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微重点 7 几何特征在解三角形中的应用
解三角形在平面几何中的应用，是高考的重点，主要考查正、余弦定理、平面几何的几
何特征、性质(中线、角平分线等)，选择、填空、解答题都可以出现，难度中等．
考点一 三角形的中线及应用
例1 (2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝2bcos2.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)依题意有
asin B＝2bcos2＝(1－cos A)b，
所以sin Asin B＝(1－cos A)sin B，
因为在△ABC中sin B≠0，
所以sin A＝1－cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，
解得sin A＝，cos A＝－，
所以A＝.
(2)由|AD|＝＝2，
得|AB＋AC|＝4，
所以|AB|2＋|AC|2＋2|AB||AC|cos
＝|AB|2＋|AC|2－|AB||AC|
＝16≥|AB||AC|，
所以(|AB||AC|) ＝16，
max
当且仅当|AB|＝|AC|＝4时，等号成立．
所以△ABC面积的最大值为
S＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝4.
规律方法 解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D
为边BC上的中点，则AD＝(AB＋AC，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪演练1 (2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，
点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asin B.
(1)证明：CD＝c；(2)求cos∠ACB的值．
(1)证明 由题意得，CD＝，
由正弦定理得＝，
即＝，所以CD＝，
由于c2＝ab，所以CD＝c.
(2)解 由题意知CD＝c，AD＝，DB＝，
所以cos∠ADC＝＝，
同理cos∠BDC＝＝，
由于∠ADC＝π－∠BDC，
所以＋＝0，
整理得a2＋b2＝c2，
由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝.
考点二 三角形的角平分线及应用
例2 (2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点
D.
(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；
(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．
解 (1)因为AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，
利用余弦定理可得
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝7，
故BC＝，
由角平分线定理知＝，
又＝，
所以＝，又BD＋CD＝，
所以CD＝.
(2)根据题意得，△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和，
又AB＝c，AC＝b，所以
××bc＝××b×1＋××c×1，
整理得bc＝b＋c.
所以b＋c＝bc≤2，
即≥b＋c，解得b＋c≥4，当且仅当b＝c＝2时取“＝”，
即AB＋AC的最小值为4.
规律方法 角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线
定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪演练2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos∠BAC，
∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，则以下结论正确的是( )
A．AC＝
B．AB＝8
C.＝
D．△ABD的面积为
答案 ACD
解析 因为b＝ccos∠BAC，
由正弦定理可得sin B＝sin Ccos∠BAC
＝sin(∠BAC＋C)，
所以sin∠BACcos C＝0，因为sin∠BAC≠0，
所以cos C＝0，即C＝.
因为＝cos∠BAC＝，
由角平分线定理可得＝＝，
设AC＝x，则AB＝8x，
则BC＝3x，CD＝x.
在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋2＝1，
解得x＝，即AC＝，AB＝6.
因为S ＝××6×＝，
△ABC
所以S ＝S ＝.
△ABD △ABC
考点三 四边形问题
例3 (2022·日照模拟)在①S ＝2，②∠ADC＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题
△ABC
中并解答．
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求
AC的长．
(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)解 选择①：
由S ＝·AB·BC·sin∠ABC
△ABC
＝×2·BC·sin ＝2，
得BC＝2.
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝4＋8－2×2×2×＝20，
所以AC＝＝2.
选择②：
设∠BAC＝∠CAD＝θ，
则0<θ<，∠BCA＝－θ.
在△ABC中，＝，
即＝，
所以AC＝.
在△ACD中，＝，
即＝，
所以AC＝，所以＝，
解得2sin θ＝cos θ，
又0<θ<，所以sin θ＝，
所以AC＝＝2.
规律方法 解多边形问题，一般是把要求的量放到三角形中，利用正、余弦定理求解，关键
是选择好三角形，否则就会使问题复杂化，所以解多边形问题的实质还是解三角形问题．
跟踪演练3 (1)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝120°，∠ACD＝90°，
∠CDA＝60°，则BD的长度为( )
A. B．2
C．3 D.
答案 D
解析 设∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10－6cos 120°＝13，
则AC＝，从而CD＝＝，
由正弦定理得＝，
即sin α＝＝，
从而cos∠BCD＝cos(90°＋α)＝－sin α＝－，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝9＋＋2×3××＝，
则BD＝.
(2)(2022·百校联盟联考)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，△BCD为等边三角形．则
当四边形ABCD的面积最大时，sin∠BAD＝__________.
答案
解析 设AD＝a，则AB＝2a，由题意可知
S ＝·AB·AD·sin∠BAD＝a2sin∠BAD.
△ABD
在△ABD中，根据余弦定理，
可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD
＝a2(5－4cos∠BAD)，
则S ＝BD2sin 60°＝BD2
△BCD
＝a2(5－4cos∠BAD)，
所以四边形ABCD的面积
S＝a2sin∠BAD＋a2(5－4cos∠BAD)
＝a2＋2a2sin.
所以当∠BAD＝时，四边形ABCD的面积S最大，
此时，sin∠BAD＝.
专题强化练
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边
上的中线，若AD＝，则BC的长为( )
A．7 B．3 C. D．3
答案 C解析 如图，AD＝(AB＋AC)，
∵AD2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)，
∴＝(c2＋9＋3c)，
∴c＝5(负根舍去)，
∵BC2＝b2＋c2－2bccos∠BAC
＝9＋25－2×3×5×＝19，
∴BC＝.
2.(2022·赣州模拟)如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，∠BAD＝∠ABC＝，BC＝2，AD＝
1，则DC的长为( )
A. B. C. D．3
答案 C
解析 如图，延长AD，BC交于点E，由题意知，∠BAD＝∠ABC＝，BC⊥DC，
∴∠DEC＝，∠DCE＝，
∴∠ADC＝，不妨设DC＝x，
则EC＝x，DE＝x.
∵BE＝EC＋BC＝AE，
∴x＋2＝1＋x，
解得x＝.
3．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ACD的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设∠ABC＝θ，则∠ADC＝π－θ，
∵在△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos θ，在△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos(π－θ)，
∴AB2＋BC2－2AB·BC·cos θ
＝AD2＋CD2＋2AD·CD·cos θ，
则61－60cos θ＝25＋24cos θ，
∴cos θ＝，而0<θ<π，
故sin θ＝，
∴S ＝AD·CD·sin(π－θ)
△ACD
＝6sin θ＝.
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线交BC于点D，AB＝2AC，若CD
＝，则S 的面积为________．
△ABC
答案
解析 由角平分线定理知＝＝2，
∴BD＝2CD＝2，
∴BC＝3，
令AC＝t，则AB＝2t，
由余弦定理得63＝t2＋4t2－2×t×2t×
解得t＝3(负值舍去)，
∴AB＝6，AC＝3，
∴S ＝AB·AC·sin∠BAC＝.
△ABC
5.(2022·长沙质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A＝60°，B＝45°，若
将六个和△ABC全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为S ，阴影部分面积为S ，
1 2
则＝________.
答案 3＋6
解析 因为A＝60°，B＝45°，
则C＝75°，
所以sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，面积比为相似比的平方，
＝＝
＝＝
＝＝＝6＋3.
6．(2022·山东学期联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan
Atan B－tan A－tan B＝，角C的平分线CD交AB于D.
(1)求证：＝＋；
(2)若CD＝CB＝2，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵tan Atan B－tan A－tan B＝，
∴(tan Atan B－1)＝tan A＋tan B，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－，∴tan∠ACB＝，
∵0<∠ACB<π，∴∠ACB＝，
∵CD为角平分线，∴S ＝S ＋S ，
△ABC △ACD △BCD
∴·CA·CB·sin∠ACB＝·CD·CA·sin∠ACD＋·CD·CB·sin∠BCD，
∴CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即＝＋.
(2)解 由CD＝CB＝2代入＝＋，
可得CA＝＋1，
∴S ＝×CA×CB×sin∠ACB＝×2×(＋1)×＝.
△ABC
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋(a＋2b)cos C＝0.
(1)求C的大小；
(2)若△ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AB边的长．
解 (1)由ccos A＋(a＋2b)cos C＝0，
得sin Ccos A＋(sin A＋2sin B)cos C＝0，
即－2sin Bcos C＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B.
因为0°0，
从而cos C＝－.
又0°
