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专题 26 多边形与平行四边形【二十个题型】
【题型1 计算多边形对角线条数】..........................................................................................................................1
【题型2 对角线分三角形个数问题】......................................................................................................................4
【题型3 多边形内角和问题】..................................................................................................................................5
【题型4 多边形的外角问题】..................................................................................................................................5
【题型5 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】.................................................................6
【题型6 利用平行四边形的性质求解】..................................................................................................................7
【题型7 利用平行四边形的性质证明】..................................................................................................................8
【题型8 构成平行四边形的条件】........................................................................................................................10
【题型9 证明四边形是平行四边形】....................................................................................................................11
【题型10 与平行四边形有关的新定义问题】.......................................................................................................12
【题型11 利用平行四边形的性质与判定求解】...................................................................................................14
【题型12 利用平行四边形的性质与判定证明】...................................................................................................15
【题型13 平行四边形性质与判定的实际应用】...................................................................................................16
【题型14 与三角形中位线有关的计算】..............................................................................................................18
【题型15 与三角形中位线有关的证明】..............................................................................................................19
【题型16 与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................................................................21
【题型17 与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................................................................22
【题型18 三角形中位线的实际应用】....................................................................................................................24
【题型19 连接两点构造三角形中位线】................................................................................................................26
【题型20 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线】...................................................................................27
【知识点 多边形与平行四边形】
1.多边形的相关概念
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)
n(n−3)
个三角形，n边形的对角线条数为
2
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.
【解题技巧】
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1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；
③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.
【解题技巧】
（n−2）×180° 360°
1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ．
n n
2）正n边形有n条对称轴．
3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【易错混淆】
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线
n(n−3)
计算了两次，因此n边形共有 条对角线.
2
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一
点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一
顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
2.平行四边形的性质与判定
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
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3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S
△BEC
=S
△ABE
+S
△CDE
．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
A
A A E D D
D
F
B
B E C C B E C
图①
图② 图③
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两
组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证
明．
3.三角形的中位线
三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行.
数量关系：可以证明线段的倍分关系.
常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.
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【题型1 计算多边形对角线条数】
【例1】（2023·河北·模拟预测）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形从一个顶点
引对角线的条数是（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2023·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要
钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2023·上海·统考中考真题）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角
形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点
有 条对角线．
【题型2 对角线分三角形个数问题】
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对
角线，可以把这个多边形分割成 个三角形．
【变式2-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角
形，这个多边形的边数是 ．
【变式2-2】（2023·陕西榆林·统考一模）从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割
成 个三角形．
【变式2-3】（2023·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面
几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:
多边形：
顶点个数f: 4 5 6 …
1
线段条数e: 5 7 9 …
三角形个数v: 2 3 4 …
1
【题型3 多边形内角和问题】
【例3】（2023·山东·中考真题）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原
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多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【变式3-1】（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．
【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，
则原多边形的边数是 ．
【变式3-3】（2023·湖南·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直
线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，
这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这
样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5
张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ．
【题型4 多边形的外角问题】
【例4】（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不
完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式4-1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个
正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=
（ ）
A．45° B．60° C．110° D．135°
【变式4-2】（2023·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条
公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n
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个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长
为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
【变式4-3】（2023·山东烟台·统考二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB
的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（ ）
A．144° B．126° C．120° D．108°
【题型5 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】
【例5】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A A A ……A 上，若
1 2 3 n
∠1−∠2=60°，则n= ．
【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的
平分线交于点F，求∠DFB的度数．
【变式5-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，
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∠DCE=150°.
(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
【变式5-3】（2023·浙江·三模）如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将余
1
下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，
1 1 1 1 n n n n+1
点B 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好角．
n
（1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（设∠B>∠C）之间的等量关系为 ．
（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的
另两个角的度数 ．（写出一种即可）
【题型6 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到 ▱A'B'C'D'的位置，使
3
点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E若AB=3,AD=4,BB'= ，则∠BAB'= （从“
2
∠1,∠2,∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE= ．
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【变式6-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD(AB
