行，与直线 平行时
的 的值，根据图象即可求得正比例函数 与 为常数）的图象只有一个公共点时的
的取值，可以判断④．
【详解】解：①把 代入 为常数）得， ，
解得 或 ，
， ， ， ，
，
，故①正确；
②当 时， ， ；
当 时， 即 ，
的取值范围为 ．故②正确；
③由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
直线 与函数 的交点为 ， ， ，
则 的解集为 ，故③正确；④ 时，直线 与直线 平行， 时，直线 与直线 平行，
正比例函数 与 为常数）的图象只有一个公共点，则 或 ．故④错误．
故答案为：①②③．
33．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交
轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，在 轴上有一动点 ，连接 ，将
沿直线 翻折后点 的对应点 恰好落在直线 上，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】先由直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，得 ，再求出 ，结合
，求出直线 的解析式为 ，因为将 沿直线 翻折后点 的对应点 恰好落在直
线 上，设 ， ，得 运用勾股定理表示 ，
， ， ，整理得 ，
解得 ，即可作答．
【详解】解：∵直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
∴令 ，则 ；令 ，则 ；
解得 ，
故 ，
把 代入 ，
∴ ．
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵将 沿直线 翻折后点 的对应点 恰好落在直线 上，
∴设 ，
∵动点 在 轴上，
∴设 ，
∵折叠，
∴ ，
∴
∴
∵ ， ， ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵
∴ ， ，
整理得 ，
解得 ，
当 时，则 ，
解得 ，
即 ；
当 时，则 ，
解得 ，
即 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，待定系数法求解析式，因式分解法解方程，折叠的性质，勾股
定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
34．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
与y轴交于点C，过点C的直线 与x轴正半轴交于点B， 的面积是 面积的3倍．(1)求点B的坐标；
(2)线段 上有点P，当直线 把 分成面积相等的两部分时，直接写出直线 的解析式；
(3)在射线 和射线 上分别取点E和点F，且 ，将 沿直线 翻折得到 ，点O
的对应点为点 ，若点 到直线 和直线 的距离相等，直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，待定系数法求一次函数解析式，含 角的直
角三角形三边关系勾股定理等知识，解题的关键是根据已知得出含特殊角的直角三角形．
（1）根据 的面积是 面积的3倍， ，可得 ，可得点B的坐标；
（2）根据直线 把 分成面积相等的两部分，则可得点 为 的中点，再用待定系数法即得直线
的解析式；
（3）由 ， ，可得 ，过 作 于K，点 到直线
和直线 的距离相等，知 在 的平分线上，即 ，设 与 交于F，则
，根据 ，可证 ，O关于 的对称点正好在 上，
若 ，则O关于 对称点即为 ，在 中， ， ，可得 是
的中位线，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 的面积是 面积的3倍，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点B的坐标 ；
（2）解：如图：
将 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
令 得 ，
∴ ，
∵直线 把 分成面积相等的两部分，
点 为 的中点，
则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：如图，在 上作 ,
∵ ， ，
∴ ， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
∴
∴ ，
如图，过 作 于K，∵点 到直线 和直线 的距离相等，
∴ 在 的平分线上，即 ，
设 与 交于F，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时O关于 的对称点正好在 上，
若 ，则O关于 对称点即为 ，
在 中， ， ，
∵O关于 对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，，
∴ ，
∴ ．
35．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
直线 ： 与直线 相交于点 ，交 轴负半轴于点 ．已知点 的横坐标为 的面积
为10．(1)点 的坐标为________；
(2)求直线 对应的函数表达式；
(3)若 为线段 上的一个动点，将 沿着直线 翻折，点 是否存在某个位置，使得点 的对应点
恰好落在 轴正半轴上？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将点B横坐标代入 即可求解；
（2）根据 的面积为10，求出 ， ，再用待定系数法求解即可；
（3）过点B作 轴于点E，则 ，由翻折得： ，则在 中，
，那么 ，则 的中点为 ，由翻折可得直线 垂直平分 ，直线
经过 的中点 ，可求直线 的表达式为 ，再与直线 联立即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将 代入 得： ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解：如图，
∵ 的面积为10，
∴ ，
∴ ，
当 ，
∴ ，
∵C在y轴负半轴，
∴ ，
将 ， 代入
得： ，
解得： ，
∴直线 对应的函数表达式为 ；
（3）解：存在，理由如下，过点B作 轴于点E，
∵
∴ ，
由翻折得： ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
则 的中点为 ，
由翻折可得直线 垂直平分 ，
∴直线 经过 的中点 ，
设直线 的表达式为： ，
代入 ， 的中点 得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理．
【经典例题八 一次函数中的新定义问题】
36．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）点 、点 和点 为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：
若 ，且 ，则称 为点 关于点 的等垂点．
(1)已知点 的坐标为
①如图1，若点 为原点，直接写出 关于 的等垂点 的坐标________；
②如图2， 为 轴上一点，且点 关于点 的等垂点 佮好在一次函数 的图象上，求点 的坐
标；
(2)如图3，若点 的坐标为 ， 为直线 上一点， 关于点 的等垂点 位于 轴右侧，连接
， ，请问 是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】(1) 或 ； 或
① ②
(2)有最小值，最小值为 ，理由见解析
【分析】（1）①根据新定义，得到 轴，且 ，求解即可；
②分点 在 轴正半轴和在 轴负半轴上两种情况，结合全等三角形的性质、一次函数的性质、坐标和图
象进行求解即可；（2）过点 作平行于 轴的直线 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，过点 作
于点 ，利用 证明 ，得到点 在直线 上运动，作点 关于直线 的对称
点 ，连接 ，则 和 ，那么， ，当点 ， ， 在一
条直线上时， 的值最小，最小值为 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：①作出点 关于点 的等垂点，如图，
则 ，
点 的坐标为 ，点 为原点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
关于 的等垂点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或
②Ⅰ．当点 在 轴的正半轴上时，过点 作 轴于点 ，如图，∵ 恰好在一次函数 的图象上，
设 ，
∴ ，
点 的坐标为 ，
．
，
，
，
．
在△ 和 中，
，
，
∴ ，
，
，
∴ ；
Ⅱ．当点 在 轴的负半轴上时，过点 作 轴于点 ，如图，恰好在一次函数 的图象上，
设 ，
；
同Ⅰ可得： ，
，
，
，
；
综上，点 的坐标为 或 ；
（2）解： 有最小值，最小值为 ，理由：
过点 作平行于 轴的直线 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，过点 作
于点 ，如图，
则 ， ， ， ，．
， ，
．
在 和 中，
，
，
，
，
点 的横坐标为7，即点 在直线 上运动，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
则 ， ，
∴
当点 ， ， 在一条直线上时， 的值最小，最小值为 ，则 ，
．
有最小值，最小值为 ．
【点睛】本题依托“等垂点”考查坐标与图形，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，利用轴
对称解决线段最短问题以及勾股定理．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的
思想进行求解．
37．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当
时，它们对应的函数值相等；当 时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数 ，它的“友好函数”为 ；
【定义2】平面直角坐标系中将经过点 且垂直于 轴的直线记为直线 ．
已知一次函数 ，请回答下列问题：
(1)该一次函数的“友好函数”为 ；
(2)已知点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，求 的值；
(3)当 时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
(4)已知直线 与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为 ，最小值为
(4)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的
性质是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当 时， ，从而当 时， ，进而
可以得解；
（2）依据题意，分 和 ，结合点 在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程
求出 ，即可得解；
（3）依据题意，分 和 ，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可；
（4）依据题意，画出一次函数 的“友好函数” 的图象，进而结合直线
与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解．
【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义，
当 时， ，
当 时， ，故答案为： ；
（2）解：由题意， 当 时，
点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，符合题意；
当 时，
点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，不符合题意；
综上， ；
（3）解：当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值为 ，当 时， 有最大值为 ；
当 时， ， 随 的增大而增大，
当 时， 有最小值为 ，当 时， 有最大值为 ；
综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为 ，最小值为 ；
（4）解：由题意，画出一次函数 的“友好函数” 的图象如下：
直线 与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点，
．38．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：在平面直角坐标系 中，任意两点 ， ，
如果 ，那么称点 是点 的和差点．
【概念理解】
（1）已知点 ， ，且点 是点 的和差点，那么根据定义可得： ，即
．由此可知：点 的和差点 在一次函数 的图像上．
请判断：在点 ， ， 中，点 的和差点为______；
【初步应用】
（2）若点 是点 的一个和差点，且点 在直线 上，求出点 的坐标；
【拓展提升】
（3）如图，已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，点 为 三条边上的任意一点．
请用阴影标注所有点 的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分．
【答案】（1） 、 ；（2） ；（3）见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形
结合，理解题意．
（1）点 ， ， 的坐标适合关系式 的，即为点 的和差点；（2）设 ，根据新定义得出点Q在直线 上，联立 ，解方程组即可；
（3）设点 的和差点Q的坐标为 ，分三种情况：当点P在边 上时，当点P在边 上时，当点P
在边 上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案．
【详解】解：（1）把 代入 得： ，
∴ 在直线 上，
把 代入 得： ，
∴ 不在直线 上，
把 代入 得： ，
∴ 在直线 上，
∴点 的和差点为 、 ；
（2）设 ，
∵点 是点 的一个和差点，
∴ ，
整理得： ，
∴点Q在直线 上，
又∵点 在直线 ，
∴联立 ，
解得： ，∴点 的坐标为 ；
（3）设点 的和差点Q的坐标为 ，
当点P在边 上时，设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线直线 的解析式为： ，
设此时点P的坐标为： ，根据题意得：
，
整理得： ，
∴此时点 的和差点Q在直线 上；
当点P在边 上时，设此时点P的坐标为： ，根据题意得：
，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴此时点 的和差点Q在直线 和 之间；
当点P在边 上时，设此时点P的坐标为： ，根据题意得：
，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴此时点 的和差点Q在直线 和 之间；综上分析可知：点 的和差点Q在直线 和 之间，如图所示：
39．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有 ， 两点，若
存在点C使得 ，且 ，则称点 为m的“等垂点”．
例如：在 ， ， 三点中，因为 ，且 ，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点 ， ，则 ____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点 ， ，则点 是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数 上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线 上存在无数个5的“等垂点”，且直线 与x轴交于点E，与
y轴交于点F，点M在线段 上，点 在 内， ， ，连接 ，设 ，直接写出
面积 关于a的表达式．
【答案】（1）是．（2） 或 ．
（3） 或 ．
（4） ．
【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可；
（2） 分点在 点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3） 分点在 轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（4）特殊点法求一次函数解析式，面积桥求 的高，面积公式写出表达式即可．
【详解】（1）∵点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
所以 ，
则 是2的“等垂点”，
故答案 ：是．
（2）∵点 ， ，且点 是4的“等垂点”，
∴如图所示过点 分别作 轴 轴的垂线，垂足分别为点 ，易证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∵点 ， ，且点 是4的“等垂点”，
∴如图所示易证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案 ： 或 ．
（3）设
当 时，如图过 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵
∴
即
∵点 ，
∴ 或 ，
解得 或 (舍)，
∴ ．
当 时，如图过 作 于点 ，
同理可得
∵点 ，
∴ 或 ，
解得 或 (舍)，
∴ ．
综上所述： 或 ．
（4）∵直线 上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴直线为 ，如图过点 分别作 ，
∵ ， ， ，
∴根据勾股定理逆定理得 为直角三角形，
∴
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
所以 ．
【点睛】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；
解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问
题的能力．
40．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点 和
给定的正整数n，如果满足 ，则把点 称作“ 精致点”．(1) 是“ 精致点”，当 ， 时， ；
(2)在第一象限内，当 时，
①设“ 精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ；
②如图直线l经过 和 ，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在
“ 精致点”．如果有，请求出其“ 精致点”的坐标，如果没有，请说明理由；
(3)若直线 上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② ，该直线在第一象限内不存在“ 精致点”，见解析
(3)
【分析】 根据“ 精致点”的定义，将n和x代入即可得y值；
①根据“ 精致点”的定义，将n代入，再根据点在第一象限，去绝对值求解即可；
②求出直线l的表达式，再联立 求出交点坐标，看其是否在第一象限即可判断；
利用解析式设P坐标为 ，根据“ 精致点”定义可知 ，去绝对值分类讨
论，用b表示出m，进而建立不等式求解即可．
【详解】（1） ，
，
当 时， ，故答案为： ；
（2）①当 时，
，
点P在第一象限，
，
，
即 ，
故答案为： ；
②设直线l的表达式为 ，
直线l经过 和 ，
，
解得 ，
直线l的表达式为 ；
结论：该直线在第一象限内不存在“ 精致点”，
由①知： 在第一象限内有“ 精致点”，
可化为 ，
联立 ，
解得 ，此时交点 不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“ 精致点”；
（3） 在 上，
设 ，
点P是“ 精致点”，
，
①当 时，
，
，
，
解得： ；
②当 时，
，
，
，
解得 ；
综上，
【点睛】本题主要考查了新定义内容、一次函数的图象和性质、二元一次方程组、解一元一次不等式等内
容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【经典例题九 一次函数中的最值问题】
41．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
，点 为 的中点，点 为边 上的动点，若使四边形 周长最小，则点 的坐标为
（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线的交
点问题，作点 关于 的对称点 ，连接 ，若使四边形 周长最小，只要 最小，当
三点共线时， 最小， 设直线 交 于 ，则点 与 重合时，四边形 周长
最小，利用待定系数法求出直线 和 的解析式，联立方程组即可求出点 坐标，正确找出点 的位置
是解题的关键．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 轴上，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，∵点 关于 的对称点 ，
∴ ， ，
∴若使四边形 周长最小，只要 最小，
当 三点共线时， 最小，
设直线 交 于 ，则点 与 重合时，四边形 周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，把 ， 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立函数解析式得，
，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，故选： ．
42．（2022·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中有四个点： ， ， ，
，其中点 、点 在直线 上，则当 时，四边形 的周长最小．
【答案】 /
【分析】作点C关于直线 的对称点 ，则 的坐标为 ，把 向左平移2个单位，再向下平
移2个单位得到点 ，连接 ，与直线 交于点A，过 作 交直线 于
B，于是得到 ，推出四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ，等量
代换得到 ，得到 ，此时 最小，而 与 的长一定，此时四边形
的周长最短．设直线 的解析式为 ，求得直线 的解析式为 ，再联立两个
解析式解方程组，即可得到结论．
【详解】解：作点C关于直线 的对称点 ，则 的坐标为 ，
把 向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点 ，连接 ，
与直线 交于点A，
过 作 交直线 于B，
如图， ∴ ，由平移的性质可得： ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，此时 最小，而 与 的长一定，
∴此时四边形 的周长最短．
设直线 的解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 得 ，∴A点坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线
段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．
43．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点
是 轴上的一个动点，且 、 、 三点不在同一条直线上，当 的周长最小时点 的坐标是
．
【答案】（0，4）．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得
相应的函数值
【详解】
解：作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点，
B′点的坐标是（-4，0），
设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（-4，0），（1，5），得解得
AB′的函数解析式为y=x+4
自变量的值为零时，y=4
当△ABC周长最小时，C点坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分
线的性质，两点之间线段最短．
44．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得 最
小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，与直线l交于点P．由对称可得 ，所
以 ，当 ，P、B三点共线的时候， ，此时 最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得 最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点 ，连接 并延长交直线l交于点P．由对称可得 ，
所以 ，当 、P、B三点共线的时候， ，此时 最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线 上有点 、 ，点P在x轴上运动，点Q在直线AB
下方的y轴上运动．
①求a，b的值；
②当 最小时，求点P的坐标；
③令 ，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足 ，当t的值最大时，若点M、N分别是线段 上的动点，且 ，连接 ，当 最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）① ， ；② ；③ ， ；（2） ．
【分析】（1）①把 代入 ，求出 ，再把 代入解析式，求出 的值；②作点B关于
x轴对称点 ，连接 ，则： 与 轴的交点即为点 ，求出 的解析式，令 ，求出点
的坐标即可；③ ，得到当 最大， 最小时，
t有最大值，由（2）可得 的最小值，作点B关于y轴的对称点 ，连接 ，则 与
轴的交点即为点 ，此时 最大为 的长，求出 点坐标，进行求解即可；
（2）过点P，作 ， ，连 ，证明 ，得到 ，进而
得到 ，得到当 在线段 上时， 的值最小，求出 的解析式，进
而求出点 的坐标即可．
【详解】解：（1）①将点 代入 ，得 ，
∴
将点 代入 ，得 ；
故 ， ；
②作点B关于x轴对称点 ，连接 ，则： 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小为 的长，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
则： ，解得：
∴ ，
令 ，则： ，解得 ，
∴ ；
③ ，
当 最大， 最小时，t有最大值，
作点B关于y轴的对称点 ，连接 ，则 与 轴的交点即为点 ，此时 最大为
的长，
∵ ，
同法可得：
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ；
（2）过点P，作 ， ，连 ，则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
同法可得： ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌
握将军饮马模型，是解题的关键．
45．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于
，直线 交 轴于点 ，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ．
(1)分别写出直线 和 的表达式为 ， ；（直接写答案）
(2)点 到直线 的距离为 ；（直接写答案）
(3)点 为直线 上一动点，若 ，求点 的坐标；
(4)在该平面内找一点 ，使它到四个顶点的距离之和 最小，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)点P的坐标为 或 ；
(4) ．【分析】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段的性
质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）把 ，点 代入 得，解方程组得到直线 ： ；把 代入
解方程得到直线 的表达式为 ；
（2）过C作 于H，求得 ， ，求得 ，推出 是等腰直角三角形，
据此求解即可；
（3）根据 ，得到点P在过原点且平行于 的直线上，解方程组得到点P的坐标为 ；
②把直线 ，向上平移1个单位长度得 ，解方程组得到 ；
（4）如图，连接 交于一点Q，则点Q到四个顶点的距离之和 最小，联立，解
方程组，于是得到结论．
【详解】（1）解：把 ，点 代入 得，
，
解得 ，
∴直线 ： ；
把 代入 得 ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ；
故答案为： ， ；（2）解：过C作 于H，
在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴点C到直线 的距离为 ，
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴①点P在过原点且平行于 的直线上，
∴直线 的解析式为 ，
解 得 ，
∴ ；②把直线 ，向上平移1个单位长度得 ，
解 得 ，
∴ ，
综上所述，若 ，点P的坐标为 或 ；
（4）解：如图，连接 交于一点Q，
则点Q到四个顶点的距离之和 最小，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
解 得 ，
∴ ．
