FY25暑假初三A09B06解直角三角形教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

09A/06B 解直角三角形 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）解直角三角形的主要依据 （2）解直角三角形的类型与解法 2. 考情分析 （1）解直角三角形，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%. （2）解直角三角形以解答题为主，也会在选填题中作为基础进行考察. （3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第二节：解直角三角形 25.3解直 角三角形 （4）解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角 三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角 形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：解直角三角形 85分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站——解直角三角形【建议时长：40分钟】 考点一：直接解直角三角形 知识笔记1 一、解直角三角形的主要依据 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素求出_________________的过程，叫做解直角三角形． 2、直角三角形的组成 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即_________________． 3、解直角三角形的主要依据 设在 2 R t  A B C 中，  C = 9 0 ，  A 、  B 、  C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，AB边上的高为 h ，则有： （1）三边之间的关系：_____________（勾股定理）． （2）边角之间的关系： s i n A = a c , c o s A = b c , t a n A = a b , c o t A = b a , s i n B = b c , c o s B = a c , t a n B = b a , c o t B = a b （3）面积公式： S  A B C = 1 2 a b = 1 2 c h 4、解直角三角形的条件 在直角三角形中，除直角外，一共有_____个边角条件，知道除直角外的______个条件 （_________________），就可以解直角三角形的其他边角条件。 【填空答案】 1、所有未知元素 2、三条边和两个锐角 3、a2 +b2 =c2 4、5；2；至少有一个是边条件二、解直角三角形的类型与解法 已知和解法 已知条件 解法步骤 两直角边 两边 3 ( a , b ) ∠ A =____________; ∠ B =____________; c=____________. 斜边，一直角边（如c 、 a ） ∠ A =____________; ∠ B =____________; b=____________. 锐角，邻边（如 一直角 边和一 锐角 一边 一角  A ， b ∠B=____________; a=____________ ） c=____________. 锐角，对边（如 A，a） ∠ B =____________; b=____________ c=____________. 斜边、锐角（如 c 、  A ∠B=____________; a=____________ ） b=____________. 斜边、锐角（如 c 、  B ） ∠ A =____________; a=____________ b=____________. 【填空答案】“解法步骤”填空，由上至下 a （1）由tanA= ，求A ； b  B = 9 0 −  A ；c= a2 +b2 a （2）由sinA= ，求A；B=90 −A；b= c2 −a2 c （3）  B = 9 0 −  A B b ；a=btanA；c= cosA a （4）B=90 −A；a=bcotA；c= sinA （5）B=90 −A；a=csinA；b=ccosA（6）B=90 −A；a=ccosB；b=csinB例题1: （★★☆☆☆）（2020•金山区期末）在 4  A B C 中，已知  C = 9 0  ，B=37，c=8， 求这个直角三角形的其他边和角（ s in 3 7   0 .6 ， c o s 3 7   0 .8 ， ta n 3 7   0 .7 5 ， c o t 3 7   0 .2 5 ）． 【常规讲解】  A = 5 3  ， b = 4 .8 ，a=6.4． 解：  A = 9 0  −  B = 9 0  − 3 7  = 5 3  ； 在 R t △ A B C 中， s in B = b c ，则 0 .6 = b 8 ，解得： b = 4 .8 ； 在 R t △ A B C 中， c o s B = a c ，则 0 .8 = a 8 ，解得： a = 6 .4 ． 练习1:* （★★☆☆☆）在ABC中， C=90，A=43，b = 9，解这个直角三角形 （ s in 4 3   0 .6 8 ， c o s 4 3   0 .7 3 ， ta n 4 3   0 .9 3 ， c o t 4 3   1 .0 7 ）． 【常规讲解】  B = 4 7  ， a = 8 .3 7 ， c = 1 2 .3 3 ． 解：  B = 9 0  −  A = 9 0  − 4 3  = 4 7  ； 在 R t △ A B C 中， ta n A = a b ，则 0 .9 3 = a 9 ，解得： a = 8 .3 7 ； 在 R t △ A B C 中， c o s A = b c ，则 0 .7 3 = 9 c ，解得： c = 1 2 .3 3 ． 考点二：直角三角形中线段关系的表示 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2021•闵行区校级期中）  A B C 中  C = 9 0  ，若 A B = 2 ， A   = ，则 A C 的长为 ( ) A．2sin B． 2 c o s  C． s 2 in D．  c o 2 s  （2）（★★☆☆☆）（2022•奉贤区期中）如图，在ABC中，ACB=90，CD⊥ AB，那 么下列结论正确的是( ) A．CD= ABtanB B．CD=BCsinB C．CD= ACsinB D．CD= ADcotA．（3）（★★★☆☆）（2020•静安区期末）在 5 R t A B C 中，  C = 9 0  ， C D 是高，如果 A B = m ， A   = ，那么 C D 的长为( ) A． m s in ta n     B． m s in c o s     C． m c o s ta n     D．mcoscot 【常规讲解】 （1）解：如图， 在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A B = 2 ， A   = ，  c o s A = A A C B ， AC= ABcosA=2cos， 故选： B ． （2）解： C D ⊥ A B ，   A D C =  B D C = 9 0  ， 在 R t B D C 中， ta n B = C B D D ， CD=BDtanB， 因此选项 A 不符合题意； s in B = C B D C  C D = B C  s in B ， 因此选项B符合题意； 在 R t A D C 中， s in A = C A D C ，  C D = A C  s in A ， 因此选项 C 不符合题意； CD tanA= ， AD  C D = A D  s in A ， 因此选项 D 不符合题意； 故选：B．（3）解：如图，在RtABC中， 6 c o s A = A A C B ， A B = m ， A   = ， A C m c o s   =  ， 在 R t A D C 中， s in A = C A D C ，AC=mcos，A=， C D m c o s s in    =   ， 故选： B ． 练习2:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期中）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A B = m ， 那么边 A C 的长为 ( ) A． m s in  B．m cos C． m ta n  D． m c o t  （2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区校级期中）在 R t A B C 中，  B = 9 0  ，如果 A   = ， B C = a ．那么 A C 的长是 ( ) A． a ta n   B．atanacot C． c o a s a D．  sin （3）（★★☆☆☆）（2021•闵行区校级期中）在RtABC中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = m ， 那么边 A B 的长为 ( ) A． s m in B．  m c o s   C． m s in   D．mcot 【配题说明】三角形元素之间的关系 【常规讲解】（1）解：  C = 9 0  ， B   = ， A B = m ， 则 s in A A C B  = ， A C A B s in m s in    = = ． 故选：A．（2）解：如图， 在 7 R t A B C 中， A C s B in C A s a in  = = ． 故选： D ． （3）解：在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = m ， s in B = A A C B ， AC m AB= = ． sinB sina 故选： A ． 知识加油站 2——解常规三角形【建议时长：30分钟】 知识笔记2 1、解一般三角形的条件 解一般三角形所需的条件与确定一般的三角形或者一般三角形的_______________是一 致的，即需要知道_______________（_________________）便可解一般三角形。 2、解一般三角形的方法 在解一般三角形时，通常都需要______，化归成____________，进行求解。 3、添线原则 _____________________________________________。 【填空答案】 1、全等判定定理条件；3个条件；至少有个边条件； 2、添高；直角三角形 3、尽量不破坏已知角和所求角考点三：解常规三角形——SAS 例题3: （1）（★★☆☆☆）在 8  A B C 中，  B A C = 1 2 0  ，AC=6，AB=4，则BC的长是 ( ) A． 6 2 B． 2 1 9 C． 2 1 3 D．9 （2）（★★☆☆☆）（2021•金山区校级期中）在  A B C 中， A B = 6 ， B C = 8 ，  B = 6 0  ， 则  A B C 的面积是________． 【常规讲解】 （1）解：过点 C 作 C D ⊥ A B ，交 B A 的延长线于点 D ， BAC=120，   D A C = 1 8 0  − 1 2 0  = 6 0  ， ACD=30，  A D = 1 2 A C = 3 ，  B D = A B + A D = 7 ， 由勾股定理得，CD= AC2 −AD2 =3 3， 在 R t B C D 中， B C = B D 2 + C D 2 = 2 1 9 ， 故选： B ． （2）解：过 A 作 A D ⊥ B C 于点 D ， 则  A D B = 9 0  ，  B = 6 0  ，   B A D = 3 0  ，  B D = 1 2 A B = 3 ，  A D = A B 2 − B D 2 = 6 2 − 3 2 = 3 3 ， ABC的面积 = 1 2 B C  A D = 1 2  8  3 3 = 1 2 3 ， 故答案为： 1 2 3 ．练习3:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）已知在 9  A B C 中， A B = 1 3 5 ，BC =17，tanB= ， 12 那么 A C = _______. （2）（★★☆☆☆）（2020•黄浦区期末）在  A B C 中，AB=5， B C = 8 ，B=60，则  A B C 的面积是__________． 【常规讲解】 （1）解：过作AD⊥BC于 D ，则ADB=ADC=90， ta n B = 1 5 2 ，AB=13， B C = 1 7 ，  设 A D = 5 x ，则 B D = 1 2 x ， 在 R t A B D 中， A D 2 + B D 2 = A B 2 ，即 ( 5 x ) 2 + (1 2 x ) 2 = 1 3 2 ， 解得 x = 1 （负值舍去），  A D = 5 x = 5 ， B D = 1 2 x = 1 2 ，  C D = B C − B D = 1 7 − 1 2 = 5 ， 由勾股定理得： A C = A D 2 + C D 2 = 5 2 + 5 2 = 5 2 ． 故答案为： 5 2 ． （2）解：过 A 作 A H ⊥ B C 于H ，如图所示： 在 R t A B H 中，  A H B = 9 0  ，  B = 6 0  ， A B = 5 ，  s in B = A A H B ， 3 5 3 AH = ABsinB=5sin60=5 = ， 2 2  S  A B C = 1 2 A H  B C = 1 2  5 2 3  8 = 1 0 3 ， 故答案为： 1 0 3 ．考点四：解常规三角形——SSS 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区期末）在 10  A B C 中，如果BC= 2， A B = 7 ， A C = 3 ， 那么 c o s A = _______． （2）（★★☆☆☆）（2023•普陀区一模）在ABC中，AC=5，BC =12，AB=13，那么sinB= _______． 【常规讲解】 （1）解： B C = 2 ， A B = 7 ， A C = 3 ，  ( 2 ) 2 + ( 7 ) 2 = 3 2 ，  B C 2 + A B 2 = A C 2 ，   A B C 为直角三角形，  c o s A = A A B C = 7 3 ， 故答案为： 7 3 ． （2）解： A C = 5 ， B C = 1 2 ， A B = 1 3 ，  A C 2 + B C 2 = A B 2 ，   A B C 是直角三角形， 如图所示： 在 R t A B C 中， A C = 5 ， B C = 1 2 ， A B = 1 3 ， AC 5 则sinB= = ． AB 13 练习4:【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）（2023•奉贤区一模）在  A B C 中，如果 A B = A C = 7 ， B C = 1 0 ，那么 c o s B 的值是_______． （2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区校级期末）已知在DEF 中， D E = D F = 1 2 ，EF =10， 那么cosE=_________． （3）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）在ABC中，AB:AC:BC=1:2: 5，那么tanB= _______．【常规讲解】 （1）解：过 11 A 作 A D ⊥ B C 于 D ， A B = A C ，AD⊥BC， B C = 1 0 ，  B D = 1 2 B C = 5 ， AB=7，  c o s B = B A D B = 5 7 ． 5 故答案为： ． 7 （2）解：如图：过点 D 作 D G ⊥ E F ，垂足为 G ，   D G E = 9 0  ， D E = D F = 1 2 ， D G ⊥ E F ，  E G = 1 2 E F = 5 ， 在 R t D E G 中， c o s E = E D G E = 1 5 2 ， 故答案为： 1 5 2 ． （3）解：根据题意，可设 A B = k ，则 A C = 2 k ， B C = 5 k ， AC2 +AB2 =BC2 =5k2，   A B C 是直角三角形，且  A = 9 0  ．  ta n B = A A C B = 2 k k = 2 ． 故答案为：2．考点五：解常规三角形——AAS 例题5: （★★☆☆☆）（2023•奉贤区期末）在 12  A B C 中，  A = 4 5  ， c o s  B = 5 5 (  B 是锐角）， B C = 5 ， 那么 A B 的长为_______． 【常规讲解】 解：根据题意，画出图形，如图所示， 过点 C 作 A B 的垂线，垂足为 D ， 在 R t B C D 中， BD 5 cosB= = ， BC 5 又因为 B C = 5 ， 所以 B D = 1 ． 由勾股定理得， C D = ( 5 ) 2 − 1 2 = 2 ． 在 R t A C D 中， ta n  A = C A D D ， 2 则 =1， AD 解得 A D = 2 ， 所以 A B = A D + B D = 2 + 1 = 3 ． 故答案为：3． 练习5:【学习框14】 1 （★★☆☆☆）（2022•金山区校级期末）如图，在ABC中，sinB= ， 4 ta n C = 1 2 ， A B = 4 ， 则 A C 的长为_______． 【常规讲解】解：过点A作 13 A D ⊥ B C ，垂足为 D ， 在 R t A B D 中， s in B = 1 4 ， A B = 4 ，  A D = A B  s in B = 4  1 4 = 1 ， 在RtADC中， ta n C = 1 2 ， AD 1 DC= = =2， tanC 1 2  A C = A D 2 + C D 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ， 故答案为： 5 ． 考点六：解常规三角形——SSA 例题6: （1）（★★★☆☆）在  A B C 中， B C = 4 ，AC=4 3，  A = 3 0  ，则 A B 的长为 ( ) A． 3 B．4 C． 3 或8 D．4或8 （2）（★★★★☆）（2022•徐汇区校级期中）在ABC 中，AB=10， A C = 6 ，  B = 3 0  ， 则 B C = ________________． 【常规讲解】 （1）解：如图1所示， 过点C作CD⊥ AB于点D，  A = 3 0  ，AC=4 3， 1 3 CD= AC=2 3，AD= ACcos30=4 3 =6， 2 2在 14 R t C D B 中， B C = 4 ， C D = 2 3 ， BD= BC2 −CD2 = 42 −(2 3)2 =2，  A B = A D + B D = 6 + 2 = 8 ； 如图2所示，同理可得， C D = 1 2 A C = 2 3 ， A D = A C  c o s 3 0  = 4 3  2 3 = 6 ， B D = 2 ，  A B = A D − B D = 6 − 2 = 4 ． 综上所述， A B 的长为8或4． 故选： D ． （2）解：如图所示，当  A B C 为锐角三角形时：过点A作 A D ⊥ B C ， A B = 1 0 ，  B = 3 0  ，  A D = 1 2 A B = 5 ，BD= AB2 −AD2 = 102 −52 =5 3，  C D = A C 2 − A D 2 = 6 2 − 5 2 = 1 1 ，  B C = B D + C D = 5 3 + 1 1 ； 当  A B C 为钝角三角形时：过点 C 作CE⊥BA的延长线于点E， A B = 1 0 ，  B = 3 0  ，  设 C E = x ，则 B C = 2 C E = 2 x ， BE= BC2 −CE2 = 3x，AE= 3x−10， CE2 +AE2 = AC2，即 x 2 + ( 3 x − 1 0 ) 2 = 6 2 ， 5 3 11 解得：x= ，BC=5 3+ 11或BC=5 3− 11； 2 综上可得：BC=5 3− 11或5 3+ 11；故答案为： 15 5 3 − 1 1 或 5 3 + 1 1 ． 练习6:【学习框16】 （1）（★★★☆☆）（2020•青浦区期末）在  A B C 中， B C = 2 ， A C = 2 3 ，  A = 3 0  ， 则 A B 的长为 ( ) A． 3 B．2 C． 3 或4 D．2或4 （2）（★★★★☆）（2021•虹口区校级期末）在  A B C 中， A B = 6 ，AC=2 6 ，B=45， 则C =_________． 【常规讲解】 （1）解：作 C D ⊥ A B 交 A B 的延长线于点 D ， 当 B 2 C = 2 时，  A = 3 0  ，  A D C = 9 0  ， A C = 2 3 ，  C D = 3 ，  A D = ( 2 3 ) 2 − ( 3 ) 2 = 3 ， B 2 D = 2 2 − ( 3 ) 2 = 1 ，  A B 2 = 3 − 1 = 2 ， 同理可得， A B 1 = 3 + 1 = 4 ， 即 A B 的长为2或4， 故选： D ． （2）解：解法一：过点 A 作 A D ⊥ B C ，垂足为D， 分两种情况： 当高AD在  A B C 的内部，如图： 在 R t A B D 中，AB=6，  B = 4 5  ，  A D = A B s in 4 5  = 6  2 2 = 3 2 ， AD 3 2 3 在RtADC中，sinACB= = = ， AC 2 6 2 ACB=60，当高 16 A D 在  A B C 的外部，如图： 在 R t A B D 中， A B = 6 ，  B = 4 5  ，  A D = A B s in 4 5  = 6  2 2 = 3 2 ， 在 R t A D C 中， s in  A C D = A A D C = 3 2 2 6 = 2 3 ，   A C D = 6 0  ，   A C B = 1 8 0  −  A C D = 1 2 0  ， 综上所述：  A C B 为： 6 0  或 1 2 0  ； 考点七：网格图解三角形 例题7: （1）（★★★☆☆）（2023•徐汇区一模）如图，在由正三角形构成的网格图中， A 、 B 、C三点均在格点上，则sinBAC的值为_________． （2）（★★★★☆）（2024•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A 、 B 、 C 、 D 都在这些小正方形的顶点上， A B 、CD相交于点 O ，那么sinBOD的值为 _________． 【常规讲解】（1）解：令正三角形的边长是“1”， 17  A C = 2 ， B C = 3  1 = 3 ， AB= AC2 +BC2 = 22 +( 3)2 = 7，  s in  B A C = B A C B = 3 7 = 2 7 1 ． 故答案为： 2 7 1 ． （2）解：平移CD到 B K ，连接 M K ，则 M K ⊥ A B ，   A B K =  B O D ， 由勾股定理得： M K = 1 2 + 1 2 = 2 ，BK = 12 +32 = 10， MK 2 5 sinABK = = = ， BK 10 5  s in  B O D = 5 5 ． 5 故答案为： ． 5 练习7:【学习框18】 （1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）如图，  A O B 是放置在正方形网格中的一个角， 则sinAOB的值为 ( ) 1 A． B． 2 3 3 C． 2 3 D． 2 2（2）（★★★☆☆）（2020•嘉定区期末）如图， 18  A B C 的顶点都在正方形网格的格点上， 则tanACB的值为( ) A． 1 3 B． 3 5 C． 2 3 D． 1 2 （3）（★★★★☆）（2024•普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 都在小正方形顶点的位置上，联结 A B 、 C D 相交于点 P ，根据图中提示添加的辅助 线，可以得到 c o s  B P C 的值等于______． 【常规讲解】 （1）解：连接 A B ． 点O、 A 、 B 在格点上，  O B = 4 2 + 2 2 = 2 5 ， O A = 3 2 + 1 2 = 1 0 ， A B = 3 2 + 1 2 = 1 0 ． ( 1 0 ) 2 + ( 1 0 ) 2 = ( 2 5 ) 2 ，  A B 2 + O A 2 = O B 2 ．   O A B 是直角三角形． AB 10 2 sinAOB= = = ． OB 2 5 2 故选： D ．（2）解：如图，连接BT ． 在 19 R t B T C 中，  B T C = 9 0  ，BT = 2，CT =2 2，  ta n  A C B = T T B C = 2 2 2 = 1 2 ， 故选： D ． （3）解：因为 C D / / B E ， 所以  B P C =  A B E ． 在 R t A B C 中， A B = A C 2 + B C 2 = 3 2 + 1 2 = 1 0 ， 同理可得， B E = 2 ． 又因为  A E B = 9 0  ， 则在 R t A B E 中， c o s  A B E = B A E B = 1 2 0 = 5 5 ， 所以 c o s  B P C = c o s  A B E = 5 5 ． 故答案为： 5 5 ． 考点八：解三角综合 例题8: （1）（★★★☆☆）（2023•虹口区一模）如图，在 R t A B C 中，  B A C = 9 0  ， B C = 9 ， 2 sinB= ，点 3 E 在边AC上，且AE=2EC，过点 E 作DE//BC交边 A B 于点D，ACB的 平分线 C F 交线段 D E 于点F ，求 D F 的长．（2）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期中）如图，已知 20  A B C 中， A B = 1 2 ，  B = 3 0  ， ta n C = 2 4 7 ， 边 A B 的垂直平分线分别交 A B 、 B C 于点 D 、 E ．求线段 C E 的长． （3）（★★★★☆）（2023•松江区一模）如图，已知ABC 中，AB= AC=10，BC =12， D是 A C 的中点， D E ⊥ B C 于点E，ED、BA的延长线交于点F ． ① 求ABC的正切值； ② 求 D D F E 的值． 【常规讲解】 （1）解：  B A C = 9 0  ， B C = 9 ， s in B = 2 3 ， s in B = A B C C ，  2 3 = A C 9 ， 解得 A C = 6 ， A E = 2 E C ， A E = 2 E C ， AE=4， E C = 2 ， D E / / B C ，   A B C =  A D E ，  E F C =  B C F ， 2 sinB= ，AE=4， 3  D E = 6 ， C F 平分  A C B ， ECF =BCF， EFC=ECF，21  E F = E C = 2 ，  D F = D E − E F = 6 − 2 = 4 ． （2）解：连接 A E ，过点 A 作 A F ⊥ B C ，垂足为 F ， 在 R t A F B 中，  B = 3 0  ，AB=12，  A F = 1 2 A B = 6 ， DE是AB的垂直平分线，  E B = E A ，   B =  B A E = 3 0  ，   A E F =  B +  B A E = 6 0  ， 在 R t A E F 中， E F = ta A n F 6 0  = 6 3 = 2 3 ， 在RtAFC中， ta n C = 2 4 7 ，  C F = A ta n F C = 6 2 4 7 = 7 4 ，  C E = E F + C F = 2 3 + 7 4 ， 7 CE的长为2 3+ ． 4 （3）解：① 过A作 A H ⊥ B C 于 H ，如图： AB= AC=10，BC =12，  B H = C H = 1 2 B C = 6 ， 在 R t A B H 中， A H = A B 2 − B H 2 = 1 0 2 − 6 2 = 8 ， AH 8 4 tanB= = = ； BH 6 3② 由 ① 知 22 ta n B = 4 3 ，  ta n C = 4 3 ，  D C E E = 4 3 ， D 是AC的中点，AC=10，  C D = 5 ，  D E = 4 ， C E = 3 ，  B E = B C − C E = 1 2 − 3 = 9 ， ta n B = 4 3 ， EF 4  = ， BE 3  E F = 1 2 ，  D F = E F − D E = 1 2 − 4 = 8 ，  D D F E = 8 4 = 2 ． 练习8:【学习框20】 （1）（★★★☆☆）（2023•崇明区一模）如图， D 是  A B C 边上的一点， C D = 2 A D ， A E ⊥ B C ， 垂足为点 E ，若 A E = 9 3 ，sinCBD= ． 4 ① 求BD的长； ② 若 B D = C D ，求 ta n  B A E 的值．（2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期末）如图，在 23 R t E A C 中，EAC=90，E=45， 点B在边 E C 上，BD⊥ AC，垂足为 D ，点F 在BD延长线上，  F A C =  E A B ， B F = 5 ， ta n  A F B = 3 4 ． 求：① A D 的长； ② cotDCF的值． 【常规讲解】 （1）解：① 作 D F ⊥ B C 于点 F ， AE⊥BC，  D F / / A E ，  D A F E = C C D A ， C D = 2 A D ， C D + A D = C A ，  C C D A = 2 3 ， AE=9，  D F 9 = 2 3 ， 解得 D F = 6 ， 3 sinCBD= ， 4 s in  C B D = D B F D ，  B 6 D = 3 4 ， 解得BD=8； ② BD=CD，DF ⊥BC， BF =CF，由（1）知： 24 D F = 6 ， B D = 8 ，  D F C = 9 0  ，  C F = C D 2 − D F 2 = 8 2 − 6 2 = 2 7 ，  B F = 2 7 ， D F / / A E ， C D = 2 A D ，  C F = 2 E F ，  E F = 7 ，  B E = B F − E F = 2 7 − 7 = 7 ，  ta n  B A E = B A E E = 9 7 ． （2）解：①  E A C = 9 0  ， EAB+BAC=90，  F A C =  E A B ，   F A C +  B A C = 9 0  ，   B A F = 9 0  ， ta n  A F B = A A B F = 3 4 ， 令 A B = 3 x ，则 A F = 4 x ， B F 2 = A B 2 + A F 2 ，  B F 2 = ( 3 x ) 2 + ( 4 x ) 2 ， BF =5x=5， x = 1 ， AB=3x=3，AF =4x=4， BFAD= ABAF =2S ， ABF 5AD=34=12，  A D = 1 2 5 ， ② 在 R t A B F 中，AD⊥BF，  A B 2 = B D  B F ，  3 2 = 5 B D ， 9 BD= ， 525  D F = B F − B D = 1 6 5 ， EAC=90，  E = 4 5  ，   B C D = 4 5  ，   D B C = 4 5  ，  D C = B D = 9 5 ，  c o t  D C F = D D C F = 1 9 6 ． （3）解：① 在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A D = B D = 5 ， s in  A D C 4 5 ，  A C = A D  s in  A D C = 5  4 5 = 4 ，  C D = A D 2 − A C 2 = 2 5 − 1 6 = 3 ，  B C = B D + C D = 5 + 3 = 8 ， A D = B D = 5 ，   A B D 是等腰三角形，   B A D =  A B C ，  c o t  B A D = c o t  A B C = B A C C = 8 4 = 2 ② 取 B D 的中点为 F ，连接 M F ， 边 A B 的中点为M，  M F 是  A B D 的中位线，  M F / / D E ， CED=CMF， 且  D C E =  F C M ，   C D E ∽  C F M  C C E M = C C D F ， 1 1 由① 知：CM = AB= AC2 +BC2 =2 5，CD=3， 2 2 又 C F = C D + 1 2 B D = 1 1 2 ， CE 3 =  2 5 11， 212 5 CE= ． 11 全真战场 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）在 26 4  5 网格中， A ， B ， C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等 式正确的是 ( ) A． s i n A = 2 3 B． c o s A = 1 2 C． ta n A = 3 3 2 D．cosA= 2 【常规讲解】解：由网格构造直角三角形可得， A B 2 = 1 2 + 3 2 = 1 0 ， A C 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ， B C 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ， A B 2 = A C 2 + B C 2 ，   A B C 是等腰直角三角形，   A =  B = 4 5  ， 2 2 sinA=sin45= ，cosA=cos45= ， 2 2 ta n A = ta n 4 5  = 1 ，  选项 D 是正确的， 故选： D ． 练习2: （★★☆☆☆）如图，在  A B C 中， A D ⊥ B C 交BC于点 D ， A D = B D ，若 A B = 4 2 ， ta n C = 4 3 ，则 B C = ____________．【常规讲解】解： 27 A D = B D ， A D ⊥ B C ， B=45． A B = 4 2 ， s in B = A A D B = 2 2 ，  B D = A D = 4 ． 在RtADC中， ta n C = A C D D = C 4 D = 4 3 ，  C D = 3 ．  B C = B D + C D = 7 ． 故答案为：7． 练习3: （★★★☆☆）（2023•徐汇区一模）如图，在  A B C 中，已知  C = 9 0  ， s in A = 5 1 3 ．点 D 为边 A C 上一点，  B D C = 4 5  ， A D = 7 ，求 C D 的长． 【常规讲解】解：  C = 9 0  ， BC 5 sinA= = ， AB 13 令BC=5x， A B = 1 3 x ，  A C = A B 2 − B C 2 = (1 3 x ) 2 − ( 5 x ) 2 = 1 2 x ，  B D C = 4 5  ，  C = 9 0  ， BDC=CBD=45，  B C = C D = 5 x ，  A D = A C − C D = 7 x = 7 ，  x = 1 ， CD=5x=5．练习4: （★★★☆☆）（2020•闵行区一模）如图，在 中， ， ， ， 点 在边 上，且 ，求 的值． 【常规讲解】解：如图，过点 作 于 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．设 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28  A B C  C = 9 0   A = 3 0  B C = 1 D A C  D B C = 4 5  s in  A B D D DM ⊥AB M BA H BH =DH DH       C A D A B B B = C C D 9 0 = = =  9 4 6 0 5 0     − − A 3 4 0 5 =   3 = = 0  6 0 1 5   D M = a HB=HD        D B s H D H D in B D H M = =  A B B = = H D D  M H D B  H B D = 2 a 2 + B D M = D B = M + = 1 5  M 2 (  H H = 2 D B = a a + 2 = 3 a + 6 3 0 ( 2 ) a  a = B + M 6 = 3 a − 4 2 ) a 2 2 + = ( 3 2 a + 6 ) a关卡二 练习5: （★★★★☆）（2020•嘉定区期末）如图，在 29  A B C 中， A B = A C = 4 ，  C = 7 2  ， D 是 A B 的中点， D E ⊥ A B 交 A C 于点 E ，则 c o s A 的值为( ) A． 5 4 − 1 B． 5 2 − 1 C． 5 4 + 1 D． 5 2 + 1 【常规讲解】解： 在  A B C 中， A B = A C = 4 ，  C = 7 2  ，   A B C =  C = 7 2  ，  A = 1 8 0  −  C −  A B C = 3 6  ． D 是 A B 中点， D E ⊥ A B ，  A E = B E ， A D = B D = 1 2 A B = 2 ，   A B E =  A = 3 6  ，   B E C =  A +  A B E = 7 2  =  C ，  B E = B C = A E ， 设 B C = A E = x ，则 C E = A C − A E = 4 − x ．  A B C =  B E C ，  C =  C ，   A B C ∽  B E C ，  B A C C = C B E C ， x 4−x 即 = ， 4 x 解得：x =2 5−2，x =−2 5−2（舍去）， 1 2  A E = 2 5 − 2 ，  c o s A = A A D E = 2 2 5 − 2 = 5 4 + 1 ， 故选： C ．练习6: （★★★★★）如图，在 30  A B C 中，AB = AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E 且AC = DC． （1）求  B A C 的度数； （2）求证：点D是BC的黄金分割点； （3）利用这个图求cos 36°的值． 【教学建议】可以配合练习 5，巩固黄金三角形特殊角三角比的证明，并让学生记住这个 结论 【常规讲解】 （1）设  B = x ． ∵AB = AC， ∴  C =  B = x ． ∵DE垂直平分AB， ∴ B D = A D ， ∴  B =  B A D = x ． ∴  A D C =  B +  B A D = x + x = 2 x ． ∵AC = DC， ∴  C A D =  C D A = 2 x ． ∵C+CAD+CDA=180， ∴ x + 2 x + 2 x = 1 8 0  ， ∴x=36． ∴  B A C = 3 x = 1 0 8  ． （2）由（1）可得：△BAD∽△BCA， 则可得： A B B C = B A D B A E B D C ． CD BD ∵AB=CD， ∴ = ， BC CD ∴点D是BC的黄金分割点． ( ) （3）由（2）可设：BD= 5−1 m，AB=2m．∵E为AB的中点，∴ 31 B E = m ． 在 R t △ B E D 中， c o s B = B B E D ， ∴ c o s 3 6  = ( 5 m − 1 ) m = 5 4 + 1 ． 【答案】（1）108°；（2）证明略；（3） 5 4 + 1 ． 练习7: （★★★★★）在ABC中，cosA=0.8，B=45，三角形一边上的高是3，求BC的 长． 【常规讲解】 【常规讲解】 ①如图1，当△ A B C 边 A C 上的高 B E = 3 时， 在Rt△ABE中， c o s A = A A E B = 0 .8 ， 设 A E = 4 x ， A B = 5 x ， 则BE= AB2 −AE2 = (5x)2 −(4x)2 =3x． ∵ B E = 3 ，∴ 3 x = 3 ，∴x=1，∴AB=5x=5． 过点C作CD⊥ AB，交AB于点D． 在Rt△ACD中， c o s A = A A E B = 0 .8 ， 设 A C = 5 m ， A D = 4 m ，则CD= CA2 −AD2 = (5m)2 −(4m)2 =3m； CD 在Rt△BCD中，tanCBA= =1，则BD=3m． BD 5 15 ∴4m+3m=5，∴m= ．∴BC= CD2 +BD2 = (3m)2 +(3m)2 = 2． 7 7 ②如图2所示，当△ABC边AB上的高CF =3时．∵ 32  B = 4 5  ， C F ⊥ B F ， ∴ C F = B F = 3 ， ∴ B C = 3 2 ． ③如图3，当△ABC边BC上的高AG=3时． 在 R t △ A B G AG 2 3 2 中，sinB= = ， ∴ = ， ∴ AB 2 AB 2 A B = 3 2 ， 过点 C 作 C H ⊥ A B ，交AB于点H． 在 R t △ A C H 中， c o s A = A A H C = 0 .8 ， 设 A C = 5 a ， A D = 4 a ，则CH = CA2 −AH2 = (5a)2 −(4a)2 =3a； 在 R t △ B C H CH 中，tanB= =1，则BH =3a． BH ∴4a+3a=3 2 ，∴ a = 3 7 2 ，∴ B C = C H 2 + B H 2 = ( 3 a ) 2 + ( 3 a ) 2 = 1 8 7 ． 【答案】 1 5 7 2 或 3 2 18 或 ． 7