文档内容
大题保分练 1
1．(2022·广东六校联考)在①b＝；②sin B＋sin C＝2sin A；③bc＝10这三个条件中任选
一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形
不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A＋B)＝csin ，a
＝3，__________？
解 ∵3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，
∴asin(A＋B)＝csin ，
由正弦定理知sin Asin(A＋B)＝sin Csin ，
又A＋B＋C＝π，
∴sin Asin C＝sin Csin ＝sin Csin
＝sin Ccos ，
又sin C≠0，∴sin A＝cos ，
即2sin cos ＝cos ，而cos ≠0，
∴sin ＝，
又A∈(0，π)，故＝，
即A＝.
选①：b＝，a＝3，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin B＝，又b0，不符合题意；
当n为奇数时，n＝－n，
可得n≥＝3，可得n≤3.
因此，n的最大值为3.
3．(2022·张家口模拟)已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11，
该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层随机抽样的方法在A，B两校初一年级在校
学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图所
示的频率分布直方图．
(1)在抽取的100名学生中，A，B两所学校各抽取的人数是多少？
(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中有20人来自A中学，根据已知条件
填写下面列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析做作业时间超过3小时是
否与学校有关．
做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 合计
A校
B校
合计
附表：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
α
附：χ2＝.
解 (1)设A，B两校所抽取的人数分别为x，y，
由已知可得解得
故A，B两校所抽取的人数分别为45,55.
(2)由频率分布直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为
0．5×(1.25×0.1＋1.75×0.3＋2.25×0.4＋2.75×0.6＋3.25×0.3＋3.75×0.2＋4.25×0.1)
＝2.675(小时)．
由0.5×(0.1＋0.2＋0.3)＝0.3，可知有30%的学生做作业时长超过3小时．
综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为 2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超
过3小时．
(3)由(2)可知，有30%×100＝30(人)做作业时间超过3小时．
故填写列联表如下(单位：人)：
做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 合计
A校 20 25 45
B校 10 45 55
合计 30 70 100
零假设为H：做作业时间超过3小时与学校无关．
0
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝≈8.13>6.635＝x ，
0.010
所以依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为做作业时间超过3
0小时与学校有关．
4.(2022·济南联考)如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，
平面ABP⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2，点M在边PC上，且PM＝2MC.
(1)证明：PA∥平面BDM；
(2)当平面BCM与平面BDM夹角的正切值为时，求四棱锥P－ABCD的体积．
(1)证明 连接AC交BD于点N，连接MN，
由△BNC∽△DNA知＝＝，
又＝，
所以＝，所以PA∥MN，
又PA⊄平面BDM，MN⊂平面BDM，
所以PA∥平面BDM.
(2)解 作PO⊥AB于点O，
因为平面ABP⊥平面ABCD，平面ABP∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面ABP，
所以PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则M，B，
C，D，
所以BC＝(0,1,0)，BD＝(－a，2,0)，
BM＝，
设平面BCM的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则
即
令x＝1，得m＝，
1
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2
则
即
令x＝1，得n＝，
2设平面BCM与平面BDM的夹角为θ，
则tan θ＝，cos θ＝，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
解得a＝2，
所以V ＝××2×＝.
P－ABCD
