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重难点 02 综合与实践（全国热考问题）
【考情分析】生活中的建模思想逐渐渗透到中考数学中，这不仅考查学生的数学基础知识，更注重考查学
生将数学应用于实际生活的能力。近年来，生活中的建模问题在中考数学试卷中出现的频率逐年增加。通
常作为压轴题或综合性较强的题目出现，分值占比一般在15%至25%之间，是中考数学的重要组成部分。
【常见类型】
1. 函数建模：这类问题多涉及方程、函数、不等式等数学知识，背景常为生产计划、成本利润、市场销
售等。例如，某工厂生产帐篷的任务安排问题，通过建立方程或函数模型求解每天的生产量和成本利润。
2. 几何建模：题目背景多为测量、建筑设计、航海等，涉及三角形、圆、相似形等几何知识。如灯塔与
航线的安全距离问题，通过构建几何模型，利用三角函数、勾股定理等知识求解。
3. 统计与概率建模：此类问题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，背景可能为市场调查、人口统
计等。例如，通过样本数据预测某种产品的市场需求量，建立统计模型进行分析。
【解题思路与方法】
1. 理解问题：首先需要认真阅读题目，理解问题的实际背景，明确需要解决的目标。
2. 抽象简化：根据问题的特征和目的，忽略次要因素，用精确的数学语言表达问题，建立假设。
3. 模型构建：利用适当的数学工具和知识，构建数学模型。例如，建立方程、函数、几何图形等。
4. 模型求解：利用数学方法求解模型，得到数学结果。
5. 结果验证：将模型结果与实际背景进行比较，验证模型的合理性和准确性。如果模型不符合实际，需
要调整假设或模型，重新求解。
6. 结果解释：将数学结果转化为实际问题的解决方案，并进行解释说明。
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【趋势预测】随着教育改革的不断深入，生活中的建模问题在中考中的地位将更加重要。未来的中考数学
试题可能会更加贴近生活实际，题目背景更加多样化，综合性更强。同时，对学生能力的要求也将进一步
提高，不仅要求学生掌握基本的数学知识，还要具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及创新意识和
实践能力。
题型01 生活中的建模- 解直角三角形
1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小
组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活
动
测量轻轨高架站的相关距离
内
容
测
量
测倾器，红外测距仪等
工
具
过 相关数据及说明：图中点A,B,C,D，E,F在同平面内，房顶AB
程 ，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴
资 线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m,CD=6.7m
料 ．
成
果
……
梳
理
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点C到地面DE的距离；
(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，
tan15°≈0.268，sin83°≈0.993,cos83°≈0.122,tan83°≈8.144）
【答案】(1)点C到地面DE的距离为6.65m；
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(2)顶部线段BC的长为7.14m．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，由∠CDE=97°得∠CDN=83°，在Rt△CDN中，
解直角三角形即可得解；
（2）过点B作BP⊥CF，垂足为P ，由平行线的性质得∠FCD=∠CDN=83°，进而得
∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°，根据平行线间的距离处处相等得EF=CN=6.65，从而得
BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85，最后在Rt△BCP中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，
∵∠CDE=97°
∴∠CDN=83°
在Rt△CDN中，
CN
sin∠CDN=sin83°= =0.993,CD=6.7
CD
∴CN=CDsin83°=6.7×0.993≈6.65
答：点C到地面DE的距离为6.65m
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P ，
∵CF ∥ DE
，
∴∠FCD=∠CDN=83°
∵∠BCD=98°，
∴∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°
∵平行线间的距离处处相等
∴EF=CN=6.65，
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∵AE=8.5，
∴BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85
在Rt△BCP中，
BP
sin∠BCP=sin15°= =0.259
BC
BP 1.85
∴BC= = ≈7.14
sin15° 0.259
答：顶部线段BC的长为7.14m．
2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正
sinα
弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传
sinβ
播时，介质对光作用的一种特征．
√7
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα= ，β=30°，求该介质的折射率；
4
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，
若光线经真空从矩形A D D A 对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知
1 1 2 2
α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
3
【答案】(1) ；
2
(2)100√2cm2．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
√7
（1）根据cosα= ，设b=√7x，则c=4x，利用勾股定理求出a=√ (4x) 2−(√7x) 2=3x，进而可得
4
a 3x 3
sinα= = = ，问题即可得解；
c 4x 4
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3 sinα sin60° 3 √3
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，根据 = = ，可得sinβ= ，则有
2 sinβ sinβ 2 3
√3
sin∠OCD=sinβ= ，在Rt△ODC中，设OD=√3x，OC=3x，问题随之得解．
3
√7
【详解】（1）∵cosα= ，
4
∴如图，
设b=√7x，则c=4x，由勾股定理得，a=√ (4x) 2−(√7x) 2=3x，
a 3x 3
∴sinα= = = ，
c 4x 4
又∵β=30°，
1
∴sinβ=sin30°= ，
2
3
sinα 4 3
∴折射率为： = = ．
sinβ 1 2
2
3
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，
2
∵α=60°，
sinα sin60° 3
∴ = = ，
sinβ sinβ 2
√3
∴sinβ= ．
3
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD=2OD，∠D=90°，
又∵∠OCD=β，
√3
∴sin∠OCD=sinβ= ，
3
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在Rt△ODC中，设OD=√3x，OC=3x，
由勾股定理得，CD=√ (3x) 2−(√3x) 2=√6x，
OD √3x 1
∴tanβ= = = ．
CD √6x √2
又∵CD=10cm，
OD 1
∴ = ，
10 √2
∴OD=5√2cm，
∴AD=10√2cm，
∴截面ABCD的面积为：10√2×10=100√2cm2．
3．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角
仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺．
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m．
（3）计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ；
②根据测量数据，画出示意图4，AB=1.6m,BC=16.8m，求旗杆CD的高度（精确到0.1m）；（参考数
据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，
该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．
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【答案】①35°；②13.4m；③不能，见详解
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解
决本题的关键．
①根据直角三角形两锐角互余即可求解；
②由题意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∠AED=90°，解Rt△EDA可求出DE≈11.8m，由
CD=DE+CE即可求解；
③不能，若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着
三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为
30°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用
45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向
上看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记
自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算．
【详解】解：①如图：
由题意得∠C=90°,∠ADC=55°，
∴∠A=α=90°−55°=35°；
②由题意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∠AED=90°，
DE
∴在Rt△EDA中，tan∠DAE=tan35°= ，
AE
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DE
∴0.7= ，
16.8
∴DE≈11.8m，
∴CD=DE+CE=11.8+1.6=13.4m，
答：旗杆CD的高度约为13.4m；
③不能，
若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的
斜边向上看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为30°，标记
自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：
若使用45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的
斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为45°，
标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：
4．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研
究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A A A A A A A A 的边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
√2
km，南门O设立在A A 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A A 在BM上（门宽
2 6 7 6 7
及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A 处测得雕塑在北
1
偏东45°方向上，在A 处测得雕塑在北偏东59°方向上．
2
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(1)∠C A A =__________°，∠C A A =__________°；
1 2 2 1
(2)求点A 到道路BC的距离；
1
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不
会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，
sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【答案】(1)∠C A A =90°，∠C A A =76°
1 2 2 1
(2)2.0千米
(3)2.4km
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
√2
（2）过点A 作A D⊥BC，垂足为D，解Rt△C A A ，求出C A =A A ⋅tan76°≈ ×4.00=2√2，
1 1 2 1 1 1 2 2
√2
解Rt△C A D，求出A D=C A ⋅cos45°=2√2× =2.0km，即可；
1 1 1 2
（3）连接C A 并延长交BM于点E，延长A A 交BE于点G，过点A 作A F⊥BC，垂足为F，解
8 1 8 8 8
Rt△A A G，求出A G，证明Rt△C A F∽Rt△CEB，列出比例式进行求解即可．
7 8 8 8
360°
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为： =45°，
8
∴∠C A A =45°+45°=90°，∠C A A =180°−45°−59°=76°；
1 2 2 1
故答案为：90,76；
（2）过点A 作A D⊥BC，垂足为D．
1 1
√2
在Rt△C A A 中，A A = ，∠C A A =76°，
2 1 2 1 2 2 1
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√2
∴C A =A A ⋅tan76°≈ ×4.00=2√2．
1 1 2 2
在Rt△C A D中，∠C A D=90°−45°=45°，
1 1
√2
∴A D=C A ⋅cos45°=2√2× =2.0km．
1 1 2
答：点A 到道路BC的距离为2.0千米．
1
（3）连接C A 并延长交BM于点E，延长A A 交BE于点G，过点A 作A F⊥BC，垂足为F．
8 1 8 8 8
∵正八边形的外角均为45°，
1
∴在Rt△A A G中，A G= ．
7 8 8 2
1
∴FB=A G= ．
8 2
√2
又∵A F=A D=CD=2，DF=A A = ，
8 1 1 8 2
5+√2
∴CB=CD+DF+FB= ．
2
∵∠CF A =∠B,∠FC A =∠BCE，
8 8
∴Rt△C A F∽Rt△CEB，
8
√2
2+
CF A F 2 2
∴ = 8 ，即 = ，
CB EB 5+√2 EB
2
∵√2≈1.41，
∴EB≈2.4km．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在
一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
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如图1是俯视图，OA，OB分别表示门框和门所在位置，M，N分别是OA，OB上的定点，
OM=27cm，ON=36cm，MF，NF的长度固定，∠MFN的大小可变．
(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN=180°，求∠MNB的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值为______．（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)∠MNB=143°
(2)见解析
(3)0.75
【分析】（1）在Rt△OMN中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、ON的长为半径画弧，与以点F为圆心、FN的长为半径的弧交于点N ,N ，连接
1 2
ON ,ON ,得出门OB的位置；
1 2
（3）当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，
∠ONM最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，∠ONM最大，故sin∠ONM的最大值为
OM 27
= =0.75．
ON 36
OM 27
【详解】（1）解：在Rt△OMN中，tan∠ONM= = =0.75，
ON 36
∴∠ONM≈37°．
∴∠MNB≈180°−37°=143°．
（2）门的位置OB如图1中OB 或OB 所示．（画出其中一条即可）
1 2
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（3）如图2，连接NM，过点O作OH⊥NM，交NM的延长线于点H．
∵在门的开合过程中，∠ONM在不断变化，
∴当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大．
由图2可知，当OH与OM重合时，OH取得最大值，此时∠ONM最大，
OM 27
∴sin∠ONM的最大值为 = =0.75．
ON 36
故答案为：0.75
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
题型02 生活中的建模二 一次函数
6．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；
第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，
请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的
设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的
位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
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【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，
记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
x/mm
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函
数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：y=5x+33
(2)36mm
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知
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识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将y=213代入函数解析式，解方程即可．
【详解】（1），
解：设函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∵当x=16.5,y=115.5，x=23.1,y=148.5，
∴¿，
解得：¿，
∴函数解析式为：y=5x+33，
经检验其余点均在直线y=5x+33上，
∴函数解析式为y=5x+33，这些点在同一条直线上；
（2）解：把y=213代入y=5x+33得：
5x+33=213，
解得：x=36，
∴当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
17x( 32)
【答案】(1)y=4− 00，
2 1
∴d的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l +l +1=n，
1 2
∴l =n−l −1，
2 1
∴d=l −l =l −(n−l −2)=2l −n+1=2×9t−n+1=18t−n+1
1 2 1 1 1
∴d是t的一次函数，
∵当t=4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；
∴当t=5时，d=0，
∴18×5−n+1=0，
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∴n=91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91−1)÷9=10 (s)，
∵整个过程总用时27s（含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从点B到点A的滑动时间为27−10−2= 15s，
∴滑块返回的速度为(91−1)÷15=6(m/s)，
∴当12≤t≤27时，l =6(t−12)，
2
∴l =91−1−l =90−6(t−12)=162−6t，
1 2
∴l −l =162−6t−6(t−12)=−12t+234，
1 2
∴d与t的函数表达式为d=−12t+234；
（3）当d=18时，有两种情况，
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，18t−91+1=18，
解得：t=6；
②当12≤t≤27时，−12t+234=18，
解得：t=18，
综上所述，当t=6或t=18时，d=18．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出n=91，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
10．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器
和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观
察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
3
水面高度h/cm（观察值） 29 28.1 27 25.8
0
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函
数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
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任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，
减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与
对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：h=−0.1t+30；任务3：（1）0.05，（2）h=−0.102t+30；任务
4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关
系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设h=kt+30，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最
小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向
与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，29−30=−1(cm)；28.1−29=−0.9(cm)；
27−28.1=−1.1(cm)；25.8−27=−1.2(cm)；
任务2：设h=kt+b，
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∵t=0时，h=30，t=10时，h=29；
∴¿
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=−0.1t+30．
任务3：（1）当t=0时，h=−0.1t+30=30，
当t=10时，h=−0.1t+30=29，
当t=20时，h=−0.1t+30=28，
当t=30时，h=−0.1t+30=27，
当t=40时，h=−0.1t+30=26，
∴w=(30−30) 2+(29−29) 2+(28−28.1) 2+(27−27) 2+(26−25.8) 2
=0.05．
（2）设h=kt+30，则
w=(30−30) 2+(10k+30−29) 2+(20k+30−28.1) 2+(30k+30−27) 2+(40k+30−25.8) 2
=(10k+1) 2+(20k+1.9) 2+(30k+3) 2+(40k+4.2) 2
=3000k2+612k+12+1.92+32+4.22．
612
当k=− =−0.102时，w最小．
2×3000
∴优化后的函数解析式为h=−0.102t+30．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函
数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
题型03 生活中的建模三 反比例函数
11．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同
一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
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探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的
“E”形图边长为6mm；
探究2: 0.5≤θ≤1.0；
18
探究3：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
7.2
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n= ，将n=1.2
b
7.2
代入n= 得：b=6；
b
1
探究2：由n= ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得
θ
0.5≤θ≤1.0；
6 b
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 = 2，即可解得答案．
5 3
【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
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k k
设n= (k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8= ，
b 9
解得：k=7.2，
7.2
∴ n= ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
b
7.2
将n=1.2 代入n= 得：b=6；
b
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图
边长为6mm；
探究2:
1
∵ n= ，
θ
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
b b
1 = 2 ，
检测距离 检测距离
1 2
由探究1知b =6，
1
6 b
∴ = 2，
5 3
18
解得b = ，
2 5
18
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
12．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
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【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
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8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
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8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
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把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
13．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记
F
录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：P= )：
S
桌面所受压强 25 50
400 800
P(Pa) 0 0
受力面积S(m2
) 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为40cm，10cm，60cm，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为3000Pa，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明
理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
200
【答案】(1)P= ；a=0.4；
S
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(2)见解析．
【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，
读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据题中数据，可知压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关
系式即可得到答案；
（2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为3000Pa比较即可得到答
案．
【详解】（1）解：∵400×0.5=200=500×0.4=800×0.25=100×0.2=1250×0.16，
∴压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的满足反比例函数关系，
k
设压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的函数表达式为P= ，则k=PS=200，
S
200
∴压强P(Pa)关于受力面积S(m2 )的函数表达式为P= ；
S
200 200
把(a，500)代入P= ，得500= ，
S a
解得a=0.4；
（2）这种摆放方式不安全．
理由：由已知S=0.4×0.1=0.04(m2 )，
200
此时P= =5000>3000，
0.04
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
200 10000
此时S=0.6×0.1=0.06(m2 )，则P= = >3000
0.06 3
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
200 2500
此时S=0.4×0.6=0.24(m2 )，则P= = <3000
0.24 3
∴这种摆放方式是安全的．
14．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新
兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图
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1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部
分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2m，BE=2m，
AC=20m，GM=10m，MN=4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图2，求EG所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ
用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？
16
【答案】(1)y=
x
(2)√2米
【分析】（1）根据题意可得E(−8,−2)，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出EG所在直线解析式为y=−x−10，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线EG关于
直线y=x轴对称，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵AC=20m，AB=2m，BE=2m，O为AC中点，AO=10m，
∴E(−8,−2)，
k
设EG所在双曲线的表达式为y= ，
x
k
将点E坐标(−8,−2)代入表达式中，得：−2=
−8
解得：k=16，
16
∴抛物线表达式为y= ；
x
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（2）解：根据题意得：点E与点G坐标分别为(−8,−2)，(−2,−8)，
设EG所在直线解析式为y=k x+b ，
1 1
将E、G两点坐标代入得：¿，
解得k =−1，b =−10，
1 1
∴EG所在直线解析式为y=−x−10，
根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线EG关于直线y=x轴对称，
联立¿，
解得¿，
∴P(−5,−5)，
联立¿，
解得：¿，
∴Q(−4,−4)，
∴PQ =√(−4+5) 2+(−4+5) 2=√2(m)．
max
【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反
比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾
气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，
气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R(Ω)的阻值随着
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尾气中一氧化碳的含量β(g/km)变化的关系图象如图2所示，R (Ω)为定值电阻，电源电压恒定不变．
0
(1)请根据图2，判断气敏电阻R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾
气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
1
【答案】(1)反比例函数，R=
β
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键．
（1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式；
（2）将R=0.5代入函数解析式求得β=2.0，比较即可得出结论即可；
【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有(0.2,5),(0.5,2)，
1
∴R⋅β=1，即R= ，
β
1
∴R与β之间成反比例函数，解析式为：R= ．
β
1
故答案为：反比例函数，R= ．
β
1
（2）将R=0.5代入函数解析式得：0.5= ，解得β=2.0，
β
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是2.0g/km，
∵2.0>1.0，
∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准．
16．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目 收费标准
3公里以内收
13元
费
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2.3元/公
基本单价
里
… …
备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：
①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；
②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1
元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）．
(1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系xOy中，画出当00）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中w= ．
x
①当x=3,3.4和3.5时，平均单价依次为w ,w ,w ，则w ,w ,w 的大小关系是______；（用“<”连接）
1 2 3 1 2 3
②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（s≤x）公里的平均单价w ，则称这次行驶的里
s
程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）．
【答案】(1)17，18；见解析
(2) w 3，
∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得M点的纵坐标为4，
1 7
令y= (x+3) 2+ =4，即(x+3) 2=25，
8 8
∴x=2（舍去，不符合题意）或x=−8，
∴M(−8,4)，
设BM所在直线的解析式为y=kx+b'，
将M(−8,4),B(0,2)代入得：¿，
解得：¿，
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1
∴ BM所在直线的解析式为y=− x+2，
4
如图，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于H，
∵ BM
这条钢架与 平行，
1
∴设该钢架GH所在直线的解析式为y=− x+n，
4
1 1 7
联立¿，即− x+n= (x+3) 2+ ，
4 8 8
整理得：x2+8x+16−8n=0，
∵该钢架GH与水滑道有唯一公共点，
∴Δ=82−4×1×(16−8n)=0，
1
∴ n=0即该钢架所在直线的解析式为y=− x，
4
∴点H与点O重合，
1
∵ GN=− ×(−8)=2，NO=8，∠GNO=90°，
4
∴GH=√GN2+NO2=2√17，
∴这条钢架的长度为2√17米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函
数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
20．（2024·山西·二模）学科实践
驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现
一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助
彩旗队进行队列设计.
研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度AB=16米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷
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头，将出水口高度AM，BN都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，
并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面
的距离保持3.6米
问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求
出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，
若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距.
1
【答案】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，y=− x2+5(−8≤x≤8)
16
(2)彩旗队每相邻两列的间距为 1.6 米
【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是
解题的关键．
（1）根据题意取AB中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为y=ax2+c，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线DE,FG，垂足为点E,G，分别交抛物线于点D,F，
分别求出点D,F的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
设所求抛物线的函数表达式为y=ax2+c，
由题可知，AB=16,OA=OB,BN=1,OC=5，
∴点N的坐标为(8,1)，点C的坐标为(0,5)，−8≤x≤8，
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将N(8,1),C(0,5)代入y=ax2+c，
得¿，
解得¿，
1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+5(−8≤x≤8)；
16
（2）解：如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线DE,FG，垂足为点E,G，分别交抛物线于点
D,F，
由题意可知，DE=FG=3.6+0.4=4（米），
∴点D,F的纵坐标均为4，
1
当y=4时，− x2+5=4，
16
解得x=±4，
∴点D,F的坐标分别为(−4,4)和(4,4)，
∴最外侧两列彩旗队之间的距离为4−(−4)=8（米），
∵ 8÷(6−1)=1.6（米），
答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米．
21．（2024·山东青岛·模拟预测）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．
输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图1所示，是在水平地面架
设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为100m，每个塔高均为20m，为保证安全，要求电缆最低点距地
面的最小垂直高度为15米．
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(1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式．
(2)如图2所示，斜坡BD坡比为1:20，两铁塔高度仍为20m，水平距离仍为100m，电缆抛物线形状与水平
架设相同，建立如图2所示坐标系．
①求此时抛物线的解析式．
②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求．
③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可）
1
【答案】(1)y= (x−50) 2+15
500
1 3 11
(2)①y= x2+ x；②能满足安全要求，③ ；
500 20 16
【分析】本题考查二次函数与实际问题结合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键；
（1）建立合适的坐标系，代入坐标即可求解；
（2）①根据题意设A ( − b ,0 ) ，C ( 100− b ,5 ) ，代入y= 1 x2+bx即可求解；
a a 500
b 75 195
②根据函数解析式可得，当x=− =− 函数最小值为：y= ，斜坡BD坡比为1:20，则斜坡最小
2a 2 80
75 1 75
垂直距离为： × = ，由此可以求得电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求；
2 20 40
1 3
③根据题意可设函数解析式为：y= x2+ x+k，结合电缆与斜坡最小垂直距离为
500 20
195 75 251
20− −k− = −k=15，解k即可求出降低两铁塔的高度；
80 40 16
【详解】（1）根据题意建立坐标系如下：
A(0,20) B(50,15) B(50,15)
， ， ，
设二次函数表达式为：y=a(x−h) 2+k，
将点A(0,20)，B(50,15)坐标代入，
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1
可得：h=50，k=15，a= ，
500
1
故此时抛物线的解析式为：y= (x−50) 2+15
500
( b ) ( b )
（2）①解：根据题意设A − ,0 ，C 100− ,5
a a
1
电缆抛物线形状与水平架设相同，a= ，
500
1
设二次函数解析式为：y= x2+bx，
500
3
将A，C点坐标代入函数解析式可得：b= ，
20
1 3
故函数解析式为：y= x2+ x
500 20
b 75 195
②根据函数解析式可得，当x=− =− 函数最小值为：y=
2a 2 80
b
∵ OA=− =75，
a
75 1 75
∵斜坡BD坡比为1:20，则斜坡最小垂直距离为： × = ，
2 20 40
195 75 251
电缆与斜坡最小垂直距离为：20− − = >15
80 40 16
保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度高于15米，满足安全需要，
1 3
③根据题意可设函数解析式为：y= x2+ x+k
500 20
b 75 195
当x=− =− 函数最小值为y= +k，
2a 2 80
195 75 251
则电缆与斜坡最小垂直距离为20− −k− = −k=15，
80 40 16
11
解得：k= ，
16
11
为节约成本，在保证安全高度的情况下，可降低两铁塔的高度，降低 米
16
题型05 生活中的建模五 几何操作
22．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践
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(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边
形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHJK为矩形．则
△EDK≌______．
(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5
中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为______．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的
方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【答案】(1)△EAG
(2)①1；②见详解
(3)见详解
【分析】（1）由“角角边”即可证明；
AE
（2）①由操作知，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，故AE=BE，因此 =1；②由
BE
两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）取AB,BC,CD,DA为中点为E,H,G,F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，
垂足为点M,N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°
至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方空出，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与
AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形M M'N″N'即为所求矩形．
【详解】（1）解：如图，
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∵AB∥CD，
∴∠GAE=∠D，
由题意得E为AD中点，‘
∴EA=ED’，
∵∠AEG=∠DEK，
∴△EDK≌△EAG
故答案为：△EAG；
（2）解：①如图，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，
∴AE=BE，
AE
∴ =1，
BE
故答案为：1；
②如图，
由题意得，E、F、G、H是AB,BC,CD,DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四
边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方空出，
则AQ=BF=CF,AP=DG=CG，∠BFO=∠AQL，
∵∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°，∠QAE=∠B,∠PAH=∠D，
∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360°，
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∴∠PAQ=∠C，
∵∠BFO+∠CFO=180°
∴∠AQL+∠AQK=180°，
∴K,Q,L三点共线，同理K,P,J三点共线，
由操作得，∠2=∠L,∠3=∠J，
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°，
∴∠1+∠L=180°,∠1+∠J=180°，
∴OJ∥KL,OL∥KJ，
∴四边形OJKL为平行四边形；
（3）解：如图，
如图，取AB,BC,CD,DA为中点为E,H,G,F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，
垂足为点M,N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°
至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方空出，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与
AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形M M'N″N'即为所求矩形．
由题意得，∠EMF=∠EMH=∠M'=90°，∠GNH=∠GNF=∠N'=90°，
∴∠N'=∠M'MH=90°，H'M'∥N'M
∴N'G'∥M M'，
由操作得，∠1=∠4,∠2=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠4=180°，
∴N″,H',M'三点共线，
同理N',G',N″三点共线，
∵∠N'=∠EMF=∠M'=90°，
∴四边形M M'N″N'为矩形，
如图，连接AC,EF,FG,GH,EH，
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∵E,H为BA,BC中点，
1
∴EH∥AC,EH= AC，
2
1
同理FG∥AC,FG= AC，
2
∴FG∥EH,FG=EH，
∴∠EHM=∠GFN，
∵∠EMF=∠GNH=90°，
∴△EHM≌△GFN，
∴EM=GN，MH=NF，
∴FM=NH，
由操作得，AH'=BH，而BH=CH，
∴AH'=CH，
同理，AG'=CG，
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°，∠D=∠G' AF,∠B=∠H' AE，
∠BAD+∠H' AE+∠G' AF+∠H' AG'=360°，
∴∠H' AG'=∠C，
∵四边形M M'N″N'为矩形，
∴N'N″=M M',N″M'=N″M，
∴N'F+FM=H'M'+H'N″，
∴MF+NF=MF+MH=M'H'+N″H'，
∴NH=N″H'，
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同理NG=N''G'，
∴四边形NGCH能放置左上方空出，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解
题意是解题的关键．
23．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB>AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
1
乙同学的结论：tan∠AFG= ．
3
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
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第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN⋅AM=GN⋅AD．
（2）请证明这个结论．
【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析
【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全
等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出
辅助线并熟练掌握相关的性质定理，
（1）先证明四边形AEFD为矩形，再根据AD=AE即可证明四边形AEFD为正方形，设AG=a，由折叠
1
性质可知：¿=AG= AE=a，EF=AE=2a，再根据等腰直角三角形的性质分别求出AM=MG，AF，
2
即可得出MF=AF−AM，进而可得出结论；
（2）作GR∥QS交SM于点R，利用HL证明Rt△GHP≌Rt△GRP，得出∠FPG=∠MPG，再证明四边
形GMPF为菱形，得出GM=MP，进而证明AM=RP，再根据SAS证明Rt△DAM≌Rt△GRP，得出
∠AMD=∠RPG，进而证明△DAM∽△FNG，即可得出结论
【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠D=90°
由第一步操作根据折叠性质可知：AD=AE，DF=EF，∠AEF=∠D=90°
∴∠DAE=∠AEF=∠D=90°
∴四边形AEFD为矩形，
又∵AD=AE
∴四边形AEFD为正方形，
故甲同学的结论正确；
作GM⊥AF于点M，
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∵ AEFD
四边形 为正方形，
∴∠FAE=45°
设AG=a，
1
由第二步操作根据折叠性质可知：¿=AG= AE=a，
2
∴EF=AE=2a
在Rt△AMG中，
∵∠MAG=45°
√2
∴AM=MG= a
2
在Rt△AEF中，AF=√2AE=2√2a,
√2 3√2
∴MF=AF−AM=2√2a− a= a
2 2
√2
a
MG 2 1
∴tan∠AFG= = =
MF 3√2 3
a
2
故乙同学的结论正确；
（2）作GR∥QS交SM于点R，如图所示：
∵GP
为折痕,
∴AG=QG,AD=QS,DF=SM,DP=SP,FP=MP,∠ADF=∠DAE=∠Q=∠S=90°
∵GR∥QS
∴∠SRG=∠QGR=∠Q=∠S=90°
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∴四边形QSRG为矩形，
∴SR=QG=AG=DH，GR=QS=AD=HG
在Rt△GHP和Rt△GRP中，
¿
∴Rt△GHP≌Rt△GRP(HL)
∴∠FPG=∠MPG
又∵FP=MP
∴PG⊥FM,FN=MN
由折叠性质可知：GF=GM
∵PG⊥FM,FN=MN
∴∠FGP=∠MGP
∵FP∥GM
∴∠FPG=∠GMP
∴∠FPG=∠MPG=∠FGP=∠MGP
∴FG=FP=PM=GM
∴四边形GMPF为菱形，
∴GM=MP
∵RM=SM−SR=DF−DH=HF=AG
∴AG+GM=RM+MP
即AM=RP
在Rt△DAM和Rt△GRP中，
¿
∴Rt△DAM≌Rt△GRP(SAS)
∴∠AMD=∠RPG
∵∠RPG=∠FGN
∴∠FGN=∠AMD
∵PG⊥FM
∴∠FNG=90°
∴∠FNG=∠DAM=90°
∴△DAM∽△FNG
AD FN
∴ =
AM GN
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∴FN⋅AM=GN⋅AD
24．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
√5−1 1
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
2 2
√22n+1−1
【分析】（1）将n=1代入 ，即可求解．
2n
（2）设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE=EB=1，设DG=x，则AG=2−x，在
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Rt△AEG,Rt△GHE中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长，即可求解．
√22n+1−1 √5−1
【详解】解：（1）当n=1时， = ，
2n 2
√5−1
故答案为： ．
2
（2）如图（2），连接EG，
设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE=EB=1
设DG=x，则AG=2−x
根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=2，
在Rt△BEC中，EC=√EB2+BC2=√12+22=√5，
∴EH=√5−2，
在Rt△AEG,Rt△GHE中，
AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2
∴(2−x) 2+12=(√5−2) 2+x2
解得：x=√5−1
GD √5−1
∴ =
DC 2
∴矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
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第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
矩形GDCK是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠可得EB=1，则AE=4−1=3，
设DG=x，则AG=4−x
根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=4，
在Rt△BEC中，EC=√EB2+BC2=√12+42=√17，
∴EH=√17−4，
在Rt△AEG,Rt△GHE中，
AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2
∴(4−x) 2+32=(√17−4) 2+x2
解得：x=√17−1
GD √17−1
∴ =
DC 4
√22n+1−1 √17−1
当n=2时， =
2n 4
∴矩形GDCK是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶GE，设正方形的边长为1，设EB=m，则AE=1−m，
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设DG=x，则AG=1−x
根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=1，
在Rt△BEC中，EC=√EB2+BC2=√1+m2，
∴EH=√1+m2−1，
在Rt△AEG,Rt△GHE中，
AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2
∴(1−x) 2+(1−m) 2=(√1+m2−1) 2 +x2
整理得，x=√m2+1−m
∴四边形AGHE的边长为1−x+x+√1+m2−1+1−m=√1+m2−m+1 =x+1
矩形GDCK的周长为2(GD+DC)=2(x+1)，
1
∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值
2
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
25．（2023·青海·中考真题）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？
带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
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(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°.此时中心
轨迹最高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C到BD
的距离d .
1
(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一
个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°.此时中心轨迹最
高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离
d （结果保留根号）.
2
(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以
一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，圆心角∠BAD=______.此时中心轨迹最高点是C（即
B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d =______（结
3
果保留根号）.
(4)归纳推理：比较d ，d ，d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨
1 2 3
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迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心
轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车
轮设计成圆形.
【答案】(1)1
(2)2−√2
(3)2−√3
(4)d >d >d ，越小
1 2 3
(5)0
【分析】（1）△ABC是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；
（2）△ABE是等腰直角三角形，进而求得AE，进一步得出结果；
（3）△ABD是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；
（4）比较大小得出结果；
（5）圆的半径相等，从而得出结果．
【详解】（1）解：图1，
∵AB=AD=2，AC⊥BD，
1
∴∠BAC=∠CAD= ∠BAD=60°，
2
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
⏜
∵C为
BD
的中点，AC为半径，
∴AC⊥BD，
1
∴d =CE= AC=1；
1 2
（2）解：如图2，
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∵AB=AD AC⊥BD ∠BAD=90°
， ， ，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
√2
∴AE=AB⋅sin∠ABD=2× =√2，
2
∴d =CE=AC−AE=2−√2；
2
（3）解：如图3，
∴AB=BD ∠ABD=60°
， ，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
在Rt△ABE中，
AE=AB⋅sin∠ABD=2⋅sin60°=√3，
∴d =AC−AE=2−√3，
3
故答案为：60°，2−√3；
（4）解：∵1>2−√2>2−√3，
∴d >d >d ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
1 2 3
故答案为：d >d >d ；越小．
1 2 3
（5）解：∵圆的半径相等，
∴d=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关
键是弄清数量间的关系．
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【命题预测】
26．（2025·河北沧州·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所
示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD=2.8m，一楼到地平线的距离
BC=1.2m．
(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说
明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】(1)应在地面上距点B约5m远的A处开始斜坡的施工
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
BD
（1）根据坡度的概念，由tan18°= ，即可解答；
AB
（2）过点C作CE⊥AD于点E，由CE=CD·cos18°，求出CE，再与货车高度比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知：∠BAD=18°，CD=2.8m，BC=1.2m，
∴BD=2.8−1.2=1.6m．
1.6
在Rt△ABD中， =tan18°≈0.32，
AB
∴AB=5．
答：应在地面上距点B约5m远的A处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD=∠BAD=18°，
CE
在Rt△CED中， =cos18°≈0.95，
2.8
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∴CE=2.66，
∵2.66>2.6，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
27．（2025·湖南娄底·模拟预测）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体
外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道
大桥AB的长度和桥墩AC的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为60°和30°，已知点E到
大桥AB的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为28°，在桥
墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为22°．（结果精确到0.1米，√3≈1．73，tan28°≈0．53，
tan22°≈0．41）
(1)求大桥AB的长度；
(2)求大桥桥墩AC的高度．
【答案】(1)大桥AB的长度约为392.1米；
(2)大桥桥墩AC的高度约为23.5米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF和Rt△BEF中，利用正切函数的定义分别求得AF和BF的长，据
此求解即可；
（2）作DH⊥CI于点H，交AB于点G，在Rt△ADG和Rt△DCH中，利用正切函数的定义分别求得AF
和BF的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：作EF⊥AB于点F，如图，
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由题意得EF=170米，∠EAF=60°，∠EBF=30°，
EF
∴在Rt△AEF中，tan60°= ，
AF
EF 170 170√3
∴AF= = = ，
tan60° √3 3
EF
在Rt△BEF中，tan30°= ，
BF
EF 170
BF= = =170√3
∴ tan30° √3 ，
3
170√3 4×170√3
∴AB= +170√3= ≈392.1米；
3 3
答：大桥AB的长度约为392.1米；
（2）解：作DH⊥CI于点H，交AB于点G，如图，
1 340√3
由题意得CH=AG= AB= ≈196.07，AC=GH，∠DAG=22°，∠DCH=28°，
2 3
DG
在Rt△ADG中，tan22°= ，
AG
∴DG=AG⋅tan22°=196.07×0.41≈80.4，
DH
在Rt△DCH中，tan28°= ，
CH
∴DH=CH⋅tan28°=196.07×0.53≈103.9，
∴AC=GH=DH−DG=103.9+80.4≈23.5米；
答：大桥桥墩AC的高度约为23.5米．
28．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，
小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端
1
L =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即
2
F ×L =F ×L ）
A 1 B 2
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x/N … 10 20 30 40 b …
8 8
y/cm … 8 a 2 …
3 5
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．设重
2
物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a= ；b= ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存在点
C，使得S =46，请求出点C的坐标．
△ABC
【答案】(1)200
80
(2)①y= ；②4；50；③见解析
x
8
(3)点C的坐标为(50, )或(16,5)
5
【分析】（1）根据公式F ×L =F ×L 进行计算即可；
A 1 B 2
80
（2）①根据公式F ×L =F ×L 即可得到y= ；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，
A 1 B 2 x
画出函数图像即可；
80
（3）设C(a, )，连接BC，AC，OC，根据三角形的面积求出a的值．
a
【详解】（1）解：∵F ×L =F ×L ，
A 1 B 2
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F ×L 80×1
∴F = A 1= =200(N)，
B L 0.4
2
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）解：①∵F ×L =F ×L ，
A 1 B 2
F ×L 80×1 80
∴L = A 1 ，即y= = ，
2 F x x
B
80
故答案为：y= ；
x
80
80 b= =50
②由①得a= =4， 8 ，
20
5
填表如下：
x/N … 10 20 30 40 50 …
8 8
y/cm … 8 4 2 …
3 5
故答案为：4，50；
③函数图象如下所示：
；
80
（3）解：点A的坐标为(20,0)，B的坐标为(0,2)，C为反比例函数y= (x>0)上一点，
x
80
设C(a, )，连接BC，AC，OC，
a
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∴S ❑ =S ❑ +S ❑ −S ❑
△ ABC △ OBC △ OAC △ AOB
1 1 1
= OB⋅x + OA⋅y − OA⋅OB
2 C 2 C 2
1 1 80 1
= ×2⋅a+ ×20× − ×2×20
2 2 a 2
800
=a+ −20，
a
∵S =46，
△ABC
800
∴a+ −20=46，
a
整理得：a2−66a+800=0，
解得a =50，a =16，
1 2
经检验，a=50或a=16是原方程的根，
80 8 80
∴a=50时 = ；a=16时， =5，
a 5 a
8
∴点C的坐标为(50, )或(16,5)．
5
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反
比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键．
29．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）
设计货船通过双曲线桥的方案
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一座曲线桥如图1所示，当
水面宽AB=16米时，桥洞
顶部离水面距离CD=4
素材1
米．已知桥洞形如双曲
线，图2是其示意图，且该
桥关于CD对称．
如图4，一艘货船露出水面
部分的横截面为矩形
EFGH，测得EF=3米，
EH=9米．因水深足够，
货船可以根据需要运载货
素材2
物．据调查，船身下降的
高度h（米）与货船增加的
载重量t（吨）满足函数表
1
达式h= t．
5
问题解决
①建立平面直角坐标系如
图3所示，显然，CD落在
第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象
限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点C落
任务1 确定桥洞的形状 在(4√2,4√2)时，点A的
坐标为_______________，
此时过点A的双曲线的函
数表达式为
_____________，而点C所
在双曲线的函数表达式为
32
y= 显然不符合题意．
x
此时货船能通过该桥洞
吗？若能，请说明理由；
若不能，至少要增加多少
任务2 拟定方案 吨货物？
（提示：先求出桥洞所在
双曲线的函数表达式）
32 5
【答案】任务1：(10√2,2√2)，y= ，乙正确；任务2：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加 吨货
x 2
物此货船能通过该桥洞．
k 32
【分析】任务1：设曲线AB的解析式为y= ，把点C(4√2,4√2)代入，可得曲线AB的解析式为 y= ，
x x
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再由反比例函数图象的对称性可得，点D是AB的中点，OD⊥AB，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线
交于E，过点A作AF⊥DE于F， 可得△CDE，△ADF是等腰直角三角形，，进而可得D(6√2,6√2)，
40 32
A(10√2,2√2)，点A(10√2,2√2)在双曲线y= 上，与点C在双曲线y= 上矛盾；
x x
( k) ( k) (a+b ka+kb)
任务2：设A a, ,B b, ,其中a>b,则D , ，可得k=ab，由 CD=4，AB=16，可
a b 2 2ab
(a+b a+b ) (5√2 23√2)
得(a−b) 2=128，C −2√2, −2√2 ，可得k=18，再根据矩形的性质可得E , ，
2 2 4 4
9√2
即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线EF的解析式为y=x+ ，进而可得直线EF与双
2
曲线的交点
E'(3√2
,6√2
)
，即可求得答案；
2
本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解
题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
k k
【详解】任务1：设曲线AB的解析式为 y= ，把点C(4√2,4√2)代入，得 ：4√2= ，
x 4√2
解得：k=32，
32
∴曲线AB的解析式为y= ，
x
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y=x对称，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图，
则△CDE，△ADF是等腰直角三角形，
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∵CD=4，
∴CE=DE=2√2，
∴D(6√2,6√2)，
∵AB=16，
∴AD=8，AF=DF=4√2，
∴A(10√2,2√2)，
∵10√2×2√2=40，
40
∴点A(10√2,2√2)在双曲线y= 上，
x
32
∴点C所在双曲线的函数表达式为y= 显然不符合题意，
x
32
故答案为：(10√2,2√2)，y= ，乙正确；
x
( k) ( k) (a+b ka+kb)
任务2：设A a, ，B b, ，其中 a>b，则D , ，如图，
a b 2 2ab
∵点D在直线y=x上，
a+b ka+kb
∴ = ，即k=ab
2 2ab
∵CD=4，AB=16
(a+b a+b
)
∴(a−b) 2=128，C −2√2, −2√2
2 2
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(a+b
)
2
∴ −2√2 =ab，
2
∵a+b=10√2，
(a+b) 2−(a−b) 2
∴k=ab= =18，
4
∴A(9√2,√2)，B(√2,9√2)，C(3√2,3√2)，D(5√2,5√2)，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG=EH，GH=EF，
∵EF=3，EH=9，
(11√2 29√2) (5√2 23√2)
∴F , ，E , ，
4 4 4 4
5√2 23√2 115
∵ × = <18，
4 4 8
∴此时货船不能通过该桥洞，
(11√2 29√2) 11√2 29√2
设直线EF的解析式为y=x+n，与双曲线的交点为E'，把F , 代入得 +n= ，解
4 4 4 4
9√2
得：n= ，
2
9√2
∴直线EF的解析式为y=x+ ，
2
9√2 18
联立得x+ = ，
2 x
3√2
解得：x =−6√2(舍去)， x = ，
1 2 2
∴E'(3√2
,6√2
)
2
1 1
∴EE'= ，即h= ，
2 2
1
∵h= t，
5
5
∴t=5h=
2
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5
故要至少增加 吨货物此货船能通过该桥洞，
2
5
答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加 吨货物此货船能通过该桥洞．
2
30．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的
原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容
器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
1
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 18 22
4
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确
定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米
时是几点？
【答案】（1）见解析 ；（2）y=4x+2；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题：
（1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）令y=20，求出x的值，即可求解．
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【详解】解：（1）画出函数图象，如下：
（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为y=kx+b．
∵点(1，6)、(2，10)在该图象上
∴¿，解得¿，
∴y与x之间的函数表达式为y=4x+2．
（3）当y=20时，即4x+2=20，
解得：x=4.5，
则8+4.5=12.5
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
31．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函
数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律．
上课时间
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40
x/min
指标数y b 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 b
(1)由表格和图象可知，当0≤x≤10时，y是x的 函数；当20≤x≤40时，y是x的 函数；（填“一次”
“二次”或“反比例”）
(2)求b的值并补全图象；
(3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的
真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：
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“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，
这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测
量学，解释该教育专家点评的合理性．
【答案】(1)一次，反比例
(2)b=24
(3)见详解
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，理解表格信息，函数图象信息，掌握一次函数，反
比例函数的计算是解题的关键．
（1）根据表格，函数图象分析即可；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）根据函数解析式，分别求出y≥30时的时间，进行比较即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，当0≤x≤10时，y是x的一次函数，当20≤x≤40时，y是x的反比
例函数，
故答案为：一次，反比例；
（2）解：当0≤x≤10时，y是x的一次函数，设解析式为y=kx+a(k≠0)，当x=2时，y=28.8，当x=4
时，y=33.6，
∴¿，
解得，¿，
∴一次函数解析式为y=2.4x+24，
∴当x=0时，y=24；
当20≤x≤40时，y是x的反比例函数，当x=32时，y=30，
f
∴设反比例函数解析式为y= (f ≠0)，
x
f
∴ =30，
32
解得，f =960，
960
∴反例函数解析式为y= ，
x
960
当x=40时，y= =24；
40
综上所述，b=24，
补全图形如下，
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；
（3）解：当0≤x≤10时，一次函数解析式为y=2.4x+24，
当y≥30时，2.4x+24≥30，
解得，x≥2.5，
∵这堂课刚开始进行了3分钟预热，
∴符合学生听课注意力指标数与上课时间的函数关系，合理；
960
当20≤x≤40时，反例含解析式为y= ，
x
960
当y≥30时， ≥30，
x
解得，x≤32，
∵上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，
∴这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著；
综上所述，该教育专家点评的合理．
32．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形
(BoundingBox)是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、
图象分割、物体跟踪等.目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测
任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
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概念学习：在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，
图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小.设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数
AB 3
k为图形的纵横比.举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比k= = ．
BC 2
任务一：
①如图3−1，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ______．
3
②如图3−2，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为y= x(0≤x≤8)，其目标矩形的纵横
4
比k= ______．
任务二：如图4−1和图4−2，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C
1
与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比k= ，求抛物线的表达式(不必写出自变量的取值范围)．
4
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8
任务三：如图5−1和图5−2，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为y= (1≤x≤m)，其
x
中点M(1,8)，其目标矩形的纵横比k=√2，直接写出m的值为______．
3 1
【答案】任务一：①1，② ；任务二：y=− x2+5；任务三：4√2
4 20
【分析】本题主要考查反比例函数的综合应用，待定系数法，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的
关键．
任务一：①根据新定义得到k=1；
y 3
②根据目标矩形的纵横比的定义，得到线段HK的目标矩形纵横比k= = ；
x 4
1
任务二：由题意得到k= ，再用待定系数法求出解析式即可；
4
8
( 8) 8−
任务三：求出N m, ，根据题意得到k=√2，得到 m ，即可得到答案．
m =√2
m−1
【详解】解：任务一：①∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
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∴目标矩形的纵横比k=1；
故答案为：1；
3
x
②根据目标矩形的纵横比的定义，线段HK的目标矩形纵横比 y 4 3；
k= = =
x x 4
3
故答案为： ；
4
任务二：如图：
∵最高点C与水面的距离CD为5米，
∴C(0,5)，
1
∵抛物线目标矩形的纵横比k= ，
4
5 1
∴ = ，
AB 4
∴AB=20，
∵抛物线关于y轴对称，
∴A(−10,0)，B(10,0)，
设抛物线的表达式为y=a(x+10)(x−10)，
把C(0,5)代入得：5=−100a，
1
解得a=− ，
20
1 1
∴y=− (x+10)(x−10)=− x2+5；
20 20
任务三：如图：
( 8)
根据题意，N m, ，
m
∵目标矩形的纵横比k=√2，
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8
8−
m ，
∴ =√2
m−1
解得m=1(舍去)或m=4√2，
经检验，m=4√2是原方程的解；
∴m的值为4√2；
故答案为：4√2．
33．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中
国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A(6, 10)起跳后
的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系式y=a(x−h) 2+k(a<0)．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x
6 h 7 7.5
/m
竖直高度y 10 11.25 10 6.25
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/m
根据上述数据，求出y与x的函数关系式；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−5x2+60x−169，
设她平时训练时入水点与原点的水平距离为d m，比赛当天入水点与原点的水平距离为d m，请比较d 与
1 2 1
d 的大小．
2
【答案】(1)y=−5(x−6.5) 2+11.25
(2)d
