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树德中学高 2024 级高一上学期 10 月阶段性测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由被开方数大于等于零解出集合 ，再求交集即可；
【详解】由集合 可得 ，又
所以 ，
故选：C.
2. 已知命题p： ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式判断即可得出答案.
【详解】由命题p： ， ，可得 为 ， .
故选：A.
3. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A. ，
.
B ，
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学科网（北京）股份有限公司C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数逐个分析判断.
【详解】对于A，显然 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不同，不是
同一个函数；
对于B， 与 对的应关系不同，不是同一个函数；
对于C， ，故 与 的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，显然 ，即 的定义域为 ，而 或 ，即
的定义域为 ，两个函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：C.
4. 若函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】若函数有意义，则由 求解.
【详解】要使函数有意义，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
解得 ，
所以函数 的定义域为 ， ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
5. 关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得 ，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程 有实根，
所以 ，解得 .
又 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
6. 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
利用待定系数法求得 ，然后利用不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】设 ，则 ，
所以， ，解得 ，即 ，
，则 ，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，考查了待定系数法的应用，考查计算能力，
属于基础题.
7. 设 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，分析函数 在 上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件
判断可得出合适的选项.
【详解】设 ，则函数 在 、 上均为增函数，
又因为函数 在 上连续，故函数 在 上单调递增，
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，可得 .
因此，“ ”是“ ” 的充要条件.
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知不等式 对任意 恒成立，其中a，b是整数，则 的取值的集合
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对 分类讨论，设 ，画出图象，数形结合思考即可；
【详解】当 时，因为 ，所以 ，
由一次函数图象可得对任意 时不成立；
当 时，设 ，
画出大致图象可得
{
a>0
3 ，又a，b是整数，
=√b
a
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，
所以 的取值的集合为 ，
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知全集 ， ， ， ， ，
，则下列选项正确的为（ ）
A. B. A的不同子集的个数为8
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即
得答案.
【详解】因为 ，
因为 ，所以集合 中有，集合 中无的元素只有1，9；
因为 ，所以既不在集合 中，也不在集合 中的元素只有4，6，
7；
因为 ，所以集合 与 的公共元素只有3；
所以集合 中有，集合 中无的元素只有0，2，5，8，即 .
如图：
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学科网（北京）股份有限公司所以： ， ，，故AC正确；
因为集合 中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；
因为 ，故D错误.
故选：ABC
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】每个选项我们可以分别判断，可以先找反例，没找到反例，然后再利用不等式的性质判断即可.
【详解】当 时， ，故选项A错误；
若 ， 时，
，故选项B正确；
当 时，易知 ，故选项C错误；
a a+c
当 时，易知a>b⇒ac>bc⇒ab+ac>ab+bc⇒a(b+c)>b(a+c)⇒ > ，故选项D
b b+c
正确.
故选：BD
11. 下列命题中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ， ， ，则 的最大值为
B. 若 ，则 的最小值为4
C. 已知 ， ， ，则 的最小值是
D. 若 ， ， ，则 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项变形计算可判断选项的正确性.
【详解】对于A， ，解得 ，平方得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为4，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，故等号不成立，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所认 的最小值为 ，故D正确.
故选：BD.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R用[x]表示不超过x的最大整数，则
y=[x]称为“高斯函数”，如： ， ，y=[x]又称为“取整函数”，在现实生活中有着
广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，
正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， ，若 ，则有 D. 方程 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：取 ，不成立；
对于B：设 ，讨论 与 求解；
对于C： ，则 ，可得结论；
对于D：先确定 ，将 代入不等式 得到 的范围，再求得 值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：取 ， ，故A错误；
对于B：设 ，
所以 ，
，
当 时， ， ， ， .
所以 ， ，
故当 时， 成立；
当 时，则 ， ， ， .
所以 ， ，
故当 时， 成立..综上B正确；
对于C：设 ，则 ，
则 ，因此 ，故C正确；
对于D：由 知， 一定为整数且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 解得 ，
只能取 ，由 解得[x]>1或 (舍去)，
故 ，所以 或 ，
由上 ， ，
所以当 时，由 ；当 时， ，
所以方程方程 的解集为 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】高斯函数常见处理策略：
(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
(2)由 求[x]时直接按高斯函数的定义求即可.由[x]求 时，因为 不是一个确定的实数，可设
处理.
(3)求由[x]构成的方程时先求出[x]的范围，再求 的取值范围.
(4)求由[x]与 混合构成的方程时，可用 放缩为只有[x]构成的不等式求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合 ，且 ，则实数 的值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由集合 的元素，以及 ，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数 的值.
【详解】由题可得，若 ，则 ，不满足集合元素的互异性，舍去；
若 ，解得 或 ，其中 不满足集合元素的互异性，舍去，
所以 .
故答案为：3.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.
14. 函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用导数判断函数的单调性，即可求出最大值．
【详解】 ，所以 在 上递增，在 上递减，
故 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值．
15. 已知集合 ，集合 ，其中 ，则使
的 的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得 考虑， ， ， 三种情况，计算得到答案.
【详解】由 ，得 ．
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司，即 ， ，所以 ．
当 时，则 ，得 ；
当 时，则 ，得 ；
当 时，则 ，无解．
综上所述， 的取值范围是 ．
16. 若对任意实数 ，总存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范
围是__________
【答案】
【解析】
【分析】不等式整理为关于的二次不等式恒成立，利用 转化为存在 ， 成
立，求出 的最大值即可得出.
【详解】由 得 ,
因为对任意实数 ，不等式成立，所以 ，
即 ,即存在 ， 成立，
因为 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
17. 已知全集 ，集合 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出集合 ，再根据集合的交、并、补的定义求解即可；
（2）由题意可得 根据子集的定义求解即可.
【小问1详解】
由题意得，集合
所以 ， ；
【小问2详解】
因为 ，所以
又因为 ，所以 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
18. 已知集合 ， ．
（1）是否存在实数a，使命题“ ， ”是真命题，是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；
若不存在，说明理由.
（2）若 是 成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）不存在实数a，理由见解析；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，由此列出不等式组求解，即可得出结果；
（2）由题意可得A是B的真子集，对A分类讨论可求实数a的取值范围．
【
小问1详解】
不存在实数a使命题“ ， ”是真命题，理由如下：
由于命题“ ， ”是真命题，是真命题，所以 ，
则 ，无解
所以不存在实数a，使此命题是真命题.
【小问2详解】
由题知 是 成立的充分不必要条件，故A是B的真子集，
①当 时， ，解得 ，符合；
{
a−1>−2
②当 时，要使A是B的真子集，则 或 2a+3≤4 ，
a−1≤2a+3
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学科网（北京）股份有限公司解得： 或 ，即 .
综上： 或 .
19. 某市近郊有一块大约 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，
首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，
中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为
S平方米.
（1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值，
【答案】（1） ，定义域为 ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）用 求出矩形的长，然后减去道路宽后计算塑胶运动场地面积S，注意中间三个小矩形存在，同时
可得定义域；
（2）由基本不等式求得最值．
【详解】（1）由题意 ．
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学科网（北京）股份有限公司，又 ，所以 ．
综上 ，定义域为 ．
（2）由（1） ，当且仅当 ，即 时，
等号成立．
所以 ， ．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题关键是列出函数解析式，在定义域时，要注意变量的实
际意义，本题中一是小矩形存在，二是场地长、宽不超过400米，这样才能得定义域．
20. 已知函数 .
（1）若不等式 的解集非空，求实数 的取值范围；
（2）当 时，不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）分 ， ， 讨论求解可得 的取值范围；
（2）分离变量得 在 时有解，利用换元法与基本不等式可求 的最大值，
进而可得实数 的取值范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，即 时， ，解集不是空集；
②当 时，即 时，此时函数为开口向下的二次函数，故不等式 的解集非空；
{ m+1>0
③当 时，若不等式 的解集非空，则 ，
Δ=m2−4(m+1)(m−1)>0
{
m>−1
{ m>−1 2√3
即 ⇒ 2√3 2√3⇒−1
