文档内容
11A/B08 二次函数的概念与三种基本性质
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）二次函数的概念
（2）
1
y = a x 2 的图像与性质
（3） y = a x 2 + c 的图像与性质
（4） y = a ( x + m ) 2 的图像与性质
2. 考情分析
（1）二次函数的概念与图像，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%.
（2）二次函数的概念与图像以选择和填空题为主，会与相似结合在解答题中进行考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十六章：二次函数，26.1二次函数的概念 26.2二次函数的
图像.
（4）本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在
实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．
其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲主要讲解二次函数y=ax2、 y = a x 2 + c 和二次
函数 y = a ( x + m ) 2 的图像及其性质．重点是通过学习抛物线 y = a x 2 平移得到二次函数
y=ax2 +c 和二次函数 y = a ( x + m ) 2 的方法，掌握二次函数 y=ax2 +c 和二次函数
y = a ( x + m ) 2 的直观性质，并体会图形运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二
次函数 y = a x 2 + b x + c 的基础．知识加油站 1——二次函数的概念
考点一：二次函数的概念
知识笔记 1
二次函数的概念
一般地，解析式形如_________________（其中a、b、c是常数，且a0）的函数叫做二次
函数．
二次函数定义域为_____________．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
例题1:
（1）（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是
2
( )
A． y = x + 1 B． y = x ( x + 1 ) C． y = ( x + 1 ) 2 − x 2 D． y =
1
x 2
（2）（2022•金山区张堰二中期末）下列函数中，是二次函数的是 ( )
A． y = − 3 x + 5 B． y = 2 x 2 C． y = ( x + 1 ) 2 − x 2 D． y =
3
x 2
（3）（2022•宝山区罗山中学一模）如果函数 y = ( m + 1 ) x m 2 − m + 2 是二次函数，那么 m = ______．
练习1:
（1）（2020•闵行区一模）下列函数中，是二次函数的是( )
A． y = −
2
x 2
− 3 x B． y = − ( x − 1 ) 2 + x 2 C． y = 1 1 x 2 + 2 9 x D．y=ax2 +bx+c
（2）（2020•普陀区一模）下列函数中， y 关于 x 的二次函数是 ( )
A． y = a x 2 + b x + c
1
B．y= C．
x2 +1
y = x ( x + 1 ) D． y = ( x + 2 ) 2 − x 2
（3）如果 y = ( k − 3 ) x 2 + k ( x − 3 ) 是二次函数，那么k需满足的条件是 ．考点二：二次函数的定义域与系数
例题2:
（1）（2023•静安区校级期末）函数
3
y = 2 x 2 + 3 x − 1 的定义域是 ．
（2）（2020•杨浦区期末）二次函数 y = ( − x + 2 ) 2 的二次项系数为a，一次项系数为b，常数
项为c，则 b 2 − 4 a c = _____．
练习2:
（1）二次函数 y = x 2 + 2 x + 3 的定义域为 ( )
A． x 0 B． x 为一切实数 C． y 2 D． y 为一切实数
（2）下列函数中（x，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、
一次项系数及常数项．
① y = −
1
2
+ 3 x 2 ； ② y = ( x − 3 ) ( 4 − 2 x ) + 2 x 2 ；
③s= 5t2 +t+3； ④ y = x 2 − 3 x − 6 ．考点三：二次函数的值
例题3:
（1）若函数
4
y = 4 x 2 + 1 的函数值为5，则自变量 x 的值应为 ( )
A．1 B．−1 C．1 D．
3
2
2
（2）（2022•黄浦区格致中学月考）已知二次函数y=−x2 +bx+3，当x=2时， y = 3 ．则这
个二次函数的表达式是_________．
练习3:
（2020•金山区期末）已知二次函数y=2x2 −5x+3．
（1）当 x = −
1
2
时，求函数值；
（2）当 x 取何值时，函数值为0？知识加油站 2
5
y = a x 2 的图像与性质
考点四： y = a x 2 的图像与性质
知识笔记2
1、 y = x 2 的图像
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数 y = x 2 的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 − 1
1
2
-1 −
1
2
0
1
2
1
1 1 2 …
2
y = x 2 … 4 2
1
4
1
1
4
0
1
4
1 2
1
4
4 …
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐
标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数 y = x 2 的图像，如图
2所示．
二次函数 y = x 2
y y
4 4
3 3
2 2
1 1
-2 -1 O 1 2 x -2 -1 O 1 2 x
图1 图2
的图像是_____________，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类
特殊的曲线，这类曲线称为_____________．二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2．2、二次函数
6
y = a x 2 的图像
抛物线 y = a x 2 （a0）的对称轴是__________，即直线x = 0；
顶点是__________．
当 a 0 时，抛物线__________，顶点为最低点；
当 a 0
y
8
y = 3∙x2
6
y = 2∙x2
4
y = x2
2
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x
–2
y = x2
–4
y = 2∙x2
–6
y = 3∙x2
–8
时，抛物线__________，顶点为最高点．例题4:
（1）在同一坐标系中，作
7
y = x 2 ， y = −
1
2
x 2 ， y =
1
3
x 2 的图象，它们的共同特点是 ( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于 x 轴对称的抛物线，且 y 随 x 的增大而增大
C．都是关于 y 轴对称的抛物线，且 y 随 x 的增大而减小
D．都是关于
y
轴对称的抛物线，有公共的顶点
（2）抛物线 y = a x 2 ( a 0 ) 的图象一定经过( )
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
练习4:
（1）在同一坐标系中，抛物线 y = 4 x 2
1 1
，y= x2，y=− x2的共同特点是( )
4 4
A．关于 y 轴对称，开口向上
B．关于 y 轴对称， y 随 x 的增大而增大
C．关于 y 轴对称， y 随 x 的增大而减小
D．关于 y 轴对称，顶点是原点
2
（2）二次函数y=− x2的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口
3
方向是______．
例题5:
（1）（2020•金山区一模）抛物线 y = − 2 x 2 沿着 x y 轴正方向看，在 轴的左侧部分
是 ．（填“上升”或“下降” )
（2）（2020•虹口区校级月考）如果二次函数 y = ( 2 a − 1 ) x 2 的图象开口向下，则a的取值范围
是 ．
（3）（2023•长宁区一模）已知抛物线y=(1+m)x2在 y 轴左侧的部分是上升的，那么m的
取值范围是__________．（4）（2020•嘉定区一模）如图所示，在同一坐标系中，作出①
8
y = 3 x 2 ；② y =
1
2
x 2 ；③ y = x 2
的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．
练习5:
（2020•金山区期末）把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1） y = 3 x 2 的图象是 ；
（2） y =
1
3
x 2 的图象是 ；
（3）y=−x2的图象是 ；
（4） y = −
3
4
x 2 的图象是 （填序号①，②等）．知识加油站 3
9
y = a x 2 + c 的图像与性质
考点五： y = a x 2 + c 的图像与性质
知识笔记3
二次函数 y = a x 2 + c 的图像
一般地，二次函数 y = a x 2 + c 的图像是抛物线，称为抛物线 y = a x 2 + c ，它可以通过将抛物
线 y = a x 2 向上（ c 0 时）或向下（ c 0 时）平移___________得到．
抛物线 y = a x 2 + c （其中a、c是常数，且 a 0 ）的对称轴是________，即直线x = 0；
顶点坐标是________；
当 a 0 时，开口________，顶点是抛物线的最低点；
当 a 0 时，开口________，顶点是抛物线的最高点．
例题6:
（1）（2022•浦东新区一模）如果将抛物线y=5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的
表达式是 ( )
A． y = 5 ( x + 1 ) 2 B． y = 5 ( x − 1 ) 2 C． y = 5 x 2 + 1 D．y=5x2 −1
（2）（2020•金山区期末）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y = x 2 + 1 、 y = x 2 和 y = x 2 − 1
的图像．练习6:
（2020•嘉定区期末）说出下列函数的图像如何由抛物线
10
y =
1
2
x 2 平移得到，再分别指出图像
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y =
1
2
x 2 + 2 ； （2） y =
1
2
x 2 − 1 ．
例题7:
（1）（2020•金山区期末）抛物线 y = x 2 + 1 的图象大致是 ( )
A． B． C． D．（2）（2022•黄浦区格致中学期末）已知
11
a 是不为0的常数，函数 y=ax 和函数 y = − a x 2 + a
在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )
A． B．
C． D．
（3）（2022•上海6月中考模拟）已知 m 是不为0的常数，函数 y=mx 和函数 y = m x 2 − m 2
在同一平面直角坐标系内的图象可以是 ( )
A． B．
C． D．练习7:
如图，已知二次函数
12
y = a x 2 + b 与一次函数y=ax+b，它们在同一直角坐标系中的图像大致
是（ ）
例题8:
（1）（2023•虹口区一模）如果点 A ( − 2 , y
1
) 与点 B ( − 3 , y
2
) 都在抛物线y=x2 +k上，那么 y
1
和y 的大小关系是(
2
)
A． y
1
y
2
B． y
1
y
2
C． y
1
= y
2
D．不能确定
（2）（2020•嘉定区期末）若二次函数 y = 2 x 2 + 8 ，当x取x ，x （
1 2
x
1
x
2
）时，函数值相
等，则当x取 x
1
+ x
2
时，函数的值为________．
练习8:
（2023•嘉定区一模）已知点 A (1 , y
1
) 、 B ( 3 , y
2
) 在二次函数 y=−x2 +2的图象上，那么 y
1
y
2
（填“ ”、“ = ”、“ ” )
y y y y
O O
O x x x O x
A． B． C． D．
．知识加油站 4
13
y = a ( x + m ) 2 的图像与性质
考点六： y = a ( x + m ) 2 的图像与性质
知识笔记4
二次函数 y = a ( x + m ) 2 的图像
一般地，二次函数 y = a ( x + m ) 2 的图像是抛物线，称为抛物线 y = a ( x + m ) 2 ，它可以通过将
抛物线 y = a x 2 向左（m0时）或向右（m0时）平移___________得到．
抛物线 y = a ( x + m ) 2 （其中a、m是常数，且 a 0 ）的对称轴是直线_________；
顶点坐标是_________；
当 a 0 时，开口向上，顶点是抛物线的_________；
当 a 0 时，开口向下，顶点是抛物线的_________．
例题9:
（1）函数 y = − 2 ( x + 3 ) 2 的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标
是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由
y = − 2 ( x − 1 ) 2 的图像向________平移________个单位得到的．
（2）（2023•崇明区一模）已知点 A ( 2 , y
1
) ， B ( − 3 , y
2
) 为二次函数y=(x+1)2图像上的两点，
那么 y
1
______ y
2
（填“ ”，“ =”或“ ” )．
（3）（2022•宝山区校级期末）如果二次函数 y = a ( x − 1 ) 2 ( a 0 ) 的图象在它的对称轴右侧部
分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．
练习9:
（1）关于二次函数y=−(x−2)2的图象，下列说法正确的是( )
A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线x=−2 D．最高点是 ( 2 , 0 )（2）（2023•浦东新区期末）已知点A(−2,m)、
14
B ( − 3 , n ) 都在二次函数y=(x−1)2的图象上，
那么 m 、 n 的大小关系是： m n （填“ ”“ =”或“ ” ) ．
例题10:
如图，已知二次函数 y = a ( x + m ) 2 与一次函数 y = a x + m ，它们在同一直角坐标系中的图像
大致是（ ）
练习10:
如果二次函数 y = a ( x − 1 ) 2 ( a 0 ) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a
y y y y
O
O x O x x O x
A． B． C． D．
的取值范围
是 ．全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2020•黄浦区期末）下列函数，不属于二次函数的是（ ）
A．
15
y = ( x − 1 ) ( x + 2 ) B． y =
1
2
( x + 1 ) 2
C． y = 1 − 3 x 2 D．y=2(x+3)2 −2x2
（2）任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2 +n，关于这些抛物线有以下结论，
其中判断正确的个数是（ ）
1 、开口方向都相同；2、对称轴都相同； 3 、形状都相同； 4 、都有最低点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
（1）（2023•普陀区校级月考）已知点 A ( − 5 , m ) 、B(−3,n)都在二次函数 y =
1
2
x 2 − 5 的图象
上，那么 m 、 n 的大小关系是： m n ．（填“ ”、“ = ”或“ ” )
（2）（2023•宝山区期末）如果二次函数y=a(x−2)2(a0)的图象上有两点 (
9
4
, y
1
) 和 (
7
3
, y
2
) ，
那么 y
1
y
2
．（填“ ”、“ = ”或“ ” )
练习3:
1
（2020•松江区期末）抛物线y=ax2 +c顶点坐标是（0，2），且形状与y=− x2相同，求
2
抛物线的解析式．练习4:
已知
16
a = − ( − 7 ) 0 ， c = ( 5 − 2 6 ) ( 5 + 2 6 ) ．
（1）求出 a 、 c 的值；
（2）请写出函数y=ax2 −c相关的性质．
函数 y = a x 2 − c
开口方向
对称轴
最值 当x 时， y 有最 值是 .
增减性 当x 时， y 随 x 的增大而 ；
当 x 时， y 随 x 的增大而 .
关卡二
练习5:
（2022•杨浦区复旦二附中期末）已知 y 是关于x的函数，若该函数的图象经过点 P ( t , − t ) ，
则称点 P 为函数图象上的“相反点”，例如：直线 y = 2 x − 3 上存在“相反点” P (1 , − 1 ) ．若
二次函数 y = x 2 + 2 m x + m + 2 的图象上存在唯一“相反点”，则m=_______．练习6:
如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、PB为边作等
边
17
A P C 和等边PBD．设点 P 移动的距离为 x， A P C 与PBD的面积之和为 y，求 y 关
于x函数解析式及函数定义域．
D
C
A P B
练习7:
某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降
落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB
= 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO = 1000米的高度
进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？
y
A
B C
O P x
