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重难点 03 平行四边形与特殊平行四边形综合训练
中考数学中《平行四边形、矩形、菱形》部分主要考向分为五类：
一、多边形内角和
二、平行四边形的性质与判定
三、矩形的性质与判定
四、菱形的性质与判定
五、正方形的性质
平行四边形和特殊平行四边形在中考数学中是占比比较大的一块考点，考察内容主要有各个特殊四边
形的性质、判定、以及其应用；考察题型上从选择到填空再都解答题都有，题型变化也比较多样；并且考
察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较强。所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准
确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合。
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考向一：多边形内角和
【题型1 多边形的内角和的计算】
1.多边形边数的求解方法
①代入法:设多边形的边数为n，代入内角和公式(n-2)x180°，得到关于n的方程，然后解方程求出n；
②外角和定理:多边形的外角和是固定的，为360°
2.灵活运用内外角的关系
①内外角转化:将多边形的内角通过外角定理转化为外角，然后利用外角和为360°来求解；
②辅助线构造:在复杂图形中，通过添加辅助线构造出多边形，利用多边形的内角和公式求解。
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
2．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五
边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54∘ B．60∘ C．70∘ D．72∘
3．（2024·山东·中考真题）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在
该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形ABCDEF的面积为6√3，则正六边形的边长为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．4
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5．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片ABCDE沿BP折叠，得到△BC′P，点C的对应点为点
C′，BC′的延长线交DE于点F，若DF=EF，则∠BPC′的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
6．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于
点G，则∠BGC的度数为 ．
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是
．
8．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，AD,CE相交于点 F，连接BF，则∠CFB的
度数是 ．
考向二：平行四边形的性质与判定
【题型2 平行四边形的性质】
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1.平行四边形的性质可以从三个方面记，
①边：对边平行且相等；②角：对角相等，邻角互补； ③对角线：对角线互相平分；
2.平行四边形的问题经常转化为全等三角形的判定与性质类问题来解决。
1．（2024·海南·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别
1
以点M、N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若
2
∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，
AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①
AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④S =S ，其中正确结论的个数为（ ）
四边形ABOE 四边形CDOF
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024·辽宁·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若
AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．16
5．（2024·山西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上
一点，且∠ACF=∠CAF，线段的延长线交于点G．若AB=√5，AD=4，tan∠ABC＝2，则BG
的长为 ．
6．（2024·广东广州·中考真题）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分
∠EBC，则DE= ．
7．（2024·湖北·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，
求证：BE=DF．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，
且S =S ．
△ABE △DCE
(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
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②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探
究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
9．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再
1
分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交
2
CD的延长线于点H．
(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
【题型3 平行四边形的性质与判定综合】
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1、平行四边形的判定也可以从三个方面记，
①边：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；②角：两组对角分别相等；
③对角线：对角线互相平分；
2、平行四边形的判定和性质经常综合在一起考，即先考判定一个四边形是平行四边，
然后再利用平行四边形的性质去解剩余的问题。做题时，不要太轻率，要综合考虑用到
的考点。
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分
线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
2．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，
AF∥DC.
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
3．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．请从“①
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∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序
号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
4．（2024·安徽·中考真题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，
且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
AC
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求 的值．
BD
5．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践
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【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ACB=90°，
∠ABC=45°，求证：BC=2OC．
【变式探究】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在AC的右侧作等边
△ACD，取BD的中点F，连接CP．
①求证：CP是AD的垂直平分线；
②若BC=2，求CP的长．
【拓展提高】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，D为BC上的任意一点，将
AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，旋转角为2α．取BE的中点P，连接CP，猜想BD与CP的数量
关系，并给予证明．
考向三：矩形的性质与判定
【题型4 矩形的性质】
1.矩形的性质可以从在平行四边形的基础上增加性质记忆，
①矩形具有平行四边形的一切性质；②增加性质：四个角都是直角、对角线相等；
2.矩形问题的转化方向有直角三角形、等腰三角形。正因此，矩形常和勾股定理结合来
求长度。
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．
连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则
∠1的度数为（ ）
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A．41° B．51° C．49° D．59°
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10cm，他
进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则
线段EN的长为（ ）
169 167 55
A．8cm B． cm C． cm D． cm
24 24 8
4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着
D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y
与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
4√2 8 7√3 11
A． B． C． D．
3 3 4 4
5．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
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(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【题型5 矩形的性质与判定综合】
矩形的判定也可以从两个方向记忆，
①从平行四边形入手判定，把矩形有平行四边形没有的性质加上，就可以证一个平行四边是矩形；
②从普通四边形入手判定则有：
有三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时
直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°．
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(1)求证：AC=BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值．
3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切
线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB=5√6，BE=5，求⊙O的半径．
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考向四：菱形的性质与判定
【题型6 菱形的性质】
1、菱形的性质可以从在平行四边形的基础上增加性质记忆，
①菱形具有平行四边形的一切性质；②增加性质：四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一
组对角；
2、菱形问题的转化方向有直角三角形、等腰三角形。也常和勾股定理结合来求长度。
3、菱形面积的特殊计算方法：对角线相乘除以2
1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC
的值为（ ）
√3 √7 √21 5√7
A． B． C． D．
5 5 14 14
3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点
3
B在直线y= x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（ ）
4
A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
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4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为
M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（ ）
4√5 3√5 2√5
A．√5 B． C． D．
5 5 5
5.（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则
AE的长是（ ）
24 48
A． B．6 C． D．12
5 5
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐
标为(3,4)，则顶点A的坐标为（ ）
A．(−4,2) B．(−√3,4) C．(−2,4) D．(−4,√3)
7．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E
OF 5
在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC， = ，则菱形ABCD的面积为
FE 6
．
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9．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ．
10．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，
E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．
11．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
【题型7 菱形的性质与判定综合】
菱形的判定也可以从两个方向记忆，
①从平行四边形入手判定，把菱形有平行四边形没有的性质加上，就可以证一个平行四边是菱形；
②从普通四边形入手判定则有：
有四条边相等的四边形是菱形、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接
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BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
2．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
3．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在矩形ABCD中（AB>BC），对角线AC，BD相交于点O，延
长BC到点E，使得CE=BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF．
(1)求证：四边形DOCF是菱形；
(2)若矩形ABCD的周长为20，AC=8，求四边形DOCF的面积．
4．（2024·云南·模拟预测）如图，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，B是边AC上的一点，连接BD，E是
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△ACD外一点且满足：AE∥BD，AE=AB，AD平分∠BAE，连接BE交AD于点O．
(1)求证：四边形ABDE是菱形；
OC
(2)连接OC，若OA=2√5， =2，求CD的长．
OB
5．（2024·甘肃庆阳·二模）【问题情境】在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数
学活动，如图，在矩形纸片ABCD中，点M，N分别是AD、BC的中点，点E，F分别在AB、CD上，
且AE=CF．
【动手操作】将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P，将△NCF沿NF折叠，点C的对应点为点
Q，点P，Q均落在矩形ABCD的内部，连接PN，QM．
【问题解决】
（1）求证：四边形PNQM是平行四边形．
（2）若AD=2AB=4，四边形PNQM为菱形，求AE的长．
6．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为边AD中点，过
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点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．
(1)连接BD，求证：四边形BDEF是平行四边形；
3
(2)若FB=5，sinF= ，求AC的长．
5
7．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O
于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且D´B的中点为M，连接AD，CD．
(1)求∠ACB的度数；
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若AC=6，求C´D的长．
8．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交
AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
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9．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接
EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
考向五：正方形的性质与判定
【题型8 正方形的性质】
1、正方向具有矩形和菱形的一切性质；
2、正方形问题的转化方向只有一个——等腰直角三角形；
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，
CF √3
且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：① = ；②
BF 2
tan∠H=√3−1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE⋅DH．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图
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案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（
△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若
EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重
合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC
于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点H是
√10 1 11
AD的中点，则sin∠NBC= ；④BN=√2BM；⑤若AH= HD，则S = S ，其中正
10 2 △BND 2 △AHM
确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
4．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点
H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（ ）
5 8
A．2 B．3 C． D．
2 3
5．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点
G．若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为 ．
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6．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为
(−2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点
E的坐标为 ．
7．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸
片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：
EM=MF．
【深入研究】
AG 1 GH
若 = ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
AC k HC
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8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是
对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
1
（2）若AB=2，AD=3，DF= BF，求DE的长；
2
【模型迁移】
1 AF
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF= BF，求 的值．
2 AD
（建议用时：40分钟）
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√5−1
1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称
2
的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则
sin∠DAE的值为（ ）
√5 1 3 2√5
A． B． C． D．
5 2 5 5
2．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋
FG
转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE
3√2 3√3
A．√2 B．√3 C． D．
2 2
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上
一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ ）
12
A．2 B．√5 C．√6 D．
5
4．（2024·福建福州·模拟预测）正六边形 ABCDEF 与正五边形 BGHIJ 按如图方式摆放，点A，B，G
在一条直线上，则∠JBC的度数为 ．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC
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上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若
AB=4，BC=6，则CF= ．
7．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长
DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
8．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F
EF
是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则 的值为 ．
BC
9．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
（1）【知识回顾】
在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解
决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理．
（2）【数学发现】
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如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，并重新
拼成一个完整的三角形．
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形
ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？
【证明猜想】
（3）证明（2）的结论，并在“AD=5，BC=7”的条件下，求EF的长．
10．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．
将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H
恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
11．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满
足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形
ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另
一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据√3≈1.73）
(1)求PQ的长；
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(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
12.（2024·云南昭通·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在DB、
BD的延长线上，且BE=DF，连接AE、CE、AF、CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若OG⊥AE于点G，AG=3，¿=24，求△GEO的面积．
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