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难点 05 多边形和平行四边形常考题型
（5 大热考题型）
题型一：多边形的内角和
题型二：多边形的外角和
题型三：平行四边形的性质
题型四：平行四边形的判定
题型五：三角形中位线的性质
题型六：平行线间的距离折叠背景下的三角形内角计算
题型一：多边形的内角和
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形
和正方形 中， ， 的延长线分别交 ， 于点M，N，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其
中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
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【变式1-1】（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形 的边 分别相交于点M，N，如图所
示，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形 的内部，以 边为边作正方形 ，连
接 ，则 ．
5．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是 边形．
【变式1-3】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形 边DE的中点，连接 并延长与CD延
长线交于点G，则 的度数为 ．
【变式1-4】（2024·甘肃临夏·中考真题）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正
六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
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【变式1-5】（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形 中， ， ，垂足为
点I．若 ，则 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片 沿 折叠，得到 ，点C的对应点为点
， 的延长线交 于点F，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，三个正方形一些顶点已标出了角的度数，则x的值为（
）
A．30 B．39 C．40 D．41
3．（2024·湖南·二模）如图， 在四边形 内部，若 ， ，则
（ ）
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A． B． C． D．
4．（2024·湖南·模拟预测）如图，将任意四边形纸片剪掉一角得五边形，设四边形纸片与五边形纸片的内
角和的度数分别为a 和β，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）小强用一些完全相同的等腰三角形纸片（图中 ）拼接图案，已知
， ．若按照如图所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是
（ ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正六边形 中， ，点 在边 上，且 ，
若经过点 的直线 将正六边形面积平分，则直线 被正六边形所截的线段长是 ．
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7．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 与正方形的边
在同一条直线上，则 的度数是 ．
8．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形 中， 相交于点 F，连接 ，则 的度
数是 ．
9．（2024·山西大同·二模）推光漆器是山西省著名的传统手工艺品．如图是小明妈妈的一个平遥推光漆器
的首饰盒，其俯视图是正八边形，小明好奇它的一个内角的度数，但他没有量角器，请你帮他计算这个正
八边形的一个内角度数为 ．
题型二：多边形的外角和
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东·中考真题）如图，已知 ， ， 是正 边形的三条边，在同一平面内，以
为边在该正 边形的外部作正方形 ．若 ，则 的值为（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2-1】（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正 边形纸片的一部分，其中 是正 边形两条边
的一部分，若 所在的直线相交形成的锐角为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为
的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（
）
A．19 B．18 C．17 D．16
2．（2024·湖北·模拟预测）已知一个正多边形的一个内角是与它相邻外角的3倍，则这个正多边形的边数
是（ ）
A．8 B．10 C．15 D．18
3．（2024·广东清远·模拟预测）若一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的 ，则这个正多边形
的边数为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
4．（2024·云南·模拟预测）一个多边形的外角和是内角和的一半，这个多边形的边数是（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024·福建福州·模拟预测）正六边形 与正五边形 按如图方式摆放，点A，B，G
在一条直线上，则 的度数为 ．
6．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，孔明在驾校练车，他由点 出发向前行驶 米到 处，向左转 ．
继续向前行驶同样的路程到 处，再向左转 ．按这样的行驶方法，第一次回到点 总共行驶了
．
7．（2024·福建·模拟预测）如果凸多边形的边数由 增加到 （ ），那么内角和的度数增加了
，外角和的度数增加了 ．
8．（2024·山西晋城·三模）小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图 所示的图片，
图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图 是从图 图案中提取的由六条线段组成的图
形，若 ，则 的度数是 ．
题型三：平行四边形的性质
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【中考母题学方法】
【典例1】（2024·浙江·中考真题）如图，在 中， 相交于点O， ．过点
A作 的垂线交 于点E，记 长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不
变的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·新疆·中考真题）（ ）解方程： ；
（ ）如图，已知平行四边形 ．
尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作 的平分线交 于点 ；（要求：不写作法，保留作图痕
迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
在 的条件下，求证： 是等腰三角形．
【变式3-1】（2024·四川巴中·中考真题）如图， 的对角线 相交于点 ，点 是 的中
点， ．若 的周长为12，则 的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式3-2】（2024·贵州·中考真题）如图， 的对角线 与BD相交于点O，则下列结论一定正确
的是（ ）
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A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·广东广州·中考真题）如图， 中， ，点 在 的延长线上， ，
若 平分 ，则 ．
【变式3-4】（2024·吉林·中考真题）如图，在 中，点O是 的中点，连接 并延长，交 的
延长线于点E，求证： ．
【变式3-5】（2024·江西·中考真题）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，过点D作 的平行线，交 于点E，请判
断 的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在 中， 平分 ，交边 于点E，过点A作 交 的延长线于点
F，交 于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
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②已知 ， ，求 的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在 中， 是 边上一点，若 分别是 的平
分线，若 的周长为18，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 中，过点A分别作 的垂线段，垂足为E，F，若
， ， ，则线段 的长为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
3．（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形 ， ．用尺规作图的方法在 上取一点
P，使得 ，则下列做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，平行四边形 的对角线交点落在原点处，已知点A
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的坐标为 ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，平行四边形 中以点 为圆心，适当长为半径作弧，交AB、 于
、 ，分别以点 、 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 并延长，与AD交
于点 ，若 ，则 的长为 ．
3．（2024·山东济南·一模）如图， 中，E是AB的中点，连结CE并延长交 的延长线于点F．
求证： AD．
4．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在平行四边形 中，点E，F在 边上，且 ．
求证： ．
5．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ．
(1)实践与操作：过点A作 的垂线，分别交 ， 于点 ， ；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，
不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明．
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6．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ， ．
(1)求反比例函数 的表达式．
(2)若 ，以 ， 为边作平行四边形 ，点 在第三象限内，求点 的坐标．
题型四：平行四边形的判定
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E在边 上， ．请从“①
；② ， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），
再解决下列问题：
(1)求证：四边形 为平行四边形；
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(2)若 ， ， ，求线段 的长．
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，线段 、 相交于点 ．且 ， 于点 ．
(1)尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为点 、连接 、 ；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相
应的字母）
(2)若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【变式4-1】（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的中点，连接 并延长交
于点 ，连接 ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴①______．
又∵ ， ，
∴ （②______）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式4-2】（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是
（ ）
A． B．
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C． D．
【变式4-3】（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形 的对角线 ，BD相交于点O，
，请补充一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
【变式4-4】如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点E，过点A作 ，垂足为
F，若 ，则 的长为 ．
【变式4-5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理由）
【变式4-6】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形 中， ，点 分别在边
上．将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在对角线 上；将 沿 折叠，点 的对应点
恰好也落在对角线 上．连接 ．
求证：
(1) ；
(2)四边形 为平行四边形．
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【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段 和射线 ，且 ，在射线 上找一点C，
使得四边形 是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作 与 交于点C
B．在 下方作 与 交于点C，使
C．在 上截取 ，使 ，连接
D．以点D为圆心， 长为半径画弧，与 交于点C，连接
2．（2024·河北·模拟预测）在 中， ， 是 的中点，求证： ．
证明：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
……
，
．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形 是平行四边形；②∵ ；③∵
， ；④∴四边形 是矩形，则正确的顺序是（ ）．
A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④
3．（2024·河北邢台·模拟预测）小明想画出平行四边形 ，他的方法如下图：点B是 的边上的
一点，用无刻度的直尺和圆规作一条射线 ，接下来的画图小亮和小红分别给出建议．小亮：分别
在射线 和射线 上截取 ，连接 ，四边形 即为平行四边形；小红：在射线 上截
取线段 ，作 ，交射线 于点C，四边形 即为平行四边形．下列说法正确的是
（ ）
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A．小红的方法正确，小亮的方法不正确 B．小红的方法不正确，小亮的方法正确
C．小红、小亮的方法都正确 D．小红、小亮的方法都不正确
4．（2024·陕西·模拟预测）如图，在四边形 中， ，点 E 在边 上，点 F 在边 上，
且 ， 互相平分．求证：四边形 为平行四边形．
5．（2024·湖北十堰·模拟预测）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启
发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形 的四边 ， ， ， 分别延长至点
E，F，G，H，使得 ， ，连接 ， ， ， ．求证：四边形 为平行四边
形．
6．（2024·吉林长春·二模）如图，四边形 中， 、 相交于点 ， 是 的中点， ，
， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，则 的面积是______．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形 中，E，F分别是边 和 上的点，且
，连接 ，CF．求证：
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(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形 为平行四边形， 于点 ，点 为AD上
一点，连接CF，请你添加一个条件，使得四边形 为矩形．（不再添加其他线条和字母）
(1)你添加的条件是__________；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形 中， ， ， 的平分线 交
于点 ．
(1)求 的度数；
(2)在 上取一点E，添加一个条件，使四边形 是平行四边形，直接写出这个条件．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在梯形 中， ，点P在四边形 内部，
，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
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(2)已知点Q在 上，连接 ，请写出一个条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理由）
11．（2024·四川眉山·二模）如图，已知直线 经过点A 且与直线 ： 平行，直线 与
轴、 轴分别交于点 、 ．
(1)求直线 的表达式及其与 轴的交点 的坐标；
(2)判断四边形 是什么四边形？并证明你的结论．
题型五：三角形中位线的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ，
分别在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；
(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；
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②求证： ．
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他
先在 外取一点C，然后步测出 的中点D，E，并步测出 的长约为 ，由此估测A，B之间
的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点
在直线 上，点 ， 在直线 上， ，动点 从点 出发沿直线 以 的速度向右运动，设运动
时间为 ．下列结论：
①当 时，四边形 的周长是 ；
②当 时，点 到直线 的距离等于 ；
③在点 运动过程中， 的面积随着 的增大而增大；
④若点 ， 分别是线段 ， 的中点，在点 运动过程中，线段 的长度不变．其中正确的是（
）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【变式5-3】（2024·江苏无锡·中考真题）在 中， ， ， ， 分别是
的中点，则 的周长为 ．
【变式5-4】（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形 各边中点分别是 ，若对角线
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，则四边形 的周长是 ．
【变式5-5】（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是 边 ， 的中点，连接 ， ．若
，则 的长为
【变式5-6】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在 中，D是 中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川凉山·一模）如图，在 中， ， ， ．若 是 的中位
线，延长 交 的外角 的平分线于点F，则线段 的长为（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ， 与 是 的两条高，
点F是 的中点，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形 中， ， 是对角线 的中点，
是 的中点．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）如图， 中， ， ， ，将线段 绕点B逆时针
旋转 得到线段 ，取 的中点E，连接 ，用含m，n的式子表示 的长是 ．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 分别是 ，CD的中点， ， 分别是
，DE的中点，连接 ，则 的值为 ．
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6．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图， 为 斜边 上的中线，E为 的中点．若 ，
，则 ．
7．（2024·重庆·模拟预测）如图，在 中， ，D、E、F分别是 的中点，
若 cm，则 cm．
8．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点D，E分别在
边上，且 ，点M、N、F分别是 的中点，则 的长为 ．
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中
，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图 ，先画线段 的中点 ， 是 上一点．连接 ，再画 的中点 ；
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(2)如图 ，若 是线段 上一点，先画点 绕点 逆时针旋转 的对应点 ，再画点 ，使得四边形
为平行四边形．
10．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
如图1，在 中， ，点D，E分别在边AB， 上， ，连接DE，
CD， ， 为CD的中点，连接 ．
【数学思考】
（1）线段 与 的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把 绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若 是 的中点，连接AN，若 ，直接写
出CD的长．
23
