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专题 26 多边形与平行四边形【二十个题型】
【题型1 计算多边形对角线条数】..........................................................................................................................1
【题型2 对角线分三角形个数问题】......................................................................................................................4
【题型3 多边形内角和问题】..................................................................................................................................5
【题型4 多边形的外角问题】..................................................................................................................................5
【题型5 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】.................................................................6
【题型6 利用平行四边形的性质求解】..................................................................................................................7
【题型7 利用平行四边形的性质证明】..................................................................................................................8
【题型8 构成平行四边形的条件】........................................................................................................................10
【题型9 证明四边形是平行四边形】....................................................................................................................11
【题型10 与平行四边形有关的新定义问题】.......................................................................................................12
【题型11 利用平行四边形的性质与判定求解】...................................................................................................14
【题型12 利用平行四边形的性质与判定证明】...................................................................................................15
【题型13 平行四边形性质与判定的实际应用】...................................................................................................16
【题型14 与三角形中位线有关的计算】..............................................................................................................18
【题型15 与三角形中位线有关的证明】..............................................................................................................19
【题型16 与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................................................................21
【题型17 与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................................................................22
【题型18 三角形中位线的实际应用】....................................................................................................................24
【题型19 连接两点构造三角形中位线】................................................................................................................26
【题型20 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线】...................................................................................27
【知识点 多边形与平行四边形】
1.多边形的相关概念
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)
n(n−3)
个三角形，n边形的对角线条数为
2
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.
【解题技巧】
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1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；
③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.
【解题技巧】
（n−2）×180° 360°
1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ．
n n
2）正n边形有n条对称轴．
3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【易错混淆】
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线
n(n−3)
计算了两次，因此n边形共有 条对角线.
2
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一
点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一
顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
2.平行四边形的性质与判定
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
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3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S
△BEC
=S
△ABE
+S
△CDE
．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
A
A A E D D
D
F
B
B E C C B E C
图①
图② 图③
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两
组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证
明．
3.三角形的中位线
三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行.
数量关系：可以证明线段的倍分关系.
常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.
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【题型1 计算多边形对角线条数】
【例1】（2023·河北·模拟预测）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形从一个顶点
引对角线的条数是（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2023·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要
钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2023·上海·统考中考真题）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角
形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点
有 条对角线．
【题型2 对角线分三角形个数问题】
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对
角线，可以把这个多边形分割成 个三角形．
【变式2-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角
形，这个多边形的边数是 ．
【变式2-2】（2023·陕西榆林·统考一模）从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割
成 个三角形．
【变式2-3】（2023·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面
几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:
多边形：
顶点个数f: 4 5 6 …
1
线段条数e: 5 7 9 …
三角形个数v: 2 3 4 …
1
【题型3 多边形内角和问题】
【例3】（2023·山东·中考真题）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原
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多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【变式3-1】（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．
【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，
则原多边形的边数是 ．
【变式3-3】（2023·湖南·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直
线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，
这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这
样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5
张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ．
【题型4 多边形的外角问题】
【例4】（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不
完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式4-1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个
正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=
（ ）
A．45° B．60° C．110° D．135°
【变式4-2】（2023·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条
公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n
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个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长
为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
【变式4-3】（2023·山东烟台·统考二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB
的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（ ）
A．144° B．126° C．120° D．108°
【题型5 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】
【例5】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A A A ……A 上，若
1 2 3 n
∠1−∠2=60°，则n= ．
【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的
平分线交于点F，求∠DFB的度数．
【变式5-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，
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∠DCE=150°.
(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
【变式5-3】（2023·浙江·三模）如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将余
1
下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，
1 1 1 1 n n n n+1
点B 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好角．
n
（1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（设∠B>∠C）之间的等量关系为 ．
（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的
另两个角的度数 ．（写出一种即可）
【题型6 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到 ▱A'B'C'D'的位置，使
3
点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E若AB=3,AD=4,BB'= ，则∠BAB'= （从“
2
∠1,∠2,∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE= ．
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【变式6-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作
图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以
1
大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B=120°，则
2
∠EAD为 °．
【变式6-2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD，垂
足为H,AH=√3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形
AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r ；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个
1
圆锥底面圆的半径为r ，则r −r = ．（结果保留根号）
2 1 2
【变式6-3】（2023·江西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A
逆时针旋转角α（0°<α<360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为
．
【题型7 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2023·辽宁营口·统考中考真题）在 ▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，
AD DG
点F在BD的延长线上，连接EF，DG．∠FED=∠ADG， = =k．
BD EF
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(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；
(2)如图2，当k=√3时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．
【变式7-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连
接AE，CF，且AE∥CF．求证：
(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
【变式7-2】（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．若EF=AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
【变式7-3】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED
绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
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(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：AE+EC=BF；
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，
如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．
【题型8 构成平行四边形的条件】
【例8】（2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不
能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，AD=CB
C．AB∥CD，AD=CB D．OA=OC，OB=OD
【变式8-1】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分
别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是
________；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【变式8-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的
表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-3】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点
O． E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边
形（ ）．
A．AE＝CF B．DE＝BF
C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
【题型9 证明四边形是平行四边形】
【例9】（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在
线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形
(2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．
【变式9-1】（2023·青海·统考中考真题）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE.
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
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【变式9-2】（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点
E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE,EC，CF,FA．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【变式9-3】（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点
F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．
(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；
OG
(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求 的值．
OD
【题型10 与平行四边形有关的新定义问题】
【例10】（2023·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各
边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D；
②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【变式10-1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方
向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边
形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【变式10-2】（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的
四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
【变式10-3】（2023·广东梅州·统考一模）【定义】
对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．
如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，∠AOB=60°，
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【定义探究】
(1)判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”．
①对角线所夹锐角为60°的平行四边形． （ ）
②对角线所夹锐角为60°的矩形． （ ）
③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． （ ）
【性质探究】
(2)如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD与AC的大小关系；
(3)请判断AD+BC与√3AC的大小关系，并说明理由；
【应用提升】
(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________．
【题型11 利用平行四边形的性质与判定求解】
【例11】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作
BE∥AC，交DA的延长线于点B，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比
值为 ．
【变式11-1】（2023·西藏·统考中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知
∠ABC=60°，则阴影部分的面积是（ ）
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9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
【变式11-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），
分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点
H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
【变式11-3】（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3，求弦BC的长．
【题型12 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例12】（2023·辽宁大连·统考二模）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，
AB=AD，DE∥AB，BE，EF分别与AD相交于点G，H，∠DEH=∠DGE．
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(1)求证：∠DEG=∠DHE；
(2)求证：BG=EF；
(3)如图2，若H是AD中点，AB=kDE，求k的值．
【变式12-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB
上的点，DE∥BA，DF∥CA．
(1)求证：∠FDE=∠A．
S
(2)若BD:DC=1:4，直接写出 △CDE 的值．
S
△ABC
【变式12-2】（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，
由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2)．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加
以判断，并说明理由．
a2+b2 c2
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2= − ．
2 4
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为
_______．
【变式12-3】（2023·安徽·模拟预测）如图1，AD是△ABC的中线，过CD上一点F作EG∥AB，分别与
AD的延长线和AC相交于点E，G，连接BE．
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DF 2 AD
(1)若 = ，求 的值；
CF 3 DE
(2)如图2，在AD上取一点P，使得DP=DE，连接FP并延长交AB于点H．
①求证：HF∥AC；
②连接GH．求证：GH=BE．
【题型13 平行四边形性质与判定的实际应用】
【例13】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=2√2，求BC边上的高；
问题解决：
（2）如图②，某幼儿园有一块平行四边形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，为了丰
富孩子们的课业生活，将该平行四边形空地改造成多功能区域，已知点E、G在边BC上，点F在边AD上，
连接AE、EF、DG．现要求将其中的阴影三角形ABE区域设置成木工区，阴影四边形EFDG区域设置成益
智区，其余区域为角色游戏区，若AB∥EF，∠1＋∠2＝60°，请问：是否存在一种规划方案，使得木工
区域和益智区域的面积和尽可能大？若存在，求出两个区域（即两部分阴影区域）面积和的最大值：若不
存在，请说明理由．
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【变式13-1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平
行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最
短？
【变式13-2】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出
（1）如图1，在 ▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上且DF=5求
四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形
河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、
P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE
中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．满足人工湖周边各
功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形
人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理
由．
【变式13-3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形
纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，
M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，
关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形
5
EFNB的面积占正方形ABCD面积的 ．正确的有（ ）
8
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A．①③ B．①② C．只有① D．②③
【题型14 与三角形中位线有关的计算】
【例14】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2√3，则矩形ABCD的周长
是（ ）
A．16√3 B．8√3+4 C．4√3+8 D．8√3+8
【变式14-1】（2023·山东东营·统考一模）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，
点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段DP
的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．4√3 C．8 D．8√3
【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是线段
1
AB上靠近点B的一个三等分点，延长CB到点E，使得BE= BC，连接DE．若P，Q分别是DE，AC的
2
中点，则PQ的长为（ ）
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3√5
A．4 B． C．√13 D．5
2
【变式14-3】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，
D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．2√2 D．√5
【题型15 与三角形中位线有关的证明】
【例15】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：
AX，BY，CZ三线共点．
【变式15-1】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别为
AB，AC的中点，延长DE至F，使EF=2DE，连结BE，CF，BF，其中BF与AC相交于G．
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(1)求证：四边形BCFE是平行四边形．
(2)已知BE=3，EG=DE，求BF的长．
【变式15-2】（2023·安徽合肥·统考二模）问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
1
垂足为点D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF= ∠BAC，连接BF，M是BF中点，连接
2
EM和DM，在△AEF绕点A旋转过程中，线段EM和DM之间存在怎样的数量关系？
观察发现：
(1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使
AE与AB重合，如图2，易知EM和DM之间的数量关系为___________；
操作证明：
(2)继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，（1）中线段EM和DM之间的数量关系仍然
成立，请加以证明．
问题解决：
(3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？
请说明你的理由．
【变式15-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC
于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
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(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)在（1）的条件下，求证：PQ= BD，
2
【题型16 与三角形中位线有关的规律探究】
【例16】（2023·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分别连
接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形A B C ；分别连接A B，A C ，BC 的中点，得
1 1 1 1 1 1 1
到第2个等腰直角三角形A B C ……以此规律作下去，得到等腰直角三角形A B C ，则B B
2 2 2 2020 2020 2020 1 2020
的长为 ．
【变式16-1】（2023·重庆·统考中考模拟）如图，在图1中，A 、B 、C 分别是等边ΔABC 的边BC、
1 1 1
CA、AB的中点，在图2中，A ，B ，C 分别是ΔA B C 的边B C 、A C 、A B 的中点，…，按此
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．
A．n2 B．2n C．3n D．3n+1
【变式16-2】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，
点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D 、
1
点E 、点F 分别是EF，EB，FB边的中点，连接D E 、E F ，得到△EE D ，它的面积记作S ，照此
1 1 1 1 1 1 1 1 1
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规律作下去，则S = ．
2023
【变式16-3】（2023·云南·统考中考真题）如图，在 ABC中，BC=1，点P，M 分别是AB，AC边的中点，
1 1
点P，M 分别是AP，AM 的中点，点P，M 分别是△AP，AM 的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为
2 2 1 1 3 3 2 2
（n为正整数）．
【题型17 与三角形中位线有关的格点作图】
【例17】（2023·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形
的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的
直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形
DEHG的面积比．
(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
【变式17-1】（2023·吉林长春·统考二模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边
长为1，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按
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要求画出相应图形，保留作图痕迹．
(1)在网格①中的AC边上找点D，在BC边上找点E，连接ED，使AB=2DE．
(2)在网格②中的AC边上找点D，连接BD，使∠CAB=∠CBD．
(3)在网格③中的AC边上找点E，连接BE，使△ABE的面积是△BCE面积的4倍．
【变式17-2】（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形
的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保
留作图痕迹．
1
(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的 ．
2
1
(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 ．
2
(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．
【变式17-3】（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的9×9网格，
每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，F，T分别是BC，AC与网格线的交点，仅用无刻
度直尺在给定网格中完成画图．
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(1)在图1中，取AB的中点D，AC的中点E，连接ED；再作平行四边形BDEK；
(2)在图2中，在AB上画出一点G，使S =S ；
△ACG △ACF
(3)在图2中，在△ABT的边AT上画一点M，使得M是正方形MNHP的一个顶点，且正方形的顶点N在
AB上，顶点H、P在BT上．（只需画出点M）
【题型18 三角形中位线的实际应用】
【例18】（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”
（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）
轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长
为20cm的正方体和长度为200cm的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点
N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．
(1)求证：∠MON=∠BCD；
(2)若木棒与水平面的夹角∠BAF=45°，切点N恰好为AC的中点，则石头的半径为多少？（结果保留根
号）
【变式18-1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，要测量被池塘隔开的A，B两点间的距离，可以在池
塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=40m，则AB的长是 m．
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【变式18-2】（2023·山东青岛·校考一模）如图一只羊在山坡BD中点E处吃草，已知山坡BD的坡度i＝
√3
1： ，坡高CD为1000√3m，这只羊正好在A的西北方向上．
3
（1）求这只羊到山脚B的距离；
（2）求B，A之间的距离．（结果保留根号）
【变式18-3】（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健
康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之
间的距离y(m)与步行的时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB−BC−CD所示．在步行过程中，
小明先到达甲地．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
1
步行的时间/min 0 67.5
5
两人之间的距离/m 5400 0
（2）填空：
①小丽步行的速度为________m/min；
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②小明步行的速度为________m/min；
③图中点C的坐标为_________．
（3）请直接写出y关于x的函数解析式．
【题型19 连接两点构造三角形中位线】
【例19】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，
AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点D在线段AC上，点F为AB中点，点M为BE中点，
点N为AD中点．
(1)如图1，∠FMN= ______，FM和MN之间的数量关系是______；
(2)如图2，△DCE绕点C顺时针旋转，点G为DE中点，求证：四边形FMGN为正方形；
(3)如图3，若AB=4√2，CE=2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点H，
直接写出△ABH面积的最小值．
【变式19-1】（2023·江苏泰州·统考二模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O与
BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE=AD，
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)当BC=10，AD=4时，求⊙O的半径．
【变式19-2】（2023上·吉林长春·二模）（1）【定理】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC
的中点．根据画出的图形，可以得出：
①DE与BC位置关系是 ．
②DE与BC数量关系是 ．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F
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分别是DC、AP、RP的中点，则EF的长度．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB=12，BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE
上，且∠AFB=90°，则EF= ．
、【变式19-3】（2023·安徽淮北·统考三模）已知△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形；且
AB=3，AD=1.
(1)∠BAC=∠DAE=90°，AE在线段AB上，连接CE并延长交BD于F，如图1．
①求证：△ABD≌△ACE；
②求BF的长．
(2)若∠BAC=∠DAE=45°，点B、D、E在一条直线上，F是CE中点，G是AC中点，连接BF、BG，
BF
如图2，求 的值．
BG
【题型20 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线】
【例20】（2023·山东淄博·统考二模）如图，在△ABC中，BC=3，将△ABC平移4个单位长度得到
△A B C ，点P，Q分别是AB，A C 的中点，求PQ的最大值和最小值．
1 1 1 1 1
【变式20-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
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BC=4√3，点D为BC中点，连接AD，以AD为边向左侧作等边△ADE，连接CE，则CE= ．
【变式20-2】（2023上·江苏宿迁·三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上
有一点P，连接AP，CP，且CP=2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最小值为（ ）
6√5
A．√10 B． C．√13−1 D．2√3
5
【变式20-3】（2023上·辽宁葫芦岛·一模）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角形，
F,H,G分别是BC,CE,AD的中点，连接FH,HG,GH．求证：△FGH为等边三角形．
29
