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重难点 04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、
四点共圆）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该
题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中
点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就
动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，
难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特
点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
答｜题｜技｜巧
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1. 根据题意判定动点的变化特性
2. 找准定点和定长（圆心和半径）
3. 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
1．（2024·广西）如图，在△ABC中， ， ， ，点D在AC边上，且
，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（
）
A． B． C．2 D．
1．如图，在 中， ， ， ，点 是边 的中点，点 是边 上
的任意一点（点 不与点 重合），沿 翻折 使点 落在点 处，连接 ，则线段 的长取最
小值时， 、 两点间的距离为 ．
2．如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别是边 上的动点，且 ，点G是
的中点，连结 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
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A．142 B．96 C．192 D．124
3.如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上的一个动点，将 沿
所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
模型02 直角型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主
要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。
许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形
问题。
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
P
P P
A B
O
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答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
2. 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
3. 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等
相关知识点；
4. 数形结合进行分析、解答
1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中， ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．
连接DE和AF交于点G，连接BG．若 ，则BG的最小值为__________．
1．如图，已知 中， ， ， ，点 是 边上的动点，以 为直径作 ，
连接 交 于点 ，则 的最小值 ．
模型03 等弦对等角
考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以
压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
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半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形
的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，
属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．（2024·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段
长的最大值为 ．
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，
连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则 ＝ ．
2．如图， 在以 为直径半圆上， ， ，点 是 上的一动点， ，连接
，则 的长的最小值是 ．
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模型04 四点共圆型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压
轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形
的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，
属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．（2024·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段
长的最大值为 ．
1．如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三角形 ，顶点 恰好落在
边上，若 ，则 的长是（ ）
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A． B． C．2 D．1
2.在 中， ， ， ，点 是 上一动点， 于 ， 于 ，线段
的最小值为 ．
1．（2023·重庆）如图， 是边长为1的正方形 内的一个动点，且满足 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且
，点 是 的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
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A．30 B．32 C．35 D．38
3．（2024·上海）如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一
动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，
则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建）如图，已知以 为直径的半圆 ， 为弧 上一点， ， 为弧 上任意
一点， 交 于 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
1．如图，四边形 为矩形， ，点P是边 上一动点，点M为线段 上一点，且
，则 的最小值为 ．
2．如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线
对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为 ； 的
最大值为 ．
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3．如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接
，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若 ，则下面结论一定
正确的是 ．
①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③ ；④点A、C、D到点O的距离相等．
5．如图， 中， ， 中， ，直线 与 交于 ，当
绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ．
6．如图，正方形 的边长为8，M、N为 边上的动点，以 为斜边作等腰 （其中
），点E在 边上，且 ，连接 ，则 的周长最小值为 ．
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7．如图，将 绕点 顺时针旋转25°得到 ，EF交BC于点N，连接AN，若 ，则
．
10
