FY25暑假初三A09B06解直角三角形教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

09A/06B 解直角三角形
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）解直角三角形的主要依据
（2）解直角三角形的类型与解法
2. 考情分析
（1）解直角三角形，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%.
（2）解直角三角形以解答题为主，也会在选填题中作为基础进行考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第二节：解直角三角形 25.3解直
角三角形
（4）解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角
三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角
形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：解直角三角形 85分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站——解直角三角形【建议时长：40分钟】
考点一：直接解直角三角形
知识笔记1
一、解直角三角形的主要依据
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，由已知元素求出_________________的过程，叫做解直角三角形．
2、直角三角形的组成
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即_________________．
3、解直角三角形的主要依据
设在
2
R t  A B C 中，  C = 9 0 ，  A 、  B 、  C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，AB边上的高为
h ，则有：
（1）三边之间的关系：_____________（勾股定理）．
（2）边角之间的关系：
s i n A =
a
c
, c o s A =
b
c
, t a n A =
a
b
, c o t A =
b
a
,
s i n B =
b
c
, c o s B =
a
c
, t a n B =
b
a
, c o t B =
a
b
（3）面积公式： S
 A B C
=
1
2
a b =
1
2
c h
4、解直角三角形的条件
在直角三角形中，除直角外，一共有_____个边角条件，知道除直角外的______个条件
（_________________），就可以解直角三角形的其他边角条件。
【填空答案】
1、所有未知元素
2、三条边和两个锐角
3、a2 +b2 =c2
4、5；2；至少有一个是边条件二、解直角三角形的类型与解法
已知和解法 已知条件 解法步骤
两直角边
两边
3
( a , b )
∠ A =____________;
∠ B =____________;
c=____________.
斜边，一直角边（如c 、 a ）
∠ A =____________;
∠ B =____________;
b=____________.
锐角，邻边（如
一直角
边和一
锐角
一边
一角
 A ， b
∠B=____________;
a=____________
）
c=____________.
锐角，对边（如
A，a）
∠ B =____________;
b=____________
c=____________.
斜边、锐角（如 c 、  A
∠B=____________;
a=____________
）
b=____________.
斜边、锐角（如 c 、  B ）
∠ A =____________;
a=____________
b=____________.
【填空答案】“解法步骤”填空，由上至下
a
（1）由tanA= ，求A ；
b
 B = 9 0 −  A ；c= a2 +b2
a
（2）由sinA= ，求A；B=90 −A；b= c2 −a2
c
（3）  B = 9 0 −  A
B
b
；a=btanA；c=
cosA
a
（4）B=90 −A；a=bcotA；c=
sinA
（5）B=90 −A；a=csinA；b=ccosA（6）B=90 −A；a=ccosB；b=csinB例题1:
（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）在
4
 A B C 中，已知  C = 9 0  ，B=37，c=8，
求这个直角三角形的其他边和角（ s in 3 7   0 .6 ， c o s 3 7   0 .8 ， ta n 3 7   0 .7 5 ， c o t 3 7   0 .2 5 ）．
【常规讲解】  A = 5 3  ， b = 4 .8 ，a=6.4．
解：  A = 9 0  −  B = 9 0  − 3 7  = 5 3  ；
在 R t △ A B C 中， s in B =
b
c
，则 0 .6 =
b
8
，解得： b = 4 .8 ；
在 R t △ A B C 中， c o s B =
a
c
，则 0 .8 =
a
8
，解得： a = 6 .4 ．
练习1:*
（★★☆☆☆）在ABC中， C=90，A=43，b = 9，解这个直角三角形
（ s in 4 3   0 .6 8 ， c o s 4 3   0 .7 3 ， ta n 4 3   0 .9 3 ， c o t 4 3   1 .0 7 ）．
【常规讲解】  B = 4 7  ， a = 8 .3 7 ， c = 1 2 .3 3 ．
解：  B = 9 0  −  A = 9 0  − 4 3  = 4 7  ；
在 R t △ A B C 中， ta n A =
a
b
，则 0 .9 3 =
a
9
，解得： a = 8 .3 7 ；
在 R t △ A B C 中， c o s A =
b
c
，则 0 .7 3 =
9
c
，解得： c = 1 2 .3 3 ．
考点二：直角三角形中线段关系的表示
例题2:
（1）（★★☆☆☆）（2021•闵行区校级期中）  A B C 中  C = 9 0  ，若 A B = 2 ， A   = ，则
A C 的长为 ( )
A．2sin B． 2 c o s  C．
s
2
in
D．
 c o
2
s 
（2）（★★☆☆☆）（2022•奉贤区期中）如图，在ABC中，ACB=90，CD⊥ AB，那
么下列结论正确的是( )
A．CD= ABtanB B．CD=BCsinB C．CD= ACsinB D．CD= ADcotA．（3）（★★★☆☆）（2020•静安区期末）在
5
R t A B C 中，  C = 9 0  ， C D 是高，如果 A B = m ，
A   = ，那么 C D 的长为( )
A． m s in ta n     B． m s in c o s     C． m c o s ta n     D．mcoscot
【常规讲解】
（1）解：如图，
在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A B = 2 ， A   = ，
 c o s A =
A
A
C
B
，
AC= ABcosA=2cos，
故选： B ．
（2）解： C D ⊥ A B ，
  A D C =  B D C = 9 0  ，
在 R t B D C 中，
ta n B =
C
B
D
D
，
CD=BDtanB，
因此选项 A 不符合题意；
s in B =
C
B
D
C
 C D = B C  s in B ，
因此选项B符合题意；
在 R t A D C 中，
s in A =
C
A
D
C
，
 C D = A C  s in A ，
因此选项 C 不符合题意；
CD
tanA= ，
AD
 C D = A D  s in A ，
因此选项 D 不符合题意；
故选：B．（3）解：如图，在RtABC中，
6
c o s A =
A
A
C
B
， A B = m ， A   = ，
A C m c o s   =  ，
在 R t A D C 中，
s in A =
C
A
D
C
，AC=mcos，A=，
C D m c o s s in    =   ，
故选： B ．
练习2:【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期中）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A B = m ，
那么边 A C 的长为 ( )
A． m s in  B．m cos C． m ta n  D． m c o t 
（2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区校级期中）在 R t A B C 中，  B = 9 0  ，如果 A   = ，
B C = a ．那么 A C 的长是 ( )
A． a ta n   B．atanacot C．
c o
a
s
a
D．
 sin
（3）（★★☆☆☆）（2021•闵行区校级期中）在RtABC中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = m ，
那么边 A B 的长为 ( )
A．
s
m
in
B．

m c o s   C． m s in   D．mcot
【配题说明】三角形元素之间的关系
【常规讲解】（1）解：  C = 9 0  ， B   = ， A B = m ，
则 s in
A
A
C
B
 = ，
A C A B s in m s in    = = ．
故选：A．（2）解：如图，
在
7
R t A B C 中， A C
s
B
in
C
A s
a
in 
= = ．
故选： D ．
（3）解：在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = m ，
s in B =
A
A
C
B
，
AC m
AB= = ．
sinB sina
故选： A ．
知识加油站 2——解常规三角形【建议时长：30分钟】
知识笔记2
1、解一般三角形的条件
解一般三角形所需的条件与确定一般的三角形或者一般三角形的_______________是一
致的，即需要知道_______________（_________________）便可解一般三角形。
2、解一般三角形的方法
在解一般三角形时，通常都需要______，化归成____________，进行求解。
3、添线原则
_____________________________________________。
【填空答案】
1、全等判定定理条件；3个条件；至少有个边条件；
2、添高；直角三角形
3、尽量不破坏已知角和所求角考点三：解常规三角形——SAS
例题3:
（1）（★★☆☆☆）在
8
 A B C 中，  B A C = 1 2 0  ，AC=6，AB=4，则BC的长是 ( )
A． 6 2 B． 2 1 9 C． 2 1 3 D．9
（2）（★★☆☆☆）（2021•金山区校级期中）在  A B C 中， A B = 6 ， B C = 8 ，  B = 6 0  ，
则  A B C 的面积是________．
【常规讲解】
（1）解：过点 C 作 C D ⊥ A B ，交 B A 的延长线于点 D ，
BAC=120，   D A C = 1 8 0  − 1 2 0  = 6 0  ，
ACD=30，  A D =
1
2
A C = 3 ，
 B D = A B + A D = 7 ，
由勾股定理得，CD= AC2 −AD2 =3 3，
在 R t B C D 中， B C = B D 2 + C D 2 = 2 1 9 ，
故选： B ．
（2）解：过 A 作 A D ⊥ B C 于点 D ，
则  A D B = 9 0  ，
 B = 6 0  ，
  B A D = 3 0  ，
 B D =
1
2
A B = 3 ，
 A D = A B 2 − B D 2 = 6 2 − 3 2 = 3 3 ，
ABC的面积 =
1
2
B C  A D =
1
2
 8  3 3 = 1 2 3 ，
故答案为： 1 2 3 ．练习3:【学习框10】
（1）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）已知在
9
 A B C 中， A B = 1 3
5
，BC =17，tanB= ，
12
那么 A C = _______.
（2）（★★☆☆☆）（2020•黄浦区期末）在  A B C 中，AB=5， B C = 8 ，B=60，则
 A B C 的面积是__________．
【常规讲解】
（1）解：过作AD⊥BC于 D ，则ADB=ADC=90，
ta n B =
1
5
2
，AB=13， B C = 1 7 ，
 设 A D = 5 x ，则 B D = 1 2 x ，
在 R t A B D 中，
A D 2 + B D 2 = A B 2 ，即 ( 5 x ) 2 + (1 2 x ) 2 = 1 3 2 ，
解得 x = 1 （负值舍去），
 A D = 5 x = 5 ， B D = 1 2 x = 1 2 ，
 C D = B C − B D = 1 7 − 1 2 = 5 ，
由勾股定理得： A C = A D 2 + C D 2 = 5 2 + 5 2 = 5 2 ．
故答案为： 5 2 ．
（2）解：过 A 作 A H ⊥ B C 于H ，如图所示：
在 R t A B H 中，  A H B = 9 0  ，  B = 6 0  ， A B = 5 ，
 s in B =
A
A
H
B
，
3 5 3
AH = ABsinB=5sin60=5 = ，
2 2
 S
 A B C
=
1
2
A H  B C =
1
2

5
2
3
 8 = 1 0 3 ，
故答案为： 1 0 3 ．考点四：解常规三角形——SSS
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区期末）在
10
 A B C 中，如果BC= 2， A B = 7 ， A C = 3 ，
那么 c o s A = _______．
（2）（★★☆☆☆）（2023•普陀区一模）在ABC中，AC=5，BC =12，AB=13，那么sinB=
_______．
【常规讲解】
（1）解： B C = 2 ， A B = 7 ， A C = 3 ，
 ( 2 ) 2 + ( 7 ) 2 = 3 2 ，
 B C 2 + A B 2 = A C 2 ，
  A B C 为直角三角形，
 c o s A =
A
A
B
C
=
7
3
，
故答案为：
7
3
．
（2）解： A C = 5 ， B C = 1 2 ， A B = 1 3 ，
 A C 2 + B C 2 = A B 2 ，
  A B C 是直角三角形，
如图所示：
在 R t A B C 中， A C = 5 ， B C = 1 2 ， A B = 1 3 ，
AC 5
则sinB= = ．
AB 13
练习4:【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）（2023•奉贤区一模）在  A B C 中，如果 A B = A C = 7 ， B C = 1 0 ，那么 c o s B
的值是_______．
（2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区校级期末）已知在DEF 中， D E = D F = 1 2 ，EF =10，
那么cosE=_________．
（3）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）在ABC中，AB:AC:BC=1:2: 5，那么tanB=
_______．【常规讲解】
（1）解：过
11
A 作 A D ⊥ B C 于 D ，
A B = A C ，AD⊥BC， B C = 1 0 ，
 B D =
1
2
B C = 5 ，
AB=7，
 c o s B =
B
A
D
B
=
5
7
．
5
故答案为： ．
7
（2）解：如图：过点 D 作 D G ⊥ E F ，垂足为 G ，
  D G E = 9 0  ，
D E = D F = 1 2 ， D G ⊥ E F ，
 E G =
1
2
E F = 5 ，
在 R t D E G 中， c o s E =
E
D
G
E
=
1
5
2
，
故答案为：
1
5
2
．
（3）解：根据题意，可设 A B = k ，则 A C = 2 k ， B C = 5 k ，
AC2 +AB2 =BC2 =5k2，
  A B C 是直角三角形，且  A = 9 0  ．
 ta n B =
A
A
C
B
=
2 k
k
= 2 ．
故答案为：2．考点五：解常规三角形——AAS
例题5:
（★★☆☆☆）（2023•奉贤区期末）在
12
 A B C 中，  A = 4 5  ， c o s  B =
5
5
(  B 是锐角）， B C = 5 ，
那么 A B 的长为_______．
【常规讲解】
解：根据题意，画出图形，如图所示，
过点 C 作 A B 的垂线，垂足为 D ，
在 R t B C D 中，
BD 5
cosB= = ，
BC 5
又因为 B C = 5 ，
所以 B D = 1 ．
由勾股定理得，
C D = ( 5 ) 2 − 1 2 = 2 ．
在 R t A C D 中，
ta n  A =
C
A
D
D
，
2
则 =1，
AD
解得 A D = 2 ，
所以 A B = A D + B D = 2 + 1 = 3 ．
故答案为：3．
练习5:【学习框14】
1
（★★☆☆☆）（2022•金山区校级期末）如图，在ABC中，sinB= ，
4
ta n C =
1
2
， A B = 4 ，
则 A C 的长为_______．
【常规讲解】解：过点A作
13
A D ⊥ B C ，垂足为 D ，
在 R t A B D 中， s in B =
1
4
， A B = 4 ，
 A D = A B  s in B = 4 
1
4
= 1 ，
在RtADC中， ta n C =
1
2
，
AD 1
DC= = =2，
tanC 1
2
 A C = A D 2 + C D 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ，
故答案为： 5 ．
考点六：解常规三角形——SSA
例题6:
（1）（★★★☆☆）在  A B C 中， B C = 4 ，AC=4 3，  A = 3 0  ，则 A B 的长为 ( )
A． 3 B．4 C． 3 或8 D．4或8
（2）（★★★★☆）（2022•徐汇区校级期中）在ABC 中，AB=10， A C = 6 ，  B = 3 0  ，
则 B C = ________________．
【常规讲解】
（1）解：如图1所示，
过点C作CD⊥ AB于点D，
 A = 3 0  ，AC=4 3，
1 3
CD= AC=2 3，AD= ACcos30=4 3 =6，
2 2在
14
R t C D B 中，
B C = 4 ， C D = 2 3 ，
BD= BC2 −CD2 = 42 −(2 3)2 =2，
 A B = A D + B D = 6 + 2 = 8 ；
如图2所示，同理可得，
C D =
1
2
A C = 2 3 ， A D = A C  c o s 3 0  = 4 3 
2
3
= 6 ， B D = 2 ，
 A B = A D − B D = 6 − 2 = 4 ．
综上所述， A B 的长为8或4．
故选： D ．
（2）解：如图所示，当  A B C 为锐角三角形时：过点A作 A D ⊥ B C ，
A B = 1 0 ，  B = 3 0  ，
 A D =
1
2
A B = 5 ，BD= AB2 −AD2 = 102 −52 =5 3，
 C D = A C 2 − A D 2 = 6 2 − 5 2 = 1 1 ，
 B C = B D + C D = 5 3 + 1 1 ；
当  A B C 为钝角三角形时：过点 C 作CE⊥BA的延长线于点E，
A B = 1 0 ，  B = 3 0  ，
 设 C E = x ，则 B C = 2 C E = 2 x ，
BE= BC2 −CE2 = 3x，AE= 3x−10，
CE2 +AE2 = AC2，即 x 2 + ( 3 x − 1 0 ) 2 = 6 2 ，
5 3 11
解得：x= ，BC=5 3+ 11或BC=5 3− 11；
2
综上可得：BC=5 3− 11或5 3+ 11；故答案为：
15
5 3 − 1 1 或 5 3 + 1 1 ．
练习6:【学习框16】
（1）（★★★☆☆）（2020•青浦区期末）在  A B C 中， B C = 2 ， A C = 2 3 ，  A = 3 0  ，
则 A B 的长为 ( )
A． 3 B．2 C． 3 或4 D．2或4
（2）（★★★★☆）（2021•虹口区校级期末）在  A B C 中， A B = 6 ，AC=2 6 ，B=45，
则C =_________．
【常规讲解】
（1）解：作 C D ⊥ A B 交 A B 的延长线于点 D ，
当 B
2
C = 2 时，
 A = 3 0  ，  A D C = 9 0  ， A C = 2 3 ，
 C D = 3 ，
 A D = ( 2 3 ) 2 − ( 3 ) 2 = 3 ， B
2
D = 2 2 − ( 3 ) 2 = 1 ，
 A B
2
= 3 − 1 = 2 ，
同理可得， A B
1
= 3 + 1 = 4 ，
即 A B 的长为2或4，
故选： D ．
（2）解：解法一：过点 A 作 A D ⊥ B C ，垂足为D，
分两种情况：
当高AD在  A B C 的内部，如图：
在 R t A B D 中，AB=6，  B = 4 5  ，
 A D = A B s in 4 5  = 6 
2
2
= 3 2 ，
AD 3 2 3
在RtADC中，sinACB= = = ，
AC 2 6 2
ACB=60，当高
16
A D 在  A B C 的外部，如图：
在 R t A B D 中， A B = 6 ，  B = 4 5  ，
 A D = A B s in 4 5  = 6 
2
2
= 3 2 ，
在 R t A D C 中， s in  A C D =
A
A
D
C
=
3
2
2
6
=
2
3
，
  A C D = 6 0  ，
  A C B = 1 8 0  −  A C D = 1 2 0  ，
综上所述：  A C B 为： 6 0  或 1 2 0  ；
考点七：网格图解三角形
例题7:
（1）（★★★☆☆）（2023•徐汇区一模）如图，在由正三角形构成的网格图中， A 、
B 、C三点均在格点上，则sinBAC的值为_________．
（2）（★★★★☆）（2024•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A 、
B 、 C 、 D 都在这些小正方形的顶点上， A B 、CD相交于点 O ，那么sinBOD的值为
_________．
【常规讲解】（1）解：令正三角形的边长是“1”，
17
 A C = 2 ， B C = 3  1 = 3 ，
AB= AC2 +BC2 = 22 +( 3)2 = 7，
 s in  B A C =
B
A
C
B
=
3
7
=
2
7
1
．
故答案为：
2
7
1
．
（2）解：平移CD到 B K ，连接 M K ，则 M K ⊥ A B ，
  A B K =  B O D ，
由勾股定理得： M K = 1 2 + 1 2 = 2 ，BK = 12 +32 = 10，
MK 2 5
sinABK = = = ，
BK 10 5
 s in  B O D =
5
5
．
5
故答案为： ．
5
练习7:【学习框18】
（1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）如图，  A O B 是放置在正方形网格中的一个角，
则sinAOB的值为 ( )
1
A． B．
2 3
3
C．
2
3
D．
2
2（2）（★★★☆☆）（2020•嘉定区期末）如图，
18
 A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，
则tanACB的值为( )
A．
1
3
B．
3
5
C．
2
3
D．
1
2
（3）（★★★★☆）（2024•普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点 A 、 B 、 C 、
D 、 E 都在小正方形顶点的位置上，联结 A B 、 C D 相交于点 P ，根据图中提示添加的辅助
线，可以得到 c o s  B P C 的值等于______．
【常规讲解】
（1）解：连接 A B ．
点O、 A 、 B 在格点上，
 O B = 4 2 + 2 2 = 2 5 ，
O A = 3 2 + 1 2 = 1 0 ，
A B = 3 2 + 1 2 = 1 0 ．
( 1 0 ) 2 + ( 1 0 ) 2 = ( 2 5 ) 2 ，
 A B 2 + O A 2 = O B 2 ．
  O A B 是直角三角形．
AB 10 2
sinAOB= = = ．
OB 2 5 2
故选： D ．（2）解：如图，连接BT ．
在
19
R t B T C 中，  B T C = 9 0  ，BT = 2，CT =2 2，
 ta n  A C B =
T
T
B
C
=
2
2
2
=
1
2
，
故选： D ．
（3）解：因为 C D / / B E ，
所以  B P C =  A B E ．
在 R t A B C 中，
A B = A C 2 + B C 2 = 3 2 + 1 2 = 1 0 ，
同理可得，
B E = 2 ．
又因为  A E B = 9 0  ，
则在 R t A B E 中，
c o s  A B E =
B
A
E
B
=
1
2
0
=
5
5
，
所以 c o s  B P C = c o s  A B E =
5
5
．
故答案为：
5
5
．
考点八：解三角综合
例题8:
（1）（★★★☆☆）（2023•虹口区一模）如图，在 R t A B C 中，  B A C = 9 0  ， B C = 9 ，
2
sinB= ，点
3
E 在边AC上，且AE=2EC，过点 E 作DE//BC交边 A B 于点D，ACB的
平分线 C F 交线段 D E 于点F ，求 D F 的长．（2）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期中）如图，已知
20
 A B C 中， A B = 1 2 ，  B = 3 0  ， ta n C =
2 4
7
，
边 A B 的垂直平分线分别交 A B 、 B C 于点 D 、 E ．求线段 C E 的长．
（3）（★★★★☆）（2023•松江区一模）如图，已知ABC 中，AB= AC=10，BC =12，
D是 A C 的中点， D E ⊥ B C 于点E，ED、BA的延长线交于点F ．
① 求ABC的正切值；
② 求
D
D
F
E
的值．
【常规讲解】
（1）解：  B A C = 9 0  ， B C = 9 ， s in B =
2
3
， s in B =
A
B
C
C
，

2
3
=
A C
9
，
解得 A C = 6 ，
A E = 2 E C ， A E = 2 E C ，
AE=4， E C = 2 ，
D E / / B C ，
  A B C =  A D E ，  E F C =  B C F ，
2
sinB= ，AE=4，
3
 D E = 6 ，
C F 平分  A C B ，
ECF =BCF，
EFC=ECF，21
 E F = E C = 2 ，
 D F = D E − E F = 6 − 2 = 4 ．
（2）解：连接 A E ，过点 A 作 A F ⊥ B C ，垂足为 F ，
在 R t A F B 中，  B = 3 0  ，AB=12，
 A F =
1
2
A B = 6 ，
DE是AB的垂直平分线，
 E B = E A ，
  B =  B A E = 3 0  ，
  A E F =  B +  B A E = 6 0  ，
在 R t A E F 中， E F =
ta
A
n
F
6 0 
=
6
3
= 2 3 ，
在RtAFC中， ta n C =
2 4
7
，
 C F =
A
ta n
F
C
=
6
2 4
7
=
7
4 ，
 C E = E F + C F = 2 3 +
7
4
，
7
CE的长为2 3+ ．
4
（3）解：① 过A作 A H ⊥ B C 于 H ，如图：
AB= AC=10，BC =12，
 B H = C H =
1
2
B C = 6 ，
在 R t A B H 中，
A H = A B 2 − B H 2 = 1 0 2 − 6 2 = 8 ，
AH 8 4
tanB= = = ；
BH 6 3② 由 ① 知
22
ta n B =
4
3
，
 ta n C =
4
3
，

D
C
E
E
=
4
3
，
D 是AC的中点，AC=10，
 C D = 5 ，
 D E = 4 ， C E = 3 ，
 B E = B C − C E = 1 2 − 3 = 9 ，
ta n B =
4
3
，
EF 4
 = ，
BE 3
 E F = 1 2 ，
 D F = E F − D E = 1 2 − 4 = 8 ，

D
D
F
E
=
8
4
= 2 ．
练习8:【学习框20】
（1）（★★★☆☆）（2023•崇明区一模）如图， D 是  A B C 边上的一点， C D = 2 A D ， A E ⊥ B C ，
垂足为点 E ，若 A E = 9
3
，sinCBD= ．
4
① 求BD的长；
② 若 B D = C D ，求 ta n  B A E 的值．（2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期末）如图，在
23
R t E A C 中，EAC=90，E=45，
点B在边 E C 上，BD⊥ AC，垂足为 D ，点F 在BD延长线上，  F A C =  E A B ， B F = 5 ，
ta n  A F B =
3
4
．
求：① A D 的长；
② cotDCF的值．
【常规讲解】
（1）解：① 作 D F ⊥ B C 于点 F ，
AE⊥BC，
 D F / / A E ，

D
A
F
E
=
C
C
D
A
，
C D = 2 A D ， C D + A D = C A ，

C
C
D
A
=
2
3
，
AE=9，

D F
9
=
2
3
，
解得 D F = 6 ，
3
sinCBD= ，
4
s in  C B D =
D
B
F
D
，

B
6
D
=
3
4
，
解得BD=8；
② BD=CD，DF ⊥BC，
BF =CF，由（1）知：
24
D F = 6 ， B D = 8 ，  D F C = 9 0  ，
 C F = C D 2 − D F 2 = 8 2 − 6 2 = 2 7 ，
 B F = 2 7 ，
D F / / A E ， C D = 2 A D ，
 C F = 2 E F ，
 E F = 7 ，
 B E = B F − E F = 2 7 − 7 = 7 ，
 ta n  B A E =
B
A
E
E
=
9
7
．
（2）解：①  E A C = 9 0  ，
EAB+BAC=90，
 F A C =  E A B ，
  F A C +  B A C = 9 0  ，
  B A F = 9 0  ，
ta n  A F B =
A
A
B
F
=
3
4
，
令 A B = 3 x ，则 A F = 4 x ，
B F 2 = A B 2 + A F 2 ，
 B F 2 = ( 3 x ) 2 + ( 4 x ) 2 ，
BF =5x=5，
x = 1 ，
AB=3x=3，AF =4x=4，
BFAD= ABAF =2S ，
ABF
5AD=34=12，
 A D =
1 2
5
，
② 在 R t A B F 中，AD⊥BF，
 A B 2 = B D  B F ，
 3 2 = 5 B D ，
9
BD= ，
525
 D F = B F − B D =
1 6
5
，
EAC=90，  E = 4 5  ，
  B C D = 4 5  ，
  D B C = 4 5  ，
 D C = B D =
9
5
，
 c o t  D C F =
D
D
C
F
=
1
9
6
．
（3）解：① 在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A D = B D = 5 ， s in  A D C
4
5
，
 A C = A D  s in  A D C = 5 
4
5
= 4 ，
 C D = A D 2 − A C 2 = 2 5 − 1 6 = 3 ，
 B C = B D + C D = 5 + 3 = 8 ，
A D = B D = 5 ，
  A B D 是等腰三角形，
  B A D =  A B C ，
 c o t  B A D = c o t  A B C =
B
A
C
C
=
8
4
= 2
② 取 B D 的中点为 F ，连接 M F ，
边 A B 的中点为M，
 M F 是  A B D 的中位线，
 M F / / D E ，
CED=CMF，
且  D C E =  F C M ，
  C D E ∽  C F M

C
C
E
M
=
C
C
D
F
，
1 1
由① 知：CM = AB= AC2 +BC2 =2 5，CD=3，
2 2
又 C F = C D +
1
2
B D =
1 1
2
，
CE 3
=
 2 5 11，
212 5
CE= ．
11
全真战场
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）在
26
4  5 网格中， A ， B ， C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等
式正确的是 ( )
A． s i n A =
2
3
B． c o s A =
1
2
C． ta n A =
3
3 2
D．cosA=
2
【常规讲解】解：由网格构造直角三角形可得，
A B 2 = 1 2 + 3 2 = 1 0 ， A C 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ， B C 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ，
A B 2 = A C 2 + B C 2 ，
  A B C 是等腰直角三角形，
  A =  B = 4 5  ，
2 2
sinA=sin45= ，cosA=cos45= ，
2 2
ta n A = ta n 4 5  = 1 ，
 选项 D 是正确的，
故选： D ．
练习2:
（★★☆☆☆）如图，在  A B C 中， A D ⊥ B C 交BC于点 D ， A D = B D ，若 A B = 4 2 ，
ta n C =
4
3
，则 B C = ____________．【常规讲解】解：
27
A D = B D ， A D ⊥ B C ，
B=45．
A B = 4 2 ， s in B =
A
A
D
B
=
2
2
，
 B D = A D = 4 ．
在RtADC中，
ta n C =
A
C
D
D
=
C
4
D
=
4
3
，
 C D = 3 ．
 B C = B D + C D = 7 ．
故答案为：7．
练习3:
（★★★☆☆）（2023•徐汇区一模）如图，在  A B C 中，已知  C = 9 0  ， s in A =
5
1 3
．点 D
为边 A C 上一点，  B D C = 4 5  ， A D = 7 ，求 C D 的长．
【常规讲解】解：  C = 9 0  ，
BC 5
sinA= = ，
AB 13
令BC=5x， A B = 1 3 x ，
 A C = A B 2 − B C 2 = (1 3 x ) 2 − ( 5 x ) 2 = 1 2 x ，
 B D C = 4 5  ，  C = 9 0  ，
BDC=CBD=45，
 B C = C D = 5 x ，
 A D = A C − C D = 7 x = 7 ，
 x = 1 ，
CD=5x=5．练习4:
（★★★☆☆）（2020•闵行区一模）如图，在 中， ， ， ，
点 在边 上，且 ，求 的值．
【常规讲解】解：如图，过点 作 于 ，在 上取一点 ，使得
，连接 ．设 ．
， ，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
．
28
 A B C  C = 9 0   A = 3 0  B C = 1
D A C  D B C = 4 5  s in  A B D
D DM ⊥AB M BA H
BH =DH DH






C
A
D
A
B
B
B
=
C
C
D
9 0
=
=
=

9
4
6
0
5
0




−
−
A
3
4
0
5
=


3
=
=
0 
6 0
1 5


D M = a
HB=HD







D
B
s
H
D
H
D
in
B D
H M
=
=
 A
B
B
=
=
H
D
D

M
H D B
 H B D
= 2 a
2 + B
D M
=
D B
=
M
+
=
1 5

M
2
(

H
H
=
2
D B
=
a
a
+
2
=
3 a
+
6
3 0
( 2
) a

a
=
B
+
M
6
=
3 a
−
4
2
)
a
2
2
+
= (
3
2
a
+ 6 ) a关卡二
练习5:
（★★★★☆）（2020•嘉定区期末）如图，在
29
 A B C 中， A B = A C = 4 ，  C = 7 2  ， D 是
A B 的中点， D E ⊥ A B 交 A C 于点 E ，则 c o s A 的值为( )
A．
5
4
− 1
B．
5
2
− 1
C．
5
4
+ 1
D．
5
2
+ 1
【常规讲解】解： 在  A B C 中， A B = A C = 4 ，  C = 7 2  ，
  A B C =  C = 7 2  ，  A = 1 8 0  −  C −  A B C = 3 6  ．
D 是 A B 中点， D E ⊥ A B ，
 A E = B E ， A D = B D =
1
2
A B = 2 ，
  A B E =  A = 3 6  ，
  B E C =  A +  A B E = 7 2  =  C ，
 B E = B C = A E ，
设 B C = A E = x ，则 C E = A C − A E = 4 − x ．
 A B C =  B E C ，  C =  C ，
  A B C ∽  B E C ，

B
A
C
C
=
C
B
E
C
，
x 4−x
即 = ，
4 x
解得：x =2 5−2，x =−2 5−2（舍去），
1 2
 A E = 2 5 − 2 ，
 c o s A =
A
A
D
E
=
2
2
5 − 2
=
5
4
+ 1
，
故选： C ．练习6:
（★★★★★）如图，在
30
 A B C 中，AB = AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E
且AC = DC．
（1）求  B A C 的度数；
（2）求证：点D是BC的黄金分割点；
（3）利用这个图求cos 36°的值．
【教学建议】可以配合练习 5，巩固黄金三角形特殊角三角比的证明，并让学生记住这个
结论
【常规讲解】
（1）设  B = x ．
∵AB = AC， ∴  C =  B = x ．
∵DE垂直平分AB， ∴ B D = A D ，
∴  B =  B A D = x ．
∴  A D C =  B +  B A D = x + x = 2 x ．
∵AC = DC，
∴  C A D =  C D A = 2 x ．
∵C+CAD+CDA=180，
∴ x + 2 x + 2 x = 1 8 0  ，
∴x=36．
∴  B A C = 3 x = 1 0 8  ．
（2）由（1）可得：△BAD∽△BCA， 则可得：
A
B
B
C
=
B
A
D
B
A
E
B D C
．
CD BD
∵AB=CD， ∴ = ，
BC CD
∴点D是BC的黄金分割点．
( )
（3）由（2）可设：BD= 5−1 m，AB=2m．∵E为AB的中点，∴
31
B E = m ．
在 R t △ B E D 中， c o s B =
B
B
E
D
，
∴
c o s 3 6  =
( 5
m
− 1 ) m
=
5
4
+ 1
．
【答案】（1）108°；（2）证明略；（3）
5
4
+ 1
．
练习7:
（★★★★★）在ABC中，cosA=0.8，B=45，三角形一边上的高是3，求BC的
长．
【常规讲解】
【常规讲解】
①如图1，当△ A B C 边 A C 上的高 B E = 3 时，
在Rt△ABE中， c o s A =
A
A
E
B
= 0 .8 ，
设 A E = 4 x ， A B = 5 x ，
则BE= AB2 −AE2 = (5x)2 −(4x)2 =3x．
∵ B E = 3 ，∴ 3 x = 3 ，∴x=1，∴AB=5x=5．
过点C作CD⊥ AB，交AB于点D．
在Rt△ACD中， c o s A =
A
A
E
B
= 0 .8 ，
设 A C = 5 m ， A D = 4 m ，则CD= CA2 −AD2 = (5m)2 −(4m)2 =3m；
CD
在Rt△BCD中，tanCBA= =1，则BD=3m．
BD
5 15
∴4m+3m=5，∴m= ．∴BC= CD2 +BD2 = (3m)2 +(3m)2 = 2．
7 7
②如图2所示，当△ABC边AB上的高CF =3时．∵
32
 B = 4 5  ， C F ⊥ B F ，
∴ C F = B F = 3 ，
∴ B C = 3 2 ．
③如图3，当△ABC边BC上的高AG=3时．
在 R t △ A B G
AG 2 3 2
中，sinB= = ， ∴ = ， ∴
AB 2 AB 2
A B = 3 2 ，
过点 C 作 C H ⊥ A B ，交AB于点H．
在 R t △ A C H 中， c o s A =
A
A
H
C
= 0 .8 ，
设 A C = 5 a ， A D = 4 a ，则CH = CA2 −AH2 = (5a)2 −(4a)2 =3a；
在 R t △ B C H
CH
中，tanB= =1，则BH =3a．
BH
∴4a+3a=3 2 ，∴ a =
3
7
2 ，∴ B C = C H 2 + B H 2 = ( 3 a ) 2 + ( 3 a ) 2 =
1 8
7
．
【答案】
1 5
7
2 或 3 2
18
或 ．
7