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大题 03 利用函数（方程）解决实际问题（7 大题型）
函数（方程）解决实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，
解答题中常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一
类考点， 所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因
为粗心而丢分.
题型一： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计
划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，
则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校
在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型
客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
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(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老
师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要
234+6
保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 ≈6辆，即可解答；
45
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，列出不等式组，解得4≤a≤5.1，设租车费用为y元，
得出y=120a+1680，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
38x+6=40x−6，
解得：x=6，
∴38x+6=38×6+6=234，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
234+6 16
∴汽车总数不少于 = （辆），则汽车总数最少为6辆，
45 3
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，
¿，
解得：4≤a≤5.1，
∵a为整数，
∴a=4或a=5，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
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y=400a+280(6−a)=120a+1680，
∵120>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=4时，y最小，y=120×4+1680=2160，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
2．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，
B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设
甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
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∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，
不等式与一次函数关系式是解题的关键．
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案
及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线
或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最
值．
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，
比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．
(1)小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
(2)第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个
球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式；
(3)为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循
环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，
按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
【答案】(1)胜了6场，平了1场
(2)y=4x−7
(3)5场
【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次方不等式的应用，
（1）设他们胜了x场，则平了(9−2−x)场，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）首先得到每个球队要比赛7场，然后根据比赛计分规则表示出得分y即可；
（3）设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了(7−a)场，小明班级篮球队预计犯规次数是2a，根据题意
列出一元一次方不等式求解即可．
【详解】（1）设他们胜了x场，则平了(9−2−x)场，
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根据题意得，3x+(9−2−x)×1−2×1=17
解得x=6
∴9−2−x=9−2−6=1
∴他们胜了6场，平了1场；
（2）∵第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，
∴每个球队要比赛7场
∵一个球队获胜x场，得分是y分，
∴y=3x−(7−x)=4x−7；
（3）设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了(7−a)场，小明班级篮球队预计犯规次数是2a
2a
∴3a−(7−a)− ≥9
3
24
解得a≥
5
∴他们想进入复赛最少要胜5场．
2．（2023·贵州·模拟预测）此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身
“冰墩墩”“雪容融”成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：
类别
冰墩墩 雪容融
价格
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
(1)小星第一次用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个，求“冰墩墩”“雪容融”各购
进多少个？
(2)小星第二次进货时，商家规定“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，小星计划购
进两款吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
(2)购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，列出方程、不等式
和一次函数是解此题的关键．
（1）设“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”购进(30−m)个，根据“用1100元购进了“冰墩墩”“雪容
融”两款吉祥物共30个”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设购进x个“冰墩墩”，则购进“雪容融”(60−x)个，一共获利为w元，根据““冰墩墩”进货数
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是量不得超过“雪容融”进货数量的一半”得出不等式，求出x的范围，求出w关于x的解析式，一次函数
的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”购进(30−m)个，
根据题意得：40m+30(30−m)=1100，
解得m=20，
∴30−m=30−20=10，
∴“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
（2）解：设购进x个“冰墩墩”，则购进“雪容融”(60−x)个，一共获利为w元，
∵“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，
1
∴x≤ (60−x)，
2
解得x≤20，
根据题意得：w=(56−40)x+(45−30)(60−x)=x+900，
∵1>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取最大值，最大值为20+900=920（元），
∴60−x=60−20=40，
∴购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元．
题型二： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）
（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一
件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
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(2)400元
(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当00.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当300≤a<600时，a−80<0.8a，解得300≤a<400，
即：当300≤a<400时，活动二更合算，
③当600≤a<900时，a−160<0.8a，解得600≤a<800，
即：当600≤a<800时，活动二更合算，
综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论
的应用．
先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题.
一般答题思路: ①根据题意列方程;
②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量;
③根据题意求自变量的取值范围;
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④根据题意列出符合题意的方案;选择最优方案。
1．（2023·云南昆明·模拟预测）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，
恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运
费如下表：
运往地车
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
型
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运
费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）．9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少
运费为10850元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数
关系式与方程是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择．
（1）设大货车用x辆，则小货车用(20−x)辆，根据运输248吨物资，列方程求解．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为(8−a)辆，前往甲地的小货车为(9−a)辆，前往
乙地的小货车为(3+a)辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式，结合已知条件，求a的取值范
围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用(20−x)辆，根据题意得
16x+10(20−x)=248，
解得x=8，
∴20−x=20−8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为(8−a)辆，前往甲地的小货车为(9−a)辆，前往
乙地的小货车为(3+a)辆，
w=620a+700(8−a)+400(9−a)+550(3+a)=70a+10850，
∴w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）．
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∵w=70a+10850，k=70>0，
∴w随a的增大而增大，
∵0≤a≤8
∴当a=0时，w最小，最小值为w=70a+10850=10850．
∴使总运费最少的调配方案是：9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为
10850元．
2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及
团购优惠方案如下所示：
套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案
A：米饭套
素 30元 方案一：A套餐满20份及以上打9折；
餐
材
方案二：B套餐满12份及以上打8折；
1
B：面食套
25元 方案三：总费用满850元立减110元．
餐
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素 该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有
材 20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优
2 惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任
计算选择
务 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？
人数
1
任
分析变量 设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套
务
关系 餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
2
任
制定最优
务 要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
方案
3
【答案】任务1：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人；任务2：w=2m+801；任务3：当订购A
套餐15份，订购B套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元
【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择A套餐的有x人，x<20，则选则B套餐的有(20−x)人，
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(20−x)<12，根据“费用合计为565元”列出方程30x+25(20−x)=565，解方程即可得到答案；
任务2：由当全班选择A套餐人数不少于20人时，即13+m≥20，得到m≥7，从而得到选择B套餐人数为
18−m≤11，根据A套餐、B套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱；
任务3：分三种情况：①当m≥7时，②当0≤m<7时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进
行比较即可得到答案．
【详解】解：任务1：∵20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
∴设这20人中选择A套餐的有x人，x<20，
则选则B套餐的有(20−x)人，(20−x)<12，
∴30x+25(20−x)=565，
∴x=13，
∴20−x=7，
答：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人；
任务2：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
∴当全班选择A套餐人数不少于20人时，
即13+m≥20，
∴m≥7，
∴选择B套餐人数为18−m≤11，不满足优惠方案二的条件，
∴订餐总费用为w=30×0.9×(13+m)+25×(18−m)=2m+801；
任务3：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
①当m≥7时，由（2）可知，订餐总费用为w=2m+801，
∵k=2>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=7时，订餐总费用最小为w=2×7+801=815（元）；
②当0≤m<7时，13+m<20，18−m>11，
∴订餐总费用为w=30×(13+m)+25×0.8×(18−m)=10m+750，
∵k=10>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=0时，订餐总费用最小为w=750（元）；
③若选择优惠方案三，订餐总费用为w=30×(13+m)+25×(18−m)=5m+840，
∵总费用满850元立减110元，
∴当m=2时，订餐总费用最小为5×2+840−110=740（元）；
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综上所述，当订购A套餐15份，订购B套餐为16份时，订餐总费用最低为740元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次
方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
题型三： 利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（最值）
1．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝
盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)可购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用：
（1）设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，由题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．采购组计划将预算
经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为(46−m)盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得
46−m≥2m，求得m的取值范围，设购买两种绿植共花费w元，由题意得：w=−3m+414，根据一次
函数的增减性即可求得最省钱方案．
【详解】（1）解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得：
¿，
解得：¿，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为(46−m)盆，
∵绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，
∴46−m≥2m，
46
解得：m≤ ，
3
设购买两种绿植共花费w元，
由题意得：w=6m+9(46−m)=−3m+414，
∵k=−3<0，
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∴w随m的增大而减小，
∴当m=15时，w取最小值，即花费最少，
w =−3×15+414=369（元），
最小
此时购买吊兰15盆，绿萝46−15=31（盆），
答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网
红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加
工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成
本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一
3000 4000 17000
次
第二
4000 3000 18000
次
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支
的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．
在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串
降价a（00)元作为爱心基
金用于资助该地区贫困生．因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得总利润为13250元，
若t的值不大于1，求m的最大值．
【答案】(1)¿
(2)y=¿，y的最大值为16000
(3)2.5
【分析】（1）根据购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元列出方
程组求解即可；
（2）分当400≤x≤500时，当5000，
∴y随x增大而增大，
∴当x=500时，y最大，最大为3×500+14500=16000；
当500500时，
y<−2×500+17000=16000；
综上所述，y=¿，y的最大值为16000；
（3）解：由题意得，16000−500(m−t)−500(2m−t)=13250，
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∴16000−500m+500t−1000m+500t=13250
6m−11
∴t= ，
4
∵t的值不大于1，
6m−11
∴ ≤1，
4
∴m≤2.5，
∴m的最大值为2.5．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际运用，一次函数的实际运用，一元一次不等式的实际运用，
正确理解题意找到对应的关系式，等量关系和不等关系是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和
材 1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张
1 15元．
素
由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场
材
馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
2
问题解决
任
确定场馆门
务 求A场馆和B场馆的门票价格．
票价格
1
任
探究经费的 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买
务
使用 门票所需总金额的最小值．
2
若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，
请你设计一种购买方案．
购买方案
任
拟定购买方 门票类
务 A B C
案 型
3
购买数
量
【答案】任务1：A场馆的门票价格为50元，B场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案
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①：购买A场馆门票10张，B场馆门票12张，C场馆门票8张；方案②：购买A场馆门票10张，B场馆门
票11张，C场馆门票9张
【分析】任务1：设A场馆的门票价格为x元，B场馆的门票价格为y元，根据两种购买方案所需金额建立
方程组，解方程组即可得；
任务2：设到A场馆参观的人数为a人，此次购买门票所需总金额为W元，则到C场馆参观的人数为a人，
到B场馆参观的人数为(40−2a)人，从而可得W关于a的函数关系式，再根据到A场馆参观的人数要少于
到B场馆参观的人数求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得；
任务3：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则到A场馆参观的人数为m人，到C场馆参观的人数为
6
(m+n)人，到B场馆参观的人数为(40−2m−n)人，根据预算可得n≥20− m，由此可得m=10，再求出
5
n的取值范围，根据n为正整数分析求解即可得．
【详解】解：任务1：设A场馆的门票价格为x元，B场馆的门票价格为y元，
由题意得：¿，
解得¿，
答：A场馆的门票价格为50元，B场馆的门票价格为40元；
任务2：设到A场馆参观的人数为a人，此次购买门票所需总金额为W元，则到C场馆参观的人数为a人，
到B场馆参观的人数为(40−2a)人，
由题意得：W =50a+40(40−2a)=−30a+1600，
∵要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，
∴¿，
40
解得010)个，该商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A种品牌的
书包按原价的八折销售；若购买B种品牌的书包10个以上，则超出部分按原价的五折销售．
①设购买A品牌书包的费用为w 元，购买B品牌书包的费用为w 元，请分别求出w ，w 与m的函数关系
1 2 1 2
式；
②根据以上信息，试说明学校购买哪种品牌书包更省钱．
【答案】(1)A品牌书包单价为150元，B品牌书包单价为200元
(2)当1050时，购
买B品牌书包更省钱
【分析】（1）设A品牌书包单价为x元，B品牌书包单价为y元，根据所给等量关系列二元一次方程组，
即可求解；
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（2）①根据优惠活动的规则列式即可；②分别计算w w 得出m的取值范围，即可
1 2 1 2 1 2
得出结论．
【详解】（1）解：设A品牌书包单价为x元，B品牌书包单价为y元，
由题意知¿，
解得¿，
即A品牌书包单价为150元，B品牌书包单价为200元；
（2）解：①根据优惠活动的规则可知：
w =0.8×150⋅m=120m，
1
w =10×200+(m−10)×200×0.5=100m+1000；
2
②当w 10，
∴当10w 时，120m>100m+1000，
1 2
解得m>50，
∴当m>50时，购买B品牌书包更省钱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解一元一次不等式等知识点，解题的关键是
理解题意，正确列出二次一次方程组及函数关系式．
题型五： 分式方程
1．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记
本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求
甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：
一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本
硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔
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记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为(a−3)元，由再多购买5本的费用恰好与
按原价购买的费用相同可得ma=(m+5)(a−3)，再根据¿且m，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为(x−3)元，根据题意得
240 195
= ，
x x−3
解得x=16，
经检验，x=16是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为(a−3)元，
由题意可得¿，
解得25≤m<30，
根据题意得ma=(m+5)(a−3)，
3m+15
解得a= ，
5
∵ m为正整数，
3m+15
∴m=25，26，27，28，29，分别代入a= ，
5
可得a=18，18.6，19.2，19.8，20.4，
由单价均为整数可得a=18，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相
应方程．
2．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、
《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算
3
经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
4
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量
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不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分
别购买多少本时费用最少？
【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
3
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 x元，根据“用600元购买《孙子算
4
经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据
m的取值范围结合函数解析式解答即可．
3
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 x元，
4
600 600
= +5
依题意得， 3 x ，
x
4
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
3
×40=30，
4
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80−m)本，
1
依题意得，m≥ (80−m)，
2
2
解得m≥26 ，
3
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，y=40×0.8m+30×0.8(80−m)=8m+1920，
∵k=8>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=27时，有最小值，此时y=8×27+1920=2136（元），
80−27=53（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据
题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
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用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解【易忽略】.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
工作总量=工作时间×工作效率 多个工作效率不同的对象
在工程问题中，一般将工
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率 所完成的工作量的和等于
作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间 工作总量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
较大量=较小量+多余量
和差倍分问题 由题可知 弄清和、差、倍、分关系
总量=倍数×一份量
全路程=甲走的路程+乙走 相向而行，注意出发时间
相遇问题
的路程 、地点
路程=速度×时间
追及问题 前者走的路程=追者走的路
速度=路程÷时间
（同地不同时出发） 时间=路程÷速度 程 同向而行，注意出发时间
行程问题 追及问题 前者走的路程+两地间距离、地点
（同时不同地出发） =追者走的路程
顺水速度=静水速度+水流速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流速度 不变
1．（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能
源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为
5
40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的 ．
6
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
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(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划
燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【答案】(1)每个燃油车位占地面积为15平方米，每个新能源车位占地面积为10平方米；
(2)建燃油车位50个，新能源车位150个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为75000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关
键．
（1）设每个燃油车位占地面积为x平方米，则每个新能源车位占地面积为(x−5)平方米，根据“用150平
5
方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的 ”列分式方程求解即可；
6
（2）设建燃油车位a个，则建新能源车位(200−a)个，根据题意列一元一次不等式，求出a的取值范围，
设喷涂总费用为w，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设每个燃油车位占地面积为x平方米，则每个新能源车位占地面积为(x−5)平方米，
150 120 5
由题意得： = × ，
x x−5 6
解得：x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，
x−5=10，
答：每个燃油车位占地面积为15平方米，每个新能源车位占地面积为10平方米；
（2）解：设建燃油车位a个，则建新能源车位(200−a)个，
由题意得：200−a≥3a，
解得：a≤50，
设喷涂总费用为w，
则w=20×15a+40×10(200−a)=−100a+80000，
∵−10<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=50时，w有最小值，最小值为75000，
即建燃油车位50个，新能源车位150个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为75000元．
2．（2023·重庆万州·模拟预测）随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球
汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件．某
汽车零部件生产厂的甲车间有工人20名，乙车间有工人30名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任
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6
务，所以工厂新增15名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的 ．
7
(1)新分配到甲车间的人数有多少人？
(2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天
生产的零件数量的1.4倍．新增工人后，甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天
数少用4天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
【答案】(1)新分配到甲车间的人数有10人；
(2)乙车间每名工人每天生产零件50个．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用．
（1）设新分配到甲车间的人数有x人，则新分配到乙车间的人数有(15−x)人，根据分配后甲车间的总人
6
数为分配后乙车间总人数的 ．列出一元一次方程，解方程即可；
7
（2）设乙车间每名工人每天生产零件y个，则甲车间每名工人每天生产零件1.4 y个，根据甲车间生产
42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设新分配到甲车间的人数有x人，则新分配到乙车间的人数有(15−x)人，
6
依题意得：20+x= [30+(15−x)]，
7
解得：x=10，
答：新分配到甲车间的人数有10人；
（2）解：设乙车间每名工人每天生产零件y个，则甲车间每名工人每天生产零件1.4 y个，
42000 42000
依题意得： = −4，
(20+10)×1.4 y [30+(15−10)]y
解得：y=50，
经检验，y=50是原方程的解，且符合题意．
答：乙车间每名工人每天生产零件50个．
3．（2023·重庆铜梁·模拟预测）五一当天，小潼和妈妈约定从欧鹏中央公园出发，沿相同的路线去4320
米外的滨江公园，已知妈妈步行的速度是小潼的1.2倍．
(1)若小潼先出发12分钟，妈妈才从欧鹏中央公园出发，最终小潼和妈妈同时到达滨江公园，则妈妈的步
行速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达滨江公园后，想起30分钟后公司有一个团建活动要参加，公司距离滨江公园2940米，
妈妈马上从滨江公园出发赶往公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若
妈妈不想迟到，则至少需要跑步多少分钟？
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【答案】(1)妈妈的步行速度是每分钟72米；
(2)至少需要跑步10分钟．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设小潼的步行速度是每分钟x米，则妈妈的步行速度是每分钟1.2x米，利用时间=路程÷速度，结合
妈妈比小潼少用12分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出小潼的步行速度，再将其代入
1.2x中，即可求出妈妈的步行速度；
（2）设需要跑步y分钟，利用时间=路程÷速度，结合妈妈不想迟到，可列出关于y的一元一次不等式，解
之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）设小潼的步行速度是每分钟x米，则妈妈的步行速度是每分钟1.2x米，
4320 4320
根据题意得： − =12，
x 1.2x
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×60=72．
答：妈妈的步行速度是每分钟72米；
（2）设需要跑步y分钟，
2940−150 y
根据题意得： ≤30−y，
72
解得：y≥10，
∴y的最小值为10．
答：至少需要跑步10分钟．
题型六： 利用二次方程（函数）解决实际问题
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价
为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天
售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米
的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
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(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，
即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关
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键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出
方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨
度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．
现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，
O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为
1
S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x
9 3
(2)18m2，S >S
1 2
【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；
1 4 1 4
（2）在y=− x2+ x中，令y=3得：3=− x2+ x，求出x=3或x=9，得出BC=9−3=6(m)，求出
9 3 9 3
S =AB⋅BC=3×6=18(m2)，然后比较大小即可．
1
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6，4)，
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设抛物线的函数表达式为y=a(x−6) 2+4，
把O(0，0)代入得：0=a(0−6) 2+4，
1
解得：a=− ，
9
1 1 4
∴y=− (x−6) 2+4=− x2+ x；
9 9 3
1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=− x2+ x；
9 3
1 4 1 4
（2）解：在y=− x2+ x中，令y=3得：3=− x2+ x，
9 3 9 3
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S =AB⋅BC=3×6=18(m2)；
1
∵18>12√2，
∴S >S ．
1 2
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求
出函数解析式．
3．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨
迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，
运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离
为7m．
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(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
∴¿，解得¿，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
（2）解：令y=0，则−x2+2x+10=0，
解得x=1±√11（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析
式是解题的关键．
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二
次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或
降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量
关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、
利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还
是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为 1，每一个传染源传
染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
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②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
4）碰面问题（循环）问题
1
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m，则m = n（n－1）
2
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为 m，则m
= n（n－1）
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，
以激励更多游客到贵州旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定
在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为
97.2元，求平均每次降价的百分率．
【答案】(1)120元．
(2)10%．
【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用．解题的关键要读懂题意，根据题目所给的条件，找
出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为(x−40)元，根据“按原定票价需花费3600
元购买的门票张数，现在只花费了2400元”建立方程，解方程即可；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续两次降价后降为97.2元”建立方程，解方程
即可．
【详解】（1）设每张门票的原定票价为x元，依题意得
3600 2400
=
x x−40
解得x=120
经检验，x=120是所列方程的解．
所以，每张门票的原定票价为120元．
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（2）设平均每次降价的百分率为y，依题意得
120(1−y) 2=97.2
解得y =0.1=10%，y =1.9（不符合题意，舍去）
1 2
所以，平均每次降价的百分率为10%．
2．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年“淄博烧烤”频频在各大社交平台登上热搜榜，它凭借“小饼烤炉
加蘸料，灵魂烧烤三件套”迅速在社交媒体上走红，让无数游客不远千里来“打卡”．某烧烤店经销一种
烤肉，已知一份烤肉的成本价为每份30元．市场调查发现，这种烤肉每天的销售量y（单位：份）与销售
单价x（单位：份）有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60).设每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)这种烤肉销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种烤肉的销售单价不高于48元，该商店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润，
销售单价应定为多少元？
【答案】(1)w=−x2+90x−1800
(2)当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元
(3)该烧烤店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最值，解方程，理解方程根的取舍，是解题的
关键．
（1）根据利润=（进价−成本价）×销售数量，计算即可．
（2）二次函数进行配方，根据二次函数的最值计算即可．
（3）w=300时，构造一元二次方程求解即可．
【详解】（1）w=(x−30)⋅y=(−x+60)(x−30)=−x2+30x+60x−1800=−x2+90x−1800，
w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800；
（2）根据题意得：w=−x2+90x−1800=−(x−45) 2+225，
∵−1<0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225．
∴当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
（3）当w=200时，−x2+90x−1800=200，
解得x =40，x =50，
1 2
∵50>48，x =50不符合题意，舍去，
2
答：该烧烤店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
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3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染10个人．
(2)1331．
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列
方程求解．
（1）设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有121人患了流感；列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
由题意得：1+x+x（1+x）=121，
解得：x =10，x =−12，
1 2
∵x>0，
∴x =−12不合题意，舍去，
2
∴x=10，
答：每轮传染中平均一个人传染10个人．
（2）
则第三轮的患病人数为：（10+1）3=1331．
故答案为：1331．
4．（23-24·河北邢台·模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个
可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示
意图．
(1)喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱
刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
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①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB
为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高hm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的
取值范围．
1
【答案】(1)①图见解析，y=− (x−3) 2+0.8；②7m
20
(2)0.212m≤h≤0.5m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系
是解题的关键．
（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
②令y=0，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可；
1
（2）由题意可得CD=0.5m，BC=0.8m，分别代入y=− (x−3) 2+k，求出k的最小值和最大值，再令
20
x=0，求得OA的最小值和最大值，即可得出答案．
【详解】（1）①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为y=a(x−3) 2+0.8
把A(0,0.35)代入得0.35=a(0−3) 2+0.8
1
解得：a=−
20
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1
∴抛物线的表达式为y=− (x−3) 2+0.8；
20
1
②令y=0，得0=− (x−3) 2+0.8，
20
解得：x =7，x =−1（舍去）
1 2
∴B(7,0)
∴OB=7
∴喷灌器底端O到点B的距离7m；
（2）如图所示：
∵CD=0.5m BC=0.8m
，
∴D(6.2,0.5)，E(7,0.5)
1
设y=− (x−3) 2+k
20
1
把D(6.2,0.5)代入得0.5=− ×(6.2−3) 2+k
20
解得：k=1.012
1
∴y=− (x−3) 2+1.012
20
当x=0时，
1
y=− ×(0−3) 2+1.012=0.562
20
∴OA =0.562m
min
∴h=0.562−0.35=0.212m
1
设y=− (x−3) 2+k' ，
20
1
把E(7,0.5)代入得0.5=− (7−3) 2+k'
20 ❑
解得：k'=1.3
1
∴y=− (x−3) 2+1.3
20
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1
当x=0时，y=− (0−3) 2+1.3=0.85
20
∴OA =0.85m
max
∴h=0.85−0.35=0.5m
∴使水柱落在花坛的上方DE边上，h的取值范围为0.212m≤h≤0.5m．
5．（2023·河南商丘·模拟预测）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，
再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几
何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数
关系y=a(x−h) 2+k(a>0)．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP=5m，MA=40m，塔桥
AD高度为25m．
(1)求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
(2)若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
(3)厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
1
【答案】(1)y= (x−40) 2+5
80
(2)20m
(3)10m或70m
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想
解答．
（1）根据题意得P(40,5)，D(0,25)，利用待定系数法求解即可；
（2）设点N在A点右侧20m处，则x =40−20=20，令x=20，代入解析式求出y值，再乘以2即可；
N
（3）令y=16.25，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，点P(40,5)，D(0,25)，
设主索所在抛物线的解析式为y=a(x−40) 2+5，
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将D(0,25)代入该解析式可得，25=a(0−40) 2+5，
1
∴ a= ，
80
1
∴该悬索桥主索所在抛物线的解析式为y= (x−40) 2+5；
80
（2）解：设点N在M点左侧20m处，则x =40−20=20，
N
1
当x=20时，y= ×(20−40) 2+5=10，
80
则这两条吊索的总长度为：2×10=20(m)，
∴这两条吊索的总长度为20m．
（3）解：吊索长度为16.25m，
1
则 (x−40) 2+5=16.25，
80
解得x =10或x =70，
1 2
答：应将该吊索安置在距A点10m或70m的桥面上．
题型七： 利用方程（函数）解决几何问题
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
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17x( 32)
【答案】(1)y=4− 00，
∴00，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=4时，y最小，y=120×4+1680=2160，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
2．（2023·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米．
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(1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽．
(2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少?
(3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬
菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设
种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当
种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润．
【答案】(1)矩形的长为20m，宽为15m
25 625
(2)矩形的长为25m，宽为 m时，菜园的面积最大，最大面积为 m2
3 3
1250 17500
(3)种植A种蔬菜 平方米时，获得的利润最大，最大利润为 元
9 9
【分析】此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数
关系式是解题的关键．
50−x
（1）设平行于墙的矩形边长为xm，则邻边为 m，列出方程即可求解；
2
（2）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解；
（3）先列出函数表达式，根据题意列不等式组，并解方程组求出最大值即可．
【详解】（1）
解：设平行于墙的矩形边长为xm，
50−x
则x⋅ =300 ，
2
x2−50x+600=0，
解得x =20，x =30>25不合题意，舍去，
1 2
50−x 50−20
= =15m，
2 2
答：矩形的长为20m，宽为15m；
（2）
设菜园的面积为Sm2，平行于墙的矩形边长为xm，
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50−x 1 625
则S=x⋅ =− (x−25) 2+ ，
3 3 3
1
∵a=− ＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=25，
3
当x≤25时，S随x的增大而增大 ，
又∵043500，
∴6月份接待人数能突破43500人．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
5.（2023·吉林长春·模拟预测）小明和小白两位男同学进行跳绳锻炼．已知小明每分钟比小白多跳20次，
8
同样跳绳300次，小明所花时间是小白的 ，假设两人各自跳绳的平均速度不变．如果平均每分钟跳绳次
9
数不低于157次，则达到中考体育跳绳满分标准，请通过计算说明小明和小白是否达到中考体育跳绳满分
标准．
【答案】小明和小白能达到中考体育跳绳满分标准，计算见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8
设小明每分钟跳绳x次，则小白每分钟跳绳(x−20)次，根据同样跳绳300次，小明所花时间是小白的 ，
9
列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解：小明和小白达到中考体育跳绳满分标准，理由如下：
设小明每分钟跳绳x次，则小白每分钟跳绳(x−20)次，
300 300 8
由题意得： = × ，
x x−20 9
解得：x=180，
经检验，x=180是原方程的解，且符合题意，
∴x−20=180−20=160，
∵平均每分钟跳绳次数不低于157次，则达到中考体育跳绳满分标准，180>160>157，
∴小明和小白能达到中考体育跳绳满分标准．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函
数关系．小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同
的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑．设小云慢跑的时间为x（单位：分钟），小风和小云消耗的热
量总和为y（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中y与x之间的函数关系．
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(1)m=______ ；
(2)求小风在中途休息时y与x之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)如果消耗的热量达到770卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时，x=______ ；小云运动量达标
时，x=______
【答案】(1)1180
(2)y=7.5x+550
2
(3)108，102
3
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
1000 50
（1）求出两人每分钟消耗的热量和为 = ，再列式计算可得m的值；
60 3
（2）用待定系数法可得小风在中途休息时y与x之间的函数关系式为y=7.5x+550；
50 55
（3）由小云慢跑时，每分钟消耗的热量为7.5卡路里，小风慢跑时，每分钟消耗的热量为 −7.5= ，
3 6
列式计算可得答案．
1000 50
【详解】（1）解：由图象可得，两人每分钟消耗的热量和为 = (卡路里)，
60 3
50
∴m=1780−(120−84)× =1180，
3
故答案为：1180；
（2）设小风在中途休息时y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将(84,1180)，(60,1000)代入得：
¿，
解得¿，
∴小风在中途休息时y与x之间的函数关系式为y=7.5x+550；
（3）由（2）知，小云慢跑时，每分钟消耗的热量为7.5卡路里，
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770 2
∴小云运动量达标时，x= =102 ，
7.5 3
50 55
∴小风慢跑时，每分钟消耗的热量为 −7.5= (卡路里)，
3 6
770
x=(84−60)+ =108
∴小风运动量达标时， 55 ，
6
2
故答案为：108，102 ．
3
7．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售
价y 与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
1
时间x/月份 2 3 4 5
售价y /（元/千
1 12 8 6 4.8
克）
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P=20x；乙种水果每月售价y 与月份x
2
之间满足y =ax2+bx+4，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
2
(1)求y 与x之间的函数关系式；
1
(2)求y 与x之间的函数关系式；
2
(3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最
大，最大利润是多少？
24
【答案】(1)y = (2≤x≤5，x为整数）
1 x
1
(2)y = x2+2x+4（2≤x≤5，且x为整数）
2 2
(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
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（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
k
【详解】（1）解：设y 与x之间的函数关系式为 y = ，
1 1 x
k
把(2,12)代入解析式，则 12= ，
2
解得k=24，
24
∴y 与x之间的函数关系式为y = (2≤x≤5，x为整数）；
1 1 x
（2）解：把(2,6),(4,4)代入y =ax2+bx+4，得：
2
¿，解得 ¿，
1
∴y 与x之间的函数关系式为y = x2+2x+4（2≤x≤5，且x为整数）；
2 2 2
（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则
w=w +w =(y −3−0.2)⋅P+(y −3.5−0.2)×160，
甲 乙 甲 乙
= (24 −3−0.2 ) ⋅20x+ ( − 1 x2+2x+4−3.5−0.2 ) ×160
x 2
=−80x2+256x+528，
256
对称轴为直线 x=− =1.6．
2×80
∵−80<0，
∴当x>1.6时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当x=2时，w有最大值，最大值=−80×4+256×2+528=720（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
8．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西
1 9
侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式y=− x2+ x，无人机从西侧距坡底O
40 4
1
为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线y=− x2+bx+c，当无人机飞
50
越坡底上空时(即点D，与地面的距离为20米．
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(1)求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才
是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
1 9
【答案】(1)y=− x2+ x+20，−10≤x≤100
50 5
(2)无人机与山坡的竖直距离d为13米
(3)无人机此次飞行是安全的，见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用；
1
（1）把点B(−10,0)，D(0,20)代入y=− x2+bx+c，即可求出无人机飞行轨迹的函数表达式，令
50
y=0，求出x，可得自变量x的取值范围；
1 9
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离d= x2− x+20，把x=20代入求得即可；
200 20
1 79
（3）无人机与山坡的竖直距离d= (x−45) 2+ ，d的最小值与9比较即可得解．
200 8
1
【详解】（1）解：由题意可知，点B(−10,0)，D(0,20)，将B，D坐标分别代入y=− x2+bx+c，
50
得：¿，
解得：¿，
1 9
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为y=− x2+ x+20；
50 5
1 9
令y=0，则− x2+ x+20=0，
50 5
解得：x =−10，x =100，
1 2
∴x的取值范围为−10≤x≤100；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x=30−10=20，
1 9 1 9 1 9
∵无人机与山坡的竖直距离d=− x2+ x+20−(− x2+ x)= x2− x+20，
50 5 40 4 200 20
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1 9
∴当x=20时，d= ×202− ×20+20=13，
200 20
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
（3）无人机此次飞行是安全的，理由如下：
由（2）知，
1 9 1 1 1 79
d= x2− x+20= (x2−90x)+20= (x2−90x+452−452 )+20= (x−45) 2+ ，
200 20 200 200 200 8
1
∵ >0，
200
79
∴x=45时，d有最小值 ，
8
79
∵ >9，
8
∴无人机此次飞行是安全的．
9．（2023·河南周口·模拟预测）如图，森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图2
是喷灌架工作的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是0.5米，当喷射出的水流与
喷灌架的水平距离为5米时，达到最大高度3米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为
y=a(x−h) 2+k，其中x(m)是水流距喷水头的水平距离，y(m)是水流距地面的高度．
(1)求抛物线的解析式．
(2)草坪上距离喷水头水平距离为8米处有一棵高度为1.4米的小树AB，通过计算判断喷射水流能否恰好经
过小树顶端；若不能，喷灌架需向后平移多少距离？
1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+3；
10
(2)不能，喷灌架应向后移动1米．
【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头5米时，达到最大高度3米，设水流形成的抛物线为
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，代入 即可求出二次函数的解析式；
y=a(x−5) 2+3 (0,0.5)
（2）当x=8时，得到y=2.1m>1.4m，故喷射水流不能恰好经过小树顶端，设喷灌架向后平移了m米，设
1
出平移后的函数解析式y=− (x−5+m) 2+3，代入点B的坐标即可求解；
10
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为(5,3)，
设水流形成的抛物线的表达式为y=a(x−5) 2+3，将(0,0.5)代入得，
0.5=a(0−5) 2+3
1
解得a=− ，
10
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−5) 2+3；
10
1
（2）解：当x=8时，y=− (8−5) 2+3=2.1m>1.4m，
10
∴喷射水流不能恰好经过小树顶端，
1
设喷灌架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为 y=− (x−5+m) 2+3，
10
1
将点B(8,1.4)代入得，1.4=− (8−5+m) 2+3，
10
解得m=1或m=−7(不合，舍去)，
答：喷灌架应向后移动1米．
10．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点
A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q
分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．
(t≥0)
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(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
(2)求出S 关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S 有最大值，并求出这个最大面积？
△BPQ △BPQ
【答案】(1)当t为0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm
5 25
(2)P、Q出发 秒时，S 有最大值，这个最大面积为 cm2
2 △BPQ 4
【分析】（1）利用t的代数式分别表示出线段AP，PB，BQ，利用勾股定理在Rt△PBQ 中列出关于t的
方程，解方程即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到S 关于t的函数解析式，再利用配方法和二次函
△BPQ
数的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：AP=tcm，BQ=2tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=AB−AP=(5−t)cm．
在Rt△PBQ中，
∵PB2+BQ2=PQ2，
∴(5−t) 2+(2t) 2=52，
解得：t=2或t=0，
答：当t为0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm．
（2）由（1）知：AP=tcm，BQ=2tcm，
∵当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
∴ ¿，
7
∴0≤t≤ ．
2
1 1
∴S = ×PB⋅BQ= ×(5−t)⋅2t=−t2+5t，
△BPQ 2 2
∴S 关于t的函数解析式为S =−t2+5t；
△BPQ △BPQ
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5 2 25
∵S =−t2+5t=−(t− ) + ，
△BPQ 2 4
∵−1<0，
5 25
∴当t= 秒时，S 有最大值，最大值为 ．
2 △BPQ 4
5 25
∴P、Q出发 秒时，S 有最大值，这个最大面积为 cm2 ．
2 △BPQ 4
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，勾股定理和一元二次方程
分应用，本题是动点问题，利用t的代数式分别表示出线段AP，PB，BQ的长度是解题的关键．
1．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．
某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多
30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
520 175
甲： = +30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
1.6x x
520 175
乙： =1.6× ，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
x x−30
则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
【答案】(1)B型玩具的单价；购买A型玩具的数量
(2)最多购进A型玩具116个
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进A型玩具a个，根据题意，列出方程进行求解即可．
520 175
【详解】（1）解：对于甲： = +30表示的是：用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型
1.6x x
玩具的数量多30个，
520 175
∴ , 分别表示A型玩具和B型玩具的数量，
1.6x x
∴x表示B型玩具的单价；
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520 175
对于乙： =1.6× 表示的是：A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍，
x x−30
520 175
∴ , ，分别表示表示A型玩具和B型玩具的单价，
x x−30
∴x表示购买A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；购买A型玩具的数量
（2）设购进A型玩具a个，则购买B型玩具(200−a)个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：B型玩具的单价为5元，则A型玩具的单价为5×1.6=8元，
由题意，得：8a+5(200−a)≤1350，
350
解得：a≤ ，
3
∵a为整数，
∴a=116；
答：最多购进A型玩具116个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等
式，是解题的关键．
2．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资
金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的
首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采
购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台
B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种
品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲
合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)30≤a≤50
(3)A型30台，B型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由
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关系式求出最大利润．
【详解】（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：
¿，解得：¿，
答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进A型品牌小电器a台
由题意得：¿，
解得30≤a≤50，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．
（3）设获利为w元，由题意得：w=3a+4(150−a)=−a+600，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴−a+600≥565
解得：a≤35
∴30≤a≤35
∵w随a的增大而减小，
∴当a=30台时获利最大，w最大=−30+600=570元，
答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，
搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
3．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界
清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带
动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划
2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要
18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个
月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将
该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队
施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安
排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．
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【分析】（1）设乙单独完成需要x个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完
成任务．”建立分式方程求解即可；
a b 2
（2）由题意可得： + =1，可得a=18− b，结合a≤6，b≤24，可得18≤b≤24，结合a,b都为正
18 27 3
整数，可得b为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要x个月，则
2 ( 1 1)
+10 + =1，
x 18 x
解得：x=27，
经检验x=27是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
a b
（2）由题意可得： + =1，
18 27
∴3a+2b=54，
2
∴a=18− b，
3
∵a≤6，b≤24，
∴¿，解得：18≤b≤24，
∵a,b都为正整数，
∴b为3的倍数，
∴¿或¿或¿，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：6×8+18×5=138（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：4×8+21×5=137（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：2×8+24×5=136（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系
与不等关系是解本题的关键．
5．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
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(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，
但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种
T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①W =−4m+3000(50≤m≤150)；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)，整理即可；
②由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，一次函数W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大值
计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据题意列出方程组为：
¿，
解得¿，
∴全部售完获利=(66−45)×80+(90−60)×40=1680+1200=2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，根据题意150−m≤2m，即m≥50，
∴W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3000(50≤m≤150)，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，
∵−4<0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，W =−4×50+3000=2800（元），
大
∵2800<2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
6．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一
处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植
成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜
的种植成本为50元/m2．
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(1)当x=___________m2时，y=35元/m2；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下
降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025
年的总种植成本为28920元？
【答案】(1)500
(2)当甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；
(3)当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【分析】（1）求出当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2
1
）的函数关系式为y= x+10，当6000，
20
∴抛物线开口向上，
∴当x=400时，W有最小值，最小值为42000，
当6001000，
当一次性销售量在1000～1750kg之间时，
由题意得，−0.01(x−1500) 2+22500=22100，
解得x =1700，x =1300；
1 2
当一次性销售不低于1750千克时，
每千克利润为−0.01×1750+30=12.5元，
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由题意得，12.5x=22100，
解得x=1768；
∴当一次性销售为1300或1700或1768千克时，利润为22100元．
8．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情
况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益y （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：
A
2 1
y = x，投资B项目一年后的收益y （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：y =− x2+2x．
A 5 B B 5
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共
计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之
和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元
(2)m=8
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
2
【分析】（1）把x=10代入y = x可得答案；
A 5
2 1
（2）当x=m时，可得 m=− m2+2m，再解方程可得答案；
5 5
（3）设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为(32−x)万元，设总收益为y万元，
1 8 64
y= y + y =− x2+ x+ ，而0≤x≤32，再利用二次函数的性质可得答案．
A B 5 5 5
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益y （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：
A
2
y = x，
A 5
2
当x=10时，y = ×10=4（万元）；
A 5
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，
2 1
∴ m=− m2+2m，
5 5
整理得：m2−8m=0，
解得：m =8，m =0（不符合题意），
1 2
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∴m的值为8．
1
（3）y =− x2+2x
B 5
设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为(32−x)万元，设总收益为y万元，
∴y= y + y
A B
2 1
= (32−x)− x2+2x
5 5
1 8 64
=− x2+ x+ ，
5 5 5
而0≤x≤32，
8
5 1 32 64
∴当x=− =4时，y =− ×16+ + =16（万元）；
( 1) 最大 5 5 5
2× −
5
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，
理解题意，选择合适的方法解题是关键．
9．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一
侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，
水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时
距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防
水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距
离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考
数据：√2≈1.41
【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则
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， ，设设抛物线的解析式为 ，把 代入，求得 ，即
A(0,2) B(2,3.6) y=a(x−2) 2+3.6 A(0,2) a=−0.4
，再求出点D的坐标，即可求解．
1.8=−0.4(x−2) 2+3.6
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：A(0,2)，B(2,3.6)，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+3.6，
把A(0,2)代入，得2=a(0−2) 2+3.6，
解得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−2) 2+3.6，
令y=1.8，则1.8=−0.4(x−2) 2+3.6，
3√2
解得：x=2± ，
2
( 3√2 )
∴D 2+ ,1.8 ，
2
3√2
∴OE=x −ND−CE=2+ −0.3−06≈3.2 (米)，
D 2
答：步行通道的宽OE的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题
的关键．
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10．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们
可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这
样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中
AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点
为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E(0,4)，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若
FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
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1
【答案】(1)y=− x2+4
4
(2)0.5m
97
(3) m
12
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为y=ax2+4，求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即
可；
（2）求出y=3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
3
（3）求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为y=− x+m，利用光线与抛物线相切，求
4
出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长．
【详解】（1）解：∵抛物线AED的顶点E(0,4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，
∴AD=BC=4m，OB=2m，
∵AB=3m，
∴点A(−2,3)，代入y=ax2+4，得：
3=4a+4，
1
∴a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+4；
4
（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL=NR=0.75m，
∴MG=FN=FL=NR=0.75m，
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，
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∴FH=AB=3m,FN=HJ，
∴HL=HF+FL=3.75m，
1 1
∵y=− x2+4，当y=3.75时，3.75=− x2+4，解得：x=±1，
4 4
∴H(−1,0)，J(1,0)，
∴FN=HJ=2m，
∴GM=FN−FG−MN=0.5m；
（3）∵BC=4m，OE垂直平分BC，
∴OB=OC=2m，
∴B(−2,0),C(2,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则：¿，解得：¿，
3 3
∴y=− x+ ，
4 2
∵太阳光为平行光，
3
设过点K平行于AC的光线的解析式为y=− x+m，
4
3
由题意，得：y=− x+m与抛物线相切，
4
联立¿，整理得：x2−3x+4m−16=0，
73
则：Δ=(−3) 2−4(4m−16)=0，解得：m= ；
16
3 73 73
∴y=− x+ ，当y=0时，x= ，
4 16 12
(73 )
∴K ,0 ，
12
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∵B(−2,0)，
73 97
∴BK=2+ = m．
12 12
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，
进行求解，是解题的关键．
79
