文档内容
10A/07B 三角比的应用
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）仰角与俯角
（2）方位角
（3）坡度/坡比
2. 考情分析
（1）三角比的应用，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%.
（2）三角比的应用以解答题为主，会与相似结合进行考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第二节：解直角三角形 25.4解直
角形的应用.
（4）解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点
在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．
1知识加油站 1——仰角与俯角
考点一：仰角和俯角的判断
知识笔记1
仰角与俯角
在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的
角中，视线在水平线上方的角叫做___________，视线在水平线下方的角叫做__________．
例题1:
（1）（2022•上海四中期末）如图，下列角中为俯角的是
2
( )
A．1 B．2 C． 3 D．4
（2）（2020•杨浦区一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35，那
么点 B 处小明看点 A
视线
铅
仰角
垂
俯角 水平线
线
视线
处小丽的仰角是( )
A．35 B．45 C．55 D．65练习1:
（1）（2020•嘉定区期末）如图，在点
3
B 处测得 A 处的俯角是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
（2）（2021•静安区一模）如果在 A 点处观察 B 点的仰角为，那么在B点处观察 A 点的俯
角为_______．（用含的式子表示）
考点二：仰角和俯角的计算
例题2:
（1）（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的
目标A点的俯角为，那么此时飞机与目标 A 点的距离为________千米．（用的式子表
示）（2）（2022•徐汇区中考自评）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进
球，已知小明与篮板底的距离
4
B C = 5 米，眼睛与地面的距离 A B = 1 .7 米，视线 A D 与水平
线的夹角为，已知tan的值为0.3，则点D到地面的距离 C D 的长为________米．
（3）（2022•杨浦区三模）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看
到教学楼底部点B处的俯角为 4 5 ，看到楼顶部点C处的仰角为 6 0 ，已知两栋楼之间的
水平距离为6米，那么教学楼的高 C B = ___________米．（结果保留根号）
（4）（2022•青浦区期中）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计
算方法，在 A 点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到 B 点，测得古树顶的仰角为
，则古树的高度为___________米．练习2:
（1）（2021•嘉定区一模）如图，飞机在目标
5
B 的正上方 A 处，飞行员测得地面目标 C 的俯
角=30，如果地面目标 B 、C之间的距离为 6 千米，那么飞机离地面的高度 A B 等于
______千米．（结果保留根号）
（2）如图，创新小组要用架高 A B = 1 .6 米的测角仪测量公园内一棵树的高度CD，其中一
名小组成员站在距离树 4.8 米的点 B 处，测得树顶 C 的仰角为 4 5 ．则这棵树的高度为 (
)
A．1.6米 B．4.8米 C．6.4米 D．8米
（3）（2021•浦东建平实验期末）如图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 M
的俯角为， ta n
2
3
= ，水平飞行900米后，到达点 B 处，又测得标志物M的俯角为
， ta n
4
3
= ，那么此时飞机离地面的高度为_________米．例题3:
（2023•金山区一模）如图，小睿为测量公园的一凉亭
6
A B 的高度，他先在水平地面点 E 处用
高1.5m的测角仪DE测得顶部 A 的仰角为31，然后沿 E B 方向向前走3m到达点G 处，在
点 G 处用高 1 .5 m 的测角仪 F G 测得顶部 A 的仰角为42．求凉亭 A B 的高度 ( A B ⊥ B E ，
D E ⊥ B E ， F G ⊥ B E ．结果精确到 0 .1 m ) ．
（参考数据： s in 3 1 0 .5 2 ， c o s 3 1 0 .8 6 ， ta n 3 1 0 .6 0 ， s in 4 2 0 .6 7 ， c o s 4 2 0 .7 4 ，
ta n 4 2 0 .9 0 )练习3:
（2023•嘉定区一模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建
立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图 2，为测量海岛上一座山峰
7
A H 的高度，直立两根高 2 米的标杆 B C 和DE，两杆间距
B D 相距 6 米，D、 B 、 H 三点共线．从点 B 处退行到点 F ，观察山顶 A ，发现 A 、 C 、
F 三点共线，且仰角为 4 5 ；从点 D 处退行到点 G ，观察山顶 A ，发现 A 、 E 、 G 三点共
线，且仰角为 3 0 ．（点 F 、 G 都在直线 H B 上）
（1）求 F G 的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度 A H 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据： 2 1 .4 1 ， 3 1 .7 3 )知识加油站 2——方向角
考点三：方向角的简单计算
知识笔记2
方向角
指北或指南方向线与______________所成的小于90°的角叫做方向角．
如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．
例题4:
（1）（2024•徐汇区一模）如图，一段东西向的限速公路
8
M N 长 500 米，在此公路的南面有
一监测点P，从监测点P观察，限速公路 M N 的端点M在监测点P的北偏西60方向，端
点N在监测点P的东北方向，那么监测点 P 到限速公路 M N
北
北偏东30°
北偏西70° 30°
70°
45° 50°
南偏东50°
南偏西45°
的距离是 _________米（结果
保留根号）．（2）（2023•嘉定区一模）如图，在港口A的南偏西
9
3 0 方向有一座小岛B，一艘船以每小时
12海里的速度从港口 A 出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C处测得小岛 B 在
船的正南方向，那么小岛 B 与 C 处的距离 B C = ________海里（结果保留根号）．
（3）（2020•普陀区期中）如图，甲、乙两船同时从港口 O 出发，其中甲船沿北偏西 3 0
方向航行，乙船沿南偏西 7 0 方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两
船分别到达点 A 、 B 处，那么点 B 位于点 A 的 ( )
A．南偏西40 B．南偏西30 C．南偏西20 D．南偏西10
练习4:
（1）（2020•徐汇区二模）如果从货船A测得小岛 b 在货船A的北偏东 3 0 方向500米
处，那么从小岛 B 看货船 A 的位置，此时货船 A 在小岛 B 的( )
A．南偏西 3 0 方向500米处 B．南偏西 6 0 方向500米处
C．南偏西30方向250 3米处 D．南偏西60方向250 3米处（2）（2023•青浦实验期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东
10
3 0 方向，海监船C
在灯塔 B 的正东方向 5 海里处，此时海监船 C 发现货轮A在它的正北方向，那么海监船 C
与货轮A的距离是 ( )
A．10海里 B． 5 3 海里 C．5海里 D．
5
3
3 海里
（3）（2020•松江区期末）如图，一艘船从A处向北偏东30的方向行驶10千米到B
处，再从 B 处向正西方向行驶20千米到 C 处，这时这艘船与 A 的距离 ( )
A．15千米 B．10千米 C．
1 0 3
千米 D．
5 3
千米考点四：坡度与坡比的简单计算
知识笔记3
坡度（坡比）
如图，坡面的__________和__________叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即
h
l
11
i =
h
l
．
坡度通常写成1 : m的形式，如 i = 1 : 1 .5 ．
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．
坡度i与坡角之间的关系： i
h
l
ta n = = ．
例题5:
（1）（2023•虹口区一模）如果某个斜坡的坡度是1: 3，那么这个斜坡的坡角为 ( )
A． 3 0 B． 4 5 C． 6 0 D．90
（2）（2023•徐汇区一模）小球沿着坡度为i=1:1.5的坡面滚动了 1 3 m ，则在这期间小球
滚动的水平距离是______ m ．
（3）（2022•静安区一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作 B C 、 A D ，
且迎水坡AB的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡 C D 的坡度为 1 : 3 ，则迎水坡AB的坡角______背水坡
C D 的坡角．（填“大于”或“小于” )
练习5:
（1）（2024•杨浦区一模）小华沿着坡度i=1:3的斜坡向上行走了5 10米，那么他距离地面
的垂直高度上升了_______米．（2）（2023•黄浦区一模）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为 20 厘米，宽度为 30 厘
米，那么斜面
12
A B 的坡度为_______．
（3）（2023•普陀区期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）
为 4 m ，如果在坡比为 i = 1 :
4
3
的山坡上种树，也要求株距为 4 m ，那么相邻两树间的坡面距
离为_______米．
（4）（2023•静安区校级一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作 B C 、 A D ，
且迎水坡 A B 的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡 C D 的坡度为1:3，则迎水坡 A B 的坡角 _______背水
坡 C D 的坡角．（填“大于”或“小于” )考点五：坡度与坡比的综合应用
例题6:
（2022•嘉定区新城实验期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库
作了改进．如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡
13
A C 长为13米，它的坡度为 i = 1 : 2 .4 ，
A B ⊥ B C ，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 1 7 ，即 A D C = 1 7 （此时点 B 、 C 、
D 在同一直线上）．
求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据： s in 1 7 0 .2 9 ， c o s 1 7 0 .9 6 ，tan170.31)
练习6:
（2021•松江区一模）某货站沿斜坡 A B 将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移
动，当木箱的底部到达点 B 时的平面示意图如图所示．已知斜坡 A B 的坡度为 1 : 2 .4 ，点 B
到地面的距离BE=1.5米，正方体木箱的棱长BF =0.65米，求点 F 到地面的距离．全真战场
关卡一
练习1:
（2020•黄浦区期末）如果视线与水平线之间的夹角为
14
3 6 ，那么该视线与铅垂线之间的夹角
为__________度．
练习2:
（2020•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30方向，海监船C在灯塔
B 的正东方向 5 海里处，此时海监船 C 发现货轮 A 在它的正北方向，那么海监船 C 与货轮
A 的距离是 ( )
A．10海里 B． 5 3 海里 C．5海里 D．
5
3
3 海里
练习3:
如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为 1 8 c m ，宽为 3 0 c m ，为方便残疾人士，拟在
门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为 A 点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡 B C 的坡
度i=1:5，则 A C 的长度是__________ c m ．练习4:
（2020•松江区期末）如图，垂直于水平面的
15
5 G 信号塔 A B 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点
处（点A、B、 C 在同一直线上）．某测量员从悬崖底 C 点出发沿水平方向前行60米到D
点，再沿斜坡 D E 方向前行65米到 E 点（点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 在同一平面内），在点 E
处测得 5 G 信号塔顶端 A 的仰角为 3 7 ，悬崖 B C 的高为92米，斜坡 D E 的坡度 i = 1 : 2 .4 ．
（1）求斜坡 D E 的高 E H 的长；
（2）求信号塔 A B 的高度．
（参考数据： s in 3 7 0 .6 0 ， c o s 3 7 0 .8 0 ， ta n 3 7 0 .7 5 ．)关卡二
练习5:
（2020•宝山区一模）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼
16
( A B ) 高度的实践活动，三
个小组设计了不同方案，测量数据如表：
课题 测量教学大楼 ( A B ) 的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一组 第二组 第三组
测量方案
示意图
点
说明
C 、 D 在点 B 的正东方
向
G H 是教学大楼旁的居
民住宅楼
E F 是教学大楼正南方向的
“校训石”，借助 E F 进行测
量，使P、 E 、 A 三点在一
条直线上，点P、 F 在点 B
的正南方向．
从点
测量数据
C 处测得 A点的仰
角为 3 7 ，从点 D 处测得
A 点 的 仰 角 为 4 5 ，
C D = 1 2
从点
米
G 处测得 A 点的仰
角为 3 7 ，测得 B 点的俯
角为 4 5
E F = 9 米，从点 P 处测得 A
点的仰角为 3 7 ，从点 F 处
测得 A 点的仰角为 4 5
（1）根据测量方案和所得数据，第__________小组的数据无法算出大楼高度？
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．
【参考数据：sin370.60，cos370.80， ta n 3 7 0 .7 5 】练习6:
如图，在东西方向的海岸线
17
l 上有长为300米的码头 A B ，在码头的最西端 A 处测得轮船
M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离100米的C处测得轮船 M
在北偏东 2 2 方向上．
（1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船 M 沿着南偏东 3 0 的方向航行，那么该轮船能否行至码头 A B 靠岸？请说明
理由．
（参考数据： s in 2 2 0 .3 7 5 ， c o s 2 2 0 .9 2 7 ， ta n 2 2 0 .4 0 4 ， 3 1 .7 3 2 ． )练习7:
（2022•浦东新区罗山中学期中）图 1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形
ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，
18
A ， D 两点在地面上，
已知 A D = 4 0 m ，设计桥高为 4 m ，设计斜梯的坡度为 1 : 2 .4 ．点 A 左侧25m点 P 处有一棵古
树，有关部门划定了以 P 为圆心，半径为 3 m 的圆形保护区．
（1）求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
（2）为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到 5 m ，同时为了方便自行车及电动车上
桥，新斜梯的坡度要减小到1:4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案
要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点 N 在左侧的新斜梯上，并在点 N 处安装无障
碍电梯，坡道起点 M 在 A P 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点 N 距离地面的高度
为 0 .9 m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．
表：轮椅坡道的最大高度和水平长度
坡度
1 : 2 0 1 : 1 6 1 : 1 2 1:10 1 : 8
最大高度 ( m ) 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30
水平长度 ( m ) 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40
