FY25暑假初三A10B07三角比的应用教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

10A/07B 三角比的应用 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）仰角与俯角 （2）方位角 （3）坡度/坡比 2. 考情分析 （1）三角比的应用，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%. （2）三角比的应用以解答题为主，会与相似结合进行考察. （3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第二节：解直角三角形 25.4解直 角形的应用. （4）解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点 在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 【考情说明】本讲我们重点讲解仰俯角、方位角、坡度/坡比类的基本应用，在三角比应用 中属于中等和简单类题型，难题往往是复杂的生活实际应用，需要学生能够读懂题目并自 己讲题干中的数字和图中先端匹配后再进行求解三角形，这类实际性较强的题型我们会在 季专门抽一节课进行专题讲解，本讲只涉及直接解三角形型的三角比应用。 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：仰角与俯角 40分钟 切片2：方位角 15分钟 切片3：坡度 / 坡比 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——仰角与俯角【建议时长：40分钟】 考点一：仰角和俯角的判断 知识笔记1 仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的角叫做___________，视线在水平线下方的角叫做__________． 【填空答案】 仰角、俯角 经典演练 例题1: （1）（★☆☆☆☆）（2022•上海四中期末）如图，下列角中为俯角的是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（★☆☆☆☆）（2020•杨浦区一模）如果小丽在楼上点 2 A 处看到楼下点 B 视线 铅 仰角 垂 俯角 水平线 线 视线 处小明的 俯角是35，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是( ) A．35 B．45 C．55 D．65【配题说明】仰角和俯角的基本概念 【常规讲解】 （1）解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角． 故选： 3 C ． （2）解：因为从点 A 看点 B 的仰角与从点 B 看点 A 的俯角互为内错角，大小相等．所以 小丽在楼上点 A 处看到楼下点 B 处小明的俯角是35， 点B处小明看点 A 处小丽的仰角是 3 5  ． 故选： A ． 【常见结论】A看B的仰角 = B看A的俯角 练习1:【学习框8】 （1）（★☆☆☆☆）（2020•嘉定区期末）如图，在点B处测得A处的俯角是 ( ) A．  1 B．  2 C．  3 D．  4 （2）（★☆☆☆☆）（2021•静安区一模）如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点 处观察 A 点的俯角为_______．（用含的式子表示） 【配题说明】仰角和俯角的基本概念 【常规讲解】 （1）解：由俯角的定义：在点B处测得A处的俯角是1； 故选： A ． （2）解：如图： A、B两点的水平线分别为AM 、 B N ， 由题意得：AM //BN ，BAM =， ABN =BAM =，4  如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为， 故答案为：． 考点二：仰角和俯角的计算 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得 该水平地面上的目标 A 点的俯角为，那么此时飞机与目标 A 点的距离为________千 米．（用的式子表示） （2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区中考自评）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板 的点 D 处后进球，已知小明与篮板底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离 A B = 1 .7 米，视 线 A D 与水平线的夹角为，已知 ta n 的值为0.3，则点 D 到地面的距离 C D 的长为 ________米． （3）（★★★☆☆）（2022•杨浦区三模）从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼，探 测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为 4 5  ，看到楼顶部点C处的仰角为 6 0  ，已知 两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高 C B = ___________米．（结果保留根号）（4）（★★★★☆）（2022•青浦区期中）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡 住去路，采用计算方法，在 5 A 点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到 B 点，测得古 树顶的仰角为，则古树的高度为___________米． 【常规讲解】 （1）解：如图：BC为飞机离地面的高度， 由题意得： B C ⊥ A C ，BC=3千米， D B A   = ， B D / / A C ， A D B A    =  = ， 在 R t A B C BC 3 中，AB= = （千米）， sinA sin  此时飞机与目标 A 点的距离为 s 3 in 千米，  3 故答案为： ． sin （2）解：由题意得： AE=BC=5米，EC= AB=1.7米， 在 R t A D E 中，tan=0.3， DE= AEtan=50.3=1.5（米 ) ， DC=DE+EC=1.5+1.7=3.2（米 ) ，  点 D 到地面的距离CD的长为3.2米， 故答案为：3.2．（3）解：过点A作AD⊥BC于点D． 则AD=6米， 6  C A D = 6 0  ，  D A B = 4 5  ， 在RtACD中， ta n 6 0  = C A D D = C D 6 = 3 ， 解得CD=6 3， 在 R t A B D 中， ta n 4 5  = B A D D = B D 6 = 1 ， 解得 B D = 6 ， BC=CD+BD=(6+6 3)米． 故答案为： ( 6 + 6 3 ) ． （4）解：设 C D = x 米， 在 R t A C D 中， ta n C A D D  = ， A D ta x n   = ， 在 R t B C D 中， ta n C B D D  = ， B D ta x n   = ， A D − B D = 1 0 0 ，  ta x n ta x n 1 0 0   − = ， 解得 x 1 0 0 ta n ta n ta ta n n     =  −  ， 100tantan 故答案为： ． tan−tan练习2:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2021•嘉定区一模）如图，飞机在目标 7 B 的正上方A处，飞行员测得地 面目标C的俯角=30，如果地面目标 B 、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高 度 A B 等于______千米．（结果保留根号） （2）（★★☆☆☆）如图，创新小组要用架高 A B = 1 .6 米的测角仪测量公园内一棵树的高度 C D ，其中一名小组成员站在距离树4.8米的点 B 处，测得树顶 C 的仰角为 4 5  ．则这棵树 的高度为 ( ) A．1.6米 B．4.8米 C．6.4米 D．8米 （3）（★★★☆☆）（2021•浦东建平实验期末）如图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上 一个标志物M的俯角为， ta n 2 3  = ，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物 M 的俯角为， ta n 4 3  = ，那么此时飞机离地面的高度为_________米．【常规讲解】 （1）解：如图所示： 8 A D / / B C ，   C =  D A C = 3 0  ， A B ⊥ B C ，   A B C = 9 0  ，  A B = 3 3 B C = 3 3  6 = 2 3 （米 ) ， 即飞机离地面的高度 A B 等于 2 3 米， 故答案为： 2 3 ． （2）解：如图，过点 A 作 A E ⊥ C D ，垂足为 E ．则四边形 A B D E 是矩形， D E = A B = 1 .6 米， A E = B D = 4 .8 米， 在RtACE中，AE=4.8米，CAE=45， CE= AE=4.8米．  C D = C E + D E = 4 .8 + 1 .6 = 6 .4 （米 ) ． 故树的高度约为6.4米． 故选： C ． （3）解：作 P C ⊥ A B 交 A B 于点 C ，如右图所示， A C P ta C n P C 2 3   = = PC PC BC= = ， tan 4 ， 3 AB= AC−BC，  9 0 0 = P C 2 3 − P C 4 3 ，  P C = 1 2 0 0 ， 答：此时飞机离地面的高度为1200米， 故答案为：1200．例题3: （★★★☆☆）（2023•金山区一模）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平 地面点E处用高 9 1 .5 m 的测角仪 D E 测得顶部 A 的仰角为 3 1  ，然后沿EB方向向前走 3 m 到 达点G 处，在点 G 处用高 1 .5 m 的测角仪 F G 测得顶部 A 的仰角为 4 2  ．求凉亭AB的高度 ( A B ⊥ B E ， D E ⊥ B E ， F G ⊥ B E ．结果精确到 0 .1 m ) ． （参考数据： s in 3 1   0 .5 2 ， c o s 3 1   0 .8 6 ， ta n 3 1   0 .6 0 ， s in 4 2   0 .6 7 ， c o s 4 2   0 .7 4 ， ta n 4 2   0 .9 0 ) 【教学建议：重点讲解解答题的书写格式要求，属于一模22的常考题型，对格式要求严 格】 【常规讲解】 解：延长 D F 交AB于点C，如图所示， 由题意可得， DE=FG=1.5m，  A D C = 3 1  ，  A F C = 4 2  ，DF =3m， ACD=ACF =90，  C D = ta A n C 3 1  ， C F = ta A n C 4 2  ， DF =CD−CF ， AC AC 3= − ， tan31 tan42解得AC5.4， 10  A B = A C + B C = 5 .4 + 1 .5 = 6 .9 ( m ) ， 即凉亭AB的高度约为 6 .9 m ． 【拓展讲解】→全真战场关卡二练习5（不同俯角的测量相关问题） 练习3:【学习框12】 （★★★☆☆）（2023•嘉定区一模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这 本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图 2，为测量海岛上一座山峰 A H 的高度，直立两根高 2 米的标杆BC和 D E ，两杆间距 B D 相距 6 米， D 、 B 、 H 三点共线．从点 B 处退行到点 F ，观察山顶A，发现 A 、 C 、 F 三点共线，且仰角为45；从点 D 处退行到点 G ，观察山顶 A ，发现 A 、 E 、 G 三点共 线，且仰角为 3 0  ．（点 F 、 G 都在直线 H B 上） （1）求 F G 的长（结果保留根号）； （2）山峰高度 A H 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据： 2  1 .4 1 ， 3  1 .7 3 ) 【常规讲解】 解：（1）由题意得：CB⊥FH ，ED⊥HG，在 11 R t F B C 中，  B F C = 4 5  ， B C = 2 ，  B F = ta B n C 4 5  = 2 （米 ) ， 在 R t D E G 中，  G = 3 0  ， D E = 2 ， DE 2 DG= = =2 3（米 tan30 3 3 ) ， B D = 6 米，  F G = B D + D G − B F = 6 + 2 3 − 2 = ( 4 + 2 3 ) 米，  F G 的长为 ( 4 + 2 3 ) 米； （2）设 A H = x 米， 在 R t A H F 中，  A F H = 4 5  ，  F H = ta A n H 4 5  = x （米 ) ， FG=(4+2 3)米，  H G = H F + F G = ( x + 4 + 2 3 ) 米， 在RtAHG中，  G = 3 0  ，  H G = ta A n H 3 0  = A H 3 3 = 3 A H ，  x + 4 + 2 3 = 3 x ， 解得： x = 5 + 3 3  1 0 .2 ，  A H = 1 0 .2 米，  山峰高度 A H 的长约为10.2米．知识加油站 2——方向角【建议时长：40分钟】 考点三：方向角的简单计算 知识笔记2 方向角 指北或指南方向线与______________所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 【填空答案】 目标方向线 例题4: （1）（★★★☆☆）（2024•徐汇区一模）如图，一段东西向的限速公路 12 M N 长500米，在此 公路的南面有一监测点 P ，从监测点 P 观察，限速公路 M N 的端点 M 在监测点 P 的北偏西 60方向，端点 N 在监测点 P 的东北方向，那么监测点 P 到限速公路 M N 北 北偏东30° 北偏西70° 30° 70° 45° 50° 南偏东50° 南偏西45° 的距离是 _________米（结果保留根号）．（2）（★★★☆☆）（2023•嘉定区一模）如图，在港口A的南偏西 13 3 0  方向有一座小岛B， 一艘船以每小时 12 海里的速度从港口 A 出发，沿正西方向行驶，行了 30 分钟时这艘船在 C 处测得小岛 B 在船的正南方向，那么小岛 B 与 C 处的距离 B C = ________海里（结果保留 根号）． （3）（★★★☆☆）（2020•普陀区期中）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船 沿北偏西 3 0  方向航行，乙船沿南偏西 7 0  方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小 时后甲、乙两船分别到达点 A 、 B 处，那么点 B 位于点 A 的 ( ) A．南偏西 4 0  B．南偏西 3 0  C．南偏西 2 0  D．南偏西 1 0  【常规讲解】 （1）解：如图，过点 P 作 P A ⊥ M N 于点 A ， 则  P A M =  P A N = 9 0  ， 设 P A = x 米， 由题意可知，  M P A = 6 0  ，NPA=45，   P A N 是等腰直角三角形，  N A = P A = x 米， MA tanMPA= =tan60= 3， PA MA= 3PA= 3x（米)，14 M A + N A = M N = 5 0 0 ，  3x+x=500， 解得： x = 2 5 0 3 − 2 5 0 ， 即监测点 P 到限速公路 M N 的距离是 ( 2 5 0 3 − 2 5 0 ) 米， 故答案为： ( 2 5 0 3 − 2 5 0 ) ． （2）解：过点 B 作 B C ⊥ 东西方向于点 C ， 由题意得： A C = 1 2  1 2 = 6 海里，  B = 3 0  ， ta n B = A B C C ，  B C = A ta C n B = 6 3 3 = 6 3 （海里）， 故答案为：6 3． （3）解： 甲船沿北偏西 3 0  方向航行，乙船沿南偏西 7 0  方向航行，两船的航行速度相 同，  A O = B O ，  B O A = 8 0  ，  O A D = 3 0    B A O =  A B O = 5 0  ，   B A D =  B A O −  O A D = 5 0  − 3 0  = 2 0  ，  点B位于点A的南偏西 2 0  的方向上， 故选： C ． 【拓展讲解】→全真战场关卡6（要在2个及以上的三角形中利用方位角和方程思想求线段 长） 练习4:【学习框14】 （1）（★★★☆☆）（2020•徐汇区二模）如果从货船 A 测得小岛 b 在货船 A 的北偏东 3 0  方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的 ( ) A．南偏西30方向500米处 B．南偏西60方向500米处 C．南偏西 3 0  方向 2 5 0 3 米处 D．南偏西60方向 2 5 0 3 米处（2）（★★☆☆☆）（2023•青浦实验期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东 15 3 0  方 向，海监船 C 在灯塔 B 的正东方向 5 海里处，此时海监船 C 发现货轮 A 在它的正北方向， 那么海监船 C 与货轮A的距离是 ( ) A．10海里 B． 5 3 海里 C．5海里 D． 5 3 3 海里 （3）（★★☆☆☆）（2020•松江区期末）如图，一艘船从 A 处向北偏东 3 0  的方向行驶 10千米到B处，再从 B 处向正西方向行驶20千米到 C 处，这时这艘船与 A 的距离( ) A．15千米 B．10千米 C． 1 0 3 千米 D． 5 3 千米 【配题说明】利用方位角的性质解三角比应用 【常规讲解】 （1）解：如图所示： 小岛 B 在货船 A 的北偏东 3 0  方向500米处，  货船A在小岛B的南偏西 3 0  方向500米处， 故选： A ． （2）解：如图，在 R t A B C 中，  A B C = 9 0  − 3 0  = 6 0  ， B C = 5 海里， AC=BCtan60=5 3（海里）， 即海监船C与货轮A的距离是5 3海里， 故选：B．（3）解：如图， 16 B C ⊥ A E ， AEB=90，  E A B = 3 0  ，AB=10米， BE=5米， A E = 5 3 米，  C E = B C − C E = 2 0 − 5 = 1 5 （米)，  A C = C E 2 + A E 2 = 1 5 2 + ( 5 3 ) 2 = 1 0 3 （米)， 故选： C .考点四：坡度与坡比的简单计算 知识笔记3 坡度（坡比） 如图，坡面的__________和__________叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即 h l 17 i = h l ． 坡度通常写成1 : m的形式，如 i = 1 : 1 .5 ． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系： i h l ta n  = = ． 【填空答案】 铅垂高度h; 水平宽度l的比 例题5: （1）（★★☆☆☆）（2023•虹口区一模）如果某个斜坡的坡度是 1 : 3 ，那么这个斜坡的坡 角为 ( ) A． 3 0  B． 4 5  C． 6 0  D．90 （2）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）小球沿着坡度为 i = 1 : 1 .5 的坡面滚动了 1 3 m ，则 在这期间小球滚动的水平距离是______ m ． （3）（★★★☆☆）（2022•静安区一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记 作BC、 A D ，且迎水坡 A B 的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡CD的坡度为1:3，则迎水坡 A B 的坡 角______背水坡 C D 的坡角．（填“大于”或“小于” ) 【常规讲解】 （1）解：设坡面的铅直高度是 h m和水平宽度是l m，  h : l = 1 : 1 .5 = 2 : 3 ， 令h=2x m，则l =3x m， h2 +l2 =132， (2x)2 +(3x)2 =169， x= 13，l=3x=3 13(m)． 故答案为： 18 3 1 3 ． （2）设这个斜坡的坡角为， 由题意得： ta n 1 : 3 3 3  = = ， 3 0   =  ； 故选： A ． （3）解： 迎水坡 A B 的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡 C D 的坡度为 1 : 3 ，  ta n A = 2 1 .5 ， ta n D = 1 3 ， 1 1  ， 2.5 3   A   D ， 即迎水坡 A B 的坡角大于背水坡 C D 的坡角， 故答案为：大于． 练习5:【学习框16】 （1）（★★★☆☆）（2024•杨浦区一模）小华沿着坡度 i = 1 : 3 的斜坡向上行走了 5 1 0 米，那 么他距离地面的垂直高度上升了_______米． （2）（★★★☆☆）（2023•黄浦区一模）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米， 宽度为30厘米，那么斜面 A B 的坡度为_______．（3）（★★★☆☆）（2023•普陀区期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树 间的水平距离）为 19 4 m ，如果在坡比为 i = 1 : 4 3 的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻 两树间的坡面距离为_______米． （4）（★★★★☆）（2023•静安区校级一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别 记作 B C 、 A D ，且迎水坡 A B 的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡CD的坡度为1:3，则迎水坡 A B 的坡 角 _______背水坡 C D 的坡角．（填“大于”或“小于” ) 【常规讲解】 （1）解：设他距离地面的垂直高度上升了 x 米， 斜坡的坡度i=1:3，  他行走的水平距离为 3 x 米， 由勾股定理得： x 2 + ( 3 x ) 2 = ( 5 1 0 ) 2 ， 解得： x = 5 （负值舍去）， 则他距离地面的垂直高度上升了5米， 故答案为：5． （2）解：斜面 A B 的坡度为 2 0 : 3 0 = 1 : 1 .5 ， 故答案为： 1 : 1 .5 ． （3）解：水平距离为4m，坡比为 i = 1 : 4 3 ，  竖直高度 = 4  3 4 = 3 （米)， 由勾股定理得： 32 +42 =5（米)． 故答案为：5． （4）解： 迎水坡 A B 的坡度为 1 : 2 .5 ，背水坡 C D 的坡度为 1 : 3 ， 1 1 tanA= ，tanD= ， 2.5 3 1 1  ， 2.5 3AD， 即迎水坡 20 A B 的坡角大于背水坡 C D 的坡角， 故答案为：大于． 考点五：坡度与坡比的综合应用 例题6: （★★★☆☆）（2022•嘉定区新城实验期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动， 对地下车库作了改进．如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度 为 i = 1 : 2 .4 ， A B ⊥ B C ，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 1 7  ，即  A D C = 1 7  （此 时点 B 、 C 、 D 在同一直线上）． 求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据： s in 1 7   0 .2 9 ， c o s 1 7   0 .9 6 ，tan170.31) 【常规讲解】解：由题意，得：  A B C = 9 0  ， i = 1 : 2 .4 ， 在 R t A B C AB 5 中，i= = ， BC 12 设 A B = 5 x 米，则 B C = 1 2 x 米，  A B 2 + B C 2 = A C 2 ，  A C = 1 3 x ， A C = 1 3 ，  x = 1 ，  A B = 5 米，BC=12米， 在 R t A B D AB 中，tanADC= ， BD ADC=17，AB=5米， 5  0.31， 12+CD CD4.1（米)，答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为4.1米． 【拓展讲解1】→全真战场关卡二练习7（坡度背景下的方案讨论类型的三角比应用） 练习6:【学习框18】 （★★★☆☆）（2021•松江区一模）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台 21 B C ．一个正方体 木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡 度为 1 : 2 .4 ，点 B 到地面的距离 B E = 1 .5 米，正方体木箱的棱长 B F = 0 .6 5 米，求点 F 到地 面的距离． 【常规讲解】 解：过点 F 作 F G ⊥ A D 于 G ，延长CB交 F G 于H， 则四边形 H G E B 为矩形，  H G = B E = 1 .5 米，  H B E = 9 0  ，  E B A = 9 0  ，   B F H =  H B A =  A ，  B H : F H = 1 : 2 .4 ， 由勾股定理得： B F 2 = B H 2 + F H 2 ，即0.652 =BH2 +(2.4BH)2， 解得： B H = 0 .2 5 ，  F H = 0 .2 5  2 .4 = 0 .6 （米)，  F G = F H + H G = 2 .1 （米 ) ， 答：点 F 到地面的距离为2.1米．全真战场 关卡一 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 练习1: （★★☆☆☆）（2020•黄浦区期末）如果视线与水平线之间的夹角为36，那么该视线与 铅垂线之间的夹角为__________度． 【常规讲解】解：如图所示： 视线 22 A B 与水平线 A D 之间的夹角为 3 6  ， 视线 A B 与铅垂线 A C 之间的夹角为 9 0  − 3 6  = 5 4  ， 故答案为：54． 练习2: （★★★☆☆）（2020•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮 A 在灯塔 B 的北偏东 3 0  方向，海 监船 C 在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船 C 发现货轮A在它的正北方向，那么海 监船 C 与货轮 A 的距离是 ( ) A．10海里 B． 5 3 海里 C．5海里 D． 5 3 3 海里 【常规讲解】解：如图，在 R t A B C 中，ABC=90−30=60，BC=5海里，  A C = B C  ta n 6 0  = 5 3 （海里）， 即海监船 C 与货轮 A 的距离是5 3海里， 故选：B．练习3: （★★★☆☆）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为 23 1 8 c m ，宽为 3 0 c m ，为方便 残疾人士，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为 A 点，斜坡的起点为C点，准备 设计斜坡 B C 的坡度 i = 1 : 5 ，则 A C 的长度是__________ c m ． 【常规讲解】解：由题意得， B H ⊥ A C ， 则 B H = 1 8  4 = 7 2 ， 斜坡 B C 的坡度 i = 1 : 5 ，  C H = 7 2  5 = 3 6 0 ，  A C = 3 6 0 − 3 0  3 = 2 7 0 ( c m ) ， 故答案为：270．练习4: （★★★☆☆）（2020•松江区期末）如图，垂直于水平面的 24 5 G 信号塔 A B 建在垂直于水平 面的悬崖边 B 点处（点 A 、 B 、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方 向前行60米到 D 点，再沿斜坡 D E 方向前行65米到 E 点（点 A 、B、 C 、 D 、 E 在同一 平面内），在点 E 处测得 5 G 信号塔顶端 A 的仰角为 3 7  ，悬崖BC的高为92米，斜坡 D E 的坡度 i = 1 : 2 .4 ． （1）求斜坡 D E 的高 E H 的长； （2）求信号塔 A B 的高度． （参考数据： s in 3 7   0 .6 0 ，cos370.80， ta n 3 7   0 .7 5 ． ) 【常规讲解】解：（1）过点 E 作EM ⊥ AC于点 M ， 斜坡 D E 的坡度（或坡比）i=1:2.4，DE=65米， C D = 6 0 米，  设 E H = x ，则DH =2.4x． 在RtDEH中， E H 2 + D H 2 = D E 2 ，即 x 2 + ( 2 .4 x ) 2 = 6 5 2 ， 解得， x = 2 5 （米)（负值舍去），  E H = 2 5 米； 答：斜坡 D E 的高 E H 的长为25米； （2） DH =2.4x=60（米 ) ， CH =DH +DC=60+60=120（米 ) ． EM ⊥ AC， A C ⊥ C D ，EH ⊥CD， 四边形EHCM 是矩形， EM =CH =120米，CM =EH =25米． 在RtAEM中，  A E M = 3 7  ， AM =EMtan371200.75=90（米)， AC= AM +CM =90+25=115（米)．AB= AC−BC=115−92=23（米 25 ) ． 答：信号塔 A B 的高度为23米． 关卡二 练习5: （★★★★☆）（2020•宝山区一模）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼 ( A B ) 高度的 实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表： 课题 测量教学大楼 ( A B ) 的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量方案 示意图 点 说明 C 、 D 在点B的正东方 向 G H 是教学大楼旁的居 民住宅楼 E F 是教学大楼正南方向的 “校训石”，借助 E F 进行测 量，使P、 E 、 A 三点在一 条直线上，点P、 F 在点 B 的正南方向． 从点 测量数据 C 处测得 A点的仰 角为 3 7  从点 ，从点D处测得 A 点 的 仰 角 为 45 ， CD=12米 G 处测得 A 点的仰 角为 3 7  ，测得B点的俯 角为45 E F = 9 米，从点 P 处测得 A 点的仰角为 3 7  ，从点F 处 测得 A 点的仰角为45 （1）根据测量方案和所得数据，第__________小组的数据无法算出大楼高度？ （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75】 【常规讲解】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度， 所以第二小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：二； （2）选择第一小组的数据测量，理由如下： 由题意得： 26  A B D = 9 0  ，  A C B = 3 7  ，  A D B = 4 5  ，   A B D 是等腰直角三角形，  A B = B D ， 设 A B = x 米，则 A B = B D = x 米， B C = B D + C D = ( x + 1 2 ) 米， 在RtABC中， ta n  A C B = A B B C = ta n 3 7   0 .7 5 ，  x x + 1 2  3 4 ， 解得： x  3 6 ， 即教学大楼 A B 的高度约为36米． 练习6: （★★★★☆）（2019•静安区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头 A B ，在码头的最西端 A 处测得轮船 M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在 A 点正东 方向距离100米的 C 处测得轮船 M 在北偏东22方向上． （1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离；（结果精确到0.01米） （2）如果轮船 M 沿着南偏东 3 0  的方向航行，那么该轮船能否行至码头 A B 靠岸？请说明 理由． （参考数据： s in 2 2   0 .3 7 5 ， c o s 2 2   0 .9 2 7 ， ta n 2 2   0 .4 0 4 ， 3  1 .7 3 2 ． ) 【常规讲解】解：（1）过点M作MD⊥ AC交AC的延长线于D，设DM =x， 在 R t C D M 中，CD=DM tanCMD=x tan22， 又 在RtADM中，MAC=45， AD=DM，27 A D = A C + C D = 1 0 0 + x ta n 2 2  ，  1 0 0 + x ta n 2 2  = x ，  x = 1 − 1 0 0 ta n 2 2   1 − 1 0 0 0 .4 0 4  1 6 7 .7 9 ， 答：轮船 M 到海岸线 l 的距离约为167.79米． （2）作  D M F = 3 0  ，交 l 于点 F ． 在RtDMF中， DF =DM tanFMD=DM tan30 3 3 = DM  167.7996.87米， 3 3  A F = A C + C D + D F = D M + D F  1 6 7 .7 9 + 9 6 .8 7 = 2 6 4 .6 6  3 0 0 ， 所以该轮船能行至码头靠岸． 练习7: （★★★★☆）（2022•浦东新区罗山中学期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意 图，等腰梯形 A B C D 的上底 B C 表示主跨桥，两腰AB， C D 表示桥两侧的斜梯， A ， D 两 点在地面上，已知 A D = 4 0 m ，设计桥高为 4 m ，设计斜梯的坡度为 1 : 2 .4 ．点 A 左侧 2 5 m 点 P 处有一棵古树，有关部门划定了以 P 为圆心，半径为 3 m 的圆形保护区． （1）求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； （2）为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到 5 m ，同时为了方便自行车及电动车上 桥，新斜梯的坡度要减小到1:4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案 要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障 碍电梯，坡道起点 M 在 A P 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度 为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1 : 2 0 1 : 1 6 1 : 1 2 1:10 1:8 最大高度(m) 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度(m) 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40【常规讲解】解：（1）如图，作直线 28 A D ，则 A D 过点 A  ，点D，过点 B 、 C 分别作 B E ⊥ A D ， C F ⊥ A D ，垂足为 E 、 F ，延长EB，延长 F C ，则射线 E B 过点 B  ，射线 F C 过点 C  ，由题意得， B E = C F = 4 m ， A P = 2 5 m ， B E = 5 m ， 斜坡 A B 的坡度为 1 : 2 .4 ，即 B A E E = 1 : 2 .4 ，  A E = 4  2 .4 = 9 .6 ( m ) ， 又 四边形 A B C D 是等腰梯形，  A E = D F = 9 .6 m ，  B C = A D − A E − D F = 2 0 .8 ( m ) ， A B = A E 2 + B E 2 = 9  6 2 + 4 2 = 1 0 .4 ( m ) = C D ，  主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为 A B + B C + C D = 1 0 .4 + 2 0 .8 + 1 0 .4 = 4 1 .6 ( m ) ， 答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为 4 1 .6 m ； （2） 斜坡 A B  的坡度为 1 : 4 ，即 B A E E = 1 : 4 ，  A E = 5  4 = 2 0 ( m ) ，  A A  = 2 0 − 9 .6 = 1 0 .4 ( m ) ， A G = 4 N G = 4  0 .9 = 3 .6 ( m ) ，  A G = 1 0 .4 − 3 .6 = 6 .8 ( m ) ， 点M到点 G 的最多距离 M G = 2 5 − 6 .8 − 3 = 1 5 .2 ( m ) ， 1 5 .2  1 4 .4 ，  轮椅坡道的设计可行．