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重难点 02 综合与实践（全国热考问题）
【考情分析】生活中的建模思想逐渐渗透到中考数学中，这不仅考查学生的数学基础知识，更注重考查学
生将数学应用于实际生活的能力。近年来，生活中的建模问题在中考数学试卷中出现的频率逐年增加。通
常作为压轴题或综合性较强的题目出现，分值占比一般在15%至25%之间，是中考数学的重要组成部分。
【常见类型】
1. 函数建模：这类问题多涉及方程、函数、不等式等数学知识，背景常为生产计划、成本利润、市场销
售等。例如，某工厂生产帐篷的任务安排问题，通过建立方程或函数模型求解每天的生产量和成本利润。
2. 几何建模：题目背景多为测量、建筑设计、航海等，涉及三角形、圆、相似形等几何知识。如灯塔与
航线的安全距离问题，通过构建几何模型，利用三角函数、勾股定理等知识求解。
3. 统计与概率建模：此类问题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，背景可能为市场调查、人口统
计等。例如，通过样本数据预测某种产品的市场需求量，建立统计模型进行分析。
【解题思路与方法】
1. 理解问题：首先需要认真阅读题目，理解问题的实际背景，明确需要解决的目标。
2. 抽象简化：根据问题的特征和目的，忽略次要因素，用精确的数学语言表达问题，建立假设。
3. 模型构建：利用适当的数学工具和知识，构建数学模型。例如，建立方程、函数、几何图形等。
4. 模型求解：利用数学方法求解模型，得到数学结果。
5. 结果验证：将模型结果与实际背景进行比较，验证模型的合理性和准确性。如果模型不符合实际，需
要调整假设或模型，重新求解。
6. 结果解释：将数学结果转化为实际问题的解决方案，并进行解释说明。
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【趋势预测】随着教育改革的不断深入，生活中的建模问题在中考中的地位将更加重要。未来的中考数学
试题可能会更加贴近生活实际，题目背景更加多样化，综合性更强。同时，对学生能力的要求也将进一步
提高，不仅要求学生掌握基本的数学知识，还要具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及创新意识和
实践能力。
题型01 生活中的建模- 解直角三角形
1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小
组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
相关数据及说明：图中点A,B,C,D，E,F在同平面内，房顶
AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂
过程资料
直的中轴线AE上，∠BCD=98°，
∠CDE=97°,AE=8.5m,CD=6.7m．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点C到地面DE的距离；
(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，
tan15°≈0.268，sin83°≈0.993,cos83°≈0.122,tan83°≈8.144）
2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正
sinα
弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传
sinβ
播时，介质对光作用的一种特征．
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√7
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα= ，β=30°，求该介质的折射率；
4
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，
若光线经真空从矩形A D D A 对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知
1 1 2 2
α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
3．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角
仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺．
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m．
（3）计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ；
②根据测量数据，画出示意图4，AB=1.6m,BC=16.8m，求旗杆CD的高度（精确到0.1m）；（参考数
据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，
该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．
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4．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研
究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A A A A A A A A 的边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
√2
km，南门O设立在A A 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A A 在BM上（门宽
2 6 7 6 7
及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A 处测得雕塑在北
1
偏东45°方向上，在A 处测得雕塑在北偏东59°方向上．
2
(1)∠C A A =__________°，∠C A A =__________°；
1 2 2 1
(2)求点A 到道路BC的距离；
1
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不
会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，
sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在
一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，OA，OB分别表示门框和门所在位置，M，N分别是OA，OB上的定点，
OM=27cm，ON=36cm，MF，NF的长度固定，∠MFN的大小可变．
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(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN=180°，求∠MNB的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值为______．（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
题型02 生活中的建模二 一次函数
6．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；
第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，
请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的
设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的
位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，
记录如下：
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以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
x/mm
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函
数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
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8．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易
杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m +m)⋅l=M⋅(a+ y).
0
其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水
0
平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m =10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为
0
50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
9．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属
滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑
块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑
块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t(s)时，滑块左端离点A的距离为l (m)，右端离点B的距离为
1
l (m)，记d=l −l ,d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t=4.5s和5.5s时，与之对应
2 1 2
的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根
据所给条件解决下列问题：
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(1)滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若d=18，求t的值．
10．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器
和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观
察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
3
水面高度h/cm（观察值） 29 28.1 27 25.8
0
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函
数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
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经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，
减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与
对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
题型03 生活中的建模三 反比例函数
11．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同
一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
12．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
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如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
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【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
13．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记
F
录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：P= )：
S
桌面所受压强 25 50
400 800
P(Pa) 0 0
受力面积S(m2
) 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为40cm，10cm，60cm，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为3000Pa，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明
理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
14．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新
兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图
1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部
分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2m，BE=2m，
AC=20m，GM=10m，MN=4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
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请回答下列问题：
(1)如图2，求EG所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ
用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？
15．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾
气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，
气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R(Ω)的阻值随着
尾气中一氧化碳的含量β(g/km)变化的关系图象如图2所示，R (Ω)为定值电阻，电源电压恒定不变．
0
(1)请根据图2，判断气敏电阻R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾
气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
16．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目 收费标准
3公里以内收
13元
费
2.3元/公
基本单价
里
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… …
备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：
①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；
②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1
元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）．
(1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系xOy中，画出当00）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中w= ．
x
①当x=3,3.4和3.5时，平均单价依次为w ,w ,w ，则w ,w ,w 的大小关系是______；（用“<”连接）
1 2 3 1 2 3
②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（s≤x）公里的平均单价w ，则称这次行驶的里
s
程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）．
17．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重m(单位：g)与脉搏率f(单位：次/min)
存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点
图，图2画出了lgf与lgm 的散点图(lgX是一种运算，如 lg100=2，lg2≈0.3)
动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊
体重m(单位∶ g) 25 200 300 2000 5000 30000 50000
脉搏率f(单位∶ 次/min) 670 420 300 220 120 85 70
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借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率f与体重m的立方根近似成反比例函数，数据处理后lgf与lgm
近似成一次函数．
k
(1)根据原始数据可建立模型：f = ，则当m增大时，f如何变化？
√3 m
(2)根据处理后数据可建立模型：lgf =k（lgm）+b，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出k,b的值．(参考
数据： lg220≈2.3，lg300≈2.5；lg2000≈3.3)
题型04 生活中的建模四 二次函数
18．（2024·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分
与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同
花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶
点，且PO=9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串
红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿
DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在
第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP
所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
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(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2
设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出
符合设计要求的矩形周长的最大值．
19．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数
学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处
腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量
和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
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7
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离为3
8
米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE
不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距
地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑
道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在
钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
20．（2024·山西·二模）学科实践
驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现
一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助
彩旗队进行队列设计.
研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度AB=16米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷
头，将出水口高度AM，BN都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，
并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面
的距离保持3.6米
问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求
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出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，
若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距.
21．（2024·山东青岛·模拟预测）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．
输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图1所示，是在水平地面架
设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为100m，每个塔高均为20m，为保证安全，要求电缆最低点距地
面的最小垂直高度为15米．
(1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式．
(2)如图2所示，斜坡BD坡比为1:20，两铁塔高度仍为20m，水平距离仍为100m，电缆抛物线形状与水平
架设相同，建立如图2所示坐标系．
①求此时抛物线的解析式．
②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求．
③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可）
题型05 生活中的建模五 几何操作
22．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践
(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边
形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHJK为矩形．则
△EDK≌______．
(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5
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中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为______．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的
方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
23．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB>AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
1
乙同学的结论：tan∠AFG= ．
3
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
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【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN⋅AM=GN⋅AD．
（2）请证明这个结论．
24．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
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（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
25．（2023·青海·中考真题）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？
带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
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(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°.此时中心
轨迹最高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C到BD
的距离d .
1
(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一
个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°.此时中心轨迹最
高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离
d （结果保留根号）.
2
(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以
一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，圆心角∠BAD=______.此时中心轨迹最高点是C（即
B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d =______（结
3
果保留根号）.
(4)归纳推理：比较d ，d ，d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨
1 2 3
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迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心
轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车
轮设计成圆形.
【命题预测】
26．（2025·河北沧州·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所
示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD=2.8m，一楼到地平线的距离
BC=1.2m．
(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说
明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
27．（2025·湖南娄底·模拟预测）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体
外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道
大桥AB的长度和桥墩AC的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为60°和30°，已知点E到
大桥AB的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为28°，在桥
墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为22°．（结果精确到0.1米，√3≈1．73，tan28°≈0．53，
tan22°≈0．41）
(1)求大桥AB的长度；
(2)求大桥桥墩AC的高度．
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28．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，
小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端
1
L =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即
2
F ×L =F ×L ）
A 1 B 2
x/N … 10 20 30 40 b …
8 8
y/cm … 8 a 2 …
3 5
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．设重
2
物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a= ；b= ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存在点
C，使得S =46，请求出点C的坐标．
△ABC
29．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）
设计货船通过双曲线桥的方案
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一座曲线桥如图1所示，当水面宽
AB=16米时，桥洞顶部离水面距离
素材1
CD=4米．已知桥洞形如双曲线，图
2是其示意图，且该桥关于CD对称．
如图4，一艘货船露出水面部分的横
截面为矩形EFGH，测得EF=3米，
EH=9米．因水深足够，货船可以根
素材2 据需要运载货物．据调查，船身下降
的高度h（米）与货船增加的载重量t
1
（吨）满足函数表达式h= t．
5
问题解决
①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在
第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置．
任务1 确定桥洞的形状 乙说：不对吧？当点C落在(4√2,4√2)时，点A的
坐标为_______________，此时过点A的双曲线的函
数表达式为_____________，而点C所在双曲线的函
32
数表达式为y= 显然不符合题意．
x
此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若
任务2 拟定方案 不能，至少要增加多少吨货物？
（提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）
30．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的
原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容
器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
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【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
1
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 18 22
4
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确
定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米
时是几点？
31．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函
数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律．
上课时间
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40
x/min
指标数y b 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 b
(1)由表格和图象可知，当0≤x≤10时，y是x的 函数；当20≤x≤40时，y是x的 函数；（填“一次”
“二次”或“反比例”）
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(2)求b的值并补全图象；
(3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的
真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：
“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，
这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测
量学，解释该教育专家点评的合理性．
32．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形
(BoundingBox)是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、
图象分割、物体跟踪等.目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测
任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，
图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小.设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数
AB 3
k为图形的纵横比.举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比k= = ．
BC 2
任务一：
①如图3−1，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ______．
3
②如图3−2，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为y= x(0≤x≤8)，其目标矩形的纵横
4
比k= ______．
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任务二：如图4−1和图4−2，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C
1
与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比k= ，求抛物线的表达式(不必写出自变量的取值范围)．
4
8
任务三：如图5−1和图5−2，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为y= (1≤x≤m)，其
x
中点M(1,8)，其目标矩形的纵横比k=√2，直接写出m的值为______．
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33．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中
国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A(6, 10)起跳后
的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系式y=a(x−h) 2+k(a<0)．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x
6 h 7 7.5
/m
竖直高度y
10 11.25 10 6.25
/m
根据上述数据，求出y与x的函数关系式；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−5x2+60x−169，
设她平时训练时入水点与原点的水平距离为d m，比赛当天入水点与原点的水平距离为d m，请比较d 与
1 2 1
d 的大小．
2
34．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．
某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可
能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
k
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为rm的圆面，喷洒覆盖率ρ= ，s为待喷洒区域面积，k为待
s
喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
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(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=
__________．
9
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均
2
9
为3m的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为 m的自动喷洒装置，与（1）中
n
的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1．
已知正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，设AE=xm，⊙O 的面积
1
为ym2，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
k
ρ=1 =1 s k
s
要使喷洒覆盖率 ，即要求 ，其中 为草坪面积， 为喷洒面积．
∴⊙O ,⊙O ,⊙O ,⊙O 都经过正方形的中心点O，
1 2 3 4
在Rt△AEF中，EF=2r，AE=x，
∵AE=BF=CG=DH
∴AF=18−x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2
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∴4r2=x2+(18−x) 2
x2+(18−x) 2
∴y=πr2= π
4
π 81π
= (x−9) 2+
2 2
∴当x=9时，y取得最小值，此时4r2=92+92
9√2
解得：r= ．
2
35．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展
【操作判断】
①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片ABCD和A'B'C'D'，
其中正方形ABCD的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片ABCD， 将 正 方 形 纸 片
A'B'C'D'的顶点D'与点O重合，并将纸片A'B'C'D'绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两
个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”）
② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片ABCD和A'B'C'D'，其中菱形ABCD 的 对 角 线相
交于点O，∠A'=∠ABC=60°． 赵老师让学生固定菱形纸片ABCD， 将菱形纸片A'B'C'D'的顶 点
D'与点O重合，并将纸片A'B'C'D'绕着点O旋转，OA'交AB边于点E，OC'交BC边 于 点 F， 如 图
（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形OEBF） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”）
【探索发现】
根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线BO是∠ABC的 ；
②∠ABC+∠A'OC'= ．
【迁移探究】
如图（3），BM平分∠ABC，点 P 在BM上，点E，D 分别是BA，BC上的动点，且
∠ABC+∠EPD=180°，当点D，E 分别在BC，BA 上运动时，试判断四边形BDPE的面积是否发生
变化，并利用图 （3）说明理由．
【拓展应用】
如图（4），平行四边形ABCD中 ，AB=3，∠ABC=60°，BC=m，点E为AD边上一点，且BE平分
∠ABC， 连接EC．将EC绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在AB上时，点F 恰好为AB的三等分点，
请直接写出m 的值．
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36．（2025·广西·模拟预测）【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD
上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何
处时，所用时间最短？
AD CD
【特例分析】若n=2，则时间t= + ，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得
a 2a
CD
AD+ 的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM=30°．
2
CD
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE= ；
2
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D'，并说明理由．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图
形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m，救生员在C点处
发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是
2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．
31
