FY25暑假初三A11B08二次函数的概念与三种基本性质教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

11A/B08 二次函数的概念与三种基本性质 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）二次函数的概念 （2） 1 y = a x 2 的图像与性质 （3） y = a x 2 + c 的图像与性质 （4） y = a ( x + m ) 2 的图像与性质 2. 考情分析 （1）二次函数的概念与图像，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%. （2）二次函数的概念与图像以选择和填空题为主，会与相似结合在解答题中进行考察. （3）对应教材：初三上册，第二十六章：二次函数，26.1二次函数的概念 26.2二次函数的 图像. （4）本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在 实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域． 其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲主要讲解二次函数y=ax2、 y = a x 2 + c 和二次 函数 y = a ( x + m ) 2 的图像及其性质．重点是通过学习抛物线 y = a x 2 平移得到二次函数 y=ax2 +c 和二次函数 y = a ( x + m ) 2 的方法，掌握二次函数 y=ax2 +c 和二次函数 y = a ( x + m ) 2 的直观性质，并体会图形运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二 次函数 y = a x 2 + b x + c 的基础． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：二次函数的概念 15分钟 切片 2： y=ax2的图像与性质 30分钟 切片3： y=ax2 +c的图像与性质 20分钟切片 4： 2 y = a ( x + m ) 2 的图像与性质 20分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 【考情说明】本讲我们重点讲解的是二次函数概念以及如何从最基础的二次函数 y = a x 2 通 过平移的方法得到的y=ax2 +c和 y = a ( x + m ) 2 ，从而得到他们对应图像的性质。 整体内容偏基础简单，没有过多的难题。 内容讲的快的老师可以有两个选择： （1）讲解前几讲的全真战场中的关卡二 （2）讲解第12讲内容，为最后一节课的结课测预留时间【若本期自习课存在结课推荐提前 讲解第12讲的内容】知识加油站 1——二次函数的概念【建议时长：15分钟】 考点一：二次函数的概念 知识笔记 1 二次函数的概念 一般地，解析式形如_________________（其中a、b、c是常数，且a0）的函数叫做二次 函数． 二次函数定义域为_____________．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定． 【填空答案】 3 y = a x 2 + b x + c ；一切实数 例题1: （1）（★☆☆☆☆）（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是( ) A． y = x + 1 B． y = x ( x + 1 ) C． y = ( x + 1 ) 2 − x 2 D． y = 1 x 2 （2）（★☆☆☆☆）（2022•金山区张堰二中期末）下列函数中，是二次函数的是 ( ) A． y = − 3 x + 5 B． y = 2 x 2 C． y = ( x + 1 ) 2 − x 2 D． y = 3 x 2 （3）（★☆☆☆☆）（2022•宝山区罗山中学一模）如果函数 y = ( m + 1 ) x m 2 − m + 2 是二次函数， 那么 m = ______． 【常规讲解】 （1）解： A 、 y = x + 1 是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、y=x(x+1)是二次函数，故此选项符合题意； C 、 y = ( x + 1 ) 2 − x 2 可化为 y = 2 x + 1 ，不是二次函数，故此选项不合题意； D 、 y = 1 x 2 不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选： B ． （2）解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C． 4 y = ( x + 1 ) 2 − x 2 = 2 x + 1 ，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D ．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选： B ． （3）解： 函数y=(m+1)xm2−m +2是二次函数，  m 2 − m = 2 ， ( m − 2 ) ( m + 1 ) = 0 ， 解得：m =2，m =−1， 1 2 m+10，  m  − 1 ， 故m=2． 故答案为：2． 练习1:【学习框8】 （1）（★☆☆☆☆）（2020•闵行区一模）下列函数中，是二次函数的是 ( ) A． y = − 2 x 2 − 3 x B． y = − ( x − 1 ) 2 + x 2 C． y = 1 1 x 2 + 2 9 x D．y=ax2 +bx+c （2）（★☆☆☆☆）（2020•普陀区一模）下列函数中， y 关于 x 的二次函数是 ( ) 1 A．y=ax2 +bx+c B．y= C． x2 +1 y = x ( x + 1 ) D．y=(x+2)2 −x2 （3）（★☆☆☆☆）如果 y=(k−3)x2 +k(x−3) 是二次函数，那么 k 需满足的条件 是 ． 【常规讲解】 （1）解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； B、y=−(x−1)2 +x2 =2x−1，不是二次函数，故此选项不合题意； C 、是二次函数，故此选项符合题意； D、当 a = 0 时，不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C．（2）解：A、当 5 a = 0 时，不是二次函数，故此选项不合题意； B 、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； C 、y=x(x+1)=x2 +x，是二次函数，故此选项符合题意； D 、 y = ( x + 2 ) 2 − x 2 = 4 x + 4 ，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选： C ． （3）解： y = ( k − 3 ) x 2 + k ( x − 3 ) 是二次函数， k−30， 解得： k  3 ，  k 需满足的条件是： k  3 ，故答案为： k  3 ． 考点二：二次函数的定义域与系数 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级期末）函数 y = 2 x 2 + 3 x − 1 的定义域是 ． （2）（★★☆☆☆）（2020•杨浦区期末）二次函数 y = ( − x + 2 ) 2 的二次项系数为a，一次项系 数为b，常数项为c，则 b 2 − 4 a c = _____． 【常规讲解】 （1）解：函数 y = 2 x 2 + 3 x − 1 的定义域是全体实数． 故答案为：全体实数． （2） y = ( − x + 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 ，所以 a = 1 ， b = − 4 ， c = 4 ，代入得b2 −4ac=0． 练习2:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2016•宝山区一模）二次函数y=x2 +2x+3的定义域为 ( ) A． x  0 B．x为一切实数 C． y  2 D． y 为一切实数 （2*）（★★☆☆☆）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请 指出二次项、一次项系数及常数项． 1 ①y=− +3x2； ② 2 y = ( x − 3 ) ( 4 − 2 x ) + 2 x 2 ； ③s= 5t2 +t+3； ④y=x2 −3 x−6．【常规讲解】 （1）解：二次函数 6 y = x 2 + 2 x + 3 的定义域为 x 为一切实数， 故选：B． （2）①是，二次项是3x2、一次项系数是 0 1 、常数项是− ； ②不是； 2 ③是，二次项是 5 t 2 、一次项系数是 1 、常数项是 3 ； ④不是 考点三：二次函数的值 例题3: （1）（★★☆☆☆）若函数 y = 4 x 2 + 1 的函数值为5，则自变量 x 的值应为 ( ) A．1 B． − 1 C．  1 D． 3 2 2 （2）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区格致中学月考）已知二次函数 y = − x 2 + b x + 3 ，当 x = 2 时， y=3．则这个二次函数的表达式是_________． 【常规讲解】 （1）解：根据题意，得 4 x 2 + 1 = 5 ， x 2 = 1 ， 解得 x = − 1 或1． 故选： C ． （2）解： 二次函数y=−x2 +bx+3，当 x = 2 时， y = 3 ，  3 = − 2 2 + 2 b + 3 ， 解得： b = 2 ， 这个二次函数的表达式是： y = − x 2 + 2 x + 3 ． 故答案为： y = − x 2 + 2 x + 3 ．练习3*: （★★☆☆☆）（2020•金山区期末）已知二次函数 7 y = 2 x 2 − 5 x + 3 ． （1）当 x = − 1 2 时，求函数值； （2）当 x 取何值时，函数值为0？ 【常规讲解】（1） 6 ；（2） 1 或 3 2 ． （1）把 x = − 1 2 代入 y = 2 x 2 − 5 x + 3 得 y = 6 ； （2）把y=0代入2x2 −5x+3=0得 x 1 = 1 ， x 2 = 3 2 ． 【拓展讲解1】→全真战场关卡二练习4（二次函数的新定义问题，23年一模新题） 【拓展讲解2】→全真战场关卡二练习5（二次函数的新定义问题，23年一模新题） 【教学建议】可以作为拓展讲解1（关卡二练习4的巩固练习） 【拓展讲解3】→全真战场关卡二练习6（几何背景下的二次函数实际应用。） 【拓展讲解4】→全真战场关卡二练习7（实际问题情境下的二次函数实际应用。） 【教学建议】本讲拓展内容均在知识点1部分，知识点2,3,4主要以概念及图像的性质为主， 4道拓展练习，老师可以结合班级实际情况选择时间进行讲解知识加油站 2 8 y = a x 2 的图像与性质【推荐时长30分钟】 考点四： y = a x 2 的图像与性质 知识笔记2 1、 y = x 2 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数 y = x 2 的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 − 1 1 2 -1 − 1 2 0 1 2 1 1 1 2 … 2 y = x 2 … 4 2 1 4 1 1 4 0 1 4 1 2 1 4 4 … （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐 标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数 y = x 2 的图像，如图 2所示． 二次函数 y = x 2 的图像是_____________，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类 特殊的曲线，这类曲线称为_____________．二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2． 【教学建议】可以带着学生利用“五点作图法”画出 y = x 2 、 y = − x 2 、y=2x2、 y = − 2 x 2 、 y = 3 x 2 、 y = − 3 x 2 y y 4 4 3 3 2 2 1 1 -2 -1 O 1 2 x -2 -1 O 1 2 x 图1 图2 ，归纳出二次项系数a对于抛物线图像的影响。 【结论】 ① a0时，抛物线开口朝上；a0时，抛物线开口朝下； ② a 越大，抛物线的开口越小。【教学建议】参考图如下 2、二次函数 9 y = a x 2 的图像 抛物线 y = a x 2 （a0）的对称轴是__________，即直线x = 0； 顶点是__________． 当 a  0 时，抛物线__________，顶点为最低点； 当a0时，抛物线__________，顶点为最高点． 【填空答案】 1、一条曲线；抛物线 2、y轴；原点；开口向上；开口向下 – y 4 y = = – 3 x x 2 2 – 2 y – 1 y y8 =6 4 2 O – 2 – 4 – 6 =– 8 3 ∙ 3 x ∙ 2 1 x 2 2 y y = = 3 2 ∙ 2 x 4 ∙ 2 x x 2例题4: （1）（★★☆☆☆）在同一坐标系中，作 10 y = x 2 ， y = − 1 2 x 2 ， y = 1 3 x 2 的图象，它们的共 同特点是 ( ) A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于 x 轴对称的抛物线，且 y 随 x 的增大而增大 C．都是关于 y 轴对称的抛物线，且 y 随 x 的增大而减小 D．都是关于 y 轴对称的抛物线，有公共的顶点 （2）（★★☆☆☆）抛物线 y = a x 2 ( a  0 ) 的图象一定经过 ( ) A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【常规讲解】 （1）解： 因为 y = a x 2 形式的二次函数对称轴都是 y 轴， 且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是： 关于 y 轴对称的抛物线， 有公共的顶点 ． 故选： D ． （2）解： a  0 ，  抛物线y=ax2的图象经过坐标原点，且开口方向向下，  一定经过第三、四象限． 故选： B ． 练习4:【学习框12】 1 1 （1）（★★☆☆☆）在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y= x2，y=− x2的共同特点是( ) 4 4 A．关于 y 轴对称，开口向上 B．关于 y 轴对称， y 随x的增大而增大 C．关于 y 轴对称， y 随x的增大而减小 D．关于 y 轴对称，顶点是原点 2 （2）（★★☆☆☆）二次函数y=− x2的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是 3 ______，开口方向是______．【常规讲解】 （1）解：因为抛物线 11 y = 4 x 2 ， y = 1 4 x 2 ， y = − 1 4 x 2 都符合抛物线的最简形式 y = a x 2 ，其对 称轴是 y 轴，顶点是原点． 故选：D． （2）抛物线； y 轴； (0,0) ；向下． y = a x 2 ( a  0 ) 图像为抛物线，顶点坐标为 (0,0) ；对称轴为 y 轴； a  0 ，开口向上， a  0 ，开口向下 例题5: （1）（★★☆☆☆）（2020•金山区一模）抛物线y=−2x2沿着x轴正方向看，在 y 轴的左侧 部分是 ．（填“上升”或“下降” ) （2）（★★☆☆☆）（2020•虹口区校级月考）如果二次函数 y = ( 2 a − 1 ) x 2 的图象开口向下， 则 a 的取值范围是 ． （3）（★★☆☆☆）（2023•长宁区一模）已知抛物线 y = (1 + m ) x 2 在 y 轴左侧的部分是上升 的，那么 m 的取值范围是__________． （4）（★★★☆☆）（2020•嘉定区一模）如图所示，在同一坐标系中，作出① y = 3 x 2 ；② y = 1 2 x 2 ；③ y = x 2 的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序 号） ． 【常规讲解】 （1）解： 抛物线 y = − 2 x 2 的开口向下，对称轴为 y 轴，  在对称轴左侧 y 随x的增大而增大， 抛物线y=−2x2在 y 轴左侧的部分是上升的， 故答案为：上升． （2）解： 二次函数y=(2a−1)x2的图象开口向下， 2a−10，12  a  1 2 ． 故答案为： a  1 2 ． （3）解： 抛物线 y = (1 + m ) x 2 在 y 轴左侧的部分是上升的，  抛物线开口向下，  1 + m  0 ，  m  − 1 ， 故答案为： m  − 1 ． （4）解：① y = 3 x 2 ， ② y = 1 2 x 2 ， ③ y = x 2 中，二次项系数 a 分别为3、 1 2 、1， 3  1  1 2 ，  抛物线② y = 1 2 x 2 的开口最宽，抛物线① y = 3 x 2 的开口最窄． 故依次填：①③②． 练习5:【学习框14】 （★★☆☆☆）（2020•金山区期末）把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1） y = 3 x 2 的图象是 ； （2） y = 1 3 x 2 的图象是 ； （3）y=−x2的图象是 ； （4） y = − 3 4 x 2 的图象是 （填序号①，②等）．【常规讲解】解：（1）、（2）二次项系数都 13  0 ，那么开口都应向上，但 | 3 | | 1 3 | ，那么（1） 应对应3，（2）应对应1； 3 （3）、（4）的二次项系数都0，那么开口都应向下，但|−1||− |，那么（3）应对应4， 4 （4）应对应2． 依次填3，1，4，2．知识加油站 3 14 y = a x 2 + c 的图像与性质【建议时长：20分钟】 考点五： y = a x 2 + c 的图像与性质 知识笔记3 二次函数 y = a x 2 + c 的图像 一般地，二次函数 y = a x 2 + c 的图像是抛物线，称为抛物线 y = a x 2 + c ，它可以通过将抛物 线 y = a x 2 向上（ c  0 时）或向下（ c  0 时）平移___________得到． 抛物线 y = a x 2 + c （其中a、c是常数，且 a  0 ）的对称轴是________，即直线x = 0； 顶点坐标是________； 当 a  0 时，开口________，顶点是抛物线的最低点； 当 a  0 时，开口________，顶点是抛物线的最高点． 【填空答案】 c 个单位；y轴；（0，c）；向上；向下 例题6: （1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区一模）如果将抛物线 y = 5 x 2 向上平移1个单位，那么所 得新抛物线的表达式是( ) A． y = 5 ( x + 1 ) 2 B． y = 5 ( x − 1 ) 2 C． y = 5 x 2 + 1 D．y=5x2 −1 （2）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y = x 2 + 1 、 y = x 2 和y=x2 −1的图像． 【常规讲解】 （1）解：将抛物线 y = 5 x 2 向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是： y = 5 x 2 + 1 ． 故选： C ． （2）如图：练习6:【学习框16】 1 （★★☆☆☆）（2020•嘉定区期末）说出下列函数的图像如何由抛物线y= x2平移得到，再 2 分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） 15 y = 1 2 x 2 + 2 ； （2） y = 1 2 x 2 − 1 ． 【常规讲解】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴 y 轴，顶点坐标 (0,2) ； （2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴 y 轴，顶点坐标 ( 0 , − 1 ) ． 例题7: （1）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）抛物线 y = x 2 + 1 y O x 的图象大致是( ) A． B． C． D．（2）（★★★☆☆）（2022•黄浦区格致中学期末）已知 16 a 是不为0的常数，函数 y=ax 和函 数 y = − a x 2 + a 在同一平面直角坐标系内的图象可以是( ) A． B． C． D． （3）（★★★☆☆）（2022•上海6月中考模拟）已知 m 是不为0的常数，函数 y = m x 和函数 y = m x 2 − m 2 在同一平面直角坐标系内的图象可以是 ( ) A． B． C． D． 【常规讲解】 （1）解：抛物线 y = x 2 + 1 的图象开口向上，且顶点坐标为(0,1)．故选C． （2）解：当a0时， y = a x 的函数图像经过原点和一，三象限，y=−ax2 +a的图像开口向 下，与 y 轴交于正半轴． 当a0时， y=ax 函数图像经过原点和二，四象限，y=−ax2 +a的图像开口向上，与 y 轴 交于负半轴． 故选：C．（3）解：当 17 m  0 时， y = m x 的图象是经过原点和一三象限的直线， y = m x 2 − m 2 开口向上， 与 y 轴交于负半轴，对称轴是 y 轴， 当m0时， y = m x 的图象是经过原点和二四象限的直线， y = m x 2 − m 2 开口向下，与 y 轴交 于负半轴，对称轴是 y 轴， 故选： D ． 练习7:【学习框18】 （★★★☆☆）如图，已知二次函数y=ax2 +b与一次函数 y = a x + b ，它们在同一直角坐标系 中的图像大致是（ ） 【常规讲解】C． A：由抛物线可知 a  0 ， b  0 ，由直线知 a  0 ， b  0 ，∴A错误； B：由抛物线可知 a  0 ，b0，由直线知 a  0 ，b0，∴B错误； C：由抛物线可知 a  0 ， b  0 ，由直线知 a  0 ， b  0 ，∴C正确； D：由抛物线可知 a  0 ， b  0 ，由直线知 a  0 ， b  0 ，∴D错误． 例题8: （1）（★★★☆☆）（2023•虹口区一模）如果点 A ( − 2 , y 1 ) 与点 B ( − 3 , y 2 ) 都在抛物线 y = x 2 + k 上，那么 y 1 和 y 2 的大小关系是( ) A． y 1  y 2 B． y 1  y 2 C． y 1 = y 2 D．不能确定 （2）（★★★☆☆）（2020•嘉定区期末）若二次函数 y = 2 x 2 + 8 ，当 x 取x ，x （ 1 2 x 1  x 2 ） 时，函数值相等，则当x取 x 1 + x 2 y y y y O O O x x x O x A． B． C． D． 时，函数的值为________． 【常规讲解】 （1）解： y=x2 +k， 抛物线开口向上，对称轴为 y 轴，18  x  0 时， y 随x增大而减小， − 3  − 2 ，  y 2  y 1 ， 故选： B ． （2）∵当x取x ，x （x x ）时，函数值相等，∴x ，x 关于抛物线的对称轴 1 2 1 2 1 2 y 轴对称， ∴x +x =0． 1 2  函数的值为0 练习8:【学习框20】 （★★★☆☆）（2023•嘉定区一模）已知点 A (1 , y 1 ) 、 B ( 3 , y 2 ) 在二次函数 y = − x 2 + 2 的图象上， 那么y y （填“”、“ =”、“ ” 1 2 ) ． 【常规讲解】 解： y = − x 2 + 2 ，  抛物线开口向下，对称轴为 y 轴，  当 x  0 时， y 随 x 的增大而减小， 点 A (1 , y 1 ) 、 B ( 3 , y 2 ) 在二次函数 y = − x 2 + 2 的图象上， 1  3 ，  y 1  y 2 ． 故答案为：  ．知识加油站 4 19 y = a ( x + m ) 2 的图像与性质【建议时长：20 分钟】 考点六： y = a ( x + m ) 2 的图像与性质 知识笔记4 二次函数 y = a ( x + m ) 2 的图像 一般地，二次函数 y = a ( x + m ) 2 的图像是抛物线，称为抛物线 y = a ( x + m ) 2 ，它可以通过将 抛物线 y = a x 2 向左（m0时）或向右（m0时）平移___________得到． 抛物线 y = a ( x + m ) 2 （其中a、m是常数，且 a  0 ）的对称轴是直线_________； 顶点坐标是_________； 当 a  0 时，开口向上，顶点是抛物线的_________； 当 a  0 时，开口向下，顶点是抛物线的_________． 【填空答案】 m 个单位；x = -m；（-m，0）；最低点；最高点 例题9: （1）（★★☆☆☆）函数y=−2(x+3)2 的图像是________，开口________，对称轴是________， 顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图 像是由 y = − 2 ( x − 1 ) 2 的图像向________平移________个单位得到的． （2）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）已知点A(2,y )，B(−3,y )为二次函数 1 2 y = ( x + 1 ) 2 图 像上的两点，那么 y 1 ______ y 2 （填“  ”，“ = ”或“” ) ． （3）（★★☆☆☆）（2022•宝山区校级期末）如果二次函数y=a(x−1)2(a0)的图象在它的 对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ． 【常规讲解】 （1）填空答案为：抛物线，向下，直线 x = − 3 ， ( − 3 , 0 ) ，高，0，左，4． （2）解： y=(x+1)2， 抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，20 2 − ( − 1 )  − 1 − ( − 3 ) ，  y 1  y 2 ． 故答案为：  ． （3）解： 二次函数的图象在对称轴 x = 1 的右侧部分是上升的，  这个二次函数的二次项系数为正数， a0， 故答案为 a  0 ． 【知识点总结】二次函数 y = a ( x + m ) 2 的图像可以通过将抛物线 y = a x 2 向左（ m  0 时）或 向右（ m  0 时）平移 m 个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线 y = a ( x + m ) 2 （其中 a 、 m 是常数，且a0）的对称轴是直线 x = − m ；顶点坐标是 (−m,0) ．抛物线的开 口方向由 a 所取值的符号决定，当a0时，开口向上；当 a  0 时，开口向下． 练习9:【学习框22】 （1）（★★☆☆☆）（2018•宝山区一模）关于二次函数 y = − ( x − 2 ) 2 的图象，下列说法正确 的是 ( ) A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 x = − 2 D．最高点是 ( 2 , 0 ) （2）（★★☆☆☆）（2023•浦东新区期末）已知点 A ( − 2 , m ) 、 B ( − 3 , n ) 都在二次函数 y = ( x − 1 ) 2 的图象上，那么 m 、 n 的大小关系是： m n（填“  ”“ = ”或“  ” ) ． 【常规讲解】（1）解： 二次函数 y = − ( x − 2 ) 2 的图象开口向下， 是轴对称图形，不是中心对称图形， 对称轴是 x = 2 ，顶点坐标是 ( 2 , 0 ) ． 故选：D． （2）解：由二次函数y=(x−1)2可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=1， 当 x  1 时， y 随 x 的增大而减小， 点A(−2,m)、 B ( − 3 , n ) 都在二次函数y=(x−1)2的图象上，且−3−21， mn． 故答案为：．例题10: （★★★☆☆）（2019•浦东新区期末）如图，已知二次函数 21 y = a ( x + m ) 2 y=ax+m 与一次函数 ， 它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） 【常规讲解】A． A：由抛物线可知 a  0 ， m  0 ，由直线知 a  0 ， m  0 ，∴A正确； B：由抛物线可知 a  0 ，m0，由直线知 a  0 ， m  0 ，∴B错误； C：由抛物线可知 a  0 ，m0，由直线知 a  0 ， m  0 ，∴C错误； D：由抛物线可知 a  0 ， m  0 ，由直线知 a  0 ， m  0 ，∴D错误； 练习10:【学习框24】 （★★☆☆☆）（2019•奉贤区一模）如果二次函数 y = a ( x − 1 ) 2 ( a  0 ) 的图象在它的对称轴右 侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ． 【常规讲解】解： 二次函数的图象在对称轴 x = 1 的右侧部分是上升的，  这个二次函数的二次项系数为正数，  a  0 ， 故答案为 a  0 y y y y O O x O x x O x A． B． C． D． ．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★☆☆☆☆）（2020•黄浦区期末）下列函数，不属于二次函数的是（ ） A． 22 y = ( x − 1 ) ( x + 2 ) B． y = 1 2 ( x + 1 ) 2 C．y=1− 3x2 D．y=2(x+3)2 −2x2 （2）（★★☆☆☆）任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线 y = 2 x 2 + n ，关于这些抛物线 有以下结论，其中判断正确的个数是（ ） 1 、开口方向都相同；2、对称轴都相同； 3 、形状都相同； 4 、都有最低点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【常规讲解】 （1）∵ y = 2 ( x + 3 ) 2 − 2 x 2 = 1 2 x + 1 8 ，二次项系数为0，∴不是二次函数． 故答案为D （2）抛物线 y = 2 x 2 + n ，开口向上，有最低点，对称轴为 y 轴，形状相同． 故答案为D 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区校级月考）已知点 A ( − 5 , m ) 、 B ( − 3 , n ) 都在二次函数 y = 1 2 x 2 − 5 的图象上，那么 m 、 n 的大小关系是： m n ．（填“”、“ =”或“” ) （2）（★★☆☆☆）（2023•宝山区期末）如果二次函数 y = a ( x − 2 ) 2 ( a  0 ) 的图象上有两点 ( 9 4 , y 1 ) 7 和( ,y )，那么y 3 2 1 y 2 ．（填“”、“ =”或“” ) 【常规讲解】 （1）解：二次函数 y = 1 2 x 2 − 5 可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为 y 轴， 所以当x0时，y随x的增大而减小，所以mn．故答案为． （2）解：由二次函数 23 y = a ( x − 2 ) 2 ( a  0 ) 可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，  当 x  2 时， y 随 x 的增大而减小， 二次函数 y = a ( x − 2 ) 2 ( a  0 ) 9 7 9 7 的图象上有两点( ,y )和( ,y )，且2  ， 4 1 3 2 4 3  y 1  y 2 ． 故答案为：  ． 练习3: （★★★☆☆）（2020•松江区期末）抛物线y=ax2 +c顶点坐标是（0，2），且形状与 y = − 1 2 x 2 相同，求抛物线的解析式． 【常规讲解】 y = − 1 2 x 2 + 2 或 y = 1 2 x 2 + 2 ．由题意知 a =  1 2 ，把（0，2）代入 y = a x 2 + c 得 c = 2 1 1 ，∴y= x2 +2或y=− x2 +2． 2 2 练习4: （★★★☆☆）已知 a = − ( − 7 ) 0 ， c = ( 5 − 2 6 )  ( 5 + 2 6 ) ． （1）求出a、c的值； （2）请写出函数 y = a x 2 − c 相关的性质． 函数 y = a x 2 − c 开口方向 对称轴 最值 当x 时，y有最 值是 . 增减性 当x 时，y随x的增大而 ； 当 x 时，y随x的增大而 . 【常规讲解】 解：（1）由题意得，a=−(−7)0 =−1；c=(5−2 6)(5+2 6)=52 −(2 6)2 =25−24=1， a=−1，c=1． （2）由题意，结合（1）得，y=−x2 −1，对称轴是y轴． 24 a = − 1  0 ，  抛物线开口向下．  当 x = 0 时， y 取最大值为−1；当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 0 时， y 随 x 的增大 而增大． 故答案为：向下； y 轴； = 0 ，大，−1；0，减小；0，增大． 关卡二 练习5: （★★★★☆）（2022•杨浦区复旦二附中期末）已知 y 是关于 x 的函数，若该函数的图象经过 点P(t,−t)，则称点 P 为函数图象上的“相反点”，例如：直线 y = 2 x − 3 上存在“相反点” P(1,−1)．若二次函数 y = x 2 + 2 m x + m + 2 的图象上存在唯一“相反点”，则 m = _______． 【常规讲解】解：将 P ( t , − t ) 代入 y = x 2 + 2 m x + m + 2 中， 得 t 2 + 2 m t + m + 2 = − t ，即 t 2 + ( 2 m + 1 ) t + m + 2 = 0 ， 二次函数 y = x 2 + 2 m x + m + 2 的图象上存在唯一“相反点”，  方程有两个相等的实数根，  △ = ( 2 m + 1 ) 2 − 4  1  ( m + 2 ) = 0 7 ，解得m= ， 2 7 故答案为： ． 2 练习6: （★★★★☆）如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、 PB为边作等边  A P C 和等边  P B D ．设点P移动的距离为x，  A P C 与  P B D 的面积之和为 y，求y关于x函数解析式及函数定义域． D C A P B 3 【常规讲解】y= x2 −5 3x+25 3(0x10)． 2 作CH 垂直于AP，垂足为H点．∵APC是等边三角形， 25 A P = x ，∴ A H = 1 2 x ，得 C H = 2 3 x ∴ S  A P C = 1 2  A P  C H = 1 2  x  2 3 x = 4 3 x 2 ， ∵ A B = 1 0 ，∴ P B = 1 0 − x ，同理 S  P B D = 4 3 ( 1 0 − x ) 2 ， ∴ y = 4 3 x 2 + 4 3 ( 1 0 − x ) 2 = 2 3 x 2 − 5 3 x + 2 5 3 ( 0  x  1 0 ) 练习7: （★★★★☆）某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空 中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的 垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO = 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P 处，飞机到P 处的水平距离OP 应 为多少米？ 【常规讲解】500米． 根据题意得A(0,1000) ， C ( 2 0 0 , 8 4 0 ) ．设抛物线表达式为 y = a x 2 + 1 0 0 0 ， 把 C ( 2 0 0 , 8 4 0 ) 1 代入得840=2002a+1000，解得a=− ，∴ 250 y = − 2 1 5 0 x 2 + 1 0 0 0 ． 当y=0时， − 2 1 5 0 x 2 + 1 0 0 0 = 0 ，解得 x 1 = 5 0 0 D C A H P B y A B C O P x ，x =−500（舍） 2 ∴飞机到P处的水平距离OP应为500米．