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查漏补缺 04 平行四边形与特殊平行四边形（8 大题型）
考点一：平行四边形
【题型一】多边形
1）多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
2）镶嵌成立的条件：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于 360°.
1）从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其
中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有 条对角线.
2）多边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
3）多边形的外角和定理在正多边形中的应用：
1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ．
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2）若正多边形的一个外角为m°，则正多边形的边长为 .
4）一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变.
【中考真题】
1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正
方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
2．（2024·山东·中考真题）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在
该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边形的
顶点．若点P,Q的坐标分别为(−2√3,3),(0,−3)，则点M的坐标为（ ）
A．(3√3,−2) B．(3√3,2) C．(2,−3√3) D．(−2,−3√3)
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为
半径作B´D，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
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【模拟训练】
1．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，将正五边形沿 BF 折叠，若∠1=18°，则∠2 的度数为（ ）
A．96° B．97° C．98° D．99°
2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在边长为5的正五边形ABCDE中，点O是对角线AC上一点，连接
OB,OD,OE后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（ ）
A．①与②的面积和 B．②与③的面积和
C．②与④的面积和 D．④与⑤的面积和
3．（2023·河南许昌·二模）如图，在正六边形OABCDE中，以点O为原点建立直角坐标系，边OA落在x
轴上，对角线BD与OC交于点F．若点A的坐标为(2,0)，则点F的坐标为（ ）
(3 3√3) (3√3 3) ( 3) (3 )
A． , B． , C． √3, D． ,√3
2 2 2 2 2 2
4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），
且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
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A．√3+2 B．√3+1 C．3 D．2
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到
一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行
的总路程是 米．
6．（2025·河北保定·一模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P在AF上，一束光线从点P出
发，照射到镜面BC上的点Q处，经反射后射到DE上的点G处，且PQ∥AB，QG∥CD，则PQ+QG=
．
7．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线BD，BF分别交AC于点H，G，
S
若△ABC与五边形DEFGH的面积分别为S ，S ，则 1= ．
1 2 S
2
8．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精
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美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的
勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，
小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不
能是下列哪种形状的正多边形______（填序号）
①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形
(2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后
中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围
成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由
9．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形．
(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角a ,a ,a ，则a = ______°，a = ______°，a =
4 5 6 4 5 6
______°．
(2)按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为a ，请用含n的式子表示a =______（其中
n n
n为不小于4的整数）．
(3)若a =150°，求相应的正多边形的边数n．
n
【题型二】平行线的性质与判定
1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；
2）平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形.
3）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；
4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分.
5）一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
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1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.
6）由平行四边形的性质可得相等的边和相等的角，借助这些边和角证明三角形全等，利用全等三角形的
性质解决问题.
【中考真题】
1．（2024·辽宁·中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若
AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠B=60°，AB=6cm，BC=12cm．A点P从点
A出发、以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→⋅⋅⋅
往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边
1
分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点
2
P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若
∠AOB=60°，OP=6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．12√3cm2 B．6√3cm2 C．3√3cm2 D．2√3cm2
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k
4．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线y=x+1、y=x−1与双曲线y= (k>0)分别相交于点
x
A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（ ）
3 √2 4
A． B． C． D．1
4 2 5
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A(0,−2)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
1
6．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y= x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛
2
物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为
．
7．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分
线，且E、F分别在边BC，AD上．
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(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
8．（2024·安徽·中考真题）如图1， ▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，
且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
AC
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求 的值．
BD
【模拟训练】
1
1．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在▱ABCD中，连接AC，∠ACB=90°，tan∠BAC= ．动点M
2
从点A出发，沿AB边匀速运动．运动到点B停止．过点M作MN⊥AC交CD边于点N，连接AN，CM．
设AM=x，AN+CM= y，y与x的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．(2,5) B．(√5,2√5) C．(2,4) D．(√5,5)
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2．（2023·安徽·中考真题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三
角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3√3 B．PE+PF的最小值为2√3
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3√3
3．（2025·湖南娄底·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，点D、E分别在边AB、AC
上，AD=CE，连接CD、BE，则△ABE和△ACD周长之和的最小值为（ ）
A．16+4√7 B．24+8√7 C．24+8√3 D．16+4√3
4．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为8的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着
AD方向平移，得到△A'B'C'．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离A A'等于
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，P为 ▱ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别
交AD，BC，AB，CD于E,F,G,H四点，连结AP,FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（
）
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A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
6．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，
过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE=2BF，∠BAF=α，则∠EGF一定等于（ ）
A．45°+α B．45°−α C．2α D．α
7（2025·山东临沂·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如
线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，
IJ∥KL，EF∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为 ．
8．（2025·陕西西安·一模）如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ADB=∠CBD=90°，
∠BDC=2∠ABD．已知E是BC边上的一点，连接DE，过点E作EF⊥CD于点F，且BE=EF．若
BD=3，CD=5，则AB的长为 ．
9．（2025·湖南·模拟预测）综合与实践
【初步感知】如图1，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BE=DF，连接AE，CF．则AE与CF
的数量关系是______；
【尝试探索】如图2，在Rt△ABD中，E，F是斜边BD上两个动点，且BE=DF，连接AE，AF，若
AB=4，AD=6．求AE+AF的最小值；
【拓展应用】如图3，在 ▱ABCD中（其中CD>BC），BC=2,∠CBD=60°，点M，N为对角线BD上
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1 1
的两个动点，连接AM，CN．若BN= DM，求 AM+CN的最小值．
2 2
考点二： 特殊平行四边形
【题型一】利用矩形的性质求解
1）对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角.
1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3）理解记忆矩形的性质，当题目己知矩形或者证明出矩形时，要立刻能想到相应的性质.
【中考真题】
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=2cm，点A在直线l
1
上，点B，C在直线l 上，l ∥l ，动点P从点A出发沿直线l 以1cm/s的速度向右
2 1 2 1
运动，设运动时间为ts．下列结论：①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点P到直线l 的距离等于5cm；③在点P运动过程中，△PBC的面积
2
随着t的增大而增大；④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，
线段DE的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点
N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值
为（ ）
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A．15 B．5+5√5 C．10+5√2 D．18
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10cm，他
进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段
EN的长为（ ）
169 167 55
A．8cm B． cm C． cm D． cm
24 24 8
4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着
D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y与x
的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
4√2 8 7√3 11
A． B． C． D．
3 3 4 4
5．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(4,0)，C(0,4√2)是矩形OABC的
顶点，点M,N分别为边AB,OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中
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k
点处，点C的对应点C'在反比例函数y= (k≠0)的图象上，则k=
x
6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点E在直线AD上，且
DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 cm．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【模拟训练】
1．（2025·山东淄博·一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将
矩形ABCD沿直线EF折叠．使点B落在CD边上的B'处，点A落在A'处，连接BB'，若CB'=2，如图2，
若P为A'B'中点，连接BP．则BP的长为（ ）
A．8 B．√65 C．2√17 D．10
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2．（2025·安徽合肥·一模）如图，O为AD的中点，将矩形ABCD绕着点O顺时针旋转60°得到矩形
EFGH，若AB=4，BC=6，GH与BC交于点M，则MH的长为（ ）
A．4−2√3 B．3−√3 C．6−2√3 D．8−3√3
3．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是对角线AC上的动点，连接DP，
将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（
）
12 14 72 36
A． B． C． D．
5 5 25 25
BE
4．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是边BC上一点， =3，连
CE
接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长FA，交CB的延长线于点M，则EM= ．
5．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，CB=2，连接AC，以对角线AC为边，按
逆时针方向作矩形ACC B ，使矩形ACC B 相似于矩形ABCD；再连接AC ，以对角线AC 为边，按
1 1 1 1 1 1
逆时针方向作矩形AC C B ，使矩形AC C B 相似于矩形ACC B ；…按照此规律作下去．若矩形
1 2 2 1 2 2 1 1
ABCD的面积记作S ，矩形ACC B 的面积记S ，矩形AC C B 的面积记作S ，…，则S 的值为
1 1 1 2 1 2 2 3 2025
．
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6．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA分别在x轴、y轴上，
AB=6，点E在边BC上，矩形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F恰好是边OC的三等分点，则点E的坐
标是 ．
7．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m(m>1)，点E是AD边上一定点，
且AE=1，在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为
．
8．（2025·贵州铜仁·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动．
【初步探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB，BC上，且BE=CF，则CE与
DF的位置关系是________，数量关系是________；
【知识迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，BC=2CD，点E，F分别为直线AB，BC上的动点，且
BE=2CF，连接CE，DF．探究CE与DF存在的数量关系并说明理由；
【深入研究】（3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边AB，BC的延长线上，EC的延长线与
DF交于点H．点G为EH上的点，且HG=2HD，请用等式表示线段BG与HC的数量关系，并说明理由．
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【题型二】利用矩形的性质与判定求解
【中考真题】
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一
点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
13 60 12 30
A． B． C． D．
2 13 5 13
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半
AB 1
径的弧恰好与BC相切，切点为E．若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 3
2 √5 3 √7
A． B． C． D．
3 3 4 4
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S ,S ，若要求出S−S −S 的值，只需知道( )
1 2 1 2
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A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿
BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切
线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB=5√6，BE=5，求⊙O的半径．
2 k
7．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= (k≠0)上．AB∥x轴，
x x
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过点A作AD⊥x轴于点D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD．则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【模拟训练】
1（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使得顶点A，C重合，点D落在D'处，然后还原，
得到折痕EF．已知：AB=9，BC=3，则折痕EF的长为（ ）
10 15
A．√10 B．2√3 C． D．
3 4
2．（2024·陕西西安·二模）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=6，点E、F、
G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
3．（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，E是边AB上一点，点B关于CE的
对称点为F，连接BF并延长交AD于点G．设BE=a．若F是BG的中点，则a的值为 ．
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4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形BCDE的边CB延长线上一点，AB=BC=2，BE=3，点F为
BE边上的动点，连接AF，过点F作FG⊥DC，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则
AF+FG+GH的最小值为 ．
5．（2025·上海·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D，E在边AB上；点
F，G分别在边BC与AC上．当四边形DEFG为矩形，且其宽为长的一半时，DE的长为 ．
6．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在四边形ADBE中，对角线AB，ED相交于点F，且AF=BF，
EF=DF．过点A作AC∥ED，交BD的延长线于点C，________．请从“①AF=EF；②AB=AC”这
两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
12
（2）若tanC= ，AE=5，求线段DF的长．
5
7．（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，
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点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直
线BC上运动时，求线段AG的最小值？
【题型三】利用菱形的性质求解
1）对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.
2）利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的 .
1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决；
2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的合应用较多，利用菱形的性质求线段、角
时，注意菱形与其他几何知识的结合.
3）在求菱形面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活地选择面积公式来解决问题.
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
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A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边
中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+2√3 B．6+2√3 C．4+4√3 D．6+4√3
4．（2023·河北·中考真题）如图，直线l ∥l ，菱形ABCD和等边△EFG在l ，l 之间，点A，F分别在l ，
1 2 1 2 1
l 上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（ ）
2
A．42° B．43° C．44° D．45°
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E
OF 5
在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC， = ，则菱形ABCD的面积为
FE 6
．
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，以BC为边向
△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作
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出图形，并直接写出△AOC的面积．
【模拟训练】
1．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠D=110°，在菱形左侧作射线BM，使得
∠ABM=55°，过点A作AG⊥BM于点G．若对角线AC=10，则AG的长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
2．（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，B(−2√3,0)，
k
顶点A在反比例函数y= （k≠0，x<0）的图象上，若菱形ABCO的周长为8，则k的值为（ ）
x
A．√3 B．2√3 C．−√3 D．−2√3
3．（2025·湖南娄底·二模）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的面积
与菱形ABCD的面积之比是（ ）
√3 √3π √3 √3π
A． B． C． D．
16 16 8 8
4．（2025·河北沧州·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC=60°，点G、E、F分别是
BD、AB、AD上的点，若¿+GF=3，则AE+AF的值是 ．
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5．（2025·河南驻马店·一模）如图，菱形ABCD中，AB=4,∠B=120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋
转得到菱形AB'C'D'，连接CC'，当B'C'与CD第一次垂直时，∠D'C'C的度数为 ．
6．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，延长CB到点E，使BE=BC，
连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
1
(2)连接OE，若tan∠AEB= ，OE=√17，求AC的长．
2
7 （2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE．
(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，若∠ABC=80°，点F在线段AD上，连接EF，当△AEF是等腰三角形时，请直接写出
∠AEF的度数．
【题型四】利用菱形的性质与判定求解
【中考真题】
1．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1
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个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，
两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ ）
A．64° B．66° C．68° D．70°
2．（2023·西藏·中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分
的面积是（ ）
9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动
成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋
AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：√3≈1.732）．
4．（2024·山东德州·中考真题）如图， ▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
(1)求证： ▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
5．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交
⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O
上一点且D´B的中点为M，连接AD，CD．
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(1)求∠ACB的度数；
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若AC=6，求C´D的长．
6．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE
是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD=4时，求EG的长．
【模拟训练】
1．（2025·山东济南·一模）如图．以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
1
分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧在 ∠BAC的内部相交于点P． 作射线AP交
2
1
BC于点D． 分别以A，D为圆心，以大于 AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．作直线GH，
2
3
交AC，AB分别于点E，F． 若AF=2，CE=3， BD= ，则CD的长是（ ）
2
A．2 B．1.75 C．2.25 D．3
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2．（2025·浙江金华·模拟预测）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌
而成．ABCD为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
7√3 9√3
A．3√3 B． C．4√3 D．
2 2
1
3．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，
2
两弧交于点D，E，且点D恰好在AC边上，直线DE与BC交于点F，连接BD,BE,CE．若
CD=2,∠ACB=30°，则四边形BECD的面积为（ ）
A．√3 B．2√3 C．4 D．8
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，以BD为一边在其两侧作等边△ABD和等边△BCD，连接AC，AC和
BD相较于O，过B作BE⊥AD与E，连接OE，CE，且OE=2cm．则：
（1）∠AOE= ；
（2）CE= ．
5．（2025·河南开封·一模）在平行四边形ABCD中 ，AB=4，∠ABC=60°，点O为对角线AC的中点，
连接BO．当△AOB是直角三角形时，AC的长为
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，作对角线AC的垂直平分线交BC于点E，
交AD于点F，连接AE，CF．
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(1)判断四边形AECF是哪种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AF=5，AC+EF=14，求四边形AECF的面积．
7．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，将△ABC绕点C顺时针旋转α，得到Rt△DEC，点A与点
D对应，点B与点E对应．
(1)当∠ACD=60°时，BE的长为_____．
(2)如图2，F是DE的中点，连接CF，过点D作DG∥CF且交直线AB于点G．
①求证：GA=GD．
②在旋转的过程中，当四边形ACDG是菱形时，请直接写出此时BG的长度．
【题型五】利用正方形的性质求解
1）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
2）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
3）判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先
证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它
有一个角为直角和一组邻边相等．
【中考真题】
1．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图
案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则
sin∠ABE=（ ）
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√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E
是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△≝¿与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是
（ ）
A．2√2 B．2+√2 C．4−2√2 D．√2
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴
上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）
m
A．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D． =1
n
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
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45°−α 90°−α 45°+α α
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且
S =10，S =1，则正方形DEFG的边长可以是 （写出一个答案即可）．
正方形ABCD 正方形GHIJ
6．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形
ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S ，正方形MNPQ的面积为S ．若BE=kAE(k>1)，
1 2
S
则用含k的式子表示 1 的值是 ．
S
2
7．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接
EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
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(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
8．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位
m m−a
置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD
1 x 2 x
边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、H，一次函数y 的图像经过点
1 1 2 3
E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
【模拟训练】
1．（2025·山东济宁·一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且
1
CF= CD，则下列结论中不成立的是（ ）
4
1
A．tan∠EAF= B．△ABE∽△AEF C．AE⊥EF D．△ADF∽△ECF
2
2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，
S
GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，当∠FGH=60°时， △DGJ 的值为（ ）
S
△ADE
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√3 √3 1 1
A． B． C． D．
2 3 3 2
3．（2025·甘肃武威·一模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2，正方形
A'B'C'D'的顶点A'与点O重合，边A'D'与OD重合，将正方形A'B'C'D'绕点A'顺时针旋转90°，A'B'与
边BC交于点E，A'D'与边CD交于点F，连接EF交OC于点G，在整个运动过程中，则点G经过的路径
长是（ ）
1 √2
A．1 B． C． D．√2−1
2 2
4．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、CD、AB上，连接AC、
AE、AF、EF、GF，其中GF=AE，∠EAF=45°，若∠BAE=α，则∠CEF+∠CFG一定等于（
）
A．90+α B．45+2α C．60+2α D．120−α
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形纸片ABCD
沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道（ ）
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A．BF的长度 B．△B'CF的周长
C．△B'DG的周长 D．△A'EG的面积
6．（2025·安徽合肥·一模）如图，正方形ABCD边长为3，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且
BE=CF，连接BF、DE．
（1）若CE=2BE，则sin∠EDC= ；
（2）BF+DE的最小值为 ．
7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，C A B C 、
1 1 1
A A B C 、A A B C …都是正方形，且A 、A 、A …在AC边上，B 、B 、B …在AB边上．则线
1 2 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3
段B C 的长为 ．
2025 2025
8．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E、F同时从点A
出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，
连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0AB，点E，F分别在AD,BC边上，
EF∥AB ,AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确
的是（ ）
A．2OC=√5EF B．√5OC=2EF C．2OC=√3EF D．OC=EF
3．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿
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BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板
ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α(0°≤α≤90°)角，观察图
形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
【模拟训练】
1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，BC∥AM，∠MAB=90°，∠BCD=75°，点D,E分别在
AM,AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③
EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则√2AF=DF+EF．其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M， N分别是AB，AD的中点，CM，BN
相交于点E，AC与BN相交于点F，分别连接AE，DE，则下列结论错误的是（ ）
EM 1 EF 3
A．AD=DE B．EA平分∠MEF C． = D． =
CE 4 BE 4
3．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB,PF⊥BC，
垂足分别为E，F，连接EF．若∠BEF=α，则∠CDP一定等于（ ）
A．90°−α B．2α C．180°−3α D．45°+α
4．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠BAC=45°，DB=6，
CD=4，则AD的长度为 ．
5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形ABCD中，点E,F在对角线AC的两侧，且点E到△ABC三边的
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距离均为1，点F到△ACD三边的距离也均为1．若AC=5，则EF的长为 ．
6．（2025·安徽合肥·一模）已知点E是矩形ABCD边DA延长上一点，且AE=AC，O是对角线AC和BD
的交点．连接CE，交AB于F，交BD于G，连接OF，如图1．
(1)求证：CE平分∠ACB．
(2)若AB=3，AD=4，求tan∠AOF的值．
BG2
(3)若AB=AD，如图2，求 的值．
CG2
7．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在四边形ABCD中，P为对角线BD上的动点，点E，F分别在
AD，CD上．
(1)【动手操作】
如图①，若四边形ABCD为正方形，P为对角线AC，BD的交点，E，F分别为AD，CD的中点时，连接
PE，PF，根据题意在图①中画出PE，PF，则∠EPF为________________度；
(2)【问题探究】
如图②，四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，P为对角线AC，BD的交点，且∠EPF=60∘，探究线
段DE，DF，AD之间的数量关系，并说明理由；
(3)【问题解决】
如图③，在（2）的条件下，若点P在对角线BD上，菱形ABCD的边长为8，PA=7，DF=1，求DE的长．
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