FY25暑假初三A13B13阶段复习教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

13A/13B 阶段复习 考情链接 1. 本次任务由七个部分构成 （1）填选基础复习 （2）解答基础 （3）三角比的实际应用 （4）几何证明 （5*）图形的运动 （6*）二次函数综合 （7*）几何动点综合 2. 考情分析 （1）阶段复习主要以九上期中和一模考试为目标. （2）涉及填空、选择和解答三种题型. （3）对应教材：初三上册全册 1知识加油站——阶段复习【建议时长：70分钟】 考点一：填选基础复习 知识笔记1 例题1: 【2023-2024 宝山期中】 1． 2 ta n 4 5  的值等于 ( ) A．2 B．1 C． 2 2 D． 3 3 2．如果 x 3 = y 4 = z 5  0 ，那么代数式 y 2 + x z z y 的值是 ( ) 8 A． B． 5 3 1 6 5 C． 2 1 4 7 D． 1 2 5 3．ABC中，D、E分别是边 A B 、AC上的点，下列各式中，能判断DE//BC的是( ) AE AD AE DE AD AE A． = B． = C． = D． AB AC AC BC BD CE D B E C = A A D C 4．已知非零向量 a 、b和 c ，下列条件中不能判定a//b的是 ( ) A．a=2b B． | a |= 2 | b | C． a = − 2 b D．a=c,b =2c 5．已知平面直角坐标系xOy中，第一象限内射线 O A 与 x 轴正半轴的夹角为，点P在射线 4 OA上，如果cos= ，且OP=5，那么点P的坐标是( ) 5A．(3,4) B．(4,3) C．(3,5) D．(5,3) 6．某同学对如下的问题进行探究．如图， 3  A B C 中， A B = A C ，点 E 、 F 在边 B C 上，  E A F =  B ．由上述条件该同学得到以下两个结论： ①EFCE=AE2；②BFCE=AC2． 对于结论①和②下列说法正确的是 ( ) A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②都正确 D．①和②都错误 7．如果 c b = 3 ， b a = 9 ，那么 c a = ________． 8．计算： 2 a − ( a − b ) = ________． 9．计算： s in 4 5  + c o s 4 5  = ________．、 10．已知  A B C ∽  D E F ，其中顶点 A 、 B 、 C 分别对应顶点 D 、 E 、 F ，如果  A = 4 5  ，  E = 6 0  ，那么  C = ________  ． 11．已知线段 A B 的长为 4，点 P 为线段 A B 上的一点，且 A P 2 = P B  A B ．那么线段 A P = ________． 12．向量 a 和单位向量e的方向相反，且 | a |= 4 ，那么 a = ________．（用 e 表示） 13． R t A B C 中，  C = 9 0  ， A   = ， B C = 3 ，那么 A B = ________．（用表示） 14．已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较 大三角形的周长为________． 15．如图，点 A 、 B 、 C 和点 D 、 E 、 F 分别位于同一条直线上，如果 A D / / B E / / C F ，且 D E : E F = 2 : 3 ， A C = 1 0 ，那么BC=________． 16．在RtABC中，  C = 9 0  ，AB=4， B C = 2 3 A ，则cos =________． 2 17．如图，ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，ADE=60，如果BD=4DC， DE=4，那么AD=________．（1）解： 4 ta n 4 5  的值等于1， 故选： B ． （2）解：设 x 3 = y 4 = z 5 = k ， 则x=3k， y = 4 k ，z=5k， 16k2 +20k2 12 所以原式= = ． 15k2 5 故选： D ． （3）解： A B D D = A C E E ，  D E / / B C ． 故选： C ． （4）解： a=2b ，  a / / b ，故 A 能判定； 已知模的关系不能判断方向的关系，故 B 不能判定； a = − 2 b ， a//b，故 C 能判定； a = c ， b = 2 c ，  b = 2 a ，  a / / b ，故 D 能判定， 故选：B． （5）解：过点P作 P B ⊥ x 轴于点B，5 c o s O O B P 4 5  = = ，  可假设 O B = 4 ，则 O P = 5 ，  P B = 5 2 − 4 2 = 3 ，  点 P 的坐标可能是 ( 4 , 3 ) ， 故选：B． （6）解： AB=AC，   B =  C ，  E A F =  B ，   E A F =  C ， AEF=CEA，   A E F ∽  C E A ，  A C E E = A A F C = E A F E ，  A E 2 = E F  C E ，故①正确；  E A F =  B ，  A F E =  B F A ， AEF∽BAF，  A A E B = A B F F ，  A B = A E A  F B F ， AEF∽CEA， AE AF  = ， CE AC  A C = C E A  E A F ， AEBF CEAF ABAC =  =BFCE， AF AE AB=AC， BFCE=AC2，故②正确，结论①和②都正确， 故选：C． c （7）解： =3， b 6 b a = 9 ，  c = 3 b ， a = 1 9 b ，  c a = 3 1 9 b b = 2 7 ． 故答案为：27． （8）解： 2 a − ( a − b ) = 2 a − a + b = a + b ， 故答案为： a + b ． （9）解： s in 4 5  + c o s 4 5  = 2 2 + 2 2 = 2 ． 故答案为： 2 ． （10）解：  A B C ∽  D E F ，   B =  E = 6 0  ， C=180−A−B=180−45−60=75 故答案为：75； （11）解： P 是线段 A B 上的一点，且满足 A P 2 = A B  B P ，  P 为线段AB的黄金分割点，且 A P 是较长线段，  A P = 5 2 − 1 A B = 5 2 − 1  4 = 2 5 − 2 ， 故答案为：2 5−2． （12）解： 向量a与单位向量 e 方向相反，且|a|=4，  a = − 4 e ． 故答案为： − 4 e ． （13）解： R t A B C 中，C=90，  s in  A = B A C B ， A   = ， B C = 3 ， AB=CBsinA=3sin， 故答案为：3sin．（14）解： 相似三角形的一组对应边长分别为14和9， 7  其相似比为14:9， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较大的三角形的周长为 1 4 x ，则另一三角形的周长为 9 x ， 1 4 x − 9 x = 2 0 ，解得 x = 4 ， 所以较大三角形的周长为 1 4 x = 5 6 ， 故答案为：56． （15）解： A D / / B E / / C F ，  A B B C = D E E F ， D E : E F = 2 : 3 ， A C = 1 0 ，  1 0 − B C B C = 2 3 ， 解得： B C = 6 ， 故答案为：6． （16）解：如图所示， s in A = B A C B = 2 3 ，   A = 6 0  ，  c o s A 2 = c o s 3 0  = 2 3 ． 故答案为： 2 3 ． （17）解：  A B C 是等边三角形， BC=AC，B=C=60，   C A D +  A D C = 1 2 0  ， ADE=60． BDE+ADC=120， CAD=BDE，8   A D C ∽  D E B ，  A D D E = A D C B ， B D = 4 D C ， 设DC=x， 则 B D = 4 x ，  B C = A C = 5 x ，  A D 4 = 5 4 x x ，  A D = 5 ， 故答案为：5． 练习1: 【2023-2024 闵行期中】 1．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是 ( ) A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 2．小明有一张上海市地图，地图的比例尺是 1 : 2 0 0 0 0 ，如果 A 、 B 两地在地图上的距离是 4厘米，那么 A 、 B 两地的实际距离是( ) A．8千米 B．0.8千米 C．0.08千米 D．0.008千米 3．已知 a 是非零向量，如果与 a 同方向的单位向量记作e，那么下列式子中正确的是 ( ) 1 A．|e|a=|a| B． a=1 C． |a| | a | e = a |a| D． =a |e| 4．在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， a ， b ， c 分别表示  A ，  B ，  C 的对边，那么下列结论 中错误的是( ) A．a=bcotA B． a = c s in A b C．c= D． cosA b = a ta n B 5．如图，点 D 、 E 、 F 分别在  A B C 的边 A B 、 A C 、 B C 上，且 D E / / B C ， E F / / A B ， 下列四个式子中，不一定正确的是( ) AD AE BD BF AE BF AD BF A． = B． = C． = D． = AB AC AD FC EC FC AB BC6．在平面直角坐标系xOy中，已知点 9 O ( 0 , 0 ) ，点 A (1 , 0 ) ，B(0,2)，C(3,0)，点 D 在第一象 限内，如果以点 D 、 O 、C为顶点的三角形与  A O B 相似，那么这样的点 D 有 ( ) 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若 x 2 = y 3 = z 5  0 x+ y−2z ，那么 =________． x+2y 8．已知线段 b 是线段 a ， c 的比例中项， a = 4 c m ， b = 6 c m ，那么 c = ________ c m ． 9．如图，点D是  A B C 的AB边的黄金分割点，ADBD，作 D E / / B C 交 A C 边于点E， 那么 D B E C = ________． 10．如图， l1 / / l2 / / l3 ， A D = 4 ， D F = 3 ， B E = 1 0 ．那么 B C = ________． 11．已知，点 D ，E分别在ABC 的 A B ，AC边上，且DE//BC，CD与 B E 相交于点F ．如 果 A B D D = 2 3 ，那么 D D F C 的值是________． 12．在 R t A B C 5 中，C=90，cosB= ，如果 7 A B = 1 4 ，那么AC=________． 13．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， 那么第二个矩形较长的一边长是________． 14．如图， A D 经过  A B C 的重心，设 A B = a , A C = b ，那么 D A 可以用向量 a ，b 表示为： D A = ________．15．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面 10 A B 的坡 度为________． 16．如图，某时刻阳光通过窗口 A B 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区” D E ，光线 与地面所成的角（如  B E C ) 的正切值是 1 2 ，那么窗口的高 A B 等于________米． 17．如图，在 R t A B C 中，C=90，四边形CDEF、 F G H M 、 G N P Q 均为正方形，且 F 、 G 、 N 在BC边上，点E、 H 、 P 在 A B 边上．若 D E = 6 ， G F = 4 ，那么正方形 G N P Q 的 面积为________． （1）解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：D． （2）解：根据题意： 4  2 0 1 0 0 0 = 8 0 0 0 0 （厘米） 80000厘米=0.8千米． 即A、 B 两地的实际距离是0.8千米． 故选：B． （3）解：A、 | e | a = a ，原计算错误，不符合题意； 1 B、 a=e，原计算错误，不符合题意； |a| C、|a|e=a，原计算正确，符合题意；11 D |a| 、 =|a|，原计算错误，不符合题意； |e| 故选： C ． （4）解： 由锐角三角函数的定义可知 s in A = a c ， c o s A = b c ， c o t A = b a ， ta n B = b a ，  a = c s in A b ，c= ， cosA a = c o b t A ， b = a ta n B ， 故A选项不符合题意． 故选： A ． （5）解： D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ， AD AE  = ，故A选项正确，不符合题意； AB AC D E / / B C ，  A B D D = A C E E ， E F / / A B ，  BF AE = ，故 CF CE C 选项正确，不符合题意；  A B D D = B C F F ，故 B 选项不一定正确，符合题意；故 D 选项正确，不符合题意． 故选： B ． （6）解：设点 D ( m ，n)(m0， n  0 ) ， A (1 , 0 ) ， B ( 0 , 2 ) ， C ( 3 , 0 ) ，  O A = 1 ，OB=2，OC=3，AB= 5， O D = m 2 + n 2 ，CD= (m−3)2 +n2 ，  A O B = 9 0  ， AOB是直角三角形， 点 D 在第一象限内，   C O D  9 0  ， 以点 D 、 O 、 C 为顶点的三角形与  A O B 相似， COD=OAB或COD=OBA， ①当COD=OAB时，  C O D ∽  O A B 或  C O D ∽  B A O ， Ⅰ、当  C O D ∽  O A B OC OD CD 时， = = ， OA AB OB12  3 1 = m 2 + 5 n 2 = ( m − 3 2 ) 2 + n 2 ，  m = 3 ， n = 6 或 n = − 6 （舍去），  D ( 3 , 6 ) ； Ⅱ、当  C O D ∽  B A O 时， O A C B = O O D A = C O D B ，  3 5 = m 2 1 + n 2 = ( m − 3 2 ) 2 + n 2 ，  m = 3 5 ， n = 6 5 （舍去负值），  D ( 3 5 ， 6 5 ) ， ②当  C O D =  O B A 时，  C O D ∽  O B A 或  C O D ∽  A B O ， Ⅰ、当  C O D ∽  O B A 时， O O C B = O A D B = C O D A ，  3 2 = m 2 + 5 n 2 = ( m − 3 1 ) 2 + n 2 ，  m = 3 ， n = 3 2 或 n = − 3 2 （舍去），  D ( 3 , 3 2 ) ； Ⅱ、当  C O D ∽  A B O 时， O A C B = O O D B = C O D A ， 3 m2 +n2 (m−3)2 +n2  = = ， 5 2 1 12 6 6 m= ，n= 或n=− （舍去）， 5 5 5  D ( 1 2 5 ， 6 5 ) ；  D ( 3 , 6 ) 3 12 6 3 6 或(3, )或( ， )或( ， )共四个， 2 5 5 5 5 故选： D ． （7）解：设 x 2 = y 3 = z 5 = k ( k  0 ) ，则 x = 2 k ，y=3k， z = 5 k ， x+ y−2z 2k+3k−10k −5k 5  = = =− ， x+2y 2k+6k 8k 8 5 故答案为：− ． 8（8）解：根据题意得 13 b 2 = a c ， 即 6 2 = 4 c ， 解得 c = 9 ． 故答案为：9． （9）解： 点 D 是  A B C 的 A B 边的黄金分割点， A D  B D ，  A D = 5 2 − 1 A B ， D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ，  D B E C = A A D B = 5 2 − 1 ． 5−1 故答案为 ． 2 （10）解： l1 / / l2 / / l3 ，  A D D F = B C C E ， A D = 4 ，DF=3， B E = 1 0 ，  4 3 = 1 0 B − C B C ， 解得： B C = 4 0 7 ， 故答案为： 4 0 7 ． （11）解：依照题意画出图形，如图所示． D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ，  D B E C = A A D B = A D A D + B D = 2 2 + 3 = 2 5 ． D E / / B C ，   D E F ∽  C B F ，  DF DE 2 = = ， CF BC 5 DF DF 2 2  = = = ． DC DF +CF 2+5 7 2 故答案为： ． 75 （12）解： cosB= ，AB=14， 7 14  c o s B = B A C B = B 1 C 4 = 5 7 ，  B C = 1 0 ，  A C = A B 2 − B C 2 = 1 4 2 − 1 0 2 = 4 6 ． 故答案为：4 6． （13）解：设第二个矩形较长的一边长是 a ， 两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，  3 4 = 4 a ， 解得： a = 1 6 3 ， 即第二个矩形较长的一边长是 1 6 3 ， 故答案为： 1 6 3 ． （14）解： AB=a,AC=b，  B C = A C − A B = b − a ， A D 经过ABC 的重心， AD为 B C 边上的中线，  B D = 1 2 B C = 1 2 b − 1 2 a ，  A D = − A D = − ( A B + B D ) = − ( a + 1 2 b − 1 2 a ) = − 1 2 a − 1 2 b ． （15）解：斜面 A B 的坡度为20:30=1:1.5， 故答案为： 1 : 1 .5 ． BC AC 1 （16）解：由题意知tanBEC = = = ，DE=4， CE CD 2 CE=2BC，CD=2AC，15  C D = D E + C E = 4 + 2 B C ， A D / / B E ，   B C E ∽  A C D ，  B A C C = C C E D ，  B C B C + A B = 4 2 + B 2 C B C = 2 B + C B C ，  B C + A B = 2 + B C ，  A B = 2 ， 故答案为：2． （17）解： 四边形 C D E F 、 F G H M 、 G N P Q 均为正方形，  D E = E F = 6 ， F M = M H = H G = 4 ， Q G = Q P ，  F M H =  P Q G = 9 0  ， ME=2， E F / / H G ，   M E H =  P H Q ，且  E M H =  H Q P = 9 0  ，   M E H ∽  Q H P ，  M M E H = H P Q Q ，  2 4 = 4 − P P Q Q ，  P Q = 8 3 ，  正方形GNPQ的面积 = 8 3  8 3 = 6 4 9 ， 故答案为： 6 4 9 考点二：解答基础 例题2: 【2023-2024 宝山期中】 1 （1）计算：|tan30−1|−(−1)2023+cos45− ． 2 （2）如图，已知 D 、 E 分别是  A B C 的边 A B 、AC上的点， D E / / B C ， A B D D = 3 2 ． DE ① 求 的值； BC② 联结 16 B E ，设 A B = a ，BC =b ，试用向量 a 、 b 表示向量BE． （3）如图，在四边形 A B C D 中，对角线 A C 与 B D 交于点 E ，  B A C =  B D C = 9 0  ． ① 求证：  A B E ∽  C D E ； ② 如果 A B D C = 4 5 ，求 S S   A B D C E E 的值． （4）如图， R t A B C 中，  C = 9 0  ， c o s A = 2 3 ，D是边AC的中点，联结 B D ． ① 已知 B C = 5 ，求 A B 的长； ② 求cotABD的值． 3 2 2 （1）解：原式=| −1|+1+ − 3 2 2 = 1 − 3 3 + 1 + 2 2 − 2 2 = 2 − 3 3 ． （2）解：① DE//BC， ADE∽ABC，  D B E C = A A D B ， A B D D = 3 2 ， AD 3 3  = = ， AB 2+3 517  D B E C = 3 5 ； ② A B = a ， B C = b ，  B D = 2 5 A B = 2 5 a 3 ，DE = b ， 5  B E = B D + D E = 2 5 a + 3 5 b ． （3）① 证明：  B A C =  B D C = 9 0  ， 又  A E B =  D E C ，   A B E ∽  D C E ； ② 解：  A B E ∽  D C E ，  A D E E = B C E E ，  A E D =  B E C ，   A E D ∽  B E C ，  A B D C = 4 5 ，  S S   A B D C E E = 1 5 6 ． （4）解：① R t A B C 中， c o s A = A A C B = 2 3 ，  A C = 2 3 A B ． A C 2 + B C 2 = A B 2 ，  4 AB2 + 5 2 = AB2． 9 AB=3或 − 3 ( − 3 不合题意舍去）．  A B = 3 ． ② 过点 D 作 D E ⊥ A B ，垂足为 E ． 由（1）知AB=3，  A C = 2 3 A B = 2 ． D 是边AC的中点， 1 CD= AD= AC =1， 21 1 5 S =S = CDBC= 1 5= . BCD ABD 2 2 2 1 5  ABDE= ． 2 2 18  D E = 3 5 ． 在 R t D A E 中， A E = A D 2 − D E 2 = 1 − 5 9 = 2 3 ，  B E = 3 − 2 3 = 7 3 ． 在 R t D B E 中， c o t  A B D = B D E E = 7 3 3 5 = 7 5 5 ． 练习2: （1）计算： ta n 2 6 0  − 3 c o t 6 0  + 4 c s o s in 6 3 0 0   − − 2 ta c n o s 4 4 5 5   ． （2）如图，在RtABC中，ACB=90， C D ， C H 分别是 A B 边上的中线和高， B C = 6 ， c o s  A C D = 4 5 ，求 A B ， C H 的长． （3）已知：如图，平行四边形ABCD中，点 M 、N分别在边 D C 、 B C 上，对角线 B D 分别 交AM 、 A N 于点 E 、F ，且DE:EF:BF=1:2:1． ① 求证：MN//BD； ② 设AM =a，AN =b ，请直接写出MN 和BD关于a、b 的分解式： MN =________；BD=________．（1）解：原式 19 = ( 3 ) 2 − 3  3 3 + 4  1 2 − 1 2 2 −  1 2 2 =3−1−(4−2 2) = 3 − 1 + 2 2 − 4 = 2 2 − 2 ． （2）解： CD是RtABC的斜边中线，  A D = B D = C D ，   A =  A C D ，  c o s A = c o s  A C D = 4 5 ，  A C B = 9 0  ，在 R t A B C 中， 由于 c o s A = A A C B = 4 5 ， 可设 A C = 4 x ，则 A B = 5 x ， 由勾股定理得： B C = A B 2 − A C 2 = ( 5 x ) 2 − ( 4 x ) 2 = 3 x ，  3 x = 6 ， 即 x = 2 ，  A B = 5 x = 1 0 ， A C = 4 x = 8 ， S  A B C = 1 2 A C  B C = 1 2 A B  C H ，  1 1 86= 10CH ， 2 2 24 解得CH = ． 5 答： A B = 1 0 24 ，CH = ． 5 （3）① 证明：在平行四边形 A B C D 中， A B = C D ， A B / / C D ． D E : E F : B F = 1 : 2 : 1 ， DE 1  = ， BE 3 AB//CD，20 D A M B = D B E E ， 又 A B = C D ，  D C M D = 1 3 ， 同理可得 B B N C = 1 3 ，  D C M D = B B N C ，  M N / / B D ； ② 解： A M = a ， A N = b ，  MN = AN −AM =b−a， M N / / B D ，  M B N D = C C M D = C A M B = 2 3 ，  B D = 3 2 M N ，  B D = 3 2 a − 3 2 b ． 故答案为： b − a ， 3 2 a − 3 2 b ．考点三：三角比的实际应用 例题3: （2023-2024·宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小 道m、 21 n 之间的距离为9米，ABC表示这块空地，BC=36米．现要在空地内划出一个矩 形 D G H E 区域建造花坛，使它的一边在 B C 上，其余两个顶点分别在边 A B 、 A C 上． （1）如果矩形花坛的边 D G : D E = 1 : 2 ，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； 5 （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的 ？请作出判断并说明理由． 9 【常规讲解】 解：（1）过点 A 作 A M ⊥ D E ，垂足为 M ，延长 A M 交 B C 于点 N ， 由题意得： A N = 9 米， D G = M N ， A N ⊥ B C ， 四边形 D G H E 是矩形，  D E / / B C ， D G : D E = 1 : 2 ， DE=2DG， DE//BC，   A D E =  A B C ，  A E D =  A C B ，   A D E ∽  A B C ，  AM DE = ， AN BC  9−DG 2DG = ， 9 36 解得：DG=6，22  D E = 2 D G = 1 2 ，  这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12； （2）矩形花坛的面积不能占空地面积的 5 9 ， 理由：设 D G = x 米， 由（1）可得：  A D E ∽  A B C ，  A A M N = D B E C ， 9−DG DE  = ， 9 36  D E = 3 6 − 4 D G = ( 3 6 − 4 x ) 米，  矩形花坛的面积 = D E  D G = x ( 3 6 − 4 x ) = ( 3 6 x − 4 x 2 ) 平方米， 由题意得： 3 6 x − 4 x 2 = 5 9  1 2 B C  A N ， 3 6 x − 4 x 2 = 5 9  1 2  3 6  9 ， 整理得： 2 x 2 − 1 8 x + 4 5 = 0 ， △ = ( − 1 8 ) 2 − 4  2  4 5 = 3 2 4 − 3 6 0 = − 3 6  0 ，  此方程没有实数根，  矩形花坛的面积不能占空地面积的 5 9 ． 练习3: （2023-2024·闵行区期中）如图，海中有一小岛 P ，在以 P 为圆心，半径为16 2 每里的圆 形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 6 0  方向上，且 A ， P 之间的距离为32海里． （1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ （2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自 A 处开始改变航行方向，沿南偏东度 方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【常规讲解】 解：（1）过点P作PB⊥轮船航线于B，由题意得 23  P A B = 9 0  − 6 0  = 3 0  ， P A = 3 2 海里， 在RtPAB中，PBA=90，  s in  P A B = P A B P = 1 2 ，  P B = 1 6 （海里）， 1 6  1 6 2 ， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险； （2）设轮船沿南偏东航向是射线AC，过点 P 作PD⊥AC于 D ， 当PD=16 2时，角的度数最大， 在RtPAB中，AP=32海里，PD=16 2海里，  s in  P A D = P A D P = 2 2 ，   P A D = 4 5  ，   B A D = 1 5  ， 答： 0 7 5     时，轮船能安全通过这一区域． 考点四：几何证明 例题4: （2023-2024·闵行区期中）如图，在梯形 A B C D 中，AD//BC，  D C B = 9 0  ，点 E 是边 A B 的中点，连接 D E ，延长 D E 交 C B 的延长线于点 F ，  C B A = 2  F ，且 A C = B C ． （1）求证：FBE∽EFC； （2）求证： D C 2 = A D  F C ．【常规讲解】 证明：（1） 24 A D / / B C ，   A D F =  E F B ， E 为 A B 中点，  A E = B E ， 在AED和  B E F 中，    A A A E D E = F D B = = E   E B F E B F ， AEDBEF(AAS)，  E F = D E ，  D C B = 9 0  ，  C E = E F ，   F =  E C F ，  C B F = 2  F ， F =FEB，   F E B =  E C F ，且  F =  F ，   F B E ∽  E F C ； （2） A C = B C ， E 为 A B 中点，  C E ⊥ A B ，   C E B = 9 0  ，   E C B +  E B C = 9 0  ， 又由（1）可得EBC=2ECB，   F =  E C B =  E C A = 3 0  ，  D C B = 9 0  ，   D C A = 3 0  ， DCA=F， 又  A D / / B C ，   A D C +  D C B = 1 8 0  ，   A D C =  D C F = 9 0  ， ADC∽DCF，25  A D D C = D C C F ，  D C 2 = A D  F C ． 考点五*：图形的运动 例题5: （2023-2024·宝山区期中）如图，在正方形ABCD中， E 是边AB的中点，沿直线CE翻折后， 点B落在点M 处，联结AM 并延长与边 C D 交于点 N ，那么 A M : M N 的值为_______． 【常规讲解】 解：联结 B M 交 C E 于点 F ，设 A B = 2 m ， 四边形ABCD是正方形，  A B = B C = 2 m ，  A B C = 9 0  ， A B / / C D ， E 是边 A B 的中点，  E A = E B = 1 2 A B = m ， 由翻折得点 M 与点 B 关于直线 C E 对称，  C E 垂直平分 B M ，   E F B = 9 0  ，EM =EB=EA，   A M E =  M A E ，BME=MBE， 1 AMB=AME+BME=MAE+MBE= 180=90， 2 AMB=EFB， AN//CE， 四边形 A E C N 是平行四边形， AN =EC= BC2 +EB2 = (2m)2 +m2 = 5m， AMB=EBC，BAM =CEB，26   A M B ∽  E B C ，  A E M B = A E B C ， ABEB 2m2 2 5 AM = = = m， EC 5m 5  M N = A N − A M = 5 m − 2 5 5 m = 3 5 5 m ，  A M M N = 2 3 5 5 5 5 m m = 2 3 ，  A M : M N 的值为 2 3 ， 故答案为： 2 3 ． 练习5: （2023-2024·闵行区期中）如图，在  A B C 3 中，C=90，AC=8，tanA= ，点 4 M ， N 分别在AC，BC边上，将ABC沿直线 M N 翻折，点C恰好落在边 A B 上，记为点C ，如 1 果△ C 1 M N 与  A B C 相似，那么折痕 M N 的长为_______． 【常规讲解】 解：在  A B C 中，  C = 9 0  ， BC BC 3 tanA= = = ， AC 8 4 BC=6，如图所示；点C 与点 1 27 C 重合． 由翻折的性质可知： C M = M A = 4 ，  C M N =  A M N = 9 0  ．  A C B =  C M N ，  M C N =  B A C ，   C N M ∽  A B C ．  C C M A = M C N B ，即 4 8 = M 6 N ．  M N = 3 ． 如图所示；点 C 1 与点 B 重合．  C = 9 0  ， B C = 6 ， A C = 8 ， AB= AC2 +BC2 =10， 由翻折的性质可知： A N = B N = 1 2 A B = 5 ，  B N M =  A N M = 9 0  ．  M B N =  A ，  B N M =  A C B ，   B N M ∽  A C B ．  B A M B = B A N C = M B N C ，即 B 1 M 0 = 5 8 = M 6 N ．  M N = 1 5 4 ． 故答案为：3或 1 5 4 ．考点六*：二次函数综合 例题5: （2023-2024·宝山区期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线 28 y = − 2 x + 4 与 x 轴、 y 轴分别 交于点 A 、 B ，将该直线向上平移，使点 A 落在点 P 处，平移后所得直线与x轴交于点C． （1）求  A P C 的正切值； （2）如果四边形ACPB是等腰梯形，求平移后的直线表达式； （3）如果  A P B 与  A P C 相似，求这时四边形 A C P B 的面积． 解：（1）如下图，对于 y = − 2 x + 4 ，当x=0时， y = 4 ， 令 y = − 2 x + 4 = 0 ，则 x = 2 ，即点A、B的坐标分别为： ( 2 , 0 ) 、 ( 0 , 4 ) ， OB 则tanBAO= =2， AO PC//AB，则  P C A =  B A O ， 则tanPCA=tanBAO=2，则APC的正切值为 29 1 2 ； （2）设平移后的直线表达式为： y = − 2 x + 4 + m ，则点 C ( 2 + 1 2 m ， 0 ) ，点P(2,m)， 如果四边形 A C P B 是等腰梯形，则 A P = B C ， 1 即m2 =(2+ m)2 +42， 2 解得： m = − 4 （舍去）或 2 0 3 ， 则平移后的直线表达式为： y = − 2 x + 3 2 3 ； （3）设平移后的直线表达式为： y = − 2 x + 4 + m ①， 由点 A 的坐标知，点 P 的横坐标为：2， 由平移知： P C / / A B ，则BAP=CPA， 当  A P B 与  A P C 相似时，则存在  A P B = 9 0  =  P A C 或  P B A = 9 0  =  P A C 两种情况， ①当  P B A = 9 0  时， 即AB⊥BP， 则直线 B P 的表达式为： y = 1 2 x + 2 ②， 联立①②得： − 2 x + 4 + m = 1 2 x + 2 ， 解得： x = 2 m 5 = 2 ，则 m = 5 ， 则平移后的表达式为： y = − 2 x + 9 ， 当 x = 2 时，y=−2x+9=5，即点 P ( 2 , 5 ) ，则点 C ( 9 2 ， 0 ) ， 由点 B 、 P 、 A 、 C 的坐标得， A B = 2 0 ， B P = 5 ， P A = 5 5 ，AC= ， 2 则四边形 A C P B 的面积 = 1 2  A B  P B + 1 2  A C  P A = 4 5 4 ； ②APB=90时， 则点B、P的纵坐标相同，则点P(2,4)， 将点P的坐标代入 y = − 2 x + 4 + m 得：4=−4+4+m， 解得： m = 4 ， 则平移后的一次函数表达式为： y = − 2 x + 8 ， 则点C(4,0)，则AC=2， 则PA=4，AC=2，PB=2，则四边形 30 A C P B 的面积 = 1 2  P A  P B + 1 2  P A  A C = 8 ； 综上，四边形 A C P B 的面积为 4 5 4 或8． 考点七*：几何动点压轴 例题6: （2023-2024·宝山区期中）已知ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是射线 B A 上一点（不 与点 B 重合），线段 B E 的垂直平分线与边BC交于点 D ． （1）点 E 在边 B A 上， ①如图1，联结 C E ，如果 C E 平分  A C B ，求 B D 的长； ②如图2，射线 D E 交射线 C A 于点 F ，设 B D = x ， A F = y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并 写出定义域． （2）如果CDE是直角三角形，求 B D 的长． 解：（1）①连接 D E ，在BC上截取 C M = C A ，连接EM ，过A点作 A N ⊥ B C 于 N ， 1 BN = BC =4， 2 AN = AB2 −BN2 = 52 −42 =3， 设BD=x， 线段BE的垂直平分线与边 B C 交于点D， 1 BD=DE=x，BG=GE= BE， 2 B=BED，31   E D C = 2  B ， BAC+B+C=BAC+2B=BAC+EDC=180， C E 平分  A C B ，   B C E =  A C E ， 又 AC=CM ， C E = C E ，   E C A   E C M ( S A S ) ，  E A = E M ，  E A C =  E M C ，  E M C +  E M D = 1 8 0  ，   E M D =  E D C ，  E A = E M − E D = B D − x ，  B E = 5 − x ， 1 1 BG=GE = BE= (5−x)， 2 2 A N ⊥ B C ， G D ⊥ B E ， BGD=BNA=90， 又 B=B，   B D G ∽  B A N ，  BG BD = ，即 BN BA 1 2 ( 5 4 − x ) = x 5 ， 解得 x = 2 1 5 3 ，  B D = 2 1 5 3 ； ②过点E作EQ⊥BC于点 Q ，点 F 作FP⊥ AB于点P， 由①得BDG∽BAN，  B B G N = B B D A = D A G N ，即 B G 4 = x 5 = D G 3 ， 4x 3x BG=GE= ，DG= ， 5 532  B E = 8 x 5 ， 又 EQ⊥BC， A N ⊥ B C ，  E Q B =  A N B = 9 0  ，   B E O ∽  B A N ，  B B E A = E M Q N = B B Q N ，即 8 x 55 = E Q 3 = B Q 4 ，  E Q = 2 4 2 5 x 32x ，BQ= ， 25 32x 7 DQ=BQ−BD= −x= x， 25 25 又  E D C = 2  B =  B +  C =  F A P ，FP⊥ AB， DQE=FPA=90，   D E Q ∽  A F P ，  F E P Q = F D A E = A D P Q ， 设 F A = y ， FP y AP 即 = = ， 24 x 7 x x 25 25 解得： F P = 2 2 4 5 y ， A P = 7 2 5 y ， 又 G D ⊥ B E ， F P ⊥ A B ，   D G E =  F P E = 9 0  ，  G E D =  P E F ，   D G E ∽  F P E ，  DG EG = ，即 FP EP 3 52 4 2 5 x y = 4 5E x P ， 32 解得：EP= y， 25 又 AB=BE+EP+PA，  8x 32 7 + y+ y=5， 5 25 25 40 125 即y=− x+ ， 39 39 点E在边BA上，33  0  8 5 x  5 ，  0  x  2 5 8 ， 定义域为： 0  x  2 5 8 ； （2）如图，过点 E 作 E Q ⊥ B C 于点 Q ， 由②可得： E Q = 2 4 2 5 x ， B Q = 3 2 2 x 5 ，  C Q = B C − B Q = 8 − 3 2 2 5 x ，  C E 2 = E Q 2 + C Q 2 = ( 2 2 4 5 x ) 2 + ( 8 − 3 2 2 5 x ) 2 ， 当DEC=90时， E D 2 + E C 2 = D C 2 ， 24 32 即x2 +( x)2 +(8− x)2 =(8−x)2， 25 25 7 解得x= 或0（舍去）， 4 当DCE=90时，如图，则  B +  B E C =  B C A +  A C E = 9 0  ， BEC=ACE，  A C = A B = A E = 5 ，  B E = 1 0 ，  A C = B E 2 − B C 2 = 1 0 2 − 8 2 = 6 ， 在 R t C D E 中，ED2 =EC2 +DC2， 即x2 =62 +(8−x)2，解得 34 x = 2 5 4 ， 综上所述，当 B D 为 7 4 或 2 5 4 时，  C D E 是直角三角形．全真战场 关卡一 练习1: （2023-2024·松江区期中） 1．已知 35 a c = b d ( a 、 b 、c、 d 都不为0)，则下列各式一定成立的是( ) a c A． = B． b d c b = d a C． c + b 1 = d + a 1 D． b d = c a 2．已知在ABC中，点M 、 N 分别在边AB、 A C 上，那么下列条件中不能够判断MN//BC 的是 ( ) AM AN AM AN A． = B． = C． AB AC BM CN B A M B = C A N C D． A A N C = M B N C 3．已知一个单位向量 e ，向量 a 、 b 均为非零向量，则下列等式中正确的是( ) A．|a|e=a B． | e | b = b C． | 1 a | a = e D． | 1 a | a = | 1 b | b 4．在  A B C 中，  C = 9 0  ， A C = m ， A   = ，则 A B 的长为 ( ) A．msin B．mcosa C． s m in D．  c m o s  5．下列说法正确的个数有 ( ) ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似； ④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在  A B C 中，点 D 、 F 在 A B 上，点 E 在 A C 上， D E / / B C ， E F / / D C ．那么下 列比例式中正确的是 ( ) AF DE AF AD EF DE DF AF A． = B． = C． = D． = DF BC BD AB CD BC DB DF二、填空题（每题4分，满分48分）） 7．在比例尺为 36 1 : 5 0 0 0 0 0 0 的地图上，测得甲、乙两地的距离约为 6 厘米，那么甲、乙两地 的实际距离约为________千米． 8．如果 x + y y = 3 2 ，那么 x y 的值是________． 9．如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3 ，那么这两个三角形的面积比为________． 10．如图，已知平行四边形 A B C D 中， E 是AD延长线上一点，BE 交 C D 于点 F ，且 F 为 C D 的黄金分割点 ( D F  C F ) ，那么 D E : A E 的值________． 11．在  A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 2 ， B C = 3 ，则  A 的余切值为________． 12．如图，点 G 是  A B C 的重心， G F / / B C 交 A C 于点 F ，若  A G F 的面积为4，则  A B C 的面积为________． 13．如图，已知点 M 、 N 分别在  A B C 的边 A B 、 A C 上， M N / / B C ，且 A M : B M = 2 : 1 ， 设 M N = a ，用a表示 C B ，则 C B = ________． 14．已知为锐角， s in ( 1 5 ) 2 3  −  = ，则=________度． 15．某人沿着一个斜坡往上走动了 20 米，他的垂直高度上升了 10 米，则这个坡的坡比为 i = ________．16．已知菱形 37 A B C D 的边长为 6，对角线 A C 与 B D 相交于点 O ， O E ⊥ A B ，垂足为点E， AC=4，那么sinAOE=________． 17．如图，在  A B C 中，  C = 9 0  ， A B 的中垂线 D E 交 A C 于点 D ，交 A B 于点 E ，若 B C = 4 ， A C = 1 0 ，则  C B D 的正切值为 ________． 【常规讲解】 1．解： A a c 、由 = ，得 b d a d = b c ，故本选项不符合题意； B 、由 c b = d a ，得 a c = b d ，故本选项符合题意； C 、由 c + b 1 = d + a 1 ，得ac+a=bd+b，故本选项不符合题意； D 、由 b d = c a ，得 a b = c d ，故本选项不符合题意． 故选： B ． 2．解：当 A A M B = A A N C ， A B M M = A C N N ， B A M B = C A N C 时， M N / / B C ， AN MN 当 = 时，不能确定AMN与ABC相似， AC BC  不能确定  A N M 与C相等，  不能够判断 M N / / B C ， 故选： D ． 3．解： 一个单位向量e ，向量a、b 均为非零向量，A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故A错误； 38 B 、符合向量的长度及方向，故 B 正确； C 、左边得出的是向量 a 的方向，不是单位向量，故 C 错误； D 、左边得出的向量 a 的方向，右边得出的是向量 b 的方向，两者不一定相等，故 D 错误， 故选： B ． 4．解：如图所示：在  A B C 中，  C = 9 0  ， A   = ，AC=m， c o s A A C B   = ， A B c m o s   = ， 故选： D ． 5．解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意； ②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意； ③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意； ④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合 题意． 故选： A ． 6．解： E F / / D C ， D E / / B C ， BDC=DFE，  B =  F D E ，   B D C ∽  D F E ，  D B E C = E C F D = D B F D ， 所以选项 C 正确， 故选：C． 1 7．解：6 =30000000(cm)=300(km)， 5000000 答：甲乙两地的实际距离是300km； 故答案为：300． 8．解：由题意，得x+ y 3 x 3−2 1 = ，那么 = = ， y 2 y 2 2 故答案为： 39 1 2 ． 9．解： 两个相似三角形对应高的比为 2 : 3 ，  这两个三角形的面积比为： 4 : 9 ． 故答案为： 4 : 9 ． 10．解： 四边形ABCD是平行四边形，  A B / / C D ， A B = C D ， F为 C D 的黄金分割点(DF CF)，  D D F C = 5 2 − 1 ，  D A F B = 5 2 − 1 ， D F / / A B ， A=FDE，  A B E =  D F E ，   A B E ∽  D F E ，  DF DE 5−1 = = ， AB AE 2 5−1 故答案为： ． 2 11．解：在  A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 2 ， B C = 3 ，   A 的余切值 A B C C = 2 3 ． 故答案为： 2 3 ． 12．解： 点 G 是  A B C 的重心，  A A G D = 2 3 ， B D = C D ， G F / / B C 交 A C 于点 F ， AGF∽ADC， S AG 2  AGF =( )2 =( )2， S AD 3 ADC AGF的面积为4， S =9， ADC BD=CD，40   A B C 的面积=2S =18． ADC 故答案为：18． 13．解： M N / / B C ，  A A M B = M B N C ， A M : B M = 2 : 1 ，  A A M B = 2 3 = M B N C ，  B C = 3 2 M N ， MN =a，  3 CB=− a， 2 故答案为： − 3 2 a ． 3 14．解： 是锐角，且sin(−15)= ， 2 1 5 6 0   −  =  ，即=75， 故答案为：75 15．解：如下图， 由题意得， A B = 2 0 ， B H = 1 0 ， 则 A H = A B 2 − B H 2 = 4 0 0 − 1 0 0 = 1 0 3 ， 由坡度的定义知， i = B H : A H = 1 : 3 ， 故答案为： 1 : 3 ． 16．解： 菱形对角线互相垂直，   O E A =  A O B ，  O A E =  B A O ，   O A E ∽  A B O ，   A O E =  A B O ， 1 AO= AC =2，AB=6， 241  s in  A O E = s in  A B O = A A O B = 1 3 ． 故答案为： 1 3 ． 17．解： D E 垂直平分线段 A B ，  D B = D A ， 设 D B = D A = x ， 在 R t B C D 中， B D 2 = B C 2 + C D 2 ， x2 =42 +(10−x)2，  x = 2 9 5 ，  D B = D A = 2 9 5 ，  C D = A C − D A = 1 0 − 2 9 5 = 2 5 1 ，  ta n  C B D = C B D C = 2 54 1 = 2 2 1 0 ． 故答案为： 2 2 1 0 ． 练习2: （2023-2024·松江区期中） cos45 sin60 cot45 （1）计算： + ． tan30 cos60 sin30 （2）如图，已知梯形 A B C D 是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽 A D = 6 米．坝高 18 米，迎水坡 C D 的坡度 i1 = 1 : 1 ，背水坡AB的坡度 i2 = 1 : 3 2 ，求坝底宽 B C ． （3）如图，已知在  A B C 中， A D 是BC上的高，且BC=6， A D = 4 ，矩形 E F G H 的顶点 F 、G在边BC上，顶点 E 、H 分别在边AB、AC上． ① 设 E F = x ( 0  x  4 ) ，矩形 E F G H 的周长为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式； ② 当EFGH为正方形时，求EF 的长度．（4）如图，已知在平行四边形 42 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 交于点 O ．点 E 在 B C 上，且 E B C E = 1 2 ， D E 与 A C 交于点 F ． ① 求 A O : O F 的值； ② 设 B A = a ， B C = b ，试用a， b 表示 D E ． 【常规讲解】 （1）解：原式 = 3 3 2 2  1 2 + 2 3 1 2  1 = 6 + 3 ． （2）解：分别作 A G ⊥ B C 于点 G ，作 G H ⊥ B C 于点 H ， i1 = 1 : 1 ， i2 = 1 : 3 2 = 2 : 3 ， 故设DH =AG=2x，则CH =2x，BG=3x， 则 A G = 1 8 = 2 x ， 则 x = 9 ， 则BC=BG+GH+HC=3x+2x+6=51（米 ) ， 则坝底宽BC为51米． （3）① 解： 四边形EFGH是矩形， EH //BC， AEH∽ABC，43  E B H C = A A M D ， EF=DM =x， A D = 4 ，  A M = 4 − x ，  EH 4−x = ， 6 4  E H = 3 2 ( 4 − x ) ，  y = E H  E F = x  3 2 ( 4 − x ) = − 3 2 x 2 + 6 x ( 0  x  4 ) ； ② 当 E F G H 为正方形时， E F = E H ， 3 由① 得：x= (4−x)， 2 12 解得：x= ， 5  当 E F G H 为正方形时， E F 的长度为 1 2 5 ． （4）解：① 取 D E 中点 G ，连接 O G ， 四边形ABCD是平行四边形，  B O = D O ，  O G = 1 2 B E ， O G / / B E ， E C = 1 2 B E ，  E C = 1 4 O G ， O G / / B C ， CF EC 1  = = ， OF OG 4  C F : O F = 1 : 4 ，  C O : O F = 5 : 4 ， AO:OF=5:4； ② 四边形 A B C D 是平行四边形，  CD=BA=a，  AC=BC−BA=b−a， E C = 1 3 B C = 1 3 b ， 1 DE=EC+CD= b+a． 3练习3: （2023-2024·松江区期中）如图，已知在矩形 44 A B C D 中，对角线AC、 B D 交于点 O ，点 E 为 边 A D 的中点，连接 B E 交 A C 于点 F ，且 B E ⊥ A C ，连接 D F ． 求证： （1） D E 2 = E F  E B ； （2）  A B O ∽  C F D ． 【常规讲解】 证明：（1） 四边形 A B C D 是矩形， B E ⊥ A C ，   A F E =  B A E = 9 0  ，  F E A =  A E B ，   F E A ∽  A E B ，  A E E B = E A F E ，  A E 2 = E F  E B ， 点 E 为边 A D 的中点，  A E = D E ， DE2 =EFEB． （2） D E 2 = E F  E B ，  DE EB = ， EF DE  B E D =  D E F ，   B E D ∽  D E F ， EBD=EDF，45 O B = O D = 1 2 B D ， O C = O A = 1 2 A C ，且 B D = A C ，  O B = O C = O A ，   O B C =  O C B ，  O A B =  A B O ， A D / / B C ， A B / / C D ，   O A D =  O C B ，  O A B =  D C F ，   O B C =  O A D ，   O B C +  E B D =  O A D +  E D F ，   C B F =  C F D ， BFC=ABC=90，   C B F =  O A B = 9 0  −  A C B ， CBF=ABO，   A B O =  C F D ，   A B O ∽  C F D ．关卡二 练习4: （2023-2024·松江区期中）如图，在 46  A B C 中， A B = A C = 1 0 ，BC=16，点 D 在 B C 边上， 且 B D = A B ，将ABC绕点 D 旋转，使点 A 的对应点 E 落在ABC的边上，则 B E 的长为 _________． 【常规讲解】 解：如图1，点E落在 A B 边上，作 A F ⊥ B C 于点 F ， AB=AC=10，BC=16，  B F = C F = 1 2 B C = 8 ， B D = A B = 1 0 ，  D F = B D − B F = 1 0 − 8 = 2 ，  B A D =  B D A ， 作 D G ⊥ A B 于点 G ，则  A G D =  D F A = 9 0  ， 在AGD和  D F A 中，    A A G D G A = D D D = = A   D F F D A A ，   A G D   D F A ( A A S ) ，  A G = D F = 2 ， 由旋转得 E D = A D ，  E G = A G = 2 ， BE=AB−AG−EG=10−2−2=6；如图2，点E落在 47 B C 边上，作 A F ⊥ B C 于点 F ，则  A F B =  A F D = 9 0  ，  A F = A B 2 − B F 2 = 1 0 2 − 8 2 = 6 ，  A D = A F 2 + D F 2 = 6 2 + 2 2 = 2 1 0 ， 由旋转得ED= AD=2 10，  B E = B D − E D = 1 0 − 2 1 0 ； CD=BC−BD=16−10=6，且2 10 6，  E D  C D ，  点 E 不能落在 A C 边上， 综上所述， B E 的长为6或 1 0 − 2 1 0 ， 故答案为：6或10−2 10． 练习5: （2023-2024·闵行区期中）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线l:y=x+4交x轴于 点 A ，交 y 轴于点 B ，点 C 在 x 轴正半轴上，且 O C = 2 ．点 D 在线段 AC 上，且  C D B =  A B C ，过点 C 作 B C 的垂线，交 B D 的延长线于点 E ，连接 A E ． （1）求点 D 的坐标； （2）求证：AE⊥ AB； （3）如果点P是直线 C E 上的动点，连接DP，当  D E P 与ABC相似时，求点P坐标．【常规讲解】 （1）解：由题意得 48 A ( − 4 , 0 ) ， B ( 0 , 4 ) ，C(0,2)，  O A = 4 ， O B = 4 ， A C = 6 ，则 B C = 2 5 ，  A C B =  B C D ，  C D B =  A B C ，   A C B ∽  B C D ，则 C C D B = B A C C ， 则 C D = 1 0 3 ， 4 4 则OD= ，即点D坐标是(− ,0)； 3 3 （2）证明： ACB∽BCD，BAC=45，   C B D = 4 5  ， CE⊥BC，   C E B =  C B D = 4 5  ， C E = B C ． 作EH ⊥AC于点 H ，  H C E +  H C B = 9 0  =  O B C +  H C B ， 则HCE=OBC，  C H E =  B O C = 9 0  ， C B = C E ，   H C E   O B C ( A A S ) ，  H C = O B = 4 ， H E = O C = 2 ，点 E ( − 2 , − 2 ) ， 由点 A 、 B 、 E 的坐标得： B E 2 = 4 0 ， A B 2 = 3 2 ，AE2 =8， 则AE2 +AB2 =BE2，   E A B = 9 0  ， 即AE⊥ AB； （3）解：  C E D =  C A B = 4 5  ，  D E P ∽  A B C ， 点P只能在射线EC上，由以上计算得 49 A B = 4 2 ， A C = 6 ， D E = 2 3 1 0 ， EP AB ①当 = 时，即 ED AC 2 E P 1 3 0 = 4 6 2 ， 则 E P = 8 9 5 ， CE =2 5，  C P = 1 0 9 5 ，  点 P 1 ( − 2 9 , − 1 0 9 ) ， ②当 E E P D = A A C B 时，同理可得： E P = 5 ，CP= 5 ，  点 P 2 ( 0 , − 1 ) ， 综上，点 P 坐标是 ( − 2 9 , − 1 0 9 ) 或 ( 0 , − 1 ) ． 练习6: （2023-2024·闵行区期中）在矩形 A B C D 中， A B = 6 ， A D = 8 ．点 P 是射线 B C 上的动点， 联结 A P ． （1）如图1，当 D P ⊥ A C 交 A C 于点 E 时，求 ta n  B A P 的值； （2）如图2，当点P在BC边上时（与端点B， C 不重合），过点P作AP的垂线，交CD于 FG 点F ，交AC于点G．设BP=x， = y．求y关于 AP x 的函数关系式，并写出定义域； （3）将  A B P 沿直线AP翻折，点 B 落在点Q处，直线PQ交边AD于点 M MD 1 ，当 = 时， MA 7 求 B P 的长． 【常规讲解】 解：（1） 四边形ABCD是矩形，50   A D C =  D C P = 9 0  ， A D = B C = 8 ， D C = A B = 6 ，   A D E +  C D E = 9 0  ， D P ⊥ A C ，  A D E +  D A E = 9 0  ，   C D E =  D A E ，   A D C ∽  D C P ， AD CD  = ， CD CP 解得： C P = 9 2 ，  7 BP=8−CP= ， 2 在 R t A B P 中，  B = 9 0  ， ta n  B A P = B A P P = 1 7 2 ． （2）作 G H ⊥ F C 于点 H ， ABP∽PCF，得PFC=APB， C B F P = P A C B ， 8x−x2 CF = ， 6  G F H ∽  A P B ，得 F A G P = F B H P = G A H B ， 设CH =3a，则GH =4a，  F H x = 4 a 6 ， 2ax 解得：FH = ， 3 又 FH+CH =FC， 2ax 8x−x2  +3a= ， 3 6 8x−x2 得a= ， 4x+18 FG FH 8x−x2  y= = = (0x8)； AP BP 6x+27（3） 51 M M D A = 1 7 ， A D = B C = 8 ，  A M = P M = 7 ， M D = 1 ， 共有两种情况： ①当点 M 在PQ延长线上时，如图，作 M N ⊥ B C 于点 N ，  M N = 6 ， B N = A M = 7 ，由翻折得 A Q = 6 ，  A Q P = 9 0    A Q M   M N P ( A A S ) ，  PN =MQ= AM2 −AQ2 = 72 −62 = 13 ，  BP=7− 13． ②当 M 在 P Q 边上时，如图，作 M N ⊥ B C 于点N，  M N = 6 ， B N = A M = 7 ， 同上题可得  A Q M   M N P ，  PN =MQ= 13， BP=7+ 13． 综上：BP的长为 7  1 3 ．