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重难点突破 15 与圆有关的压轴题
目 录
题型01 利用圆的相关知识解决多结论问题
题型02 圆与三角形综合问题
题型03 圆与四边形综合问题
题型04 圆与函数综合问题
题型05 正多边形与圆综合
题型06 求不规则图形面积
题型07 三角形内切圆与外切圆综合
题型08 阿氏圆模型
题型09 隐圆模型
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题型 01 利用圆的相关知识解决多结论问题
一、单选题
1．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CE´B=EB´D，
3
sin∠BAC= ，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线
5
与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠DBF=3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是√10；
11√10
④DF= ．
9
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分
别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
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②AP＝FP，
√10
③AE＝ AO，
2
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段
OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，
现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=√2BF；④S 为定值；⑤
△AEF
S =S ．以上结论正确的有 （填入正确的序号即可）．
四 边 形PEF△GAPG
4．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，
以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结
HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）△HGD≌△HEC；（3）
7
S ：S =9∶16；（4）DK= ，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
△AHG △DHC 5
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题型 02 圆与三角形综合问题
5．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角
∠APB的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在A´C上（点P不与点
A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结
BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP=180°．
∵∠BAP+∠BAE=180°，
∴∠BCP=∠BAE．
∵△ABC是等边三角形．
∴BA=BC，
∴△PBC≌△EBA(SAS)
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在
PB
AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=2√2PA，则 的值为__________．
PC
6．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，
用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q
是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
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⏜
(1)如图1，当AB=6，
BP
的长为π时，求BC的长．
AQ 3 BC
(2)如图2，当 = ，B´P=P´Q时，求 的值．
AB 4 CD
√6 PQ
(3)如图3，当sin∠BAQ= ，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
4 BP
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使
得∠BAC=∠BDA，点E在DA的延长线上，点A在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)若AC=√6,BD=5,AC>CD，求BC的长；
(3)若DE⋅AM=AC⋅AD，求证：BM⊥CE．
8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，
点E是BC的中点，连接OE、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
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4
(2)若sinC= ,DE=5，求AD的长．
5
(3)求证：2DE2=CD⋅OE．
9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，
与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．
(1)求证：AB=BD；
3
(2)点F为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG= ，求
7
⊙O的半径及AD的长．
10．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC
交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
1
(2)若DE=2，tan∠BAC= ，求AD的长；
2
(3)在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
11．（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF,
EF//AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
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(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，
3
∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH= ,求ON的长度．
4
(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M
从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
题型 03 圆与四边形综合问题
12．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，
B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
13．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的弦，D，C为AC´B的三等分点，AC//BE．
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（1）求证：∠A=∠E；
（2）若BC=3，BE=5，求CE的长．
14．（2021·浙江宁波·统考中考真题）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，A´D上存在点E，
满足A´E=C´D，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表列∠AGB．
（2）如图2，连接CE,CE=BG．求证；EF=DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，AD=2．
√3
①若tan∠ADB= ，求△FGD的周长．
2
②求CG的最小值．
15．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长
线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD>1，CD=1．
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（1）求证：△DBC∼△AMD；
（2）设AD=x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE=∠COD，求OE的长．
16．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为
直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交
AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：E´F＝E´D．
3
（3）若sin∠ABC═ ，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
5
17．（2018·浙江台州·统考中考真题）如图， ABC是⊙O的内接三角形，点D在B´C上，点E在弦AB上
（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．△
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
AB 5
①若 = ，求BC的长；
AC 3
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AB
②当 为何值时，AB•AC的值最大？
AC
题型 04 圆与函数综合问题
9
18．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+ x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与
4
x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
2
19．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点P(m,n)在函数y=− (x<0)的图象上．
x
(1)若m=−2，求n的值；
(2)抛物线y=(x−m)(x−n)与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为
E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为
平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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20．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至
点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交
AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧A´C上）．
(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记
△BDC，△ABC，△ADB
的面积分别为
S ，S ，S
，若
S ⋅S=(S ) 2
，求
(tanD) 2
的值；
1 2 1 2
√ 1 1
(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅ + = y，试求y关于x的函数解析式，
BC⋅BN AE⋅AC
并写出自变量x的取值范围．
21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数y=x2−6x+8的图像与x轴分别交于点A,B（点A
在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，
垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
(1)求点A,B的坐标；
(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3,2)，求PM长的
取值范围．
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22．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于
3
点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA= ，AC=1．如图2，连接AF，P为线
2
段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，
MN= y．
(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．
(2)当PH<PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值．
15
(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ= x−3时，求MN的长．
4
23．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交
于A(−4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
35 37
(3)设直线l :y=kx+k− 交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l :y=− 上总
1 4 2 4
存在一点E，使得∠MEN为直角．
1
24．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y= x+4分别与x轴，y
2
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轴相交于A、B两点，点P(x,y)为直线l在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
3
25．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，直线y= x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线
4
30
MN//AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y=− 在第二象限内的图象交于C、D两点．
x
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．
题型 05 正多边形与圆综合
26．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答
下列问题，作法：如图2，①作直径AF；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连
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接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
27．（2020·广东广州·统考中考真题）如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 ⏜ 上运
⊙O ΔABC D
AB
动（不与点A,B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，
ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
28．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段
√5−1
进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，
2
OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行
研究．（其它可同理得出）
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（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
BM BN √5−1
（2）求证： = ，且其比值k= ；
BN BE 2
MN
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
BM
29．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾
股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
CB √5−1
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果 = ≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
AC 2
（1）特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割
有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金
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分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
30．（2020·内蒙古通辽·中考真题）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm．点P,Q同时分别从
A,D两点出发，以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动，连接PB,PE,QB,QE，设运动时间为t(s)．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
31．（2018·四川达州·统考中考真题）阅读下列材料：
已知：如图1，等边 AAA 内接于⊙O，点P是 上的任意一点，连接PA ，PA ，PA ，可证：
1 2 3 ⃗A A 1 2 3
1 2
△
PA +PA =PA ，从而得到： PA +PA 1是定值．
1 2 3 1 2 =
PA +PA +PA 2
1 2 3
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（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA M=60°，AM交AP的延长线于点M．
1 1 2
∵△A AA 是等边三角形，
1 2 3
∴∠A AA=60°，
3 1 2
∴∠A AP=∠A AM
3 1 2 1
又AA=A A，∠AAP=∠A AP，
3 1 2 1 1 3 1 2
∴△AAP≌△AAM
1 3 1 2
∴PA =MA=PA +PM=PA +PA ．
3 2 2 2 1
∴ PA +PA 1，是定值．
1 2 =
PA +PA +PA 2
1 2 3
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边 AAA”改为“正方形AAAA”，其余条件不变，请问：
1 2 3 1 2 3 4
△
PA +PA 还是定值吗？为什么？
1 2
PA +PA +PA +PA
1 2 3 4
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边 AAA”改为“正五边形AAAAA”，其余条件不变，则
1 2 3 1 2 3 4 5
△
PA +PA = （只写出结果）．
1 2
PA +PA +PA +PA +PA
1 2 3 4 5
题型 06 求不规则图形面积
32．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，
DE．过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
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(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE
于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接
OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3√3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
34．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究
活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，
AC=AC'，BC=B'C'；∠BAC=∠B' AC'，∠ABC=∠AB'C'，∠ACB=∠AC'B'（ ）
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刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们
解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板
A'B'C'的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，
另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积
是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
35．（2020·山东临沂·中考真题）已知⊙O 的半径为r ，⊙O 的半径为r ，以O 为圆心，以r +r 的长为
1 1 2 2 1 1 2
1
半径画弧，再以线段O O 的中点P为圆心，以 O O 的长为半径画弧，两弧交于点A，连接Q A，O A，
1 2 2 1 2 1 2
O A交⊙O 于点B，过点B作O A的平行线BC交O O 于点C．
1 1 2 1 2
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（1）求证：BC是⊙O 的切线；
2
（2）若r =2，r =1，O O =6，求阴影部分的面积．
1 2 1 2
36．（2019·湖北武汉·统考中考真题）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O
相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点
（1）如图1，求证：AB2=4AD⋅BC
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE=2∠OFC，AD=1，求图中阴影部分
的面积
题型 07 三角形内切圆与外切圆综合
37．（2019·山西·统考中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，
下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和
内心，则OI2=R2−2Rr.
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如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的
半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI
＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
IM ID
∴ = ，
IA IN
∴IA⋅ID=ℑ⋅∈¿①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
IA IF
∴ = ，∴IA⋅BD=DE⋅IF②，
DE BD
任务：(1)观察发现：ℑ=R+d，¿= (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部
分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为
cm.
38．（2019·湖北荆门·统考中考真题）已知锐角ΔABC的外接圆圆心为O，半径为R．
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AC
（1）求证： =2R；
sinB
（2）若ΔABC中∠A=45°，∠B=60°，AC=√3，求BC的长及sinC的值．
39．（2022·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A=60°，
∠ABC=∠ADC=90°，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则
∠BCE+∠DCF的度数为______°；
【问题探究】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若
∠DAE=60°，AB=6，求△ADE面积的最小值；
【问题解决】（3）近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的
跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学
习活动．为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动
中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知AE∥BC，AB=BC=40米，
∠ABC=90°，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？
若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由．
40．（2021·陕西西安·校考模拟预测）问题提出：若一个三角形的三个顶点分别在一个图形的不同的边上，
则称此三角形为该图形的内接三角形．
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（1）如图1，⊙O及弦AB，点C为圆上一点，则△ABC称为⊙O的内接三角形．若⊙O的半径等于5，
弦AB=8，画出⊙O的面积最大的内接三角形△ABC，且其内接三角形面积的最大值是___________；
问题探究：
（2）如图2，△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=4，D是AC的中点，△≝¿是△ABC的内接等腰直角三
角形，且∠DFE=90°，求△≝¿的面积．
问题解决：
（3）高新区的小朋友为给十四运的选手们加油，在现有的一块三角形展板上，绘制一个三角形的图案，
如图3，展板△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，绘制的图案为△ABC的内按等腰直角
三角形，试探究：绘制的图案的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明
理由．
题型 08 阿氏圆模型
41．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形
CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝√2，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
√2
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
2
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√2
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
2
42．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知△CDE与△ABC有公共顶点C，△CDE
为等边三角形，在△ABC中，∠BAC=120°．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为2√3，求AB+AC的值；
(2)如图2，AB=AC， A、E、D三点共线，连接AE、BE，取BE中点M，连接AM，求证：AD=2AM；
√3
(3)如图3，AB=AC=4，CE=2，将△CDE以C为旋转中心旋转，取DE中点F，当BF+ AF的值最
4
小时，求tan∠ABF的值．
43．（2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于
A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形
AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
1
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的
2
值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
44．（2021上·江苏宿迁·九年级校考期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CB=4，
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1
CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+ BP的最小值．
2
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使
CD CP 1 PD CD 1
CD=1，则 = = ．又∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以 = = ．
CP CB 2 BP CP 2
1 1
所以PD= PB，所以AP+ BP=AP+PD．
2 2
1
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为________；
2
1
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 AP+BP的最小值；
3
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD=90∘，OC=6，OA=3，OB=5，P是C´D上一
点，求2PA+PB的最小值．
45．（2018·广西柳州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(√3，0)，B两点（点B在点A
的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=√3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于
AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线
AD于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；
1
（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心， HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，
2
1
求 AQ+EQ的最小值．
4
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题型 09 隐圆模型
46．（2022·重庆万州·重庆市万州国本中学校校考一模）如图，在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90∘，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF
绕点M旋转．
6√5
(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若BC=3√2，AF= ，tan∠BAF=2，求线段
5
BF的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：√2AF=√2BE+EF；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若
AB=6√2，请直接写出线段AP的最大值．
47．（2022·江苏盐城·统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像过点C(0,−4)和点
D(2,−6)，与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．
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(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N
恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足BE=OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为(t,0)，0<t<4，△BEF
的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
48．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中， ▱OABC如图所示，
A(5,0)，B(9,6)．点P从点O出发在线段OA上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出
发在线段BC上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接PQ．
（1）如图1，连接OB交PQ于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作AH⊥PQ于点H，求OH的最小值；
（3）如图3，在PQ上取一点M，使得∠AMP=45°，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出
此时OP的长；若不存在，说明理由．
49．（2021上·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）【问题背景】如
图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A
逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是
等边三角形；
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【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直
线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4√3，请直接写出MC的最小值．
50．（2021·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）问题发现：
DG
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则 ＝___________．
CF
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝
45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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