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专题 10 三角形中的重要模型-垂美四边形与 378、578 模型
模型1、垂美四边形模型
规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形
图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图 3，在矩形 ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接 AP、BP，CP，DP；结论：
AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则 ____________．
例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若
， ， 则 的长为（ ）
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A．2.5 B．3 C．4 D．
例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，AC、BD是方
程 的两个解，则四边形 的面积是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有
以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在 ABC中，CA＝4，CB＝6，D是 ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最
小值为_____． △ △
例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对
角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
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(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．
(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点，
， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M的坐标为________；
(3)如图（2），将 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接 ， ， ．求
证： ，即四边形 是勾股四边形；
(4)若将图（2）中 绕顶点B按顺时针方向旋转a度 ，得到 ，连接 ， ，则
________°，四边形 是勾股四边形．
例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形
②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）
(2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说
明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点 ，试探究 ， ， ，
之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边
和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ， ， ，已知 ， ，
求 ．
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模型2、378和578模型
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是
因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的
等边三角形。
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为6√3、10√3；②3、8与5、8夹角都是60°。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90° B．150° C．135° D．120°
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于
点D并求出CD的长度．
例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（
）
A．24 B．56 C．48 D．112
例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣
5，若两个三角形全等，则x=__．
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例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
课后专项训练
1．（2023春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于
( )
A．7 B．9 C．16 D．25
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论
正确的是（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，
则四边形 的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
3．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
6．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形
ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大．
7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形 的对角线 、 互相垂直于点 ，
， ， ，那么 ．
8．（2023·山东·校考三模）如果，在 中， ， ，斜边 的两个端点分别在相
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互垂真的射 线 ， 上滑动，下列结论：①若C ，O两点关于 对称，则 ②C ，O两点距
离的最大值为4：③四边形 的面积为 ；④斜边 的中点D运动路径的长度是 ．其中正确
结论的序号是_______________
9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对
垂四边形” 中，对角线 与 交于点O， ．若点E、F、G、H分别是边 、 、
、 的中点，且四边形 是“对垂四边形”，则四边形 的面积是 ．
10、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
11．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝
2，则AE的长等于 ．
12．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形 ，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 ．
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13．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做
“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若 ， ， ，则 ；（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ， ， ， ，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
14．（2023·山西太原·八年级校考阶段练习）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形
ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．
(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结
CE、BG、GE，则GE＝____．
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15．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)尺规作图：以已知线段 为对角线作一个垂美四边形 ，使其对角线交于点O；（不写作法，保
留作图痕迹）
(2)已知四边形 是垂美四边形，且 ，则它的面积为________；
(3)如图，四边形 是垂美四边形， ，探究a、b、c、d的数量关系；
(4)如图，已知D、E分别是 中边 的中点， ，请运用上题的结论，求
的长．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
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(1)如图1，已知四边形 是垂美四边形．①若 ，则它的面积为_____________；
②若 ，探究 的数量关系．(2)如图2，已知 分别是 中
边 的中点， ， ，请运用②中的结论，直接写出 的长为
___________________．
17．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四
边形．
特征辨析
(1)下列4个图中，四边形 不是“对垂”四边形的是（ ）
归纳探究(2)如图1， 于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿 运动到B，点Q沿 运动到
C．
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①当 ， ， ， 时，则 ___________，
___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形 两组对边 与 之间
的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形 中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，请
予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用(3)如图2，四边形 和四边形 均为正方形，点B恰好在 的延长线上，且已知
， ，求 的长．
18．（2022秋·天津·九年级校考期末）如图，四边形 两条对角线 互相垂直，且 ．
设 ， (1)用含 的式子表示： _____________；
(2)当 四边形的面积为 时，求 的长；
19．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
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②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝ ，则S ＝ ．
ABC
△
20．（2023·广东九年级课时练习）小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另
外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．
(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：
______．
(3)问题解决：如图2，分别以 的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE．①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②已知 ， ，则四边形BCGE的面积为______．
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