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内江一中高 2027 届高一（下）第一次月考
数学试题
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题，本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设角 终边上 点的坐标为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（ ）
A. B. － C. D.
3. 在 中，下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C D.
4. 正 的边长为 1，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平
移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知点 是等腰直角 直角边 上的三等分点，则 （ ）
第 1页/共 4页A. B. C. D.
7. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 时，函数 与 的图象交点个数为（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 是边长为 的正三角形，该三角形重心为点 ，点 为 所在平面内任一点，下列等
式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若 ，则 与 中至少有一个为
B. 若 是等边三角形，则 ， 的夹角为
C. 中， 且 ，则 是等边三角形
D. 向量 在向量 上的投影向量可表示为
11. 已知 ， ，则下列说法正确 是（ ）
第 2页/共 4页A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量的模为__________.
13. 已知 ，则不等式 解集为_______________．
14. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，
，若将 的图象向右平移 个单位长度后关于 轴对称，则 ______．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 在 上， .
（1）设 ， ，用 ， 表示向量 ， ；
（2）设 ， ，用 ， 表示向量 ；
（3）求证： ， ， 三点共线.
16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及对称轴、对称中心；
第 3页/共 4页（2）求 单调递增区间；
（3）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 ， 是两个夹角为 的单位向量， ，
．
（1）求 ， ；
（2）设 ，是否存在实数 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
18. 已知 ， ，其中 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，比较 和 的大小．
19. 现有足够长的“ ”型的河道，如图所示，宽度分别为 5m 和 m，，若经过点 拉一张网 ，开辟如
图的直角 用于养鱼，设 .
（1）求渔网长度 ，用含有 的式子表示，并写出定义域；
（2）求养殖面积 的最小值，及此时的 值；
（3）若分别以 为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值.
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