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14A / 10B 二次函数性质综合
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）二次函数面积类问题
（2）二次函数背景下三角比的求法
2. 考情分析
（1）二次函数的概念及图像性质属于函数版块，是初中常考必考知识点，占九年级分值约
20%；
（2）本讲知识点题目以19-22的解答题和24的第（1）、（2）为主，属于压轴题的前置铺
垫，需要学生快速且准确求解；
（3）对应教材：初三下册，第二十六章：二次函数.
1知识加油站 1——二次函数的面积类问题
考点一：二次函数的面积问题
知识笔记1
请用两种方法求三角形面积
方法一：铅垂法 方法二：割补法
例题1:
（2023•徐汇区一模）已知二次函数y=−3x2 +6x+9．
（1）用配方法把二次函数
2
y = − 3 x 2 + 6 x + 9 化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式，并指出这个函数
图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与 x 轴交于点A、 B （点
A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，求四边形 D A C B 的面积．
A
C
B
A
C
B练习1:
（2024•崇明区一模）已知二次函数
3
y = 2 x 2 + 4 x − 6 ．
（1）用配方法把二次函数y=2x2 +4x−6化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式，并指出这个函数图
象的对称轴和顶点坐标；
（2）如果该函数图象与 x 轴负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ， O 为坐标原点，
求四边形 A D C O 的面积．
例题2-1:
（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面 x O y 中，对称轴为直线 x =
3
2
的抛物线
y = a x 2 + b x + 2 经过点 A ( 4 , 0 ) 、点 M (1 , m ) ，与 y 轴交于点 B ．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点 D 的坐标；
（2）联结 A B 、 A M 、 B M ，求 S
A B M
的面积；例题2-2:
（2023•黄浦区期末）如图，直线
4
y = − x + 3 与x轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ．对称轴为直线
x = 1 的抛物线 y = a x 2 + b x + c 经过点 A 、 B ，其与 x 轴的另一交点为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段 A B 上点 P 处，得到新抛物线 L ，其与直线 y = − x + 3
的另一个交点为 Q ．
①如果抛物线 L 经过点 A ，且与 x 轴的另一交点为 D ，求线段 C D 的长；
②试问：CPQ的面积是否随点 P 在线段 A B 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；
如果不变，请求出 C P Q 面积．
练习2:
（2022•徐汇区期末）如图，抛物线 y = a x 2 + b x + 3 与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与y轴相交于
点C，已知 B 点的坐标为(6,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，点 D 是 B C 上方抛物线上的
一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当BCD的面积为
1 5
4
时，求点 D 的坐标考点二：二次函数面积的最值问题
例题3:
（2021•浦东新区校级自主招生）抛物线
5
y = ( x + 1 ) 2 − 4 与 x 轴交于点 A 、B(A在 B 左侧），与
y 轴交于点 C ， M 为第三象限抛物线上一点，问：四边形AMCB的面积最大时， M 的坐标
是？
练习3:
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图象与 x 轴交于A(3,0)，B(−1,0)两
点，与 y 轴交于点C(0,3)．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知点D是直线 A C 上方的抛物线上一动点．当点 D 运动到什么位置时，四边形 A B C D
的面积最大？求此时 D 点的坐标和四边形 A B C D 的最大面积；知识加油站 2——二次函数背景下的三角比求解
考点三：直角三角形求解二次函数背景下的三角比
知识笔记2
求锐角三角比的步骤：
（1）若原三角形是
6
R T ，则可以利用勾股定理逆定理证明并直接求三角比；
（2）题目中若有与所求三角比相等的角，可以通过求相等角的三角比得到所求的三角比。
例题4:
（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y = − x 2 + b x + c 经过点
A ( 3 , 0 ) 和点B(0,3)，其顶点为 C ．
（1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；
（2）求 A C B 的正切值练习4:
（2022•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系
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x O y 中，直线 y = x − 3 分别交x轴、 y 轴
于A、 B 两点，抛物线 y = x 2 + b x + c 经过点 A 和点 B ，且其顶点为 D ，点 C 为抛物线与 x
轴的另一个交点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 B A D 的正切值考点三：作垂线求解二次函数背景下的三角比
知识笔记3
求锐角三角比的具体步骤：
（1）确定角所在的三角形，并且三角形的三个顶点的坐标已知，若有坐标未知，那么先求
顶点的坐标；
（2）在确定的三角形中做垂直，构造直角三角形；
（3）用割补等方法求出此三角形的面积，再用等积法求出所作的高；
（4）用两点间距离公式求出三角形的边长，再用勾股定理求出角所在直角三角形的边长；
（5）在构造的直角三角形中，求出角的锐角三角比
例题5:
（2022•黄浦区校级期中）已知顶点为
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M ( − 2 , − 1 ) 的抛物线经过点 C ( 0 , 3 ) ，与 x 轴交于 A 、 B
两点（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接AC、MC，求ACM 的正切值练习5:
（2022•徐汇区校级月考）如图，在平面直角坐标系
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x O y 中，抛物线 y = a x 2 − 4 a x + 3 与 x 轴
交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且AB=2，抛物线与 y 轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 A C B 的正切值
例题6:
在直角坐标平面内，直线 y =
1
2
x + 2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 C ．抛物线 y = −
1
2
x 2 + b x + c
经过点 A 与点 C ，且与x轴的另一个交点为点 B ．点 D 在该抛物线上，且位于直线AC的上
方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结 B C 、 B D ，且 B D 交 A C 于点 E ，如果 A B E 的面积与 A B C 的面积之比为 4 : 5 ，
求DBA的余切值；练习6:
在平面直角坐标系xOy中，将抛物线
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y = − x 2 平移后经过点 A ( − 1 , 0 ) 、B(4,0)，且平移后的抛
物线与 y 轴交于点C（如图）．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点 D 在线段 C B 上，且 C D = 2 ，求CAD的正弦值；全真战场
关卡一
练习1:
（2023•松江区期末）二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y
的对应值如下表．
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x 0 1 2 3 4
y 3 0 −1
？
3
（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点 D 的坐标；
（2）如果该二次函数图象与 y 轴交于点 A ，点 P ( 5 , t ) 是图象上一点，求 P A D 的面积．练习2:
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
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y = x 2 + b x + c 经过点 ( − 1 , 8 ) 并与x轴交于A， B 两点，
且点A的坐标为 (1 , 0 ) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与 y 轴交于点 C ，顶点为点 P ，求 C P B 的面积．
练习3:
如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 +2ax+c（其中a、 c 为常数，且 a 0 )
与 x 轴交于点 A ，它的坐标是 ( − 3 , 0 ) y ，与 轴交于点 B ，此抛物线顶点C到x轴的距离为4
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 C A B 的正切值；练习4:
（2023•松江区期末）在平面直角坐标系
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x O y 中，抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象经过原
点 O ( 0 , 0 ) 、点 A (1 , 3 a ) ，此抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C ，顶点为 B ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）如果该抛物线与 x 轴负半轴的交点为 D ，且 A D C 的正切值为2，求 a 的值；
练习5:
（2023•青浦区校级月考）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c 图象经过 A ( 2 , 3 ) ， B ( 3 , 6 ) 、 C ( − 1 , 6 )
三点．
（1）求该二次函数解析式；
（2）将该二次函数y=ax2 +bx+c图象平移使其经过点 D ( 5 , 0 ) ，且对称轴为直线 x = 4 ，求
平移后的二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若平移后的二次函数图象与 x 轴的另一个交点为E，求DAE的正
切值．关卡二
练习6:
如图，抛物线
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y = a x 2 + b x + 9 与 x 轴交于 A ( − 3 , 0 ) 、B(6,0)两点，与 y 轴交于点 C ，连接 B C 、
A C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 是线段 A C 上一点（点 D 与点 A 、 C 不重合），过点 D 作BC的平行线，交 A B 于
点E．连接 C E ，求CDE面积的最大值．练习7:
如图，抛物线
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y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 与x轴分别交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，点 D 为
抛物线的顶点，连接AD，BD．若点 A ( − 1 , 0 ) ，点B(3,0)，点 C ( 0 , 3 ) ．点P为线段AB上一
点，过点 P 作 P Q / / B D ，交 A D 于点 Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当 P Q D 的面积最大时，求点 P 的坐标．练习8:
“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距
离：已知
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P ( a , b ) ， Q ( c , d ) 是平面直角坐标系内的两点，我们将 | a − c | + | b − d | 称作P， Q 间
的“ L 型距离”，记作 L ( P , Q ) ，即L(P,Q)=|a−c|+|b−d|．
已知二次函数 y
1
的图象经过平面直角坐标系内的 A ， B ， C 三点，其中 A ， B 两点的坐标
为A(−1,0)， B ( 0 , 3 ) ，点 C 在直线 x = 2 上运动，且满足L(B,C) BC．
（1）求 L ( A , B ) ；
（2）求抛物线 y
1
的表达式；
（3）已知 y
2
= 2 tx + 1 是该坐标系内的一个一次函数．
① 若 D ， E 是 y
2
= 2 tx + 1 图象上的两个动点，且DE=5，求CDE面积的最大值；
② 当 t x t + 3 时，若函数 y = y
1
+ y
2
的最大值与最小值之和为8，求实数 t 的值．
