FY25暑假初三A09B06解直角三角形学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_学生版PDF

09A/06B 解直角三角形
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）解直角三角形的主要依据
（2）解直角三角形的类型与解法
2. 考情分析
（1）解直角三角形，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%.
（2）解直角三角形以解答题为主，也会在选填题中作为基础进行考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第二节：解直角三角形 25.3解直
角三角形
（4）解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角
三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角
形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
1知识加油站——解直角三角形
考点一：直接解直角三角形
知识笔记1
一、解直角三角形的主要依据
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，由已知元素求出_________________的过程，叫做解直角三角形．
2、直角三角形的组成
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即_________________．
3、解直角三角形的主要依据
设在
2
R t  A B C 中，  C = 9 0 ，  A 、  B 、  C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，AB边上的高为
h ，则有：
（1）三边之间的关系：_____________（勾股定理）．
（2）边角之间的关系：
s i n A =
a
c
, c o s A =
b
c
, t a n A =
a
b
, c o t A =
b
a
,
s i n B =
b
c
, c o s B =
a
c
, t a n B =
b
a
, c o t B =
a
b
（3）面积公式： S
 A B C
=
1
2
a b =
1
2
c h
4、解直角三角形的条件
在直角三角形中，除直角外，一共有_____个边角条件，知道除直角外的______个条件
（_________________），就可以解直角三角形的其他边角条件。二、解直角三角形的类型与解法
已知和解法 已知条件 解法步骤
两直角边
两边
3
( a , b )
∠ A =____________;
∠ B =____________;
c=____________.
斜边，一直角边（如c 、 a ）
∠ A =____________;
∠ B =____________;
b=____________.
锐角，邻边（如
一直角
边和一
锐角
一边
一角
 A ， b
∠B=____________;
a=____________
）
c=____________.
锐角，对边（如
A，a）
∠ B =____________;
b=____________
c=____________.
斜边、锐角（如 c 、  A
∠B=____________;
a=____________
）
b=____________.
斜边、锐角（如 c 、  B ）
∠ A
B
=____________;
a=____________
b=____________.例题1:
（2020•金山区期末）在
4
 A B C 中，已知  C = 9 0  ，  B = 3 7  ，c=8，
求这个直角三角形的其他边和角（ s in 3 7   0 .6 ， c o s 3 7   0 .8 ， ta n 3 7   0 .7 5 ， c o t 3 7   0 .2 5 ）．
练习1:
在  A B C 中， C=90，A=43，b = 9，解这个直角三角形（sin430.68，
c o s 4 3   0 .7 3 ， ta n 4 3   0 .9 3 ， c o t 4 3   1 .0 7 ）．
考点二：直角三角形中线段关系的表示
例题2:
（1）（2021•闵行区校级期中）  A B C 中  C = 9 0  ，若 A B = 2 ，A=，则 A C 长为 ( )
A． 2 s in  B． 2 c o s
2 2
 C． D．
sin cos
（2）（2022•奉贤区期中）如图，在  A B C 中，  A C B = 9 0  ，CD⊥ AB，那么下列结论正
确的是 ( )
A．CD= ABtanB B．CD=BCsinB C．CD= ACsinB D．CD= ADcotA．（3）（2020•静安区期末）在RtABC中，C=90，
5
C D 是高，如果 A B = m ， A   = ，
那么 C D 的长为( )
A． m s in ta n     B． m s in c o s     C．mcostan D．mcoscot
练习2:
（1）（2022•宝山区期中）在RtABC中，C=90，B=，AB=m，那么边AC的长
为 ( )
A．m sin B．m cos C． m ta n  D． m c o t 
（2）（2022•徐汇区校级期中）在 R t A B C 中，  B = 9 0  ，如果A=， B C = a ．那么 A C
的长是 ( )
A． a ta n   B． a ta n a c o t     C．
c o
a
s
a
D．
 sin
（3）（2021•闵行区校级期中）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ，B=， A C = m ，那么边 A B
的长为 ( )
A．
s
m
in
B．

m c o s   C． m s in   D．mcot知识加油站 2——解常规三角形
知识笔记2
1、解一般三角形的条件
解一般三角形所需的条件与确定一般的三角形或者一般三角形的_______________是一
致的，即需要知道_______________（_________________）便可解一般三角形。
2、解一般三角形的方法
在解一般三角形时，通常都需要______，化归成____________，进行求解。
3、添线原则
_____________________________________________。
考点三：解常规三角形——SAS
例题3:
（1）在
6
 A B C 中，  B A C = 1 2 0  ， A C = 6 ， A B = 4 ，则 B C 的长是( )
A． 6 2 B． 2 1 9 C． 2 1 3 D．9
（2）（2021•金山区校级期中）在  A B C 中，AB=6，BC=8，  B = 6 0  ，则  A B C 的面
积是________．
练习3:
（1）（2023•杨浦区一模）已知在  A B C 中，AB=13，BC =17， ta n B =
1
5
2
，那么AC=_______.
（2）（2020•黄浦区期末）在ABC中，AB=5，BC=8，B=60，则ABC 的面积
是__________．考点四：解常规三角形——SSS
例题4:
（1）（2023•宝山区期末）在
7
 A B C 中，如果 B C = 2 ， A B = 7 ， A C = 3 ，那么 c o s A = _______．
（2）（2023•普陀区一模）在  A B C 中， A C = 5 ， B C = 1 2 ， A B = 1 3 ，那么 s in B = _______．
练习4:
（1）（2023•奉贤区一模）在  A B C 中，如果 A B = A C = 7 ，BC =10，那么 c o s B 的值是_______．
（2）（2022•嘉定区校级期末）已知在  D E F 中，DE=DF =12， E F = 1 0 ，那么 c o s E =
_________．
（3）（2020•金山区期末）在ABC中，AB:AC:BC=1:2: 5，那么tanB=_______．考点五：解常规三角形——AAS
例题5:
（2023•奉贤区期末）在
8
 A B C 中，  A = 4 5 
5
，cosB= (B是锐角），BC= 5，那么
5
A B
的长为_______．
练习5:
（2022•金山区校级期末）如图，在  A B C 中， s in B =
1
4
， ta n C =
1
2
， A B = 4 ，则 A C 的长为
_______．
考点六：解常规三角形——SSA
例题6:
（1）在  A B C 中， B C = 4 ，AC=4 3，  A = 3 0  ，则AB的长为 ( )
A． 3 B．4 C． 3或8 D．4或8
（2）（2022•徐汇区校级期中）在  A B C 中， A B = 1 0 ， A C = 6 ，  B = 3 0  ，则 B C =
________________．
练习6:
（1）（2020•青浦区期末）在ABC中，BC=2，AC=2 3，A=30，则AB的长为 ( )
A． 3 B．2 C． 3 或4 D．2或4
（2）（2021•虹口区校级期末）在ABC中，AB=6，AC=2 6 ，B=45，则C =_________．考点七：网格图解三角形
例题7:
（1）（2023•徐汇区一模）如图，在由正三角形构成的网格图中，
9
A 、 B 、 C 三点均在
格点上，则 s in  B A C 的值为_________．
（2）（2024•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A 、 B 、 C 、 D
都在这些小正方形的顶点上， A B 、 C D 相交于点 O ，那么 s in  B O D 的值为 _________．
练习7:
（1）（2022•浦东新区期中）如图，  A O B 是放置在正方形网格中的一个角，则 s in  A O B 的
值为 ( )
1 3 3
A． B． C． D．
2 3 2 2
2（2）（2020•嘉定区期末）如图，
10
 A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，则 ta n  A C B 的
值为 ( )
A．
1
3
B．
3
5
C．
2
3
D．
1
2
（3）（2024•普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点 A 、B、C、 D 、 E 都在
小正方形顶点的位置上，联结 A B 、 C D 相交于点 P ，根据图中提示添加的辅助线，可以得
到 c o s  B P C 的值等于______．考点八：解三角综合
例题8:
（1）（2023•虹口区一模）如图，在RtABC中，BAC=90，BC=9，
11
s in B =
2
3
，点 E
在边 A C 上，且 A E = 2 E C ，过点E作DE//BC交边 A B 于点D，  A C B 的平分线 C F 交线
段DE于点F ，求 D F 的长．
（2）（2022•杨浦区期中）如图，已知ABC中，AB=12，  B = 3 0 
24
，tanC= ，边
7
A B
的垂直平分线分别交 A B 、BC于点D、 E ．求线段CE的长．（3）（2023•松江区一模）如图，已知ABC中，AB= AC=10，BC =12，D是AC的中
点，
12
D E ⊥ B C 于点 E ， E D 、 B A 的延长线交于点 F ．
① 求  A B C 的正切值；
② 求
D
D
F
E
的值．
练习8:
（1）（2023•崇明区一模）如图， D 是  A B C 边上的一点， C D = 2 A D ， A E ⊥ B C ，垂足为
点E，若 A E = 9 ， s in  C B D =
3
4
．
① 求 B D 的长；
② 若 B D = C D ，求 ta n  B A E 的值．
（2）（2022•浦东新区期末）如图，在 R t E A C 中，  E A C = 9 0  ，  E = 4 5  ，点 B 在边 E C
上， B D ⊥ A C ，垂足为D，点F 在BD延长线上，  F A C =  E A B ， B F = 5
3
，tanAFB= ．
4
求：① AD的长；
② c o t  D C F 的值．全真战场
关卡一
练习1:
13
4  5 网格中， A ， B ， C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确是 ( )
A． s i n A =
2
3
B． c o s A =
1
2
C． t a n A =
3
3 2
D．cosA=
2
练习2:
如图，在  A B C 中， A D ⊥ B C 交 B C 于点 D ， A D = B D ，若 A B = 4 2 ， ta n C =
4
3
，则 B C =
____________．
练习3:
（2023•徐汇区一模）如图，在ABC中，已知  C = 9 0  ， s in A =
5
1 3
．点 D 为边 A C 上一点，
 B D C = 4 5  ， A D = 7 ，求 C D 的长．练习4:
（2020•闵行区一模）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，
且 ，求 的值．
关卡二
练习5:
（2020•嘉定区期末）如图，在
14
 A B C 中， A B = A C = 4 ，  C = 7 2  ， D 是AB的中点， D E ⊥ A B
交 A C 于点E，则 c o s A 的值为( )
A．
5
4
− 1
B．
5
2
− 1
C．
5
4
+ 1
D．
5
2
+ 1
 A B C  C = 9 0  A=30
 D B C = 4 5  s in  A B D
B C = 1 D A C练习6:
如图，在
15
 A B C 中，AB = AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E且AC = DC．
（1）求  B A C 的度数；
（2）求证：点D是BC的黄金分割点；
（3）利用这个图求cos 36°的值．
练习7:
在ABC中， c o s  A = 0 .8 ，  B = 4 5 
A
E
B D C
，三角形一边上的高是3，求BC的长．