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专题11 利用导数证明不等式
考点一 单变量不等式的证明
1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调
性，借助所构造函数的单调性即可得证．
2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以
传递的中间量，达到证明的目标．
3.导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln
x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
考点二 双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
考点三 证明与数列有关的不等式
(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过
多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等
式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．
专项突破一 单变量不等式的证明
1．已知 ， ， ．(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
2．已知函数 .
(1)若 在 上有2个零点，求a的取值范围；
(2)证明： .
3．已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．4．已知函数 .
（1）若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 且 ，求证： .
5．已知函数 .
(1)当 时， ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
6．已知函数 .
(1)若 有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当 时，证明： .
7．已知函数 的最小值为 ．
(1)求实数 的值；
(2)求证：当 时， ．8．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： .
9．已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： （其中 为自然对数的底数）．
10．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明： .
11．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性，并求函数 的极值；(2)证明：对任意 ，都有 ．
12．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： .
13．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
14．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．专项突破二 双变量不等式的证明
1．已知函数 ，（ ）．
(1)若 存在两个极值点，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 为 的两个极值点，证明： ．
2．已知函数 .
(1)若 在 上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)记 的两个极值点为 ， ，求证： .
3．设函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)任意正实数 ，当 时，试判断 与 的大小关系并证明4．记函数 ，其导函数为 .
(1)讨论 的极值点个数；
(2)当 时，令 ，若 是关于 的方程 的两个相异的实数根，
证明： .
5．已知函数 ，且 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有三个极值点 ，且 ，求证： ．
6．已知函数(1)当 时，若对任意的 都有 求m的最大值
(2)若函数 有且只有两个不同的零点 求证
7．已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
8．已知函数 .
(1)若 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .
9．已知函数 ， ．
(1)求 的单调区间；
(2)证明： ；(3)设a，b为正数，且 ，证明： ．
10．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时，若 满足 ，求证： ．
11．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设方程 的两个根分别为 , ，证明： .
12．已知实数 ，设函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 单调递增，求a的最大值；
(3)设 是 的两个不同极值点， 是 的最大零点．证明： ．
注： 是自然对数的底数．13．已知函数 ．
(1)若直线 与 的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
(2)若函数 在 上存在两个极值点 ，且 ，证明： ．
14．已知函数
(1)求函数 在点 处的切线的方程；
(2)若 有两个极值点m，n，证明： ．
专项突破三 证明与数列有关的不等式
1．已知关于 的函数
（1）讨论 的单调性；（2）证明：当 时，
2．设函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明：当 且 时， .
3．已知函数 ．
(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值，并求函数 的极值；
(2)①若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
②证明：当 时， ．
4．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数f(x)在区间[ ]上的最大值；(2)证明： ．
5．已知函数 ．
(1)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ，求证： ．
6．已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象与直线 只有一个公共点．
(2)证明：对任意的 ， ．
7．已知函数 .(1)若 ，求实数m的值；
(2)当 且 时，证明： .
8．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)已知函数 在区间 上不存在极值点，求 的取值范围；
(3)证明： ， .
