专题05导数与不等式（讲）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇
专题05 导数与不等式（讲）
真题体验 感悟高考
1
1．（2022·全国·高考真题）设a0.1e0.1,b ，cln0.9，则（
）
9
A．abc B．cba C．c<a<b D．acb
x22ax2a, x�1,
f(x)
2．（2019·天津·高考真题（理））已知 aR ，设函数 xalnx, x1,若关于 x 的不等式 f(x)�0
在R上恒成立，则a的取值范围为
0,1 0,2 0,e 1,e
A． B． C． D．
ex
f x lnxxa
3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 x ．
fx0
(1)若 ，求a的取值范围；
f x x,x xx 1
(2)证明：若 有两个零点 1 2，则 1 2 ．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次
是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不
等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性
有机结合，设计综合题.
2.涉及导数与不等式问题，主要有：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明、不等式恒成立时求参数的取
值范围、含导数不等式的求解问题、比较函数值大小问题等
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 导数与解不等式问题
【核心知识】
1.利用导数解决解不等式或取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函
数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
f(x)
g(x)
2.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 f(x) f(x) 构造 ex ， f(x) f(x)0 构造
f(x)
g(x)ex f(x)， xf(x) f(x) 构造 g(x) x ，xf(x) f(x)0构造g(x) xf(x)， xfx f x ，想
f x
到构造
gx
x 等.一般：（1）条件含有 f x fx ，就构造gxexf x ,（2）若
f x
f x fx ，就构造
gx
ex ，（3）2f x fx ，就构造gxe2x f x ，（4）
f x
2f x fx 就构造
gx
e2x ，等便于给出导数时联想构造函数.
【典例分析】
f(x)sinxx3x
典例1.（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））若 ，则不等式f(x1) f(2x)0
的解集是（ ）
1   1   1
A．

3
,
 B．
1,
C．



3
,
 D．


,
3


典例2.（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数 f x 的定义域是R， f 02 ，对任意 xR ，
f x fx1 ex f xex 1
，则不等式 的解集为（ ）
 x|x0 x|x0
A． B．
x|x1 x1 x|x1 0x1
C． 或 D． 或
y f x y fx
典例3.（2022·上海市奉贤中学高三期中）定义在R上的函数 的导函数为 ，若对任意的实数
f x fx f x f xπ2022 2f 11x8π2022e11x8
x，都有 ，且 ，则不等式 的解集是_________
【总结提升】
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关
系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
考向二 利用导数比较大小
【核心知识】
利用函数的单调性、构造函数法（常见构造函数法见考向一）等，是应用导数比较大小的常见方法.
【典例分析】
a2ln1.01 bln1.02 c 1.041
典例4.（2021·全国·高考真题（理））设 ， ， ．则（ ）
A．abc B．b<c<a C．bac D．c<a<b
f x f x f x20
典例5.（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）定义在R上的偶函数 满足 ,当
1≤x≤0 f x1xex
时, ,则（ ）f 2023 f  ln 13e  f  e0.3 f 2023 f  e0.3  f  ln 13e 
A．  10  B．  10 
f  e0.3  f  ln 13e  f 2023 f  ln 13e  f  e0.3  f 2023
C．  10  D．  10 
 π  π
典例6.（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）已知


0,
6

，


0,
6

，且
tan21cos
，则
（ ）
   
A．  B． 
4 2 4 2
 
C．  D． 
2 2
【总结提升】
从上述典型例题发现，无论是比较函数值的大小，还是比较某些自变量值的大小，应用导数研究函数的单调性，
构造函数，是常见方法，也是基本方法．
考向三 不等式恒成立问题中求参数值（范围）
【核心知识】
a f x a f x a f x
1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( max即可)或 恒成立（
a f x y  f x y  gx f x 0
min即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 min 或
f x 0
max 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
f(x) g(x) y  f(x) y  g(x)
2.含参数的不等式 恒成立的处理方法：① 的图象永远落在 图象的上方；②构
F(x) f(x)g(x) F(x) 0 a h(x)
造函数法，一般构造 ， min ；③参变分离法，将不等式等价变形为 ，或
ah(x) h(x)
，进而转化为求函数 的最值.
3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：m f x m f x
xD
（1） ， min；
m f x m f x
xD
（2） ， max；
m f x m f x
xD
（3） ， max；
m f x m f x
xD
（4） ， min.
【典例分析】
f xalnx1x2 3,4 x
典例7.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数 ，在区间 内任取两个实数 1，
f x 1 f x 1
1 2 1
x且x  x ，若不等式 x x 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
2 1 2 1 2
9, 7, 9, 7,
A． B． C． D．
ex
�ln(axa)ln3a
典例8.（2022·湖北·高三期中）若不等式 a 对任意x1恒成立，则a的取值范围是
_______________.
f xex n
典例9.（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试）已知 ，
gxlnxn xn, f xgx
n
，若对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为______.
【规律方法】
1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最
值问题，转化中注意等价转化.
2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成
立，不失为一种好的方法【如例9】.
考向四 单变量不等式的证明
【核心知识】
1.利用单调性证明单变量不等式
一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上
单调递减即可．
2.利用最值证明单变量不等式
利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x)．证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)
＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x) >0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符
min
号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证.
3.通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见
ex  x1 lnx x1 ex1  x ln(x+1)�x
放缩结论，如 和 是两个典型的不等式，可变形得 ， .
4.利用赋值法证明与正整数有关的不等式.
5. 利用分析法，通过不等式的等价转换，改证新的不等式成立.
【典例分析】
f xx3ax1
典例10.（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数 ．
1,0 y f x
a1
(1)当 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
a0 x0 f xcosx
(2)当 时，对于任意 ，证明： ．
f(x) xeax ex
典例11.（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当a1时，讨论 f(x)的单调性；
x0 f(x)1
(2)当 时， ，求a的取值范围；
1 1 1
   ln(n1)

(3)设nN，证明： 121 222 n2n ．
f xlnxx1
典例12.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数
f x
(1)求 的最大值；
nn1
lnnn1n2 21n2,nN
  
(2)求证： 2
【总结提升】
1.常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
2.数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；
（3）利用递推关系证明．
考向五 双变量不等式的证明
【核心知识】
破解含双变量（参）不等式的证明的关键
一是分析转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【典例分析】
f xx1lnx
典例13.（2021·全国·高考真题）已知函数 .
f x
（1）讨论 的单调性；
1 1
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明：2  e.
a b blnaalnbab a b
f(x)x3klnx(kR) f(x) f(x)
典例14.（2020·天津·高考真题）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当k 6时，
y f(x) (1, f(1))
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
9
（ii）求函数g(x) f(x) f(x) 的单调区间和极值；
x
fx  fx  f x  f x 
1 2  1 2
（Ⅱ）当k� 3时，求证：对任意的x, x [1,)，且x x ，有 2 x x ．
1 2 1 2 1 2
f xx pex
典例15.（2022·江苏南通·高三期中）已知函数 的极值为1．
f x
(1)求p的值，并求 的单调区间；f a f b(ab) abea eb 2
(2)若 ，证明： ．
【总结提升】
证明双变量函数不等式的常见思路
1．将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
2．整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
3．若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而
构造函数利用单调性证明.