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第 1 讲 实数与运算
第一部分：知识点梳理
知识点一：实数的分类
整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．
1.按定义分类： 2.按符号（正负）分类：
注意：（1）0是整数，但是既不属于正数，也不属于负数.
（2）在理解无理数时，要注意“无限不循环”，主要有三类：
①开方开不尽的数，如 ， ，sin60°= 等；
②有特定意义的数，如圆π（或化简后含有π的数），如 等；
③无限不循环小数，如0.101 001 000 1…等；
知识点二：数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 数轴上的点与实数是一一对应的．
2.相反数
(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0.
(2)实数a,b互为相反数 .
3.绝对值
(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
即: 绝对值具有非负性,即|a|≥0.
（3）几何意义： 表示a在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.
4.倒数
(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a，b互为倒数 .
(2)非零实数a ( )的倒数是 ；零没有倒数. 特别地,倒数等于它本身的数是 .
第 1 页 共 11 页知识点三：科学计数法与近似数
1.科学记数法：把一个数表示成 的形式(其中 ,n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
(1) 的确定： 是整数位数只有一位的数，即 ；
(2) 的确定：
当原数的绝对值大于或等于10时， 等于原数的整数位数减1；
当原数的绝对值小于1时， 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数
点前的零)．
2.近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
例：2.325（精确到0.01）≈ 2.33 ； 25679（精确到十位）≈ 25680 .
3.有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字
例：0.000501的有效数字是 3 个； 0.05010的有效数字是 4 个.
知识点四：平方根、立方根、非负数
1.平方根
（1）平方根：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （注意：负数没有平方根）
（2）算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则正数x叫做a的算术平方根，记为 .
（3）表示：a的平方根记为 ，a的算术平方根记为 . 注意：0的平方根与算术平方根都是0
（4）性质：双重非负性
2.立方根： 定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. 表示：a的立方根表示为 . 即x=
3.非负数：
(1)常见的非负数有 ， ， ；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若 ，则有 .
知识点五：实数的运算
1.常见的实数运算
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
“奇负偶正”
指数、负整数指数幂：a≠0，则a0=1； 若a≠0，n为正整数，则 .
2.实数的运算定律与运算顺序
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律
第 2 页 共 11 页、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3.实数的运算法则
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负
因数的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何
正整数次幂都是0.
4.实数大小比较的方法：
（1）数轴比较法：在数轴上，右边的点所对应的数比左边大.
（2）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
A A A
=1
（3）作商法：若B ，则A＝B；若B ＞1，则A＞B；若B ＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
⇔√a＞√b
（4）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b ．
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 .
（6）备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
第 3 页 共 11 页第二部分：考点突破
考点1实数的有关概念与分类
1．（2025·云南·中考真题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作
元，则支出5元可记作（ ）
A． 元 B．5元 C． 元 D．10元
2．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是 ，如果一只乒乓球的质量高于标准
质量 记作 ，那么低于标准质量 记作（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列实数中： 、 、 、 、 有理数的个数为（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2025·山东东营·中考真题）2025的相反数是（ ）．
A．2025 B．-2025 C． D．
5．（2025·山东烟台·中考真题） 的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
6．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和 C．2和 D． 和
7．（2025·江苏连云港·中考真题） 的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）若 互为倒数，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ）
固态
晶体 固态氧 固态氮 固态酒精
氢
熔点（单位： ）
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
第 4 页 共 11 页10．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数 的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示 的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
12．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2实数的大小比较与无理数的估算
13．（2024·山东日照·中考真题）实数 中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.732
14．（2025·山西·中考真题）下列各数中比 小的数是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
16．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·天津·中考真题）估计 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
18．（2024·天津·中考真题）估计 的值在（ ）
第 5 页 共 11 页A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
19．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·重庆·中考真题）若 为正整数，且满足 ，则 ．
考点3科学记数法与近似数
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客 万人次，
把 万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功
发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远
地点距离的45倍，月球远地点距离约为 ，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·天津·中考真题）据 年 月 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人
员流动量达到 人次．将数据 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计
2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均
速度大约只有 ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
第 6 页 共 11 页26．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国
汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口 万辆．将 万用科学
记数法表示为 ．则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
27．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（
）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
28．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未
来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000
用科学记数法表示为 ．
29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）中国年水资源总量约为 亿 ，人均占有水量相当于世界
人均的四分之一，居世界第110位．将 用科学记数法表示为 ．
30．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进
制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数 化为三进制数为（ ）
A． B． C． D．
考点4非负性的应用
31．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
32．（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）
第 7 页 共 11 页A． B． C．1 D．2023
33．（2023·山东·中考真题） 的三边长a，b，c满足 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
34．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，且a，b满足
，则点A在第 象限．
35．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则 ．
考点5实数的运算
36．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
37．（2025·湖北·中考真题）计算： ．
38．（2025·湖南长沙·中考真题）计算： ．
39．（2025·江苏连云港·中考真题）计算 ．
40．（2025·福建·中考真题）计算：
41．（2025·江苏苏州·中考真题）计算： ．
第 8 页 共 11 页42．（2025·上海·中考真题）计算： ．
43．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1) ； (2) ．
44．（2025·辽宁·中考真题）计算：
(1) ； (2) ．
45．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算： ．
（2）解不等式组：
46．（2024·山东济南·中考真题）计算： ．
47．（2025·广东深圳·中考真题）计算： ．
第 9 页 共 11 页48．（2025·新疆·中考真题）计算：
(1) ； (2) ．
49．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中a是使不等式 成立的正整数．
50．（2025·内蒙古·中考真题）计算：
(1) ； (2) ．
51．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中 是使不等式 成立的正整数．
52．（2025·四川泸州·中考真题）计算： ．
53．（2025·四川广安·中考真题）（1）计算： ．
第 10 页 共 11 页（2）先化简，再求值： ，其中 ．
54．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算： ；
（2）解不等式： 并把解集表示在数轴上．
第 11 页 共 11 页
