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第 19 讲 多边形与平行四边形 答案解析(教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点1 多边形的内角和、外角和
1.多边形的内角和= (n-2)×180° ，其中n为多边形的边数
2.多边形的内角和公式推导：
如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角
线把n边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内
角和是(n-2)×180°.
3.多边形的外角和：任意多边形的外角和都等于360°，与边数的多少没有关系.
如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°.
知识点2 正多边形
1.定义：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.
360°
2.内角与外角：正n边形的每个内角= ，每一个外角= n 。
3.对称性：（1）正n边形是轴对称图形，有n条对称轴.
（2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，但不是是中心对称图形（例如正三角形，正五边
形）；
当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
知识点3 三角形的中位线
1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
第 1 页 共 52 页平行四边形思维导图
平行四边形
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （记作“□ABCD” ）
2.平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等。
②平行四边形的对角相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
对称性
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
但一般的平行四边形不是轴对称图形.
3.平行四边形常见的结论：
（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；
（2）任一过平行四边形对称中心的直线把平行四边形分割为两个全等的图形；
（3）根据平行四边形的面积=底×高，由等面积法得S=AE·BC=AF·CD。
D A D
F
B E C
4.平行四边形的判定定理：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
第 2 页 共 52 页⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（反例：等腰梯形）；
（2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形.
第二部分：考点突破
考点1多边形的有关计算
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，
由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为 ，求
解即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为 ，
∴ ，
故选：D．
2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键，
根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得：
解方程，得
因此，该多边形的边数为10，
故选：A．
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 （ ）
第 3 页 共 52 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解
公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为 ，得到正六边形和正方形每个内角的度数，
再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所
得新多边形的边数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为 ，根据内角和可解得 ，按图示的剪法剪
第 4 页 共 52 页去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为 ，
则可得 ，
解得 ，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为 ，
故选：A．
5．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，
那么矩形的面积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得
，然后解直角三角形可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
第 5 页 共 52 页∴ ，
∴矩形的面积是 ．
故选：B．
6．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通
过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔
等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长
，那么图中四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；
由正六边形的性质得 ， ，由余弦函数得 ，四边
形 是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判
定及性质是解题的关键．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
，
，
，
，
同理可求： ，
在 中，
第 6 页 共 52 页，
同理可求： ，
四边形 是菱形，
四边形 的面积是：
；
故选：A．
7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形 的边 分别交于点M、N，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出 ，再根据四边形的内角和是360度求出 ，
结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C.
8．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶
第 7 页 共 52 页点处可以引（ ）条对角线
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为 ，
边形的内角和为 ，外角和为 ，从 边形的一个顶点出发可以引 条对角线，据此
根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出 的值即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引 条对角线，
故选：B．
9．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在正 边形中， ，则 的值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角，
先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出 ，可求出中心角的度数，进而得出正
多边形的边数．
【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O， 为中心角，将正n变形看成一个圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
第 8 页 共 52 页10．（2025·四川成都·中考真题）正六边形 的边长为1，则对角线 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接 ，
求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出 的度数，进而推出 为含30度角的直角
三角形，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵正六边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正六边形为轴对称图形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．
11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，五边形 中， ， ， ，则
°．
第 9 页 共 52 页【答案】205
【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可．
【详解】解：多边形的内角和为 ，
∴五边形 的内角和为 ，
，
故答案为：205．
12．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开
图，则 为 度．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：
，再进一步求解即可.
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为： ，
∴ ，
故答案为：
13．（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形 的边 的延长线交于点F，则 的大小为
度．
第 10 页 共 52 页【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求
出 的度数，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形
为正八边形，连接 ， ， 与 交于点 ， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先
根据正多边形内角计算公式求出 ，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出
的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵八边形 是正八边形，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（2025·江苏扬州·中考真题）若多边形的每个内角都是 ，则这个多边形的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题关键．
先求出这个多边形的每个外角都是 ，再根据多边形的外角和等于 求解即可得．
【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是 ，
∴这个多边形的每个外角都是 ，
∴这个多边形的边数为 ，
第 11 页 共 52 页故答案为：9．
16．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形 的内部，以 边为边作正方形 ，连接 ，
则 ．
【答案】81
【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公
式求出 ，进而求出 ，最后根据 求解．
【详解】解： 正五边形 中， ， ，
正方形 中， ， ，
， ，
，
，
故答案为：81．
17．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形 中， ， ，垂足为点I．
若 ，则 ．
【答案】 /50度
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内
角为 ，即 ，则可求得 的度数，根据平行线的性质可求得 的度数，
进而可求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和 ，
每个内角为： ，
第 12 页 共 52 页，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
考点2三角形的中位线
18．（2025·广东·中考真题）如图，点 ， ， 分别是 各边上的中点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到 ， 是 的中位线，
得到 ， ，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵点 ， ， 分别是 各边上的中点，
∴ ， 是 的中位线
∴ ，
∴
∵
∴ ．
故选：C．
19．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是边 的
第 13 页 共 52 页中点，连接 ．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得 ，进
而由平行四边形的性质得 ，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点 是对角线 的中点，点 是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
20．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ， 是 边
的中点，连接 ，且 ， ，则该草坪的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到 ，根据
矩形的面积公式计算即可．
第 14 页 共 52 页【详解】解：∵ 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ 是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴矩形 的面积为 ，
故选：C
21．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、 、 的
中点，如果 ，四边形 的面积为24，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键
利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．
【详解】如图：连接 ， 交于点O，
因为 、 、 、 分别是四边形 边的中点，
∴ ， ； ， ； ， ； ， ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
∴ ， ，
第 15 页 共 52 页∴ ，
∵四边形 面积为 ， ，
∴ ，
解得 ．
∴
在 中
．
故选：B．
22．（2025·山东威海·中考真题）如图， 的中线 交于点F，连接 ．下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识；
根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得 ，
可得 ，再根据相似三角形的性质进一步判断即可.
【详解】解：∵ 的中线 交于点F，
∴ ，
∴ ， ，故D选项结论正确；
∴ ， ，
第 16 页 共 52 页∴ ， ， ，故A、C选项结论正确，B选项结论错误；
故选：B.
23．（2025·青海·中考真题）如图，在菱形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，且
，则菱形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由 ， 分别为 ， 的中点，得
，所以 ，然后根据菱形 的面积为 即可求解，掌握相关知识的应用是
解题的关键．
【详解】解：∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴菱形 的面积为 ，
故答案为： ．
24．（2022·西藏·中考真题）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接
AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．
【答案】50
【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．
【详解】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
第 17 页 共 52 页∴DE是 ABC的中位线．
∴AB=2D△E=2×25=50（米）．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”
是解决本题的关键．
25．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，则 ．
【答案】 /0.25
【分析】此题重点考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明 是解
题的关键．
由 分别是 的中点，根据三角形中位线定理得 ，且 ，所以
，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ 分别是 的中点，
，
，
，
，
故答案为： ．
26．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是 边 ， 的中点，连接 ， ．若
，则 的长为
第 18 页 共 52 页【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得
得出 得出
【详解】解：∵D，E分别是 边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
27．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形 中， ，点E、F分别是边 上
的动点，连接 ，点G为 的中点，点H为 的中点，连接 ，则 的最大值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是
解题的关键．连接 ，先由勾股定理求得 ，则 ，再由三角形中位线定理得到
，即可求解 的最大值．
【详解】解：连接 ，
第 19 页 共 52 页∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点G为 的中点，点H为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当点 重合时， 取得最大值为5，
故答案为：5．
28．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形 各边中点分别是 ，若对角线
，则四边形 的周长是 ．
【答案】42
【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理分别求出 、 、 、 ，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解： 四边形 各边中点分别是 、 、 、 ，
、 、 、 分别为 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
四边形 的周长为： ，
故答案为：42．
29．（2023·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点M是边
第 20 页 共 52 页上一动点，点D，E分别是 ， 的中点，当 时， 的长是 ．若点N在边
上，且 ，点F，G分别是 ， 的中点，当 时，四边形 面积S的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理可得 ，设 ，从而 ，由此得到四
边形 是平行四边形，结合 边上的高为 ，即可得到函数解析式，进而得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
如图，设 ，
由题意得， ，且 ，
∴ ，
又F、G分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
第 21 页 共 52 页∴四边形 是平行四边形，
由题意得， 与 的距离是 ，
∴ ，
∴ 边上的高为 ，
∴四边形 面积 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并
灵活运用是关键．
30．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形 的对角线交点在原点．若 ，则点 的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行
四边形的对称性可知点 与点 关于坐标原点 中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得
到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵平行四边形 的对角线交点在原点，
∴ ，
点 与点 关于坐标原点 中心对称，
点 的坐标为 ，
点 的坐标是 ，
第 22 页 共 52 页故选：C．
31．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， ，以 为圆心， 长为半
径作弧，交 于点 ，则 的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到 ，进而推出 为等边三角形，得
到 ，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：根据作图可知： ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
故选D．
32．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的 中， ， 分别为边 ， 的中点，点 ， 分
别在边 ， 上移动（不与端点重合），且满足 ，则下列为定值的是（ ）
A．四边形 的周长 B． 的大小
C．四边形 的面积 D．线段 的长
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过
全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形
各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接 ，
第 23 页 共 52 页在 中， ， 分别为 ， 中点，
且 ， ， ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
同理 ，且 ．
∴四边形 是平行四边形，
则 与 的面积分别为 与 面积的一半，
四边形 的面积 ，
四边形 的面积始终为 面积的一半，是定值．
选项A： 、 等边长随 、 移动变化，周长不定，错误．
选项B： 随 位置改变，错误．
选项D： 长度随 、 移动改变，错误．
综上，四边形 的面积是定值，
故选： ．
考点3平行四边形的性质与判定
33．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形 中， ，添加下列条件后仍不能判定四边形
是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解
题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵ ， ，
第 24 页 共 52 页∴四边形 是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵ ， ，
∴四边形 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
34．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿 剪下后得到一个 ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
35．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，延长 至点 ，
连接 ， ，点 为 的中点，连接 交 于点 ，若 ， ，
则 的长为 ．
第 25 页 共 52 页【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中
位线定理是解题的关键．连接 ，设 ，证明 ，根据相似三角形的性质得到比例线
段，求出 的长即可得到答案．
【详解】解：连接 ，设 ，
在矩形 中， ，
则 ，
，
是 中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第 26 页 共 52 页，
故答案为： ．
36．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点 是平行四边形 边 的中点，连接 并延长交 的
延长线于点 ．求证： ，并求 的长．
【答案】见解析，
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到
，则由平行线的性质可得 ，再证明 ，
即可利用 证明 ，则可得到 ，据此可得答案．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点 是平行四边形 边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
37．（2025·青海·中考真题）如图，在 中，点O，D分别是边 ， 的中点，过点A作
交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
第 27 页 共 52 页(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明 ，可得 ，结合 可得结论；
（2）由 ，点 是 边上的中点，可得 即 ，结合由（1）得四边形
是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点 为 的中点
∴ ，
∵
∴ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴
∵
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：当 时，四边形 是矩形，
理由如下：
∵ ，点 是 边上的中点，
∴ 即 ，
∵ 由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ 四边形 是矩形.
38．（2025·上海·中考真题）在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
(1)当 是边 中点时，
第 28 页 共 52 页①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ， ．求 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①延长 交于H，可证明 ，得到 ，则
可证明 ，得到 ，则 ；
②如图所示，延长 交于M，由平行四边形的性质得到 ， ，证明
， ，得到 ， ，则
；设 ，则 ， ，进而可得
，即可得到 ；可证明 ， ，设
，则 ，则 ，据此可得答案；
（2）延长 交于M，由平行四边形的性质可得 ， ，证明 ，
，再证明 ，得到 ，求出 ，设
，则由相似三角形的性质可得 ， ，进而可得
；再由 ，得到 ，则 ，解方程即可
得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，延长 交于H，
第 29 页 共 52 页∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，延长 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
第 30 页 共 52 页∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解；如图所示，延长 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
第 31 页 共 52 页∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等
腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
39．（2025·广东·中考真题）如图， 是 斜边 上的中线，过点 ， 分别作 ，
， 与 相交于点 ．现有以下命题：
命题1：若连接 交 于点 ，则 ．
命题2：若连接 ，则 ．
命题3：若连接 ，则 ．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析；命题3是真命题，证明见解析
【分析】命题1：连接 ，交 于 ，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到
，判定四边形 是平行四边形，进而得到四边形 是菱形，再由中位线的
第 32 页 共 52 页判定与性质得到 ，最后利用三角形面积公式求解即可得证；
命题2：连接 ，交 于 ，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到
，判定四边形 是平行四边形，进而得到四边形 是菱形即可得证；
命题3：连接 ，交 于 ，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到
，判定四边形 是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形
是平行四边形即可得证．
【详解】解：命题1：若连接 交 于点 ，则 ．
命题1是真命题，证明如下：
连接 ，交 于 ，如图所示：
是 斜边 上的中线，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，且 ， ，
为 的中点，
是 的中位线，则 ，
，则 ；
命题2：若连接 ，则 ．
命题2是真命题，证明如下：
连接 ，交 于 ，如图所示：
第 33 页 共 52 页是 斜边 上的中线，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
；
命题3：若连接 ，则 ．
命题3是真命题，证明如下：
连接 ，交 于 ，如图所示：
是 斜边 上的中线，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平
行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟
记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
40．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，
， 于点E， 于点F，且 ．
第 34 页 共 52 页(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，当 等于多少度时，四边形 是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析，此时
【分析】（1）先证明 得到 ，再由垂线的定义得到 ，据此证
明 ，得到 ，由此即可证明四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是矩形，利用三角形内角和定理得到 ，则可证明
是等边三角形，得到 ，进而可证明 ，则四边形 是矩形，在 中，
．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：当 时，四边形 是矩形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
第 35 页 共 52 页∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
即当 时，四边形 是矩形，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与
判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
41．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形 中， ，点 分别在边 上．将
沿 折叠，点 的对应点 恰好落在对角线 上；将 沿 折叠，点 的对应点 恰好
也落在对角线 上．连接 ．
求证：
(1) ；
(2)四边形 为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（ ）由矩形的性质可得 ， ， ，即得 ，由折叠
的性质可得 ， ， ， ，即得 ，
，进而得 ，即可由 证明 ；
（ ）由（ ）得 ， ，即可得到 ， ，进而即可
求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折
叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
第 36 页 共 52 页∴ ， ， ，
∴ ，
由折叠可得， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：由（ ）知 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形．
42．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为
的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形 中， ， ，E为边 的中点，点F在边
上，且 ，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点D的对称点为点G．小组成员发现四边
形 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边 的中点M，点N在边 上，且 ，连接 ，将 沿 翻
折得到 ，点B的对称点为点H．连接 ， ，如图②．求证：四边形 是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形 能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 的值；如果不能，
说明理由．
【答案】[探究发现]：四边形 是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形 是平行四边形；
[探究提升]：四边形 为轴对称图形时， 的值为 或 ，理由见解析
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键
第 37 页 共 52 页是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理；
[探究发现]由将△ 沿 翻折得到△ ，即知 ， ，而 ，故
；
[探究证明]同探究发现可知四边形 是菱形，有 ，而 为边 的中点， 为边 的中
点，四边形 是平行四边形，即可得 ， ，又 ， ，故
， ，从而四边形 是平行四边形；
[探究提升]若四边形 为轴对称图形，则四边形 是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四
边形 是矩形时，过 作 于 ，过 作 于 ，设 ，则 ，可得
， ，求出 ，即可得 ；
当四边形 是菱形时，延长 交 于 ，设 ，求出 ，即可得 ．
【详解】[探究发现]：解：四边形 是菱形，理由如下：
将△ 沿 翻折得到△ ，
， ，
，
，
四边形 是菱形；
[探究证明]：证明：如图：
将△ 沿 翻折得到△ ，
， ，
，
，
四边形 是菱形，
，
为边 的中点， 为边 的中点，
， ，
四边形 是平行四边形，
第 38 页 共 52 页， ，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
[探究提升]：解：四边形 能成为轴对称图形，理由如下：
由[探究证明]知，四边形 是平行四边形，若四边形 为轴对称图形，则四边形 是矩形
或菱形，
当四边形 是矩形时，过 作 于 ，过 作 于 ，如图：
，
，
，
设 ，则 ，
，
为 中点，
， ，
四边形 是菱形，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
，
第 39 页 共 52 页；
当四边形 是菱形时，延长 交 于 ，如图：
设 ，则 ，
四边形 是菱形，
，
， ，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
，
△ 是等边三角形，
，
，
；
综上所述，四边形 为轴对称图形时， 的值为 或 ．
43．（2025·湖南·中考真题）【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片 中，过点 作直线 于点 ，沿直线 将纸片剪开，得到
和四边形 ，如图2所示．
第 40 页 共 52 页【动手操作】
现将三角形纸片 和四边形纸片 进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段 上，延长
交线段 于点 ，如图3所示；
②连接 ，过点 作直线 交射线 于点 ，如图4所示；
③在边 上取一点 ，分别连接 ， ， ，如图5所示．
【问题解决】
请解决下列问题：
(1)如图3，填空： ______ ；
(2)如图4，求证： ；
(3)如图5．若 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，根据题意得到 ，
， ，由此即可求解；
（2）根据题意得到 ， ， 是等腰直角三角形，则
第 41 页 共 52 页， ， ，再证明 ，则 ，且
，由此即可求解；
（3）根据题意，设 ，则 ，在 中，
， ，
，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
可得 ， ， ， ， ，
，可证 ，得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段 上，延长
交线段 于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：根据题意， ，
∴ ，
∵将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段 上，延长
交线段 于点 ，
第 42 页 共 52 页∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 在线段 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
第 43 页 共 52 页如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
第 44 页 共 52 页∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的计算，相似三角形的判
定和性质，掌握平行四边形的性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，数形结合分析是
关键．
44．（2025·北京·中考真题）在 中， ， ，点 在射线 上，连接 ，将
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 （点 不在直线 上），过点 作 ，交直线
于点 ．
(1)如图1， ，点 与点 重合，求证： ；
(2)如图2，点 ， 都在 的延长线上，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的
应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据 ，得出 ，根据旋转可得 ，
，进而证明四边形 是平行四边形，得出 ， ；即可得证；
（2）在 上取一点 ，使得 ，证明 得出 ，
，进而根据三角形内角和定理得出 ，根据平行
线的性质得出 ，进而得出 ，根据等角对等边可得 ，则 ，
根据三线合一可得 ，进而根据 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 与点 重合
∴ ， ，
∴ ，
∴
第 45 页 共 52 页∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
证明：如图，在 上取一点 ，使得
∵
∴
∴ ，
∴
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
又∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
45．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在 中， ， 是 上一点， 和
第 46 页 共 52 页关于点 对称，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，求四边形 是菱形时 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明 ， 即可证明；
（2）利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 ，利用勾股定理求 即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 关于点 对称，
， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，
∵ 和 关于点 对称，四边形 是平行四边形；
∴ 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
第 47 页 共 52 页∵ ，
∴ ，
∴ ．
46．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是 对角线的交点，过点O的直线分别交 ，
于点E，F．
(1)求证： ；
(2)当 时， ，分别连接 ， ，求此时四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三
角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）由题目中的 中，O为对角线的中点，可以得出 ， ，结合
，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；
（2）由（1）中得到的结论可以得到 ，结合 得出四边形 是平行四边形，进而利
用 证明出四边形 为菱形，根据 即可求出菱形的周长．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点O是 对角线的交点，
∴ ，
在△ 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）知， ，
第 48 页 共 52 页∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ．
47．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，结合已知条件可得 ，即可证明
；
（2）添加 ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
在 与 中，
第 49 页 共 52 页，
∴ ；
（2）添加 （答案不唯一）
如图所示，连接 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
当 时，四边形 是平行四边形．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形 中， 、 分别是 ， 的平
分线，且E、F分别在边 ， 上．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ，结合角平分线的条件得到
，由 得到 ， ，根据平行线的判定得到 ，
根据平行四边形的判定即可得到 是平行四边形；
（2）求得 是等边三角形，得到 ， ，证明 ，求得
，作 于点 ，在 中，求得 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
第 50 页 共 52 页∵ 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，
第 51 页 共 52 页等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
第 52 页 共 52 页
