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6.4 计数原理及排列组合（精练）（基础版）
题组一 排队问题
1．（2023·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把
这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（ ）
A．72 B．144 C．48 D．36
【答案】A
【解析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有 种方法，
再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有 种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是： .
故选：A.
2．（2022·四川成都·模拟预测（理））国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各
值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.
【答案】6
【解析】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙与丙两人有
种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.故答案为：6
3．（2022·浙江）一位老师随机分发六位同学的作业，恰好只有二位同学拿到自己的作业，则不同的分发
数是_____.
【答案】135
【解析】从六位同学中选两位同学拿到自己的作业，有 种，
剩下的四位同学都没拿到自己的作业，等同于四个不同的元素填四个不同的空，并且是全错位排列，有
种，所以不同的分法数为 种.故答案为： .
4．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服
务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）
【答案】【解析】四个志愿者总的选择共 种，
要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共
有 种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共 种，
所以 ，所以 .故答案为： .
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排
列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为 （可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
【答案】2520
【解析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的
字母，注意重复字母需除去顺序，共有 种，再插入 个字母 ，共有 种，所以一共有
种，故选：A．
6．（2022·河南驻马店）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列
出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生不能站一起；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；
【答案】(1) 种(2) 种(3) 种(4) 种
【解析】(1)从3名男生中任选2名有 种选法，从4名女生中任选2名有 种选法，再将选取的4人排列
有 种排法，由乘法原理共有 种排法．
(2)先将女生全排有 种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有 种，由乘法原理共
有 种排法．
(3)首尾位置可安排另6人中的两人，有 种排法，其他人有 种排法，乘法原理共有 种排
法．(4)将甲乙捆在一起，与剩下的3人（除丙丁）全排 ，再将丙丁插空到5个空隙中的2个有 种，再将
甲乙交换位置有 种，由乘法原理共有 种．
7．（2022·河北·沧县中学）已知 五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方
法数.
(1)把5名同学排成一排且 相邻；
(2)把5名同学排成一排且 互不相邻；
(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且 不相邻.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1)把A，B视为一个整体，不同排法有 种，排A，B有 种，
由分步乘法计数原理得：5名同学排成一排且 相邻的排法种数是 .
(2)先排D，E有 种，再把 插入3个空隙中有 种，
由分步乘法计数原理得：5名同学排成一排且 互不相邻的排法种数是 .
(3)5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上的排法种数是 ，其中有一空位A，B相邻的排法
种数是 ，所以所求不同排法种数是： .
8．（2022·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种
数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【答案】(1)2520(2)5040(3)288(4)1440【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有 ＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有 ＝5 040种排法
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 种排法；女生必须站在一起，是女生的
全排列，有 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法，由分步乘法计数原理知，共有N
＝ ＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，
故N＝ ＝1 440(种)．
9．（2022·广东·南海中学）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840
【解析】
【分析】
对于排列问题，按照先特殊后一般，分类分步进行即可.
（1）无条件的排列问题，排法有 种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有 种；（3）排法有 种，其中 是甲在左端或乙在右端的排法， 是甲在左端且乙在右端的
排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有
种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有 种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共 种排法，男生在五个空中安插，有 种排法，故共有
种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有 种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有 种排法；
（9）分步完成共有 种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全
排列共有 种，甲、乙、丙3人全排列有 种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以
共有 种排法.
10（2022·天津市蓟州区第一中学）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件
下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210【解析】(1)先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
(2)先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
(3)先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数
为
(4)从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
(5)第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为
题组二 排数问题
1．（2022·陕西·长安一中）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是
奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
【答案】504
【解析】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有 种，
当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排
列即可，所以有 种，
所以由分类加法原理可得共有 种，
故答案为：504
2．（2022·浙江省临安中学模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算
筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“ ”，
26可以表示为“ ”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两
位数的个数为_________.【答案】16
【解析】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，64，68，33，37，77；数字组
合15， 19，24，28，64，68，37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示 个两位数；数字组合
33，77，每组可以表示1个两位数，则共可以表示 个两位数；
则总共可以表示 个两位数.
故答案为：16.
3．（2022·山东泰安）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随
机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个
位数字.
(1)一共能组成多少个不同的三位数？
(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
【答案】(1)120(2)40
【解析】(1)（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为 .
(2)百位为 或 ，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有 个大于500的三位数.
3．（2022·浙江·罗浮中学）用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？
(2)可以排成多少个四位数？
(3)可以排成多少个四位数字的电话号码？
【答案】(1)60个(2)500个(3)625个
【解析】(1)由题，能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，
需用5个数字组成不重复的五位数，则万位不是0，
所以当个位是0时，共有 个；
当个位不是0时，共有 个，
所以不重复的且能被2整除的五位数有 个.(2)要组成一个四位数，则千位不为0，所以共有 个.
(3)要组成一个四位数字的电话号码，则共有 个.
4（2022·河北·藁城新冀明中学）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
【答案】（1） 个；（2） 个；（3）2296个；（4） 个.
【解析】 由题意，无重复的三位数共有 个；
当百位为1时，共有 个数；
当百位为2时，共有 个数；
当百位为3时，共有 个数，
所以315是第 个数；
无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有 个数；
当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有 个数，
所以无重复的四位偶数共有 个数；
当选出的偶数为0时，共有 个数，
当选出的偶数不为0时，共有 个数，
所以这样的四位数共有 个数；
5．（2022·全国·高三专题练习）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.
试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】(1)216(2)108(3)108
【解析】(1)解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有 种方法，
第二步，取两个奇数，有 种方法，
第三步，将取出的四个数全排列，有 种方法，
由分步计数原理得：共能组成 个不同的四位数；
(2)解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有 种方法，
第二步，取两个奇数，有 种方法，
第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有 种方法，
由分步计数原理得：共能组成 个不同的四位数；
(3)
解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有 种方法，
第二步，取两个奇数，有 种方法，
第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有 种方法，
由分步计数原理得：共能组成 个不同的四位数；
6．（2022·全国·高三专题练习）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组
成没有重复的数字的四位数．
（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？
（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？
（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）【解析】（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成
个没有重复的数字的四位数
（Ⅱ）当0在末位时，共有 个四位偶数
当末位为 （且 不在首位），共有 个四位偶数
则可以组成 个四位偶数
（Ⅲ）当0在首位时，有 种
则两个奇数数字相邻的四位数共有 个
7．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成
没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有 种情况；
第二步，从5个奇数中取4个，有 种情况；
第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有 种情况.
所以符合题意的七位数的个数为 .
（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为
（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为
.
题组三 分组分配
1．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【答案】D
【解析】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有 种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有 种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有 种参观方式，
综上：共有 种参观方式.
故选：D
2．（2022·河南·郑州四中）5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区
至少有1人参加，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．90种 C．120种 D．150种
【答案】D
【解析】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，
共有1，2，2和1，1，3两种情况．若是1，2，2，则共有 （种）；
若是1，1，3，则共有 （种），
所以共有 （种）不同的方法.
故选：D．
3．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人
至少1本画册或图册，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．93种
C．96种 D．99种
【答案】B
【解析】由题可知把5本书先分组后分配，可分为3，1，1或2，2，1两种情况，然后分配给甲、乙、丙三人，
分为3，1，1时，当两个1都是图册时，不同的分法共有 种；当两个1都是画册时，不同的分法共
有 种；当两个1为一本图册一本画册时，不同的分法共有 种；
分为2，2，1时，当两个2中有一个2为2本图册时，不同的分法共有 种；当两个2中各有一本
图册时，不同的分法共有 种；当单独的1是一本图册时，不同的分法共有 种.
所以，将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，不同的
分法共有 种.故选：B.
4（2022·山东·模拟预测）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所
有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬
季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人
参加，则不同的报名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【答案】B
【解析】将4名同学分成两组，有 种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列
有 种，所以共有 种报名方案.
故选：B.
5．（2022·重庆八中模拟预测）开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接
新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．18种
【答案】B
【解析】由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则
南校门的人数为1或2，
当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则 种安排方式；当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则
种安排方式，
所以共有 种；故选：B
6．（2022·河北·石家庄市第十五中学）近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点
为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作
至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A．50 B．80 C．140 D．180
【答案】B
【解析】不同的安排方式有两类办法，
有3人参加接种工作的安排方式有 种，
有2人参加接种工作的安排方式有 种，
由分类加法计数原理得不同的安排方式有： 种.
故选：B.
7．（2022·浙江）25某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书
推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参
加，则报名的不同方案有（ ）
A．420种 B．630种 C．1260种 D．1890种
【答案】B
【解析】由题7名同学分成3个组，每组分别有2，2，3人，共有 种分组方式.
再排列有 种方案.故选：B.
8．（2022·福建·三明一中）（多选）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在
周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期
二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ）
A．甲乙都不选的方案共有432种
B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种
D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
【答案】ABC
【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2
男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工
甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班
甲乙都不选的方案共有 种，A正确
选甲不选乙的方案共有 种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一
乙排星期一的方案共有 种
乙不排星期一的方案共有 种
∴甲乙都选的方案共有 96种，C正确
这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
选乙不选甲的方案共有 种
∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误
故选：ABC．
9．（2022·广西）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
【解析】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个
小球，还剩下2个小球，
则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，
所以共有2种放法；
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形
成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为 ；
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1
和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为 ；
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1
和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为 ．
题组四 涂色
1．（2022·重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选
择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有 种涂法，故基本事件总数 ，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有 种涂法，这一共有 种涂法，所求概率为 ．故选：A．
2．（2022·福建三明）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．
如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和
一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．180 B．192 C．300 D．420
【答案】D
【解析】
如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有 种；对于区域④⑤，
若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，
若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有 种情况；则一共
有 种情况
故选：D．
3．（2021·广西·钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝
两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，
红，红），（蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共 个基本事件.
相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本事件，
所以所求的概率为 ，
故选：C.
4．（2022·江西·景德镇一中）如图所示，积木拼盘由 ， ， ， ， 五块积木组成，若每块积木都要
涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如： 与 为相邻区域， 与 为不
相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780 B．840 C．900 D．960
【答案】D
【解析】先涂 ，则 有 种涂法，再涂 ，因为 与 相邻，所以 的颜色只要与 不同即可，有
种涂法，同理 有 种涂法， 有 种涂法， 有 种涂法，由分步乘法计数原理，可知
不同的涂色方法种数为 ．
故选：D.
5．（2021·江西·横峰中学）如图所示的几何体由三棱锥 与三棱柱 组合而成，现用
种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共
有（ ）A． 种 B． 种
C． 种 D． 种\
【答案】C
【解析】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，
因为要求相邻的面均不同色，
所以共有 种不同的涂法，
第二步：涂三棱柱ABC- 的三个侧面，
先涂侧面 有 种涂法，再涂 和 只有1种涂法，
所以涂三棱柱的三个侧面共有 种涂法，
所以对几何体的表面不同的涂色方案共有 种涂法，
故选：C
6．（2022·重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相
邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有 种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】考虑 、 、 三个区域用同一种颜色，共有方法数为 种；
考虑 、 、 三个区域用 种颜色，共有方法数为 种；
考虑 、 、 三个区域用 种颜色，共有方法数为 种．所以共有方法数为 种．
故选：C．
7．（2022·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不
同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【答案】D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方
法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方
法；
所以不同的涂色方法： 种.
故选：D.
8．（2022·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域 、 、 、
、 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【答案】D
【解析】法一： 有5种颜色可选， 有4种颜色可选， 有3种颜色可选，若 同色， 有4种颜色可选；
若 同色， 有4种颜色可选；
若 与 、 都不同色，则 有2种颜色可选，此时 有4种颜色可选，故共有
种．
法二：当使用5种颜色时，有 种涂色方法；
当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是 ， ， ， ， ，共有 种涂色方法；
当使用3种颜色时，只能是 同色且 同色， 同色且 同色， 同色， 同色，共有
种涂色方法，
∴共有 种涂色方法.
故选：D.
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖
蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿
与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
【答案】66
【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有 种选法，因此不
同的涂色方法有 种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有 种方法选法，
因此不同的涂色方法有 种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有 种方法选法，
因此不同的涂色方法有 种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有 种，
所以共有 种不不同的涂色方法，
故答案为：66
10．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色
至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域 ， ， ， 和 ， ，
， 分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分
别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.
【答案】 24 216
【解析】 ， 同色，所以先涂 有： ，再涂 有 种，所以共有：
种.
先涂 共有： 种，设四种颜色为 ，假设 涂的颜色分别为 ，则
涂色情况如下：
， ， ，共9种，
所以： 种.
故答案为：24；216.
11（2022·浙江嘉兴）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一
个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同
一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．【答案】48
【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有 种涂色方法，
第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，
则有2种涂色方法，
所以共有 种涂色方法，
故答案为：48
12．（2021·江西·进贤县第一中学高二阶段练习（理））用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示
的5块区域 、 、 、 、 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共
有涂色方法____．
【答案】960
【解析】因为区域 和各个区域都相邻，所以首先给区域 染色有5种方法,区域 、 各有4种方法, 区
域 、 一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法 .
故答案为：960．
