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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题04 方程（组）及其应用
一、选择题
1. （2024贵州省）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”
“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式
正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为 a，根据题意列出等式 ，
，然后化简代入即可解题．
【详解】设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
2.（ 2024四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小
箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数
最多为（ ）
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
【答案】C
【解析】本题考查 的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克
荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】设用 个大箱， 个小箱，
∴ ，
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∴ ，
∴方程的正整数解为：
或 ，
∴所装的箱数最多为 箱；
故选C．
3.（ 2024广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出
租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设
出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．
三年共得100钱”列方程即可．
【详解】根据题意，得 ，
故选：B．
4.（ 2024福建省）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会
消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费品零售总额．若
将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度
社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，列出方程即可．
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将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，根据题意得：
，
故选：A．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学
生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，
则购买方案有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
【答案】B
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，根
据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．
【详解】设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，
依题意，
∴
∵ ， 为正整数，
∴当 时， ，
当 时，
当 时，
当 时，
∴购买方案有4种，
故选：B．
6.（ 2024湖北省）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，
问牛和羊各值多少金？设每头牛值 金，每只羊值 金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，
羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴ ，
故选：A．
7.（ 2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈
四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；
每人出 钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为 ，琎价为 ，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．
设人数为 ，琎价为 ，
根据每人出 钱，会多出4钱可得出 ，
每人出 钱，又差了3钱．可得出 ，
则方程组为： ，
故选：B．
8.（ 2024天津市）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳
度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳子长 尺，则可以列
出的方程组为（ ）
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A. B.
.
C D.
【答案】A
【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：
；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知： ；从而可得答案.
【详解】由题意可得方程组为：
，
故选：A.
9.（ 2024内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5
块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板
各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用
现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得： ，
故选：C．
10.（ 2024山东威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若
将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水
井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深
多 尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长 尺，井深 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折
测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，
依题意，得： ．
故选：C．
11.（ 2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七
客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那
么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列
方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7
人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
，
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故选：A．
12. （2024四川遂宁）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程
解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程 的解为正数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 且 ，
故选： ．
13.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取值范围
是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程
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的解是负数得到 ，并结合分式方程的解满足最简公分母不为 ，求出 的取值范围即可，熟
练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程的解是负数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．
14.（ 2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的
小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的
原价是 元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根
据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】由题意可得，
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，
故选：C．
15.（ 2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行 所用
时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速 静水速 水速，逆水速 静水速 水速，设未
知数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】设江水的流速为 ，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
答：江水的流速为 ．
故选：D．
16. （2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产
100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（
）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
【答案】B
【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为 ，则改造前每天生产的产品件数为 ，根据“改造后生产
600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】设改造后每天生产的产品件数为 ，则改造前每天生产的产品件数为 ，
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根据题意，得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数 ．
故选：B．
17.（ 2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30
分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的 倍，最后两人同时完成．求乙每小
时加工零件多少个？设乙每小时加工 个零件．可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工 个零件，则甲每小时加工 个零件，
再根据时间 工作总量 工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】设乙每小时加工 个零件，则甲每小时加工 个零件，
由题意得 ，
故选：D．
18. （2024贵州省）一元二次方程 的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ，
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故选∶B．
19. （2024河北省）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则
（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故选：C．
20. （2024吉林省）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】A、 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、 ，解得： ，故本选项符合题意；
C、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意；
D、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
21. （2024上海市）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
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【解析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，
方程的两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别
式的值，即可判断．
【详解】A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
22.（ 2024四川凉山）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值
为（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【答案】A
【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．由一元二次方程的定
义，可知 ；一根是 ，代入 可得 ，即可求答案．
【详解】 是关于 的一元二次方程，
，即
由一个根 ，代入 ，
可得 ，解之得 ；
由 得 ；
故选A
23. （2024北京市）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值
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为（ ）
A. B. C. 4 D. 16
【答案】C
【解析】根据方程的根的判别式 即可．本题考查了一元二次方程的
根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程 有两个相等的实数根， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．
24.（ 2024四川广安）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取
值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，
若 ，则方程没有实数根．由关于 的一元二次方程 两个不相等的
实数根，可得 且 ，解此不等式组即可求得答案．
【详解】 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
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，
m1，
的取值范围是： 且 ．
故选：A．
25.（ 2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了
常数项，因而得到方程的两个根是 和 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两
个根是 和 ．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中 ， ，逐
项分析判断，即可求解．
∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是 和 ；
∴ ，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．
∴
A. 中， ， ，故该选项不符合题意；
B. 中， ， ，故该选项符合题意；
C. 中， ， ，故该选项不符合题意；
D. 中， ， ，故该选项不符合题意；
故选：B．
26.（ 2024四川乐山）若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则p的
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值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，
则 ．
根据一元二次方程 根与系数的关系得到 ，然后
通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
，
而 ，
，
，
故选：A．
27.（ 2024四川内江）某市2021年底森林覆盖率为 ，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发
展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 ．如果这两年森林覆盖率的
年平均增长率为 ，则符合题意得方程是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增
长率为x，根据2023年底森林覆盖率 2021年底森林覆盖率 ，据此即可列方程求解．
【详解】根据题意，得
即 ，
故选：B．
28.（ 2024云南省）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克
甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为 ，利用现在生产1千
克甲种药品的成本 两年前生产1千克甲种药品的成本年 （ 平均下降率） ，即可得出关于的一
元二次方程．
【详解】 甲种药品成本的年平均下降率为 ，
根据题意可得 ，
故选：B．
29.（ 2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，
提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量
年平均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
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【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意列出方程即可．
根据题意得： ．
故选：B．
二、填空题
1.（ 2024贵州省）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢
马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．
【答案】20
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的
总路程，列方程求解即可．
【详解】设快马追上慢马需要x天，
根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为：20．
2.（ 2024江苏扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章
内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走 米，速度慢的人每
分钟走 米，现在速度慢的人先走 米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．
【答案】
【解析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
根据题意，设需要 分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】根据题意，设 分钟追上，
∴ ，
解得， ，
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∴速度快 的人追上速度慢的人需要 分钟，
故答案为： ．
3（. 2024江苏盐城） 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一
根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5
尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
【答案】15
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就
比竿短 尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
4. （2024四川成都市）分式方程 的解是____．
【答案】x=3
【解析】分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式
方程的解，即可得到分式方程的解．
考点：解分式方程
5. （2024北京市）方程 的解为___________.
【答案】
【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
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【详解】
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
所以，原方程的解为 ，
故答案为： ．
6. （2024湖南省）分式方程 =1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．
方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
所以原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．
7. （2024武汉市）分式方程 的解是______．
【答案】
【解析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同
时乘以 完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．
【详解】 ，
等号两边同时乘以 ，得 ，
去括号，得 ，
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移项、合并同类项，得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为 ．
故答案为： ．
8. （2024四川达州）若关于 的方程 无解，则 的值为______．
【答案】 或2
【解析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解得到
或 ，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】
去分母得： ，
解得： ，
∵关于 的方程 无解，
∴当 或 时，分式方程无解，
解得： 或 （经检验是原方程的解），
即 或 ， 无解．
故答案为： 或2．
9. （2024深圳）已知一元二次方程 的一个根为1，则 ______．
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【答案】
【解析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将 代入原方程，列出
关于 的方程，然后解方程即可．
【详解】 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
满足一元二次方程 ，
，
解得， ．
故答案为： ．
10. （ 2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【答案】-1
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜
0时，方程无实数根．
11. （2024河南省）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则c的值为___________．
【答案】 ##
【解析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程 的根的
判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相
等的实数根；当 时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：
，再求解即可．
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【详解】∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. （2024四川眉山）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为______．
【答案】 ##0.5
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程 的两根分
别为 ， ，则 ， ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到 ， ，然后把 化简为 然后整体代入即
可．
【详解】 方程 的两根分别为 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
13. （2024山东烟台）若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为
________．
【答案】6
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【解析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若 是一元二次方程
的两根时， ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是
解题关键．
根据根与系数的关系得 ， ，再把 变形为
，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ，
∴
故答案为：6．
14. （2024四川成都市）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值
为______．
【答案】7
【解析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件
求出 ， ，从而得到 ，再将原式利用完全平方公式展开，利用
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替换 项，整理后得到 ，再将 代入即可．
【详解】∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
则
∴
故答案 为：7
15. （2024四川凉山）已知 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将 代入 ，转化为解一元二次方程， ，要进行舍解．
【详解】∵ ，
∴ ，
将 代入
得， ，
即： ，
，
∴ 或 ，
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∵ ，
∴ 舍，
∴ ，
故答案为：3．
16.（ 2024四川泸州）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是______．
【答案】
【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，
若该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ．先根据根与系数的关系得到
， ，再根据完全平方公式的变形 ，求出
，由此即可得到答案．
【详解】 ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
17. （2024重庆市B）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了
200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次
的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率
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为 ，则第二季度低空飞行航线安全运行了 架次，第三季度低空飞行航线安全运行了
架次，据此列出方程即可．
【详解】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，
由题意得， ，
故答案为： ．
18. （2024重庆市A）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，
2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．
【答案】
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
设平均增长率为x，由题意得：
，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
故答案为： ．
19.（ 2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示
意图如图②，其中 ， 于点C， 尺， 尺．设 的长度为x尺，可
列方程为______．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设 的长度为x尺，则 ，在 中，由勾股定理即可建立方程．
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【详解】设 的长度为x尺，则 ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
1. （2024广西）解方程组：
【答案】
【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】 ，
得： ，
解得： ，
把 代入①得：
，
∴方程组的解为： .
2. （2024江苏苏州） 解方程组： ．
【答案】
【解析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元
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一次方程组即可．
得， ，解得， ．
将 代入①得 ．
方程组的解是
3. （2024上海市）解方程组： ．
【答案】 ， 或者 ， ．
【解析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．
【详解】 ，
由 得： 代入 中得：
，
，
，
，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴方程组的解为 或者 ．
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4. （2024陕西省）解方程： ．
【答案】
【解析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方
程的解进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
5. （2024福建省）解方程： ．
【答案】 ．
【解析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解
题．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ．
去括号得： ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根．
6. （2024黑龙江齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
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【答案】x＝2，x＝3
1 2
【解析】利用因式分解的方法解出方程即可.
利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x＝2，x＝3．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
7. （2024安徽省）解方程：
【答案】 ，
【解析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
8. （2024四川南充）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围．
（2）若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次
方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根”，则 ，得出
关于 的不等式求解即可；
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（2）根据 ，结合（1）所求 的取值范围，得出整数 的值有 ， ， ，分别计算讨论整数 的不同
取值时，方程 的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数
的值即可．
【小问1详解】
解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数 的值有 ， ， ，
当 时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
当 时，方程 为，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述， 的值为 ．
9. （2024四川遂宁）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
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（2）如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） 或 ．
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次
方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明 恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
∵无论 取何值， ，恒成立，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．
10. （2024四川内江）已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根
和 ．
（1）填空： ________， ________；
（2）求 ， ；
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；
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（2） ， ；
（3） ．
【解析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是
解题的关键．
（ ）利用根和系数的关系即可求解；
（ ） 变形为 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根
的定义可得 ，即得 ，进而可得 ；
（ ）把方程变形为 ，再把根和系数的关系代入得 ，可得
或 ，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【小问1详解】
解：由根与系数的关系得， ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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【小问3详解】
解：由根与系数的关系得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴一元二次方程 为 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
∴ ．
11.（ 2024吉林省）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比
黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【解析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键 个，可得方程 ，再解方程即可．
【详解】设黑色琴键x个，则白色琴键 个，
由题意得： ，
解得： ，
∴白色琴键： （个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
12.（ 2024江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与
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城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念
品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数 100以上（含
量 100）
邮寄费 总价的
免费邮寄
用
折扇价
不优惠 打九折
格
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把
【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次邮购
折扇 把，则另一次邮䝧折扇 把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元
一次方程，求解即可
【详解】解：若每次购买都是100把，则 ．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇 把，则另一次邮购折扇 把．
由题意得： ，
解得 ．
．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
13. （2024北京市）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六
排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求 类物质排放量不超过
， ， 两类物质排放量之和不超过 .已知该型号某汽车的 ， 两类物质排放
量之和原为 .经过一次技术改进，该汽车的 类物质排放量降低了 ， 类物质排放量
降低了 ， ， 两类物质排放量之和为 ，判断这次技术改进后该汽车的 类物质排
放量是否符合“标准”，并说明理由.
【答案】符合，理由见详解
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【解析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为 ，根据汽
车的 ， 两类物质排放量之和原为 建立方程求解即可．
【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为
，
由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”．
14.（ 2024贵州省）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学
校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要
27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生
（2）至少种植甲作物5亩
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要
27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解
即可．
【小问1详解】
解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得 ，
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解得 ，
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；
【小问2详解】
解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，
根据题意，得： ，
解得 ，
答：至少种植甲作物5亩．
15.（ 2024安徽省）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些
田地．采用新技术种植 两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品 每公顷所需人
每公顷所需投入资金（万元）
种 数
已知农作物种植人员共 位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 万元．问 这两种
农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植
面积为 公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
【详解】解：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷，
由题意可得， ，
解得 ，
答：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
16.（ 2024四川自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲
组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的
时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
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【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包 个粽子，则甲组每小时包 个
粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于 的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】设乙组平均每小时包 个粽子，则甲组平均每小时包 个粽子，
由题意得：
，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为： ，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
17.（ 2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器
每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．
B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设 型机器每天处理 吨垃圾，则 型机器每天处理 吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答
案．
【详解】设 型机器每天处理 吨垃圾，则 型机器每天处理 吨垃圾，
根据题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
18.（ 2024云南省）某旅行社组织游客从 地到 地的航天科技馆参观，已知 地到 地的路程为300
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千米，乘坐 型车比乘坐 型车少用2小时， 型车的平均速度是 型车的平均速度的3倍，求 型
车的平均速度．
【答案】 型车的平均速度为
【解析】本题考查分式方程的应用，设 型车的平均速度为 ，则 型车的平均速度是 ，
根据“乘坐 型车比乘坐 型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】设 型车的平均速度为 ，则 型车的平均速度是 ，
根据题意可得， ，
整理得， ，
解得 ，
经检验 是该方程的解，
答： 型车的平均速度为 ．
19.（ 2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批 型节能灯，一年用电 千瓦·时．后购进一
批相同数量的 型节能灯，一年用电 千瓦·时．一盏 型节能灯每年的用电量比一盏 型节能灯
每年用电量的 倍少 千瓦·时．求一盏 型节能灯每年的用电量．
【答案】 千瓦·时
【解析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列
式分式方程求解即可．
【详解】设一盏 型节能灯每年 的用电量为 千瓦·时，
则一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时
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整理得
解得
经检验： 是原分式方程的解．
答：一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时.
20.（ 2024重庆市B）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两
人分别用 、 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要 、 两种外墙漆各300千克，购买
外墙漆总费用为15000元，已知 种外墙漆每千克的价格比 种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求 、 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉
刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】（1） 种外墙漆每千克的价格为 元，则 种外墙漆每千克的价格为 元．
（2）甲每小时粉刷外墙的面积是 平方米．
【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关
键；
（1）设 种外墙漆每千克的价格为 元，则 种外墙漆每千克的价格为 元，再根据总费用为
15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是 平方米；利用乙完成粉刷
任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【小问1详解】
解：设 种外墙漆每千克的价格为 元，则 种外墙漆每千克的价格为 元，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答： 种外墙漆每千克的价格为 元， 种外墙漆每千克的价格为 元．
【小问2详解】
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设甲每小时粉刷外墙面积为 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是 平方米；
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是 平方米．
41
