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第一篇 热点、难点突破篇
专题05 导数与不等式（讲）
真题体验 感悟高考
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1．（2022·全国·高考真题）设a0.1e0.1,b ，cln0.9，则（
）
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A．abc B．cba C．c0(或f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
f(x)
g(x)
2.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 f(x) f(x) 构造 ex ， f(x) f(x)0 构造
f(x)
g(x)ex f(x)， xf(x) f(x) 构造 g(x) x ，xf(x) f(x)0构造g(x) xf(x)， xfx f x ，想
f x
到构造
gx
x 等.一般：（1）条件含有 f x fx ，就构造gxexf x ,（2）若
f x
f x fx ，就构造
gx
ex ，（3）2f x fx ，就构造gxe2x f x ，（4）
f x
2f x fx 就构造
gx
e2x ，等便于给出导数时联想构造函数.
【典例分析】
f(x)sinxx3x
典例1.（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））若 ，则不等式f(x1) f(2x)0
的解集是（ ）
1 1 1
A．
3
,
B．
1,
C．
3
,
D．
,
3
典例2.（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数 f x 的定义域是R， f 02 ，对任意 xR ，
f x fx1 ex f xex 1
，则不等式 的解集为（ ）
x|x0 x|x0
A． B．
x|x1 x1 x|x1 0x1
C． 或 D． 或
y f x y fx
典例3.（2022·上海市奉贤中学高三期中）定义在R上的函数 的导函数为 ，若对任意的实数
f x fx f x f xπ2022 2f 11x8π2022e11x8
x，都有 ，且 ，则不等式 的解集是_________
【总结提升】
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关
系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
考向二 利用导数比较大小
【核心知识】
利用函数的单调性、构造函数法（常见构造函数法见考向一）等，是应用导数比较大小的常见方法.
【典例分析】
a2ln1.01 bln1.02 c 1.041
典例4.（2021·全国·高考真题（理））设 ， ， ．则（ ）
A．abc B．bg(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上
单调递减即可．
2.利用最值证明单变量不等式
利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x)．证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)
＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x) >0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符
min
号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证.
3.通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见
ex x1 lnx x1 ex1 x ln(x+1)�x
放缩结论，如 和 是两个典型的不等式，可变形得 ， .
4.利用赋值法证明与正整数有关的不等式.
5. 利用分析法，通过不等式的等价转换，改证新的不等式成立.
【典例分析】
f xx3ax1
典例10.（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数 ．
1,0 y f x
a1
(1)当 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
a0 x0 f xcosx
(2)当 时，对于任意 ，证明： ．
f(x) xeax ex
典例11.（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当a1时，讨论 f(x)的单调性；
x0 f(x)1
(2)当 时， ，求a的取值范围；
1 1 1
ln(n1)
(3)设nN，证明： 121 222 n2n ．
f xlnxx1
典例12.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数
f x
(1)求 的最大值；
nn1
lnnn1n2 21n2,nN
(2)求证： 2
【总结提升】
1.常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
2.数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；
（3）利用递推关系证明．
考向五 双变量不等式的证明
【核心知识】
破解含双变量（参）不等式的证明的关键
一是分析转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【典例分析】
f xx1lnx
典例13.（2021·全国·高考真题）已知函数 .
f x
（1）讨论 的单调性；
1 1
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明：2 e.
a b blnaalnbab a b
f(x)x3klnx(kR) f(x) f(x)
典例14.（2020·天津·高考真题）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当k 6时，
y f(x) (1, f(1))
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
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（ii）求函数g(x) f(x) f(x) 的单调区间和极值；
x
fx fx f x f x
1 2 1 2
（Ⅱ）当k� 3时，求证：对任意的x, x [1,)，且x x ，有 2 x x ．
1 2 1 2 1 2
f xx pex
典例15.（2022·江苏南通·高三期中）已知函数 的极值为1．
f x
(1)求p的值，并求 的单调区间；f a f b(ab) abea eb 2
(2)若 ，证明： ．
【总结提升】
证明双变量函数不等式的常见思路
1．将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
2．整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
3．若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而
构造函数利用单调性证明.
