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重难点突破 05 几何动点及最值、存在性问题
目 录
题型01 将军饮马问题
题型02 胡不归问题
题型03 阿氏圆问题
题型04 隐圆问题
题型05 费马点问题
题型06 瓜豆原理模型
题型07 等腰（边）三角形存在问题
题型08 直角三角形存在问题
题型09 平行四边形存在问题
题型10 矩形、菱形、正方形存在问题
题型11 全等/相似存在性问题
题型12 角度存在性问题
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【命题趋势】动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图
形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题．随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，
伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题．
【基本原理】
1）基本原理（定点到定点）：两点之间，线段最短.
2）三角形两边之和>第三边
3）基本原理（定点到定线）：垂线段最短.
4）平行线的距离处处相等.
5）基本原理（定点到定圆）：点圆之间，点心线截距最短（长）.
6）基本原理（定线到定圆）：线圆之间，心垂线截距最短.
7）基本原理（定圆到定圆）：圆圆之间，连心线截距最短（长）.
【解题思路】
1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的
和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题．有点动、线动、
面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等．根据其运动的特点，又可分为（1） 动点类
（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点； （2） 动直线类；（3）动图形问题．
2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”动中
求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，
从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得
出结论．解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以
静制动．解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓
住其中的等量关系和变量关系，并特别关注－－些不变量和不变关系或特殊关系．
3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括
等腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题．
全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等．
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题型 01 将军饮马问题
1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=√10，AD=4√2，点P是边AD上一
点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点
E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2√3 B．3 C．3√2 D．4√2
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线
BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 ．
3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点
k
C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
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题型 02 胡不归问题
4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为
D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作
1
BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+ BP的最小值为 ．
2
6．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列
1
步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE
2
的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，
1
连接CP，则CP+ AP的最小值是 ．
2
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题型 03 阿氏圆问题
7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点
C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
1
8．（2023·山东济南·一模）抛物线y=− x2+(a−1)x+2a与x轴交于A(b,0)，B(4,0)两点，与y轴交于
2
点C(0,c)，点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图 ，连接 、 ，交点为 ，连接 ，若S 1，求点 的坐标；
1 BC AP M PB △PMB = P
S 4
△AMB
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，
3
旋转角为α(0°<α<90°)，连接E'B，E'C，求E'B+ E'C的最小值．
4
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题型 04 隐圆问题
9．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，
点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）
5 12 3
A． B． C．√13− D．√13−2
2 5 2
10．（2022·安徽蚌埠·一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个
动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
32
A． B．2 C．2√13−6 D．2√13−4
5
11．（20-21九年级上·江苏盐城·期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(5,12)，点P是⊙M上
的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的
最小值为 ．
12．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，
0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显
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然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出
点P的坐标；如果没有请说明理由．
13．（21-22九年级下·福建厦门·期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB
上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条
直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
题型 05 费马点问题
14．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条
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直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托
里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问
题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
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（结果用含a的式子表示）
15．（2021·山东济南·三模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，
则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
题型 06 瓜豆原理模型
16．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知
AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（ ）
A．4√3+4 B．4 C．4√3+8 D．6
17．（2022·广东河源·二模）如图，已知AC=2AO=8，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若
1
∠APB=60°且BP= AP，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
2
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18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，
BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连
接OD，则OD长的最大值为 ．
19．（20-21九年级·陕西西安·开学考试）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是对角线BD上的一点，连
接AE．
（1）当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F，连接BF．如图①，若
AB=4，求EF的长．
（2）在（1）的条件下，连接BF，把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK如图②，连接CH，点N为CH
的中点，连接AN，求AN的最大值．
20．（21-22八年级上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0)，且a，b满足
，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点：
(a+b) 2+|3+b|=0
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（1）如图1，若C(0,4)，求△ABC的面积；
（2）如图1，若C(0,4),BC=5,BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；
（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求
A，E两点之间的距离；
题型 07 等腰（边）三角形存在问题
21．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D
在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根
4
(OA0)．
(1)AH=__________，EF=__________（用含t的式子表示）．
(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
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题型 09 平行四边形存在问题
26．（2022·湖北荆州·一模）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且
A(−1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一
个动点，设点P的坐标为(m,0)．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
理由；
(3)当点P在线段OB上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．试探究：当m为何值
时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
27．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B，C在x轴上，D在y
轴上，如图，已知∠A=60°，C(2,0).
(1)求点D的坐标
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿射线AD运动，过点P作PE⊥x轴于E，直线PE交直线CD
于点Q，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，当点Q在x轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t
的取值范围.
(3)在（2）的条件下，连接CP，当点Q在第一象限，△PCQ为等腰三角形时，作∠PQC的平分线交射线
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AD于点M，此时是否存在点N，使以点D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
点N的坐标，若不存在，说明理由.
题型 10 矩形、菱形、正方形存在问题
28．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 AOCB的边OC在 x 轴上，
∠AOC=60°，OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点
D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运
动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线AD的解析式．
(2)连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若
存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
4
29．（2024·河北张家口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB= ．动点M
3
以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是
点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为邻边作平行四边形MNPQ，设点M
的运动时间为t秒．
(1)求BC的长；
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(2)当t=2时，求证：QP=AM；
(3)是否存在这样的t值，使得平行四边形MNPQ为菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
30．综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过
点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l :y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
1
（1）直接写出OA=_________，OB=_________；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，则点E的坐标为_________；
（3）如图3，将直线l 绕点A顺时针旋转45°得到l ，求l 的函数表达式；
1 2 2
【拓展应用】
（4）如图4，直线AB:y=2x+8分别交x轴和y轴于A,B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存
在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，
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请说明理由．
题型 11 全等/相似存在性问题
1
31．（2023·广西南宁·二模）如图，在△ABC中，AD为高，AC=18．点E为AC上的一点，CE= AE，
2
连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
(1)猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t
的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时
出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且
CF=AO，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
32．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，在平面角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标
，过原点的直线 与直线 交于
(0，−2√3) OC AB C，∠COA=∠OCA=∠OBA=30°，AB=4
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(1)点 坐标为______， ______， 的面积为______，S ______；
C OC= △BOC △OAC =
S
△OAB
(2)点C关于x轴的对称点C'的坐标为______；
(3)过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为______，请说明理由；
(4)在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标，若不存在，请说明理
由
33．（2023·广西桂林·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，
且B点坐标为(4，3)．动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿OA向终点
A运动，点N沿BC向终点C运动），过点N作NP∥AB交AC于点P，连接MP．
(1)直接写出OA、AB的长度；
(2)在运动过程中，请求出△MPA的面积S与运动时间t的函数关系式；
(3)在运动过程中，△MPA的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当t为何值时有最大值，并求出最大
值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，以点A，P，M为顶点的三角形与△AOC能相似吗？若能相似，请求出运动时间t的值；
若不能相似，请说明理由．
题型 12 角度存在性问题
34．（2023·陕西西安·模拟预测）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角
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形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．
(1)如图1，在△ABC中．按如下做法：
①作BC的中垂线l：
②作∠ABC的角平分线与中垂线l交于点O；
③连接CO并延长与AB交于点P，得到△BCP．
若按上述作法，得到的△BCP是倍角三角形．则∠PBC与∠PCB的等量关系___________；
(2)如图2，在矩形ABCD中，以BC为底边做一个倍角三角形顶点P恰好落在AD边上．若BC=4，BP=2．
求CP的长度．
(3)如图3，现有一块梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=3，BC=12．工人师傅想用这
块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边CD上，△BCP为以BC为底边且
∠CBP=2∠C的倍角三角形．是否存在满足要求的△BCP？若存在，请确定点P位置（求出CP的长）；
若不存在，请说明理由．
35．（2023·上海浦东新·二模）已知：⊙O的直径AB=10，C是A´B的中点，D是⊙O上的一个动点（不
与点A、B、C重合），射线CD交射线AB于点E．
(1)如图1，当BE=AB，求线段CD的长；
(2)如图2，当点D在B´C上运动时，连接BC、BD，△BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在，
请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；
(3)连接OD，当△ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求△ ODE与△CBE面积的比值．
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36．（2023·浙江金华·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是射线BC上的动点，连结
1
AP，在AP的右边作∠PAQ= ∠BAC，交射线BC于点Q．
2
(1)当BP=1时，求点P到AB的距离．
(2)当点P在线段BC上运动时，记BP=x，CQ= y，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(3)在点P的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为45°时，求BQ的长，并指出相应的45°
角．
20
