文档内容
技巧 04 结构不良问题解题策略
【目录】
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................4
考点一：三角函数与解三角形................................................................................................................................4
考点二：数列...........................................................................................................................................................6
考点三：立体几何...................................................................................................................................................7
考点四：函数与导数..............................................................................................................................................10
考点五：圆锥曲线.................................................................................................................................................11
结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．
1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择
比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好
的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应
从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提
出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学
习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才
是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此
基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．
1．（2023•北京）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
4．（2021•甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，
证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．① ， ；
② ， ．
6．（2021•北京）在 中， ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求
边上的中线的长．
条件① ；
条件② 的周长为 ；
条件③ 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
考点一：三角函数与解三角形
【典例1-1】在① ；②向量 ；③ 这
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在 中， 分别是内角 的对边，已知 为AC 边的中点，若
________，求 BD 的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【典例1-2】在① ，② ，③ 三个条件中
选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设 的面积为S，已知______．
求角C的值；
若 ，点D在边AB上，CD为 的平分线， 的面积为 ，求边长a的值．
【变式1-1】设函数
若 ，求 的值．
已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第 问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
【变式1-2】已知函数求函数 的单调递增区间；
在 中， 分别是角 的对边， ，若 D 为 BC 上一点，且满足
____________，求 的面积
请从① ；② AD 为 的中线，且 ；③ AD 为 的角平分线，且
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个
解答计分
考点二：数列
【典例2-1】已知数列 的前n项和为 ， ，
求数列 的通项公式；
令
①
②
③
从上面三个条件中任选一个，求数列 的前n项和
【典例2-2】已知数列 的前n项和为 ， ，且
证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；
若____________，求数列 的前n项和从① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解
答问题．
【变式2-1】已知等差数列 的前n项和为 ， 是各项均为正数的等比数列， ，________，
， ，是否存在正整数k，使得数列 的前k项和 ，若存在，求出k的最小值；
若不存在，说明理由．
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．
【变式2-2】设数列 的前n项和为 ，已知 ，__________．
求数列 的通项公式；
设 ，数列 的前n项和为 ，证明：
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解 若两个都选，则按所写的第1
个评分 ：
①数列 是以 为公差的等差数列；②
考点三：立体几何
【典例 3-1】如图，在四棱锥 中，侧棱 平面 BCDE，底面四边形 BCDE 是矩形，
，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．若 ，求证：直线 平面
若 ，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角 的余弦值为
【典例3-2】如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面 平面ABCD， ，
，M，N分别是BC，PD的中点．
求证： 平面PAB；
再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值．
条件①： ；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【变式3-1】如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的正方形， 再从条件
①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
条件① 条件② 条件③ 平面 平面
求证： 平面
求直线BC与平面 所成角的正弦值．
【变式3-2】如图在三棱柱 中，D为AC的中点， ，
证明： ；
若 ，且满足：______，______ 待选条件
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角 的正弦值．
①三棱柱 的体积为 ；②直线 与平面 所成的角的正弦值为 ；
③二面角 的大小为 ；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．考点四：函数与导数
【典例4-1】已知函数 ，
求函数 的极值；
请在下列①②中选择一个作答 注意：若选两个分别作答则按选①给分
①若 恒成立，求实数a的取值范围；
②若关于x的方程 有两个实根，求实数a的取值范围．
【典例4-2】已知函数
Ⅰ 讨论 的单调性；
Ⅱ 从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点．
① ， ；
② ，
【变式4-1】已知函数
讨论 的单调性；
从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点．
① ；②
考点五：圆锥曲线
【典例5-1】已知双曲线 的实轴长为 ，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为
求双曲线C的方程；
点P在第一象限， 在直线 上，点 均在双曲线C上，且 轴，M在直线AQ
上， 三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：① Q是AM的中点；②直
线AB过定点
【典例5-2】已知双曲线C： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，
直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积．
若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③
【变式5-1】已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直
线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③ 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【变式5-2】在① ；② ；③ 面积的最小值为8，这三个条件中任
选一个，补充在横线上，并解答下列问题．
已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线与该抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，
_____________．
求抛物线的方程；
点 C 在抛物线上， 的重心 G 在 y 轴上，直线 AC 交 y 轴于点 点 Q 在点 F 上方 记
的面积分别为 ，求T的取值范围．
