文档内容
专题 05 一次函数 45 道压轴题型专训（9 大题型）
题型一 函数相关压轴题
题型二 一次函数的图象与性质压轴
题型三 一次函数与方程、不等式压轴
题型四 方案分配压轴
题型五 最大利润压轴
题型六 一次函数中的旋转问题（45度）
题型七 一次函数中的翻折问题
题型八 一次函数中的新定义问题
题型九 一次函数中的最值问题
【经典例题一 函数相关压轴题】
1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形 中，点E为 上的一点（ ），
点P沿折线 以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t， ，图2是
点P运动时y随t变化的关系图象（当 时点P运动到点D），则a的值为（ ）
A．12 B．15 C．17.5 D．20
2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形 中，点A为 轴正半轴上一点， 轴，直线
轴交菱形两边于 两点（点 在点 下方），直线 从 轴出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向
右平移，设运动时间为 （秒）， 的面积为 ， 与 的大致图象如图2，若 ，则 的值为
（ ）A．6 B． C．8 D．12
3．（2025·山东临沂·一模）一条笔直的公路上有 ， ， 三地，已知 ， 两地相距 ， 在
之间，早上 时甲车匀速从 地出发， 时到达 地，在休整一小时后继续前往 地；乙车早上 时从
地匀速出发前往 地，中途汽车发生故障，维修后保持原速继续前往 地，下图 、图 分别代表甲、乙两
车距 地的距离与时间的图象，图 为两车之间的距离与时间的图象，下列说法中正确的是 （请
填写序号）．
， ； ； 乙车修车正好用去 小时； 甲车比乙车先到达目的地．
4．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而
行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到
C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后
掉头以加快后的速度赶往B地，又经过 小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶
（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离 （千米）与甲车行驶时间 （小时）
的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米．5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，等边三角形 的边长为2，过顶点 作 的垂线 ，点
在直线 上，分别以点 、 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，点 、 、 按顺时针方向
排列，连接 ．
【发现】
（1）点 在直线 上运动的过程中，以下选项：① 长；② 长；③点 到 所在直线的距离；
④点 到 所在直线的距离．
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）；
（2）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大，点 到 所在直线的距离也随
着变______（填“大”或“小”）；
在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，随着 长度不断变大，点 到 所在直线的距离是如何变
化的？______（直接写出结果）．
【表达】
（3）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，设 ，求点 到 所在直线的距离 关于 的函数
表达式；（4）在点 从点 出发沿 方向运动的过程中，设 ，直接写出点 到 所在直线的距离 关于
的函数表达式：______．
【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴】
6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知 ， ， 为直线 上的三个点，且
，则以下判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称
点A为“和一点”．例如：点 到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点
也是“和一点”．一次函数 的图象l经过点 ，且图象l上存
在“和一点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数 ．
（1）当 时，则 ；
（2）当 时，自变量 的负整数值恰好有2个，则 的取值范围为 ．
9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形，点
，点 ， ，连接 ， ， ，当 最小时， 的值为 ．10．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于 ， 两点，称
为E，F两点的“折线距离”，记为 ．
【探究应用】
平面直角坐标系中， 、 ．
（1）如图15-1， 轴， 轴， ________；
（2）如图15-2，一次函数 的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段 上任取一点P，
是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图15-3，若点Q是直线 的图象上一动点，画出满足 的所有点Q构成的线段，
并直接写出此线段的长度；
（4）直接写出满足 的所有点R围成图形的面积．【经典例题三 一次函数与方程、不等式压轴】
11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线 与直线 都经过 ，直线
交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．直线 直线 且经过原点，
且与直线 交于点 ．点 为 轴上任意一点，连接 、 ．对于以下结论，错误的是（ ）
A．方程组 的解为 B．
C． 为直角三角形 D．当 的值最小时，点 的坐标为
12．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数 和 的图象如图所示，有下列结论：①
；② ；③ ；④ 、 是直线 上不重合的两点，则
．其中正确的是（ ）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线 的函数表达式为 ．已知点 ，点P是线段
上一动点（可与点B，D重合），直线 （k为常数）经过点P，交 于点C．
（1）当 时，点C的坐标为 ；
（2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ．
14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图
象交于点 ．
（1） 的值为 ；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函
数 的值，则k的取值范围为 ．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴相交于点 、点 ，直线 与 相交于点 ，与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点
是 轴上一动点．
(1)求直线 的表达式；
(2)求 的面积；
(3)连接 、 ，
当 时，求点 的坐标；
当 的面积等于 面积的一半时，请直接写出点 的坐标为 ．
【经典例题四 方案分配压轴】
16．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每
天 元，双人间为每人每天 元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠
大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个 人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双
人间客房．
(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)设三人间共住了 人，一天一共花去住宿费 元，请写出 与 的函数关系式；
(3)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿
费用最低，并求出最低的费用．
17．（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需7万元；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需
万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元?
(2)已知 台甲型和 台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是 件和 件，该公司计划最多用 万
元购买 台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人 台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小
时的分拣量最大?
18．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：方案 促销方案
方案
所有服装全场六折
一
方案 “满 送 ”（如：购买 元服装，赠 元购物券；购买 元服装，赠
二 元购物券）
方案 “满 减 ”（如：购买 元服装，只需付 元；购买 元服装，只需
三 付 元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为 元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种
服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
求裤子的标价；
请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价 （元）可以看成标价 （元）的函数，请你写出，当
时， 关于 的函数表达式为______，当 时， 关于 的函数表达式为______，当
时， 关于 的函数表达式为______；
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为 元 的服装，当 的取值范围是多少时，用方案
三购买更合算？
19．（2023·河南濮阳·三模）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，
后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用60000元
购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.
(1)问A，B型展台单价分别是多少元？
(2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的 .请设计一种购买方案，
使得花费最少，并计算最少花费为多少元.
20．（2023八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需
12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16
万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【经典例题五 最大利润压轴】
21．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，
它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多 65元，用
28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部
售出，请求出所获利润 （单位：元）与滨滨的数量 （单位：个）的函数关系式，若商场用不低于
60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的 全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其
余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
22．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价
和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 200
乙 300
(1)求 的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，
茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低 元（ ），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两
种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求 的最大值．
23．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，
将获取相关数据整理如下：
购买的数量（单位：瓶）
总费用（元）
甲消毒液 乙消毒液17 13 64
13 17 56
(1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消
毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用 最少？并求出最少费用．
24．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题．
内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的
进货总金额 （单位：元）与乙品种葡萄的进货量 （单位：斤）之间的关系如图
所示，经过试销，在 城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14
元/斤．
材
料
一
材
在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙
料
品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
二
材
葡萄运到 城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两
料
种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
三
任
务 求图中直线 函数解析式．
一
若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，
任
设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为 元（利润 销售额 成本）．求出
务
（单位：元）与乙品种葡萄的进货量 （单位：斤）之间的函数关系式，并为
二
该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任
在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 让利给购买者，那么混
务
三 合销售葡萄的销售价应定为多少？
25．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯
杨梅”和“芝士杨梅”．
芝士杨梅配料 满杯杨梅配料
茉莉清茶
芝士 杯
杯
素
材 茉莉清茶
杨梅肉
1 杯
杨梅肉 多肉
多肉
素 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利
材 润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为
2 5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯
材 降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于 ，配制的
3 茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润
任
务 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
1
任
为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨
务
梅”共多少杯？
2
【经典例题六 一次函数中的旋转问题（45度）】
26．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2
绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，现将直
线 绕点 按逆时针方向旋转 交 轴于点 ，则点 的坐标是 ．
28．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴，y轴分别交于
点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为 ．29．（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分
别交 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转 ，交 轴于点C，则直线BC的函数表达式
为 ．
30．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰
的直角顶点 在原点，将其绕着点 旋转，若顶点 恰好落在点 处．则① 的长为_____；
②点 的坐标为_____．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰 如图放置，直角顶点 ，点 ，
试求直线 的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，作 轴，垂足为点C，P是线段 上的一个动点，点 是直线 上一动点．问是否存在以点 为直角顶点
的等腰 ，若存在，请求出此时 的坐标，若不存在，请说明理由．
【经典例题七 一次函数中的翻折问题】
31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知，如图，直线 ： ，分别交平面直角坐标系于
两点，直线 ： 与坐标轴交于 两点，两直线交于点 ；点 是 轴上一动
点，连接 ，将 沿 翻折， 点对应点刚好落在 轴负半轴上，则 所在直线解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
32．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，将函数 （ 为
常数）的图象位于 轴下方的部分沿 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数 （ 为常数）的图象．若函数 |（ 为常数）与直线 有交点 、 ，现给出以下结论，其中正确结论的序号是
．
① 的面积总为2；
②若函数 （ 为常数）图象在直线 下方的点的横坐标 满足 ，则 的取值范围为
；
③若 ，则 的解集为 ；
④当 ，若正比例函数 与 （ 为常数）的图象只有一个公共点，则 ．
33．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交
轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，在 轴上有一动点 ，连接 ，将
沿直线 翻折后点 的对应点 恰好落在直线 上，则点 的坐标为 ．
34．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
与y轴交于点C，过点C的直线 与x轴正半轴交于点B， 的面积是 面积的3倍．(1)求点B的坐标；
(2)线段 上有点P，当直线 把 分成面积相等的两部分时，直接写出直线 的解析式；
(3)在射线 和射线 上分别取点E和点F，且 ，将 沿直线 翻折得到 ，点O
的对应点为点 ，若点 到直线 和直线 的距离相等，直接写出点 的坐标．
35．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
直线 ： 与直线 相交于点 ，交 轴负半轴于点 ．已知点 的横坐标为 的面积
为10．
(1)点 的坐标为________；
(2)求直线 对应的函数表达式；
(3)若 为线段 上的一个动点，将 沿着直线 翻折，点 是否存在某个位置，使得点 的对应点
恰好落在 轴正半轴上？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题八 一次函数中的新定义问题】
36．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）点 、点 和点 为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若 ，且 ，则称 为点 关于点 的等垂点．
(1)已知点 的坐标为
①如图1，若点 为原点，直接写出 关于 的等垂点 的坐标________；
②如图2， 为 轴上一点，且点 关于点 的等垂点 佮好在一次函数 的图象上，求点 的坐
标；
(2)如图3，若点 的坐标为 ， 为直线 上一点， 关于点 的等垂点 位于 轴右侧，连接
， ，请问 是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
37．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当
时，它们对应的函数值相等；当 时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友
好函数”．
例如：一次函数 ，它的“友好函数”为 ；
【定义2】平面直角坐标系中将经过点 且垂直于 轴的直线记为直线 ．
已知一次函数 ，请回答下列问题：
(1)该一次函数的“友好函数”为 ；
(2)已知点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，求 的值；
(3)当 时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；(4)已知直线 与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出 的取值范围．
38．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：在平面直角坐标系 中，任意两点 ， ，
如果 ，那么称点 是点 的和差点．
【概念理解】
（1）已知点 ， ，且点 是点 的和差点，那么根据定义可得： ，即
．由此可知：点 的和差点 在一次函数 的图像上．
请判断：在点 ， ， 中，点 的和差点为______；
【初步应用】
（2）若点 是点 的一个和差点，且点 在直线 上，求出点 的坐标；
【拓展提升】
（3）如图，已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，点 为 三条边上的任意一点．
请用阴影标注所有点 的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分．
39．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有 ， 两点，若
存在点C使得 ，且 ，则称点 为m的“等垂点”．
例如：在 ， ， 三点中，因为 ，且 ，所以点C为1的“等垂点”．【探究应用】
（1）点 ， ，则 ____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点 ， ，则点 是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数 上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线 上存在无数个5的“等垂点”，且直线 与x轴交于点E，与
y轴交于点F，点M在线段 上，点 在 内， ， ，连接 ，设 ，直接写出
面积 关于a的表达式．
40．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点 和
给定的正整数n，如果满足 ，则把点 称作“ 精致点”．
(1) 是“ 精致点”，当 ， 时， ；
(2)在第一象限内，当 时，
①设“ 精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ；
②如图直线l经过 和 ，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在
“ 精致点”．如果有，请求出其“ 精致点”的坐标，如果没有，请说明理由；(3)若直线 上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围．
【经典例题九 一次函数中的最值问题】
41．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
，点 为 的中点，点 为边 上的动点，若使四边形 周长最小，则点 的坐标为
（ ）．
A． B． C． D．
42．（2022·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中有四个点： ， ， ，
，其中点 、点 在直线 上，则当 时，四边形 的周长最小．
43．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点
是 轴上的一个动点，且 、 、 三点不在同一条直线上，当 的周长最小时点 的坐标是
．
44．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得 最
小？小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，与直线l交于点P．由对称可得 ，所
以 ，当 ，P、B三点共线的时候， ，此时 最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得 最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点 ，连接 并延长交直线l交于点P．由对称可得 ，
所以 ，当 、P、B三点共线的时候， ，此时 最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线 上有点 、 ，点P在x轴上运动，点Q在直线AB
下方的y轴上运动．
①求a，b的值；
②当 最小时，求点P的坐标；
③令 ，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足 ，当t的值最大时，若点M、N分别是
线段 上的动点，且 ，连接 ，当 最小时，求点M的坐标．
45．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于
，直线 交 轴于点 ，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ．(1)分别写出直线 和 的表达式为 ， ；（直接写答案）
(2)点 到直线 的距离为 ；（直接写答案）
(3)点 为直线 上一动点，若 ，求点 的坐标；
(4)在该平面内找一点 ，使它到四个顶点的距离之和 最小，求点 的坐标．
