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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 03 导数及其应用
考点一 导数的运算
1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
．若 ， 均为偶函数，则
A． B． C． （4） D． （2）
考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
A． B． C． D．
3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ， ， ，函数 的图象在点
， 和点 ， 的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 ， 两点，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】的取值范围是 ．
考点三 利用导数研究函数的单调性
6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
8．（2022•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ， ，曲线 上不同的三点 ， ， ， ， ，
处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 （a） ；
（ⅱ）若 ， ，则 ．
（注 是自然对数的底数）
9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】② ， ．
11．（2021•浙江）设 ， 为实数，且 ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ， ，满足
．
（注 是自然对数的底数）
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
13．（2020•海南）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的
面积；
（2）若 ，求 的取值范围．
14．（2019•浙江）已知实数 ，设函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）对任意 ， 均有 ，求 的取值范围．
注： 为自然对数的底数．
考点四 利用导数研究函数的极值
15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数 既有极大值也有极小值，
则
A． B． C． D．
16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数 ，则
A． 有两个极值点
B． 有三个零点
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 为 的极大值点，求 的取值范围．
考点五 利用导数研究函数的最值
18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并
且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
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