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第 10 讲 三角形与四边形中的计算（压轴题）
（限时120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·山东德州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于
点E，D为AC上一动点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．当DE⊥AC时，则∠COE=2∠B B．OE⊥DE时，则四边形OCDE为正方形
C．当DO平分∠CDE时，则DC=DE D．当D为AC中点时，△ADE是等腰三角形
2．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中， 点E，F分别是AB， AD的中点， 连接CE， CF．若
3
sin∠ECF= ，CE=10， 则BC的长为（ ）
5
A．4√5 B．4√3 C．3√6 D．6
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB和BC的中点，CE=5，
15
DF= ，AB=4√2，则BC的长为（ ）
2
A．√33 B．√34 C．√35 D．√37
4．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
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（ ）
A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
5．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，BE:CE=1:2，
CF
连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，连接CF、DF，则 的值是（ ）
DF
√5 √15 √5 √10
A． B． C． D．
5 5 3 5
6．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC边上一点，F是CD边上
一点，∠EAF=60°，连接EF交AC于点G，若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
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A．EF的最小值为2√3 B．CG的最大值为1
C．△CEF面积的最大值是√3 D．EG⋅GF的最小值是3
8．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4)，点M是抛物线
b
y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能
a
使 为直角三角形的点 的个数也随之确定．若抛物线 的对称轴上存在3个不
△AOM M y=ax2+bx+2(a≠0)
b
同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是（ ）
a
A．−8 B．8√2或−8 C．2 D．2或−8
9．（2025·广东广州·一模）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，D是AB边上一点，且CB=CD，
过点B作BF⊥CD交CD于点E，交AC于点F，过点F作FH⊥AB于点H，分别以点B,D为圆心，大于
1
BD长为半径画弧，两弧交于点Q，连接CQ并延长交BD于点M，交BF于点N．记△BDE的面积为S ，
2 1
四边形DEFH的面积为S ，△BCE的面积为S ，请判断下列结论中正确个数为（ ）
2 3
DM−MN HM
①CM∥FH；②△BCF是等腰三角形；③ = ；④S +S =S ．
MN BN 1 2 3
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示 ， (3 √3)， ， 作折线
A (1,√3) A , A (2,√3) A (3,0)
1 2 2 2 3 4
A A A A 关于点A 的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以
1 2 3 4 4
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此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动
时间为t．当t=2025时，点P的坐标为（ ）
A．( √3) B．( √3) C． D．( √3)
1012.5,− 2022, (2016.0) 1010,
2 2 2
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·河南郑州·一模）如图，等边三角形ABC的顶点A在x轴上， BC∥x轴，AC=6．直线
y=−x+8与AC交于点P，且AP=2PC，则点B的坐标为 ．
12．（2025·陕西西安·一模）如图，点D在等腰直角三角形ABC内，DB=3，DC=4，∠BDC=135°，
E、F分别在AB和AC上满足AF=√2AE，则√2DE+DF的最小值为 ．
13．（2025·江西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，O是斜边AB的中
点，现将点B绕着点O按顺时针方向旋转α(0°<α≤360°)角度得到点D，连接BD，CD．若△BCD是轴
对称图形，则△BCD边BC上的高为 ．
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14．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°．点E、F、G、H分别是边
1
AB、BC、CD、DA的中点，在直线FG上方有一动点P，且满足S = S ．则△ADP周
△PFG 8 四边形EFGH
长的最小值为 ．
15．（2025·广东广州·模拟预测）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于
EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C'NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面
内的点D'处，然后还原．若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH
的交点为P，则PH的长为 ．
16．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M、N分别是边AD、AB上的
点，连接MN，将菱形ABCD沿MN翻折，使点A的对称点E落在对角线BD上，给出下面四个结论：
①△MED∽△ENB；
②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；
③若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则MC=2√3；
④若DE:BE=2:5，则AM:AN=3:4．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
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三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·河北·模拟预测）如图，点B,F,A,D在同一直线上，BF=AD，BC∥EF，BC=EF，线段
AC与线段EF交于点G（点G不与点F,E重合），连接DG，∠ABC=45°，AB=8，DE>AB．
(1)求证：AC∥DE；
(2)若点G是EF的中点，则点G是否是AC的中点，并说明理由；
(3)设DG=x，若对于x的一个数值，能找到两个不同位置的点G，求x的取值范围．
18．（2025·陕西咸阳·一模）课本再现（1）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提
供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由；
类比思考：（2）如图（2），∠MON=45°，点P在∠MON内且OP=4，A为OM上一点，B为ON上
一点，求△PAB周长的最小值；
拓展应用：（3）如图（3），四边形ABCD是某市一休闲广场，其中∠A=60°，∠B=∠D=90°，
CD=40√3m，CB=30√3m，点E，F，G，H分别在AD，CD，BC，AB上，且DE=20m，现小明从
点E出发，沿四边形EFGH走一圈回到点E处，求小明行走的最短路程．
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19．（2025·陕西西安·一模）【问题探究】如图1，某公园的一块空地，由△ABE和四边形BCDE组成，
BE∥CD，AB=AE=32米，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路AM（小路面积忽略不计），
将这块空地分成面积相等的两部分（点M在CD边上），请在图中确定点M的位置，并计算小路AM的长．
（结果保留根号）
过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，如图2所示，完成以下题目：
BC=BE=____ 米；②AP=____米；③S +S =____平方米：④CM=____米，AM=____米．
△ABE 梯形BCDE
①
【问题解决】某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成，公园规
划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的入口在半圆上的点G处，E´G=F´G，再沿GM修
一条小路（小路的宽度忽略不计），使得GM将这块空地分成面积相等的两部分，已知
AB=80m,BC=140m,EF=2DF=40m，请你在图中找出点M的位置，并计算出小路GM的长．（结果
保留根号）
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20．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】（1）如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分
别为A，B，点P在线段AB上，且PC⊥PD，垂足为P．结论：AC⋅BD=AP⋅BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD， ∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC=90°，______.+∠APC=90°，∴ ______= ______，(同角的余角相等)
∴△APC∽______，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ ______= ______，(相似三角形的对应边成比例) 即AC⋅BD=AP⋅BP．
【建构模型】（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD．结论
AC⋅BD=AP⋅BP仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】（3）如图3，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动
点，始终满足∠CPD=∠A．设AP长为x(00)的图象经过格点A
x
k
和网格线上的点B，反比例函数y=− (x<0)的图象经过格点C．
x
(1)点B位于第________象限，其横坐标是________．
5
(2)若S = ，
△ABC 2
①求k的值；
②若△ACD与△ACB是全等三角形（点D不与点B重合），请直接写出点D的坐标．
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22．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过
道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下：
【问题】如何将物品搬过直角过道？
【情境】如图1是一直角过道示意图，O、P为直角顶点，过道宽度都是1.2m，矩形ABCD是某物品经过
AB 0.8m
该过道时的俯视图，宽 为 ．
【操作】：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上
如图2，将矩形ABCD绕点O旋转，当线段OC、线段OB长度都不大于过道宽度时，可
3 转弯
以顺利转弯．
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
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【探究】：(1)如图2，若BC=1.6m，OD=0.6m，则OC= ______m．
(2)在(1)的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计
算说明．
(3)如图3，物品转弯时被卡住(C、B分别在墙面PQ与PR上)，若∠CBP=30°，求OD的长．
(4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值______m．(结果保留根号)
23．（2025·贵州·模拟预测）同学们还记得吗？图1，图2是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们
研究过的两个图形．
(1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，OA 交AB于点E，
1 1 1 1
OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为________；
1
(2)受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、
BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形
OEAG的面积；
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(3)受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的
延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的
长度；若不存在，说明理由．
24．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下
问题：【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且
∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连结ED'．
由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．∴∠DAE=∠D' AE．
在△DAE和△D' AE中，AD=AD'，∠DAE=∠D' AE，AE=AE，∴①_____．
∴DE=D'E．又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，∴在Rt△ECD'中，②_____．
∵CD'=BD=3，CE=4，∴DE=D'E=③_____．
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【问题解决】（1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处
应填：_________．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】（2）如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于
正方形ABCD的周长的一半，连接AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN
的数量关系并证明．
【拓展应用】（3）如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
探究BE、EF、DF的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）．
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25．（2025·河南周口·一模）综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结
合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成
的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
AD
【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD=_____， 的值为
BD
_____．
【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段
AE
AB上一点，且CD⊥DE，求 的值．
BC
【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=6，E为线段AB上一动点，
且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=2，请直接写出△BDE的
面积．
14
